CC BY
12
УДК 534.2: 537.622.4
ЛАЗЕРНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН В ФЕРРОМАГНИТНОЙ ПЛАСТИНЕ
Е.В. Голубев, С.Ю. Гуревич
В работе рассматривается решение уравнения термоупругости в пространстве, ограниченном двумя параллельными плоскостями, свободными от напряжений. Решение задачи, учитывающее проникновение оптического излучение в вещество, получено в виде интегрального представления для осесимметричного распределения интенсивности в падающем оптическом излучении. Ферромагнитные свойства пластины учитываются температурной зависимостью коэффициента теплового расширения в окрестности магнитного фазового перехода.
Значительную долю продукции отечественной металлургической промышленности составляет листовой прокат из различных ферромагнитных металлов и сплавов. Улучшение качества выпускаемой продукции позволит, в конечном счете, увеличить срок службы машин и механизмов, снизить их материало- и энергоемкость, повысить производительность труда. Акустические методы контроля качества продукции хорошо зарекомендовали себя в условиях промышленности благодаря тому, что они являются неповреждающими. Кроме того, ультразвуковые волны обладают способностью при сравнительно невысоких энергиях проникать на значительные, по сравнению с другими видами излучений, расстояния вглубь различных металлов и в значительной мере отражаться от границ раздела сред с различными акустическими свойствами. Экономически целесообразным является применение методов контроля при высоких температурах поскольку затраты энергии для исправления дефектов, в этом случае, минимальны.
Для возбуждения акустических колебаний в условиях промышленного производства используются преимущественно бесконтактные методы, использующие механизм электромагнитно-акустического или оптико-акустического преобразования. Препятствием к внедрению лазеров в качестве источников ультразвука на этапе контроля продукции является отсутствие теоретической базы для описания нелинейности в процессе трансформации энергии оптического импульса в энергию акустических волн в ферромагнитном металле при температурах, близких к температуре магнитного фазового перехода. Поглощение оптического импульса приводит к быстрому локальному нагреванию среды, ее расширению и возникновению упругих волн. Как показано в работах [1, 2] необходимо, для описания данных наблюдения, учитывать при теоретическом рассмотрении температурную зависимость параметров среды. К настоящему моменту учет зависимости коэффициента теплового расширения от температуры был произведен при расчете характеристик основных типов акустических волн, возникающих в упругом полупространстве (продольные, поперечные и рэлеевские волны). Для образцов конечных размеров, таких как пластина, результаты таких исследований не могут быть использованы, поскольку возникающие в них нормальные колебания отличаются дискретным спектром и наличием дисперсии, а, следовательно, обладают и своими особенностями.
Данная работа посвящена решению задачи динамической термоупругости для бесконечной упругой пластины и выделению в поле деформаций слагаемых, описывающих волны Лэмба, которые возникают вследствие действия импульса оптического излучения.
Решение поставленной задачи формулируется в виде несвязанной системы уравнений термоупругости и состоит из двух этапов. Первое, необходимо определить температурное поле в однородной пластине, возникающее вследствие действия импульсного проникающего излучения с помощью уравнения теплопроводности. На втором этапе, при решении системы уравнений движения, учитывается изменение коэффициента теплового расширения ферромагнетика, что будет определять распределение термоупругих источников нормальных волн по объему пластины.
Выберем цилиндрическую систему координат, вдоль оси 2 которой распространяется импульсное излучение с распределением интенсивности I(г, {) . Бесконечная однородная пластина, поглощающая излучение, занимает область 2 е [0, к], где к - толщина пластины.
Первая часть решения задачи о термоупругом возбуждении нормальных волн в пластине состоит в решении уравнения теплопроводности для области, занимаемой упругой средой приведена в работе [3]. Решение задачи в виде образа, учитывающее проникновение оптического излучение в вещество и время релаксации теплового потока, может быть представлено следующим выражением:
Т (Х, 2,Ю) _
Л/(1 + Шг)Г(Х,ю) ев2 + е
2ХЛ
2
Л/(1 + Шг) Г(Х,ю)
еРчк _ е-Рчк
Рчерчк + ие~ик Рде~вдк _ ие_ик
- /е
и + в
и _ Ра
2ХцД
_вче~ва2 + /е~и2 в/4' + ие~и
и _ в
и + ва
(1)
где Т - избыточная температура; Л _ 1 _ Я; Я - коэффициент отражения оптического излучения по энергии; /и - коэффициент поглощения; I _ ; Ха - теплопроводность; и - время релаксации теплового потока; X - параметр преобразования Бесселя; ю - круговая частота; а - коэффициент температуропроводности среды; в^ _ X2 + ю/а _ 1гю2/а, знак «~» обозначает преобразование Бесселя по пространственной координате г, а знак «*» - преобразование Фурье по времени I.
