CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2009, том 52, №5_____________
ФИЗИКА
УДК 535.21: 536.48: 538:953
Т.Х.Салихов, О.Ш.Одилов ФОТОАКУСТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ СВЕРХТЕКУЧЕГО ГЕЛИЯ С ПОДЛОЖКОЙ ИЗ ТЕПЛОВОГО ИЗОЛЯТОРА
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 12.03.2009 г.)
Теория генерации фотоакустического (ФА) эффекта в изотропных твердых телах для случая газо-микрофонной регистрации сигнала была предложена в [1], где рассмотрен лишь одномерный случай, а вычисление ФА сигнала в газовом слое ячейки проводилось в приближении «теплового акустического поршня». Тем не менее основные выводы этой теории относительно частотной зависимости параметров ФА сигнала оказались правильными, а ее результаты весьма информативными. Об этом свидетельствуют результаты многочисленных экспериментальных данных для твердых тел и жидкостей (см., например [2,3]). Однако непосредственное применение результатов упомянутых работ для определения характеристик ФА сигнала, генерерируемого в сверхтекучем гелии, принципиально невозможно. Это связано с тем, что колебание температуры в Не-11, в отличие от твердых тел и классических жидкостей, распространяется как слабозатухающая волна. По-видимому, именно по этой причине применение ФА метода в области гелиевых температур, выполненное в [4-6], не получило последующего развития. Поэтому возникает необходимость построения теории генерации ФА сигнала в сверхтекучем гелии, находящемся в ФА камере, где роль буферного газа могут выполнять лишь пары гелия.
Целью настоящей работы является построение теории ФА эффекта в Не-11 для случая, когда подложка камеры является нетеплопроводящей (идеальный тепловой изолятор).
Предположим, что Не-11, находящийся в ФА ячейке, сосуществует со слоем собственного пара. Падающий луч имеет интенсивность /0, который модулирован с частотой со. Газ и подложку считаем прозрачными. Тогда справедлива система уравнений [7]
(1)
(2)
Здесь ы1 = \(6Р / др)т ]12 - изотермическая скорость первого звука, ы2 = (раІТ / рпСр )
скорость второго звука (ВЗ), к. - коэффициенты теплопроводности соответствующих слоев, ат - коэффициент теплового расширения, / = 0.5рі0єш\є3 + Яе~23 є~3 ], Ср - удельная
фициент поглощения. Второе слагаемое в выражении / описывает отраженный луч, вклад которого может стать значительным в случае слабого поглощения. Уравнения теплопроводности (1) и (3) соответствуют газовому слою и подложке, а волновое уравнение (2) описывает распространение ВЗ в Не-11. В исходную систему мы не включили волновое уравнение для первого звука и это связано с тем, что коэффициент отражения этого звука на границе «жидкость-газ» составляет порядка 100% [8], то есть не трансформируется в газовую среду. Задача о стационарном температурном поле в ФА камере для рассматриваемого случая была решена в [9] и поэтому все величины в уравнениях (1)-(3) соответствуют их акустическим возмущениям.
Граничные условия, необходимые для решения (1)-(3) для рассматриваемого случая, имеют вид [10,11]
Принимая во внимание, что источник в правой части уравнения (2) изменяется по гармоническому закону, будем искать решения (1)-(3) в виде Т (г,ї) = Т (г)ехр(ійї),
Т (г, ї) = Т (г)ехр(іої), Т (2, ї) = Т (г) ехр(іш), тогда будем иметь
теплоемкость, Ь = Та^ы2 / С, К - коэффициент отражения луча от подложки, /3 - коэф-
(4)
(5)
(6)
(7)
где <у/ = (1 + 0^/, У] (о) = ^(2х;- / о) - длина тепловой диффузии в соответствующих средах, а %. = (К] / Р]Ср]) - их температуропроводность. Используя определение
¥ (г) = 1 + Яе хр(-2Р(/ + г)), решение системы (6)-(8) можно записать в виде
Т (г) = 0 ехр(-^ г), 0 < 2 < 1г (9)
Т (г) = С+ ехр(7д2 г) + С- ехр(-/д2 г) - Щг1^Т+Ь ¥(х) ,-1 < х < 0, (10)
2р^ри2 Р + ^
Тг (г) = Сь ехРОь(г +0 , -1 < г <-(1 + 1ь), (11)
где коэффициенты 0, С+ , С_ , С определяются из условия
С + С - «7^/1 + * _РЩ = 0, (12)
2рСрщ Р + 7 2
