CC BY
11
поглотителя CaSnÜ3.
Мёссбауэровские спектры в пленках представляют собой одиночные уширенные линии (G = 1.15 -1.35 мм/с). Спектры в аморфной пленке имеют изомерный сдвиг IS = 2.06(3) мм/с, типичный для сдвигов спектров 119Sn соединений четырехвалентного олова с тетраэдрической системой химических связей Sn-IV. Спектры поликристаллических пленок имеют изомерные сдвиги IS = 3.53(4) мм/с, близкие к изомерному сдвигу спектра 119Sn соединения SnTe (IS = 3.55(4) мм/с), в котором реализуется октаэдрическая система химических связей.
Исходя из величин изомерных сдвигов спектров 119Sn, можно сделать вывод, что атомы олова и замещаемые ими атомы германия в структурной сетке аморфного Ge2Sb2Te5 образуют ¿р3-тетраэдрическую систему химических связей, причем атомы германия (олова) связаны только с атомами теллура. Уширение спектров 119Sn легированных аморфных материалов объясняется отсутствием в них дальнего порядка в расположении атомов, и является характерным свойством мессбауэровских спектров неупорядоченных структур. Близость изомерных сдвигов спектров 119Sn в поликристаллических пленках к изомерному сдвигу соединения SnTe объясняется тем, что их кристаллизация не приводит к изменению химической природы атомов в локальном окружении атомов германия (олова). Тот факт, что ширина спектров поликристаллических сплавов существенно больше аппаратурной ширины спектральной линии 119Sn, свидетельствует о том, в составе поликристаллических фаз олово образует не соединение SnTe (кристаллическая решетка типа NaCl), а входит в состав fcc и hcp фаз, для которых мёссбауэровские спектры уширяются за счет неразрешенного квадрупольного расщепления.
Список использованной литературы:
1. Яковлев С.А. Лазерно-индуцированная модификация поверхности тонких пленок Ge2Sb2Te5: фазовые изменения и формирование периодических структур [Текст] / С.А. Яковлев, А.В. Анкудинов, Ю.В. Воробьев, М.М. Воронов // Физика и техника полупроводников, 2018. - Том 52, Вып. 6. - 664-670.
2. Нгуен Х.Ф. Влияние висмута на оптические свойства тонких пленок Ge2Sb2Te5 [Текст] / Х.Ф. Нгуен, С.А. Козюхин, А.Б. Певцов // Физика и техника полупроводников, 2014. - Том 48, Вып. 5. - 597-603.
© Доронин В.А., Марченко А.В., Серегин П.П., Петрущин Ю.А., 2020
УДК 532.546
В.М. Юров
канд. физ.-мат. наук, доцент КарГУ им. Е.А. Букетова
г. Караганда, Казахстан С.А. Гученко докторант PhD, КарГУ им. Е.А. Букетова г. Караганда, Казахстан К.М. Маханов
канд. физ.-мат. наук, доцент КарГУ им. Е.А. Букетова
г. Караганда, Казахстан
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПЛАСТИНЫ С ДВИЖУЩЕЙСЯ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА ФАЗ
Аннотация
Развитая нами теория кристаллизации цилиндра конечных размеров относится к задачам с подвижной границей раздела фаз. Движение границы раздела фаз приводит к нелинейности системы уравнений, что и приводит к возникновению автоволн.
Ключевые слова
Задача Стефана, кристаллизация, подвижная граница фаз, цилиндр.
V.M. Yurov
Cand. Phys.-Math. Sciences, Associate Professor of KarSU E.A. Buketov
Karaganda, Kazakhstan S.A. Guchenko
PhD candidate, KarSU named after E.A. Buketov
Karaganda, Kazakhstan K.M. Makhanov
Cand. Phys.-Math. Sciences, Associate Professor of KarSU E.A. Buketov
Karaganda, Kazakhstan
TEMPERATURE FIELD OF A PLATE WITH A MOVING BOUNDARY OF THE PHASE SECTION
Annotation
The theory of crystallization of a cylinder of finite dimensions developed by us belongs to problems with a movable interface. The motion of the interface leads to nonlinearity of the system of equations, which leads to the appearance of autowaves.
Keywords
Stefan's problem, crystallization, mobile phase boundary, cylinder.