Проводя обратное преобразование Фурье-Бесселя по формуле
1 да
Т (г,2,1) =— I 2п -1
IТ* ( Х,2,ю^о(Хг )Х dX
ехр( Ю) dю ,
(2)
где j0 - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, получаем функцию, действительная часть которой описывает распределение температуры в однородной пластине. В работе [3] также получено выражение для оценки максимальной избыточной температуры в полупространстве и толстых пластинах, обусловленной действием проникающего излучения с гауссовым временным и пространственным профилем распределения интенсивности.
Изменение температуры в области пространства, занимаемой ферромагнитной пластиной, приводит к возникновению термоакустических источников. Поскольку величина смещения частиц среды определяется коэффициентом теплового расширения, который в свою очередь считается зависящим от температуры, то интенсивность источников акустических волн не пропорциональна избыточной температуре. Для определения поля вектора деформации и(г, г, i) рассмотрим уравнение движения упругой среды [4, 5]
с\Ьм + (с2 _ с^^гаё Шуи _ + (3 _ 4с|/с12)с12аТ gradТ.
dt2
(3)
Уравнение движение упругой среды может быть записано через потенциалы Ламэ в виде двух дифференциальных уравнений в частных производных:
д2Ф 1 дФ д2Ф
дг
2 +--+
2 г дг
дг2
д 2Ф
2 д.2
с1 дt
_ I (г,2Л):
д2у + 1 ду у + д2у 1 д 2у _ о дг2 г дг
г2 дг2 с2 дt2
(4)
(5)
где сь, с2 - скорости распространения продольных и поперечных волн соответственно; у - отличная от нуля компонента векторного потенциала. Такая запись позволяет учесть изменение коэффициента теплового расширения аТ с температурой в правой части уравнения (4)
Т (г ^)
Т(То)Т(г,0 + I (аТ(То + Т)_аТ(То))dT , (6)
о
I(г,2,t) _ (3 _ 4с22/с2)
а
+
о
Голубев Е.В., Гуревич С.Ю.
Лазерное возбуждение нормальных волн в ферромагнитной пластине
где Т0 - равновесная температура, Т(т,2,1) - поле избыточной температуры в среде. Формула (6) существенно точнее описывает процесс неравномерного расширения упругой среды при увеличении температуры в данном приближении, по сравнению с формулой, используемой ранее в работах [1, 2], где/(т,2, г) = (3 - 4у2)аТ(Т0 +Т)-Т(т, 2, г), у = с1/с2.
Решение уравнений (4) и (5) получаем с помощью интегрального преобразования Фурье по времени и преобразования Бесселя по пространственной координате, причем уравнение (4) преобразуется по функции J0, а уравнение (5) по функции J\, что обусловлено видом левых частей соответствующих уравнений. Получаем
д2Ф * & 2
& 2
- в\2Ф* = /(X, 2,ю), в\2 = X2 - (О2/с\2,
- в\¥* = 0, в2=X2 - «2/С22.
Решения уравнений (7) и (8) можно записать в виде
Ф (Х,2,Ю) —
Б
\ + {I* (X, 2,«)ехр(-в\ 2^2
ехр(в\2) +
Б2+
11 * ( X, 2,()ехр(в\ 2^2
(7)
(8)
ехр(-в\ 2),(9)
Ч (Х,2,ю) — Б3ехр(-в2 2) + Б4 ехр(в2 2), (10)
где неизвестные функции Б1, определяющие решение нашей задачи необходимо получить, используя граничные условия, которые заключаются в отсутствии напряжений на гранях пластины. Выражения для образов компонент тензора напряжений, имеющие вид
= РС2
Я 2 = Рс2
(X2 + в22 )ф * + 2Х Ц;
-2Х ^-(X2 + )* *
(11)
(12)
должны обращаться в ноль при 2 = 0 и 2 = к . В результате получаем систему из четырех уравнений относительно неизвестных функций Б1 (X«), расширенная матрица которой выглядит следующим образом
х2 + в2
2Хв1
х2 + в2
-2Хв1
(X2 + в\)ев1к (X2 + Р^)в~в1к
-2Хв X2 + в2
-2Xp2e-в2к
2X^2 X2 + в2
2Xp2eв2к
0 0
(X2 + в2)
2X0^
№
-2Xple~вlк (X2 + в22)е"в2к (X2 + в1)ев2к 2Xp1F4
(13)
где
^3 =--
1 А
}/* (X, 2,ю)сЪф12^2 - сОДк) * (X, 2«)$^ 2)ок
^4 = —
1 А
0
к
0
к
(14)
(15)
сВДк) \}* (X, 2,ю)сЪ(Р1 2)й2 - МЗк) (X, 2,ю)$ЦР1 2)й2 _ 0 0 _ Обозначая определители основной матрицы системы с заменой I -го столбца столбцом свободных членов (I — 4), получаем выражения для неизвестных функций Б1:
*3
Б °е*0. Б Б Б Ое*.
