Коррозия и проблемма Стефана Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОРРОЗИЯ И ПРОБЛЕММА СТЕФАНА

Юров В.М.

кандидат физ.-мат. наук, доцент Карагандинский государственный университет имени Е.А. Букетова,

Казахстан, Караганда Платонова Е.С.

докторант PhD, старший преподаватель кафедры «Нанотехнологий и металлургии» Карагандинский государственный технический университет, Караганда, Казахстан

Гученко С.А.

докторант PhD, Карагандинский государственный университет имени Е.А. Букетова,

Казахстан, Караганда

CORROSION AND STEPHAN'S PROBLEM

Yurov V.

Candidate of phys.-mat. sciences, associate professor Karaganda State University named after EA. Buketov, Kazakhstan, Karaganda

Platonova E.

PhD student, Senior Lecturer, Department of Nanotechnology and Metallurgy Karaganda State Technical University, Karaganda, Kazakhstan

Guchenko S.

PhD student, Karaganda State University named after EA. Buketov,

Kazakhstan, Karaganda

АННОТАЦИЯ

Коррозию металла можно представить как зарождение и рост новой фазы (окисленного металла), то есть привести ее задачу к проблеме Стефана. Для цилиндра конечных размеров нам удалость подобрать интегральное преобразование и получить аналитическое решение проблемы Стефана. Даже если мы поддерживаем изотермические условия на стенках металлического цилиндра, все равно мы не можем избавиться от вредного влияния градиентов концентраций. Итак, нужно сделать важный вывод, что движение с подвижной границей раздела фаз приводит к автоволновому процессу.

ABSTRACT

Corrosion of a metal can be represented as the nucleation and growth of a new phase (oxidized metal), that is, to bring its task to the Stefan problem. For a cylinder of finite dimensions, we need to select the integral transformation and obtain an analytical solution to the Stefan problem. Even if we maintain isothermal conditions on the walls of a metal cylinder, we still cannot get rid of the harmful effects of concentration gradients. So, we need to make an important conclusion that movement with a moving phase boundary leads to an autowave process.

Ключевые слова: коррозия, новая фаза, проблема Стефана, коэффициент диффузии, автоволна.

Keywords: corrosion, new phase, Stefan problem, diffusion coefficient, autowave.

Введение. Коррозионные процессы различают по [1]:

I. Механизму реакций взаимодействия металла со средой.

II. Виду агрессивной среды.

III. Виду (геометрическому характеру) коррозионных разрушений на поверхности или в объеме металла.

IV. Характеру дополнительных воздействий, которым подвергается металл одновременно с действием коррозионной среды.

Несмотря на это работы в области теории коррозии продолжают расти с ростом различных типов конструкционных металлических материалов, применяемых в различных областях промышленного производства.

В самом общем случае, коррозию металла можно представить, как зарождение и рост новой фазы (окисленного металла), то есть привести ее задачу к вопросу о таяние льда (проблема Стефана). С математической точки зрения краевые задачи такого типа принципиально отличны от классических

задач теплопроводности [2]. Вследствие зависимости размера области переноса потока от времени к этому типу задач неприменимы классические методы разделения переменных и интегральных преобразований Фурье, так как, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удаётся согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы раз дела фаз. Всякие попытки получить аналитическим путём точное решение краевой задачи обобщённого типа в области с границей, движущейся по произвольному закону, приводили к системе интегральных уравнений Вольтера II рода, разрешить которую не удавалось вследствие сложности ядер уравнения системы. Самый последний обзор проблемы Стефана можно найти в монографии (Gupta S.C.) [3].

Для цилиндра конечных размеров нам уда-лость подобрать интегральное преобразование и получить аналитическое решение проблемы Стефана [4, 5]. Поскольку математически процессы теплопроводности эквиваленты процессам диффу-

8аепсе8 of Бигоре # 45, (2019)

49

зии, то можно заменить температуру Т на коэффи- размеров из раствора с подвижной границей раз-

циент диффузии Б. Именно такой подход исполь- дела фаз. Нестационарное уравнение диффузии,

зован нами в настоящей работе при обсуждении описывающее процесс роста из раствора в подвиж-

теоретических аспектов коррозии металла. ной цилиндрической системе координат, движу-

Общее аналитическое решение. Мы рассмот- щейся по закону Р(1), имеет вид: рим задачу о кристаллизации цилиндра конечных

5и

= А

5 2и 1 д_

5г2 г 5г

г

V

5и 5г

где Д- коэффициент диффузии.

Начальное и граничные условия выберем в общем виде:

и(г, г,1) |(=0 =ф(г, г), И(г, г, 1 )и — у(г, 1), и(г,г,1) |2=о =У1 (г,1), и(г,г,1 ^ )—у 2 (г,1).

