CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2009, том 52, №4________________________________
ФИЗИКА
УДК 535.21: 536.48: 538:953
Т.Х.Салихов, О.Ш.Одилов ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ФОТОАКУСТИЧЕСКОЙ КАМЕРЕ СО СВЕРХТЕКУЧИМ ГЕЛИЕМ И НЕТЕПЛОПРОВОДЯЩЕЙ ПОДЛОЖКОЙ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 04.02.2009 г.)
Метод фотоакустической (ФА) спектроскопии является одним из современных и весьма надежных методов лазерной спектроскопии, позволяющий бесконтактным способом определить целый набор физических параметров исследуемой среды (см., например, [1-5]). В экспериментальных работах [6-8] были сделаны некоторые попытки применения этого метода в области низких температур, включая гелиевые. Однако отсутствие какой-либо теории этого эффекта применительно к He-II не позволяет широко применять существующие возможности ФА спектроскопии для определения физических характеристик конденсированных сред вблизи абсолютного нуля. В этой связи представляет интерес теоретическое рассмотрение особенностей генерации акустических волн в ФА камере, содержащей сверхтекучий гелий, контактирующий со своим собственным паром. Известно, что область существования сверхтекучей фазы жидкого гелия ограничена температурой T и поэтому, прежде всего, становится чрезвычайно важным определение температурного поля в ФА экспериментах, что и является целю настоящей работы.
Одно из существенных отличий сверхтекучего гелия от классических жидкостей состоит в том, что гидродинамика сверхтекучего гелия является двухскоростной и часть тепла переносится посредством конвективного потока нормальной компоненты. В этой связи возникает необходимость получить соответствующие дифференциальные уравнения для температурного поля.
1. Уравнения для стационарного температурного поля в Не-II
Предположим, что световое излучение с интенсивностью /0, длина волны которого
соответствует полосе поглощения гелия, вертикально падает на ФА камеру. Будем исходить из уравнений гидродинамики для сверхтекучего гелия, соответствующих стационарному случаю [9]
^ ^ /7 ^ ^ ^
Vp' = 7А33п + {- + %2)graddiv3n + ps^graddiv (3s-Зп), (1)
V¿ = graddivSn + р£ъgraddiv(Д - \) (2)
T0p0a0 div\ = kAT ' + f O, t) (3)
Ур’ = — УР’-а0УГ'. (4)
Ро
Здесь: р6,, рп, 3 , 3и - сверхтекучая и нормальная компоненты плотности и скорости соответственно; р0 = р + рп; <г0 - удельная энтропия; —, ^, £4 -коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; к - коэффициент теплопроводности; Т0 - равновесная температура; ^ и ц - давление и химический потенциал соответственно; /(г) - тепловой источник, обусловленный поглощением падающего монохроматического излучения; величины со штрихом соответствуют возмущенным частям этих величин относительно равновесных значений. Из (1), (2) и (4) получим
а0УТ' = —АЗп + [— — + £2 - Ро^1) + Ро^з - ^4 \%гаййЫ}п (5)
Ро Ро 3
Поскольку движение сверхтекучей компоненты является потенциальным, то справедливо равенство тоХ3п = -(р8 / рп)тоХ3# = 0. Учитывая это равенство и векторное тождество
Д3И = gmddiv3n - тоХтоХ3п из уравнения (5) получаем
ЛХуЗп = (р о&о /Л)Т', (6)
постановка которого в левую часть уравнения (3) позволяет получить искомое уравнение
ДТ '-Л Т ' = -11, (7)
52 к У ’
4 2
где 8 = (кЛ / Тр0а0) , Л = —— + %2- 2р0£1+р0£3. Нетрудно заметить, что это уравнение
существенно отличается от традиционной формы уравнения теплопроводности для стационарного случая, а при пренебрежении ее правой части примет вид, полученный в [10].
2. Температурное поле в фотоакустичекой камере с нетеплопроводящей подложкой
Очевидно, что температурное поле в ФА камере существенно зависит от теплофизических свойств подложки. Экспериментальные данные показывают, что в области гелиевых
температур теплопроводность многих твердых тел на 2-3 порядка ниже теплопроводности
самого жидкого гелия. В связи с этим возможны два типа подложек - нетеплопроводящие (идеальный тепловой изолятор) и теплопроводящие. Решение сформулированной задачи целесообразно сперва провести для первого случая, поскольку при этом граничные условия значительно упрощаются.