Б1 —-, Б 2 —-, Б3 —-, Б4 —
Ое*4 Ое*4 Ое*4 Ое*4
(16)
где
Ое*0 —
(X2 + в22)4F3 + 4X2в12в22F4_(ев2к -е"в2к)-4X2в1в2(X2 + в22)2(^4 + ^3)(ев2к + е"в2к - 2е-Ак),
(17)
0
0
Бе^ _ _
"(X2 + в22)4F3 _4Х2в12в22^4](ев2к _е~в2к) +
+4Х2в1в2(Х2 + в22)2(^4 _F3)(ев2к + е~в2к _2еР1"), Бе^ _ _4Хв1(Х2 + в2)"(Х2 + в22)2^3 _4Х2в1в2^]евк +
+2Х&(Х2 + в22)"(Х2 + в22)2 _4Х2в1в2](^ + ^3)е"в1к _
(18)
_2Хв1(Х2 + в22)"(Х2 + в22)2 + 4Х2в1в2](Ра _, Detз _ 4Хв1(Х2 + в22)"(Х2 + в22)2^3 + 4Х2в1в2Ра]е^2" +
+2Х&(Х2 + в22)"(Х2 + в22)2 _4Х2в1в2](^ _^3)ев1к _ _2Хв1(Х2 + в22) "(Х2 + в22)2 + 4Х2вв2](Ра + ^)е_вк, Бе^ _ 4[сИ(в1к) + 1][еЬ(в2к) +1] х "4Х2в1в2 Мвк/2) _ (Х2 + Р22)Л(Р2к/2)' "4Х2в1в2 ЭДк /2) _ (Х2 + в22) ЭДк /2)'
(19)
(2о)
(21)
Уравнение Det4 _ о, где Det4 - определитель основной матрицы системы, дает дисперсионное уравнение для нормальных волн, поддерживаемых упругой пластиной, или волн Лэмба. Из четырех сомножителей только два могут обращаться в ноль, и они дают отдельные характеристические уравнения для определения фазовой скорости симметричных
4Х2р1Р21Ъ(в1к/2) _ (Х2 + в22)Л(в2к/2) (22)
и антисимметричных мод
4Х2Р1Р21Ъ(Р2И/2) _ (Х2 + в22)Л(АИ/2). (23)
Приведем окончательные выражения для образов проекций вектора деформации на границе пластины, соответствующей 2 _ о
*(ю, Х) _ _Х[В1 + Вг ] + Р2 [¿3 _ В4 ] =
_ 8ХР1Р2(Х2 _ Р22) х
^ 4[сЬ(Р1к) + 1][сЬ(Р2к) + 1]х ((Х2 _ Р22)28И(Р1к) _ 4ХгРфгМР1И))^ _ (Х2 _ Р22)2 (сЦДк) _ сИ(Р2к))^
4Х2Р1Р2 1Ъ(Р1к/2) _ (Х2 + Р22)Л(Р2к/2) АХ'РРхЪРк/2) _ (Х2 + Р^ЧР"/2)
22
(24)
;(Ю, Х) _ Р1 [ В1 _ Вг ] + Х[ В3 + В4 ]:
4Р1(Р24 _Х4)
4[сЬ(Р1к) + 1][сИ(Р2к) +1]
((Х2 + Р22)2МР2к) _ АХ^МАк)) ^3 + 4Х2Р1Р2 (сЦДк) _ сИ(Р2к))
■>2")) Ра
4ХР1Р2 ВДИ/2) _ (Х + Р2)МР2"/2)]"4ХР1Р2^(Р2к/2) _ (Х + Р2)1Ь(Р1к/2)] . (25)
Обратное преобразование Бесселя от (24) и (25) позволяет получить выражение для спектральной плотности импульсов волн Лэмба, возбуждаемых импульсным оптическим излучением в ферромагнитной пластине. Подынтегральные выражения обладают особенностями - полюсами, сумма вычетов в которых и определяет спектральную плотность акустических импульсов, которая, вследствие дисперсии, определяется не только распределением термооптических источников по пластине, но и расстоянием от зоны возбуждения звука
и>,г) _ 1 w*(ю,X)XJ1(Xг)dX _ ^^- х
о X 4[сЬ(А") + 1][сИ(Р2") +1]
((X2 _ в22)2sh(вlk) _ АХРб^^И))_(X2 _ Р22)2 (сОДИ) _ сЪ(02к))]XJl(Xr)
(4Х2Р1Р2 1Ь(02к /2) _ (X2 + Р22) Л(Р1к / 2)) А (4Х2Р1Р2 Л(Р1к /2) _ (X2 + Р22) 1Ь(02к / 2))
х
х
Голубев Е.В., Гуревич С.Ю.