Введение. В процессе ионно-плазменного осаждения покрытий на подложке образуется расплав напыляемого вещества. Далее происходит затвердевание и образование собственно покрытия. Процесс кристаллизации расплава происходит при движении границы раздела фаз. В этом случае тепловое поле пластины нужно вычислять с учетом скорости движения этой границы. Такие задачи относятся к проблеме Стефана и не могут быть решены классическими методами теории теплопроводности [1-3]. По задаче Стефана, которая описывается множество явлений и процессов, связанных с фазовыми переходами, таких, как таяние льда, кристаллизация расплавов, сварка и другие, опубликовано множество работ, библиографию которых можно найти в диссертационных работах [4-8].
В настоящей работе мы опишем кристаллизацию конечных размеров при подвижной границе раздела фаз [9, 10], но с учетом последних вычислений.
Температурное поле пластины с движущейся границей раздела фаз.
Мы рассмотрим процесс затвердевания расплава осаждаемого вещества на подложке в форме диска, наиболее часто применяемой в экспериментах. В этом случае нестационарное уравнение теплопроводности в подвижной цилиндрической системе координат, движущейся по закону P(t), имеет вид:
дТ = А at
д2т 1 д ■+—
дт
г —
v дг л
(1)
йг г дг
где Д- коэффициент температуропроводности. Начальное и граничные условия выберем в общем виде:
т(г,м) и = ф(г,4 (2)
т(г,М) I .я =У(М), (3)
т^м) и =Ух (гД (4)
т(г,М ) )=у 2 (м ). (5)
Функции /3(), ффг, z), у(г, ^), ух(г, ^) и у2(г,^)будем считать непрерывными. Решение задачи ищем в
виде:
ад _
Т(г,М ) = £ Тк (м )10 (X окг)
k V ' / 0 V 0k / k=° , (6)
где °к - корни уравнения
1о М- )=о
1о (^сД) - ,
(7)
функция Бесселя нулевого порядка, удовлетворяющая уравнению:
г dr
^ окГ )"
+ 1о (^ окГ ) = 0
dг
__и
Тк (2,1 )=| Тк (г,)1о (X оГ )rdг
о
(8) (9)
Применяя интегральное преобразование (9) и учитывая (6) и (7), уравнение (8) приведем к виду:
1 аи, а 2и
к. 4- а,
к
к +Фк (2,1)-Ик (2,1)
а а а2
Используя замену Тк = Тке А1 и преобразуя аналогично граничные условия, получим следующую задачу:
1 ат а 2т ~ , ч —-L =-L + <Ф (2,1)
а а а22 ку 7 (11)
~к (М) к=о =~(2 ^ (12)
~к С2,1) 12=о = ~1(l), (13)
~ (м) |г=Р(1 )= ~ (4 (14)
в области А: (1 > о, о < 2 < Р(1)}.
Решение задачи (11)-(14)) ищем в виде суммы потенциалов I и II рода, а также двух потенциалов двойного слоя:
Тк ^ >=2Д! 1 -
1 г 2
4лМ [А(1 -х)]3
1 1 7 -[2-Р( х)]2
+ —Г 2-р(х) е 4А(1 -х)К (х)dх + ^^ 2е ^^^
44% 1 [А(1 - х)]3
Используя условия (12) - (14), получим систему интегральных уравнений:
(15)
=КАГ - 47% 1 [А^^-х) ^^ ~ (1) = КШ +1 РЮ-РЮе"^.(х^
^ 2А фУя1 [А(1 -х)]32 2
р2( х)
+ -Х - 4 ^ ^
47%1 [А(1 - х)]
1 1 2 о V^Ät J0 hVuÄ(t — x)
о 0
1 1 \ 1 I (( (£ т) [РЮ-^]2
~2(1)■ ™-2!;ф§г-" «-Ндат-Т) ••
Исключая из первого уравнения системы (16) и подставляя в следующее уравнение К ) , имеем:
(1) - КР+^ ^К2(т)ат+
+lÄif—^4Ä(t-) ~;(x)dx+
2Äj. ß(t) о [Ä(t -x)]
+ Ä f ß(t) e 4Ä(t-x) f ß(X1 ) e 4Ä(t-x)K (_ 4.
+ s^i [Ä(t-x)]3/2e [Ä(t-T1 )]3/2e K(Xl)dXl
Вводя обозначение
ß2(t) f x ß^ ) ß2(t) ^
dx.