С учетом уравнений (6)-(7) для модели трехслойной ФА камеры, в которой буферный газ (пары гелия) и подложка считаются прозрачными, а образцом является сверхтекучий ге-
лий и его оптический коэффициент поглощения р, система уравнений теплопроводности имеет вид
ё 2Т '
Кг—^Т = 0 , при 0 < г < ¡г (8)
ё 2Т' к
К—Гг— ТТТ’ = -Р1 о ехР(-А), пРи -1 < г < 0 (9)
аг о
ё 2Т '
къ-Т- = 0, при - (I + ¡ь) < г <-1, (10)
ёг
где I , I и ¡ъ являются толщинами газового слоя, образца и подложки соответственно. Набор
граничных условий, необходимых для решения системы уравнений (8)-(10) и соответствующих рассматриваемому случаю, имеют следующий вид [9,10 ]
T'
I I Т , дТ',
=о, т;|„„=г\г.0, Kg -Т-1 „„ = к—I „„, (11)
ЛТ-'/
z=-«+ь) = о, т 1„_, = Т’ь , -к—\,= о. (12)
Система уравнений (8)-(10) совместно с граничными условиями (11)-(12) представляют собой математическую модель рассматриваемой задачи. Опуская достаточно длинную процедуру вычисления, приведем окончательный вид полученного решения сформулированной задачи, который имеет вид:
z
Т'(z) = E(1 - -)[2ß - (e + ß )(el/8 + e l /8) + Y ], (13)
g
T' (z) = E{[ß(1 -el /8)-e(ß + el /8)]ez 18 + [ß(1 -e-l/8) + e(ß -e-l/8)]e-z/8 + Yeßz}, (14)
T;(z) = E(z +l +1 )[ß (el/8 -1) - e(1 + e,e-l/8) + e,(e-l8 -1) + e(eiel/8 -1) + Y,e-ßl ]. (15)
lb
Здесь использованы следующие обозначения E = Y/ Y, Y = ßl0 /[k(ß2 -8 2)],
Y = [(e- 1)e -/8 + (e + 1)el/8], e = (icg8/rig), ß = ß8 . Из выражений (13)-(15) следует линейная зависимость величины приращения температуры от интенсивности падающего луча во всех слоях ФА камеры.
В полученных выражениях, прежде всего, необходимо оценить температуру облучаемой и тыловой поверхностей образца, которые соответствуют максимальным и минимальным значениям температуры в образце. Из (13) и (14) для температуры облучаемой поверхности образца будем иметь
Т’(0) = Т(0) = Б[ег(2 -е /о -е- /о) - (е - 1)(е1 /о - е- /о)]. (16)
Оценки [10] показывают, что в широком диапазоне температуры существования ^-П величина О ~ (10 4 -10 -б)м и поэтому толщина жидкого слоя значительно больше 0 и ехр(-1 /О) ^ 0, тогда с достаточно большой точностью можно записать Т' (0) = Т'(0) = У(1 -е-е). Поскольку длина пробега фотона в системе ¡р = р 1 также значительно больше 0, то справедливо условие е << 1, е1 << 1 и из ( 16) будем иметь Т'(0) » рО2/0 / к. Очевидно, что величина приращения температуры на поверхности ^-П должна быть меньше (Тл - Т0), то есть Т' (0) < (Тл - Т0) или /352/0 /к< (Тл - Т0). Отсюда можно определить пороговое (предельное) значение интенсивности падающего излучения (/о ^ < (Т - Т0 )к/(р32'). Это условие позволяет ограничить интенсивность падающего луча таким образом, чтобы при выполнении эксперимента обеспечивалось условие однородности образца. Например, при Т « 1К, к = 0.58Вт/(мК) и значениях р = 102 м -1 и О ~ 10 5 м получим (/0 )тх < 108Вт/ м2, а при /0 = 104Вт/м2 приращение температуры составляет Т'(0) « 2.10 4К и является вполне измеримой величиной. Для приращения температуры тыловой стороны образца из (13) и (14) получим выражение
Т' (-¡) = Ц (-¡) = ¥(е + е-'р), (17)
из которого следует, что при е
<< е -р имеет место оценка Т'(-¡) = Т6' (-¡) = Т'(0)е р, а при е >> еимеем Т'(-¡)/ Т'(0) = р5 . Во втором случае, при тех же условиях, получим оценку Т'(-/)/ Т'(0) ~ 10 3. Очевидно, что с ростом р второе слагаемое в (17) быстро уменьшается и основным становится первое.