Лазерное возбуждение нормальных волн в ферромагнитной пластине
+ £ ВЯвв2(Я2 - в2)
4 [сЪ^Й) + 1][сЪ(02Й) +1]
((X2 - ^Мт - 4X2№гMP1Щ)^ - (X2 - в22)2 (сЬ(АЙ) - сОДй))^з]их(Хт)
(4X^2 ЭДЛ/2) - (X2 + в2)^^/2) )— (^в^М.^/2) - (X2 + /2))
«>,г) = ]«>,х)хз,(хт)ах = X4[ ..я'в!!^^ Л)+1] х 0 X 4[сМАЛ) + 1][сЬ(в2Л) + 1]
((X2 + в1?мт - 4Х2в1в2«Ь(в1Й)) Fз + 4Х2 в в 2 (сЪ(в1А) - сЪ(т) Я, ] Х7о(Хг)
(26)
(4Х2в1в2 th(в2Л /2) - (X2 + в22) ЩвЛ / 2) )дХ (4Х2в1в2ЩвхЬ /2) - (X2 + в22) Л(в2й / 2))
+ Х 4в1(в24 -X4) х
X 4 [сЪ^Й) + 1][сЪ(в2Й) +1]
((X2 + в22)2^(в2й) - 4X2вlв2sh(вlh)) ^з + 4X^2 (сЬ(АЛ) - сОДЛ)) ^ ] XJ0(Xг)
(27)
(4X2вlв2 th(вlh/2) - (X2 + /2))—(4X^2 ЭДЛ/2) - (X2 + 022)й(АЛ/2))
При Л ^ да (полупространство) выражения (26) и (27) дают спектр рэлеевских волн в более общем случае объемного поглощения электромагнитного излучения, чем рассматриваемый в [2], где предполагается, что тепловыделение происходит только на поверхности полупространства.
Обратное преобразование Фурье функций (26) и (27) позволяет рассчитать смещение точек поверхности пластины в зависимости от времени и расстояния от места возбуждения. Основная сложность при численной оценке величины смещений и расчете характеристик акустических импульсов заключается в вычислении функций и по формулам (14) и (15) и решении дисперсионных уравнений (22), (23). Результаты численного моделирования по конечным выражениям для температурного поля (2) и акустического поля (26) и (27) будут представлены и проанализированы в следующей работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках технического задания № 01.09.04Ф.
Литература
1. Исследование влияния магнитного фазового перехода на спектр акустических импульсов, возбуждаемых лазерным импульсом в ферромагнетике/ С.Ю. Гуревич, Ю.В. Петров, К.В. Про-копьев, А.А. Шульгинов// Акустический журнал. - 1999. - Т. 45. - № 4. - С. 497-501.
2. Голубев Е.В., Гуревич С.Ю., Петров Ю.В. Лазерная генерация поверхностных акустических волн в ферромагнитном металле// Физика металлов и металловедение. - 2004. - Т. 97. - № 2. - С. 8-12.
3. Александров А.Н., Голубев Е.В. Нагрев бесконечной металлической пластины импульсным лазерным излучением// Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2005. -Вып. 5. - № 2(42). - С. 80-85.
4. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Теоретическая физика. - М.: Наука, 1987. -Т. VII. - 248 с.
X
х
+
х
Поступила в редакцию 14 сентября 2005 г.