TT t R/+N ß2(t)
и вычисляя интеграл в (17), получим
[ß(t)-ß( x) ]2
КШ'J ß(t)-ßWe-^K(x)dx +
2Ä 4ÄJ. [Ä(t - T)f2 2
+4QiJ ,Ä"-" K-(x)dx=q(tx
ß(t)2
Обозначая,
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
¿.ад - «a x) -¿м-Mx
-x2M Й
+ Ä(t-xre '
получаем интегральное уравнение
t
K2(t) - JK(t, x) K2(t, x) dx - f (t)
0
Интегральное уравнение (21) вольтеррово в С(0, £), тогда и только тогда, когда:
t
lim J K(t, x)dx- 0
о
Действительно, учитывая, что e <1 при z > 0, легко показать, что приведенное выше равенство выполняется. Тогда для уравнения (21) существует единственное решение, которое имеет вид:
ад
K2(t) -XK2,n(t)
n-0 , (22)
K2,0(t) - f(t)s
t
K2.i(t) -JK(t,T)K2,0(x)dT
0
—( '» )—:
I
^(1) = 1 ^1, х)K2Д(х)dх
0
1
^„(1) = 1 K(l, х)^^
причем ряд (22) сходится абсолютно и равномерно в топологии Г) . Тогда
А
^=^+_А%11А(Ш-]3,е 4А(1 -х) ¿х^
Выполняя обратное преобразование, окончательно имеем:
да , Г 1 1 (2-5)2
Т(г,м) = £До(X 1ёг){е-А1 ' 1 е 4А1 d1x ПЙ 2Ал/ % о
И11 (ХскИ) Г У(5, х)
X| 1 ф(г,§)1о(Х^ d^ + 1 dхf^-V4А(1-х^ +
I о J 2л/ %А о о л/1 -х
(23)
+ -
-Г-
Гд
4лМ [А(1 -х)]3'
!/21
4А(1-т)т
1 1
K1 (х)1х+:^ Ы
2 -Р(х)
4лМ [А(1 -х)]3
'/2
[2-Р(х)]2
е 4А(1-х) ^ (х)dх
(24)
Уравнение (24) поддается численному решению при заданных начальных и граничных условиях (12)-
(14).
Температурное поле круглой пластины при однородных граничных условиях. В этом случае задача (1-5) примет вид:
ат=а
а1
а2т 1 а
+— а22 г аг
г атЛ ч аг у
(25)
Т(г,2,1)|1=о = о;
т(г,2,1)|г=к=То = сс„81;
Т(г,2,1)|2=о=То = сс„81; Т(г,2,1)|2=р(1) = То = С0^1
где Т0 - значение температуры на поверхности цилиндра и на подвижной границе раздела сред. Тогда общее решение задачи примет вид:
(26)
да I
Т(г,2,1 )=£ Д„ (X с,г )|е-
^) ш ^
2^ %А о ол/1 -
х
X е-А1е 4А(1 -х)
^ 1
4л/%1 [А(1 -х)]32
е 4А(1-х)K(х)dх +
+ 1 [ 2-Р(х) е
+ ^ ГХЛ чт^
44% { [А(1 - х)]
Нам нужно вычислить интегралы:
[2-Р(х) ]2
4А(1-х)K (х^х
о
Р2(х)
2
2
А1
х
е =о
(2-5)
2
2
t H
T
(z-Ü2
I - JdxJ-^e^e-4Ä(t-x)
ix
0 0
t
I.-J
лЯ-x z
[Ä(t - x)]32
e-4Ä( t-x) K (x)dx,
(28)
(29)
1 „ олл М(т)]2
= 1 Ш—Н^е 4А(( Т'К2(т)^т.
о [А(1 -т)]' (30)
При больших временах измерения / интегралы /2 и /3 пренебрежимо малы и е ^ 1. Тогда задача сводится к вычислению интеграла ^ :
1 Ня,/К
ix
0 0
I - JdxJ^S^ e-Äxe-4Ä(t-x)d^ - T (x)dx.
t e-Äx
л/1 -т 0о т
г) в (31) сделаем замену переменных у — -
(31)
л/4 Д (t -x)
тогда получим:
I1 (т)^Л/4Ä(j"X)
J e y2dy - J e y2dy
(32)
z
z - H
z -
1 V4Ä(t - x). z2 V4Ä(t - x)
где
Интегралы в квадратных скобках представляют собой функцию:
eгfz = е-у2 ёу
Л/л 0 .