Функции (3(1), ф(г, z), у^, 1), У} (г, 1) И у2 (г, 1) будем считать непрерывными. Решение

ад

и(г,г,1 )=£ Йк (г,1 )1о (^г )

дачи ищем в виде:

к=о

где - корни уравнения

1о )= 0

и 10 Я) - функция Бесселя нулевого порядка, удовлетворяющая уравнению:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

за-

(6) (7)

1А

г

Л (^ )"

аг

+1о (М )=о

л

Пк (г,1 )—{ П (г,г,1 )1о (V >аг.

(8) (9)

Применяя интегральное преобразование (9) и учитывая (6) и (7), уравнение (1) приведем к виду:

1 5йк 5 2Пк , л - , л

А "а1+Ф(м)" П(м)

(10)

Используя замену и^ — ик 6 Д и преобразуя аналогично граничные условия, получим следую-

щую задачу:

1 5Ик 52Ик ~ < л

——к —-Л + ФДгЛ),

А 51 5г2 ^ , }

И (г, 1) |1—о— ф(г) ик (г,1) | г—о — (1),

Пк (г,1 )|г—Р(,)— ~2 (1),

(11)

(12)

(13)

в области Д: (1 > 0, 0 < z < Р(1}).

< z <|

Решение задачи (11) -(14)) ищем в виде суммы потенциалов I и II рода, а также двух потенциалов двойного слоя:

г

о

UЬ 2ДiSе^Ч*^ -+

1 * Z —Z2-^/щг^^Ki(T)dx +

4л/л J [A(t - x)]3

i t R/_\ jZ-P( x) ]2

W Z -P(X) e 4A( t-x) K (x)dx

xJ.MTT^^ K2(x)dx-

,__I . ч У p, 4A(t-x) -

+ /— I TTT^ ^¡37^ K2(

4.Ы [А(1 -т)]3'

Используя условия (13), (14), получим систему интегральных уравнений:

(15)

™ " Kf - 4к i KRT4A1"lK2(x)dx,

/2

I /\ I г T I I

[P(t)-P( x) ]2

~2(t) = i K2(x)dx +

2A 4л/л о [A(t -x)]3 2 2

^f__e-4A(t-)x)K (x)dx

./^[Aft-rtf^ Kl(x)dx

(16)

4^ ¿о [А(1 - т)]3

где Ш = ~(*)-1 [-тЗ^е-41^- Г ёт • е-4А(Т-Т)^;

1 2¿^/Ж * о Щ^А(1 -т) *

Исключая из первого уравнения системы (16) и подставляя в следующее уравнение К^ (1), имеем:

~2 (0=| Р(;)-^(^е-^ ^(т)^ 2А [А(1 -т)]3 2

Р2Ю

4А(1-т)

+! рйг^ №)dx+

A \ P(t)

i2rt) f. \ p2(t) л

p2(t)

x

P(xi)

if e-4A(t-x) f PVl1) e-4A(t-x) K (T)JT

+ Ша ^132e JU^ M32e K2 (xi )dxi

dx.

___l) Q 4A(t-x)-|

8л о [A(t -x)]3/2e [A(t-xi)]3 , (n)

Вводя обозначение

Л t (3i+\ __

4A(t-x)

q(t) ■ - ^ n^-V^4 A,M)dx

(18)

и вычисляя интеграл в (17), получим

K4fi + ' i Р(,) -P(;)e-^2(x)dx+

2A 4л/л J [A(t - x)] 2W

1 t o/^ - p(t)2

V Jr- P(t)i3/2e 4A(t-x)K2(x)dx = q(t). 4л/л J [A(t -x)]3 2 2W HW

Обозначая,

x = f(t) = 2Äq(t),K(t,t)= 4ßffl"ß.(T)x

2Д1

2 [ß(t)-ß(T)]2

я (t -t)3/2

x e (t-T) +

X ß(t)

ä(t — t)32

2 ßOT

(t—T)

получаем интегральное уравнение

i

K2(t) — J K(t, T)K2(t, T)dT = f(t)

0

Интегральное уравнение (21) вольтеррово в C(0, i) , тогда и только тогда, когда:

t

lim J K(t, T)dT = 0

(20)

(21)

t^o

Действительно, учитывая, что е ^ < 1 при z > 0, легко показать, что приведенное выше равенство выполняется. Тогда для уравнения (21) существует единственное решение, которое имеет вид:

K2(t) = 1 K2,n(t)

n=0

K2,o(t) = f(t) , '

t

KJt) = J K(t, t)K2,o(t)dt,

0 t

K„(t) = J K(t , t)K2, x(t)dt,

0

t

K2,n(t) = J K(t, T)K2,n—x(T)dT

0

причем (22) сходится абсолютно и равномерно в топологии C(0, i) . Тогда

Kx(t) = 2Ä~1(t) + ^J ß(t) - 4Ä(t—T)