С целью определения пространственного распределения приращения температуры по толщине образца нами выполнен численный расчет для Т = 1К, ¡ = 5.10 2м, / = 10 2 м,
¡ъ= 10-3м, к = 0.58Вт/(м.К)[12], К = 0.003Вт/(м.К)[13], /0 = 104Вт/м2 и значений
р = 25 м -1, р = 50 м -1 р = 102 м -1 [14], который показан на рисунке. Видно, что вблизи облучаемой поверхности гелия происходит экспоненциальное уменьшение температуры и в глубинах порядка ¡р этот спад сглаживается. Из выражений (13) и (14) нетрудно заметить, что
уменьшение приращения температуры в газовом слое и на подложке происходит линейно и на границах равняется нулю.
T(z)/T(0)
1.0 0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. Зависимость нормированной температуры сверхтекучего гелия в ФА камеры с нетеплопроводящей подложкой при T = 1K, l = 5.102м, lg = 102м, lb = 103м, к = 0.58Вт/(м.К),
к = 0.003Вт /(мК), I0 = 104 Вт/ м2 и значениях ß = 25м 1 ( кривая 1), ß = 50м 1 (кривая 2),
ß = 102 м 1 (кривая 3).
Таким образом, нами получены выражения, описывающие пространственное распределение температурного поля в ФА камере, содержащей сверхтекучий гелий с нетеплопроводящей подложкой. Анализ полученных выражений позволил определить и пороговое значение интенсивности падающего луча, знание которого является весьма важным в ФА экспериментах.
Таджикский национальный университет Поступило 06.02. 2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусев В.Э., Карабутов А.А. Лазерная оптоакустика. - М.: Наука, 1991, 342 с.
2. Лямщев Л.М. Лазерное термооптическое возбуждение звука. - М.: Наука, 1989, 240 с.
3. Tam A.C. - Rev. Mod. Phys., 1986, v. 58, № 2, p.381-431.
4. Vargas H., Miranda L.C.M. - Phys. Rep., 1988, v.161, № 2, p. 43-101.
5. Егерев С.В., Лямшев Л.М., Пученков О.В. - УФН, 1960, т.160, № 9, с. 111-154.
6. Smith J.B., Laguna G.A. - Physics latters., 1976, vA56, №3, р.323 - 342.
7. Pelzl J., Klein K., Nordhaus O. - Applied Optics, 1982, v.21, № 1, р.94 - 99.
8. Thijssen H.P.H., Van Den Berg R. at.al.- Chem. Physics Lett., 1984, v.111, № 1,2. р.11-18.
9. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. - М.: Наука, 1971, 120 с.
10. Паттерман C. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. - М.: Мир, 1978, 520 с.
11. Каганов М.И., Саникидзе Д.Г и др. - ЖЭТФ, 1970, т.59, №3, с.812-818.
12. Зиновьева К.Н. - ФНТ, 1997, т.23, №5/6, с.485-497.
13. Frank Pobell. Matter and Methods Low temperatures, Springer, 1996, 250 p.
14. Romanov V.P., Salikhov TKh. - Phys. Lett., 1991, A161, №2, р.161-163.
Т.Х,.Салихов, О.Ш.Одилов МАЙДОНИ ХДРОРАТЙ ДАР КАМЕРАИ ФОТОАКУСТИКИИ ТАКЯГО^АШ ГАРМОНОГУЗАР БО ^ЕЛИИ АБАРШОРО
Муодилаи дифиренсиали барои хдрорати статсионарии х,елии абаршоро хосил карда шудааст. Барои модели се кдбатаи камераи фотоакустикии такягохдш гармоногу-зар, ки намунаи омухташавандааш х,елии абаршоро буда, дар болояш бугх,ояш чойгир мебошанд, майдони хдроратй ёфта шудааст.
T.Kh.Salikhov, O.Sh.Odilov THE TEMPERATURE FIELD ON THE PHOTOACOUSTIC CELL WITH SUPEFLUID HELIUM AND UNTHERMALCONDUCTIVITY SUBSTRATE
The differential equation for the stationary temperature of the supefluid helium obtained. Temperature field of the three layer model of photoacoustic cell with unthermalconductivity substrate and superfluid helium, which contacting with own vapor has been found.