Используя формулу (33) и ее разложение в ряд, после несложных вычислений получим:
(33)
i;(x)-
ze
V 4Ä(t-x)
-(z - H )e
(z-H )2 V4Ä( t-x)
(34)
Подставляя (34) в (28), и вычисляя, получим:
I — 2/5 • и
7 . (35)
Ограничиваясь первым членом в сумме (27), для стационарной температуры имеем следующее выражение:
Т„Я_ (2гЛ
T(r,z)-T^I
■sjnz
v r у
(36)
При получении (36) мы учли, что из уравнения /0 (\кг) — 0 следует 2г/Я и / (2) — 1. Радиальная и осевая составляющие градиента температуры, учитывая (36), будут равны:
f
ör z V R у
z
0
z
z
0
0
2
z
ST
Sz
RT f 2гл
-2 0 R
Vrcz2
V R У
(38)
Мы измеряли многократно микротвердость через 0,5 мм на электронном микротвердомере HVS-1000А. Результаты показаны на рис. 1.
Рисунок1 - Автоволны в покрытии РеСг№Т12гСи (а) и Сг№Т12гСи (б)
В обоих случаях наблюдается квазипериодическая структура, т.е. волновой процесс. Из рис. 1 видно, что длина волны составляет порядка 10-4 м, т.е. скорость массопереноса составляет ~ 10-4 м/с. Поскольку
V ~ а/О / 1, то для коэффициента диффузии получаем оценку Б ~ 10-8 м2/с. Это отвечает режиму малой диффузии. Если обратиться к уравнениям (37) и (38), то видно, что оба уравнения, содержащие функции Бесселя 1о(2г/Я) и 1:(2г/Я), показывают волновой характер затвердевания покрытия (рис. 2 б).
а) б)
Рисунок 2 - Распределения локальных удлинений на FeSi (а) [11], графики функций Бесселя (б)
Заключение.
Осаждение покрытий в плазме представляет собой термодинамически неравновесный процесс в открытой системе. Нелинейность уравнений возникает из-за движения границы раздела фаз и малой диффузии поверхностных атомов. В этом случае возникает автоволновой процесс. Полученные нами экспериментальные и теоретические результаты укладываются в модель макроскопической локализации пластического течения.
Развитая нами теория кристаллизации цилиндра конечных размеров относится к задачам с подвижной границей раздела фаз. Движение границы раздела фаз приводит к нелинейности системы уравнений, что и приводит к возникновению автоволн.
Работа выполнена по программе МОН РК. Гранты №0118РК000063 и №Ф.0781. Список использованной литературы:
1. Мейрманов А.М. Задача Стефана. - Новосибирск: Наука, 1986. - 239 с.
2. Рубцов Н.А., Слепцов С.Д. Задача Стефана в полупрозрачной среде при разных поглощательных
способностях границ // Современная наука, 2010, №1(3). - С. 144-149.
3. Gupta S.C. The Classical Stefan Problem. Basic Concepts, Modelling and Analysis with Quasi-Analytical Solutions and Methods. - Elsevie, Typeset by SPi Global, India, 2018. - 732 p.
4. Слепцов С.Д. Однофазная задача Стефана в слое полупрозрачной среды. - Диссер. кандидата физ.-мат. наук, Новосибирск, 2006. - 89 с.
5. Колесникова Е.А. Температурное условие адгезии и определение температурных полей в системе «капля-подложка». - Диссер. кандидата физ.-мат. наук, Томск, 2014. - 116 с.
6. Супельняк М.И. Исследование циклических процессов теплопроводности и термоупругости в термическом слое твердого тела сложной формы. - Диссер. кандидата технических наук, Калуга, 2015. - 249 с.
7. Иванова А.А. Прогнозное моделирование тепловых процессов при непрерывной разливке металлов. -Диссер. доктора технических наук, Донецк, 2018. - 327 с.
8. Арутюнян Р.В. Моделирование и оптимизация тепло- и электропереноса с учетом фазовых переходов на основе новых классов интегральных уравнений и метода сквозного счета. - Диссер. доктора технических наук, Москва, 2020. - 208 с.
9. Юров В.М., Кукетаев Т.А. Кристаллизация цилиндра конечных размеров // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1982, № 6485-82 Деп.
10.Юров В.М., Ещанов А.Н., Кукетаев Т.А. Кристаллизация цилиндра конечных размеров при периодических граничных условиях // Вестник ПГУ, 2005, №1. С.28-31.
11.Зуев Л.Б. Данилов В.И., Баранникова С.А. Физика макролокализации пластического течения. -Новосибирск: Наука, 2008. - 328 с.
© Юров В.М., Гученко С.А., Маханов К.М., 2020