[С+ - С- - - Яехр(-201.))1я = -0, (13)
2рСри2 Р + 72
С+ ехР(-'д21) - С- ехР0'721) - 1°^1+Ь Р?2(1 ? ехР(-р/) = 0, (14)
2рСри2 р + 72
С+ ехР(+ С- ^РО'^О- ^21°^Ь Р21 + К ехР(-р1) = Сь, (15)
2рСри2 р + 7 2
а ^ = 1Щ2 / . Учитывая, что генерация ФА сигнала детектируется в газовом слое, то дос-
таточно определить лишь величину 0. Используя обозначение А = [г - 8 - К(г + &)ехР(-2Р0], А2 = [г + 8 - К(г - ^)ехр(-2р/)] и г = кр/к?аг для этой величины из (12)-(15) получим
Щ г1о л/Т + Ь р А ехр(/д2/) + А ехр(-гд2/) - 2г(1 - К) ехр(-р/)
?2 , „2
0 =
2РСры 2 3 + д2 (1 + g)exp(iq 21) +(1 - g )ехр(-/'д 21)
Из выражения (9) видно, что тепловая волна, распространяющаяся в газовом слое, будет локализована слоем с толщиной, равной длине тепловой диффузии, и поэтому, следуя [1], для определения величины ФА сигнала необходимо провести усреднение величины Т (г) по толщине этого слоя 2пи :
или, используя обозначение У = ]р0л! 1 + Ь10 /[4Т0/ рСри 1~], будем иметь
ф(й,) = У (1+*)оУр А ехр(/д 21)+А2 ехр( -д 21) - 2г(1 - К) ехр(-р/)
р2 + 722 (1 + 8) ехР0'7 2/) + (1 - 8) ехР(2/)
(16).
Выражение (16) является общим решением сформулированной задачи. Видно, что параметры генерируемого ФА сигнала сложным образом зависят не только от теплофизических и оптических параметров среды, но и от частоты генерируемой волны и толщины жидкого слоя. В этой связи возникает необходимость рассмотрения некоторых предельных случаев, для которых ответы существенно упрощаются. Очевидно, что в зависимости от толщины жидкого слоя и величины Р возможны два случая: р/ >> 1 (непрозрачного) и р/ << 1 (прозрачного). С другой стороны, в вышеприведенные выражения входят три характерные длины (/ -толщина жидкого слоя, / ^ - длина пробега фотона и Л - длина волны ВЗ) и в зависимости от соотношения между ними возможны три различные случая.
I. Случай, когда жидкий слой является непрозрачным (сильно поглощающим) р/ >> 1. В этом случае ехр(-/р) ^ 0 и из (16) будем иметь
фаза сигнала. Видно, что выражение для фазы ФА сигнала имеет сложный вид, хотя и не зависит от коэффициента поглощения. Частотное поведение амплитуды сигнала существенно зависит от функции До) , которая также имеет сложный вид. В этой связи целесообразно провести численный расчет этих величин.
На рис. 1 и 2 приведены результаты расчета этих величин, выполненных при Т = 1.5К , и2 = 20м/с, к = 0.58Вт/(м.К) ,^ = 0.003Вт/(м.К), / = 0.1м и трех значениях р. Видно, что До) имеет осцилляционную форму, проходящую через нули. Значения частот, при которых До) = 0, определяются корнями уравнения 18(д2/) = -рд-1, первому при-
(17)
До)
[С08(72/) + р ~1д2 8Ш( 72/)]
(18)
[(2с0§(72/) -кк~^Уг7г 8т(д2/))2 + (кк^у&д2 8т(72/))2]
2-|1/2 ’
(кк- ^ 72/))
(19)
(2с0$(д2/) -кк1У7 зт( 72/)) ’
D(m) 1
Рис. 1. Частотная зависимость функции До) для сверхтекучего гелия в ФА камере с нетеплопроводящей подложкой при I = 10 1 м и Г0 = 1.5К , к = 0.58Вт/(м.К), и2 = 20м /с
изначениях Р = 50 м 1 ( кривая 1),
Р = 100 м 1 (кривая 2), Р = 200 м 1 (кривая 3).
degree
Рис. 2. Частотная зависимость фазы ФА сигнала в сверхтекучем гелии с подложкой из теплового изолятора.
ближенному решению которого соответствует величина гу01 » mi2 / 2l » 300с 1. Другие решения этого уравнения также могут быть определены численно. Максимальным значениям D(o) соответствуют частоты, при которых выполняется уравнение ctg(q2l) « (kygq /2kg) .
Из рис.2 видно осцилляционное поведение фазы ФА сигнала, с резким переходом из области положительного значения к отрицательному. Эти переходы обусловлены соответствующим изменением знака знаменателя этой функции при частотах сэп = (1 + п)тл2 / 21, где п = 1,3,5....
Значения следующих частот, при которых фаза сигнала плавно переходит через нулевое значение от отрицательного значения к положительному, приближенно определяются из выражения сот « шли2 /1, где m = 1,2,3.... Это позволяет провести аналитическое рассмотрение некоторых конкретных случаев.
а). Пусть генерируемый второй звук имеет длину волны А >> I (тонкий слой), а l >> 1р, А>> lp. Этому условию удовлетворяют частоты, ограниченные неравенством
о«щ, где щ = 2т2 //. Учитывая, что при этом cos(q2/) ~ 1, sin(q2/) « 0, D(o) « 0.5, и тогда из (17) -(19) получим « 0 и |ф(®)| = Ykaifu2 / kg = 2Yk / р Cpg . Видно, что в этом случае амплитуда ФА сигнала не зависит от частоты и р (этот эффект называется «насыщением» ФА сигнала). Простые соотношения между |ф(о)| и теплофизическими параметрами образца и газа позволяют определить эти величины из ФА экспериментов.
б). Пусть генерируемый ВЗ имеет длину волны /д < Л< / (толстый слой). Этим условиям соответствуют частоты щ <щ <щ, где со2 = (2ли2Р) В этом случае выражения Д(щ) и щ(<$) существенно не упрощаются и поэтому обработка результатов эксперимента должна проводиться согласно |ф| = (4УкВ(а)/ ргСрг).
в). Пусть генерируемый ВЗ имеет длину волны Л< /р < / (толстый слой). Частоты, удовлетворяющие этим условиям, должны иметь значения о > а2, а амплитуда сигнала может быть определена из выражения
II. Случай, когда жидкий слой является прозрачным (слабо поглощающим) Р1 << 1, тогда справедливо приближение exp(—/Р) « 1 и из (16) получим
Подчеркнем, что в этом случае фаза ФА сигнала совпадает со случаем непрозрачного слоя. Нетрудно заметить, что и здесь можно несколько упростить выражения (20) и (21), однако в этом нет необходимости, поскольку вид функции Д (щ) является весьма сложным и целесообразно провести оценки или расчеты для условий, соответствующих эксперименту.
Таким образом, получены необходимые выражения, описывающие особенности генерации ФА сигнала в сверхтекучем гелии с подложкой из теплового изолятора. Анализ полученных выражений для наиболее интересных случаев показал, что амплитуда и фаза ФА сигнала содержат информацию о теплофизических параметрах образца и газового слоя, а также об оптическом поглощении в сверхтекучем гелии. Следовательно, экспериментальная реализация рассмотренного случая может оказаться весьма информативной.
Таджикский национальный университет Поступило 12.03.2009 г.
(20)
(К —1)(1— )) + р1д2 (1 + К) ^( д21)]
(21)
2-|1/2 '
ЛИТЕРАТУРА
1. Rosencwaig A., Gersho A. - J. Арр1. Phys.,1976, V. 47, №1, р. 64-69.
2. Гусев В.Э., Карабутов А.А. Лазерная оптоакустика. - М.: Наука, 1991, 342 с.
3. Егерев С.В., Лямшев Л.М., Пученков О.В. - УФН, 1990,т.160,№9, с. 111-154.
4. Smith J.B., Laguna G.A. - Physics latters., 1976, v.A56, №3, р.323 - 342.
5. Pelzl J., Klein K., Nordhaus O. - Applied Optics, 1982, v.21, № 1, р.94 - 99.
6. Thijssen H.P.H. at.al. - Chem. Phys. Lett., 1984, v.111, №.1,2. р.11 - 18.
7. Салихов Т.Х., Одилов О.Ш. - ДАН РТ, 2005, т.48, №5-6, с.24-32.
8. Черникова Д.М. - ЖЭТФ, 1964, т.47, № 8, с.537-542.
9. Салихов Т.Х., Одилов О.Ш. - ДАН РТ, 2009, т.52, № 4.
10. Каганов М.И. и др. - ЖЭТФ, т. 39, №3, с.812-818.
11. Паттерман C. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. М.: Мир, 1978, 520 с.
Т.Х,.Салихов, О.Ш.Одилов СИГНАЛИ ФОТОАКУСТИКИИ ^ЕЛИИ АБАРШОРО БО ТАКЯГО^И ИЗОЛЯТОРИ ГАРМОЙ
Назарияи ангезиши сигнали фотакустикии х,елии абаршоро бо такягохд изолято-ри гармой пешних,од карда шудааст. Нишон дода шудааст, ки амплитуда ва фазаи сигнали фотоакустики дар бораи бузургих,ои гармофизикии намуна ва кдбати бугй маълу-мот медихднд.
T.Kh.Salikhov, O.Sh.Odilov PHOTOACOUSTIC SIGNAL OF THE SUPEFLUID HELIUM WITH THERMAL ISOLATOR SUBSTRATE
The theory generation of the photoacoustic signal by superfluid helium with thermal isolator substrate has been proposed. The shown that amplitude and phase of the PA signal have important information’s about thermophysics parameters of the sample and buffer gas.