(22)

1-ЗГ- 13/2-e 4Ä(t—T)SK„(T)dT

2ы Я 0 [Ä(t — t)]3 n=0 'n

Выполняя обратное преобразование, окончательно имеем:

U(r,z,t )=£ J0 (Xser ){e—Ät

e=0

1

M)2

J e 4Ät dtx

0

_z_e—^K (TW + _^f z — ß(T) e—[(T)dT

4ÄJ [Ä(t — T)fe Kl (T)dT + 4ÄJ [Ä(t — T)]32e K2 (T)dT

2ÄVtc 0

Rii M-)\tW f Y(^,T) —ä

(z—^)2

x I Jtfr,S)I0(V)rdr ds+^^RJ«hp^V4Ä"—T)d5 + V 0 у 2V яÄ 0 Wt — t

.(24)

Таким образом, получено аналитическое решение задачи о кристаллизации цилиндра конечных размеров. Уравнение (24) поддается численному решению при заданных начальных и граничных условиях (2)-(5).

Однородные граничные условия. В этом случае задача примет вид:

дС dt

= Ä

а2с i д_

dz2 r dr

Г

r

ас

dr

v dr у

(25)

e

0

i

>

C(r,z,t)L = 0; C(r,z,t) |r=R = C0 = const; C(r, z, t) |z=o = Co = const;

C(r,Z,t)|z=P(t) = C0 = COnSt

(26)

где N0 - значение концентрации растворенного вещества на поверхности цилиндра и на подвижной границе раздела сред.

Найденные нами интегральные преобразования позволили свести задачу (25)-(26) к уравнениям Вольтера II рода в банаховом пространстве.

Тогда общее решение задачи примет вид:

ад

C(r,z,t )=Z Io (^r }

1 t

e=0

-At

_RI1 oeR) bJ N1

T J J

x e-Ate 4A(t-x)

^TTT J

z

00

z2

4A(t-x)

л/Т

x

J [A(t - x)]3

e 4A(t-x)K(x)dx +

1 f z-P(x)

J

4л/^ J0 [A(t - x)]3

Нам нужно вычислить интегралы:

/2

[z-P( x) ]2

4A(t-x)K2 (x)dx

i H

I1 =J dxJ

N

(z-^)2

I2=J

0 л/t-x

z

0 e-Axe - 4A(t-x)

[A(t -x)]3'2

e- ,A|M| K, (x)dx,

I3 = J

z - P(x) о [^t-x)

J [A(t -x)]3 2

e 4A|t-x) K(x)dx.

(27)

(28)

(29)

(30)

При больших временах измерения 1 интегралы I и I пренебрежимо малы и е Д' —> 1. Тогда

задача сводится к вычислению интеграла I ^:

■У& X) х

t н,

2

I — } ах/^м е-V 4А(1—х)^—N }

о о лД — X о

Чтобы вычислить I (х) в (31) сделаем замену переменных у —

т; (х)—д/4А(Г—X)

1 e-Ax

0 л/t-x

z

I (x)dx.

(31)

л/4Д|Г-r) Je-y2dy - Je-y2dy

тогда получим:

(32)

где

z

z - H

zi =

л/4Д (1 — х), Z2 74Д(1 — х)

тавляют собой функцию

ег& — }е—у2ёу

л/Л о

Интегралы в квадратных скобках представляют собой функцию:

2

Используя формулу (33) и ее разложение в ряд, после несложных вычислений получим:

>

>

2

z

0

0

Ч(т)=

ze

^4А(1-т)

Подставляя (34) в (31), и вычисляя, получим:

(z - H У

I. = 2/5 • ц

(z-H )2 л/4А(1-т)

(34)

Z . (35)

Ограничиваясь первым членом в сумме (27), для стационарной концентрации имеем следующее выражение:

КЯ. (2гЛ

) =

л/л^

\

V Я у

(36)

При получении (36) мы учли, что из уравнения 10 Г) = 0 следует = 2г/Я и I (2) = 1. Радиальная и осевая составляющие градиента концентрации, учитывая (36), будут равны:

(2гЛ

аг = - ^

Z V П V я У

ЯЙ0

Г~ 2 "0

Я 2г

V Я у

(37)

(38)

Полученные частные решения с точностью до постоянного множителя совпадают с решениями, полученными в работе [2]. Это подтверждает правильность общего аналитического решения рассмотренной нами задачи.

Коррозионная стойкость. Коррозия определяется концентрацией диффундирующих молекул (например, кислорода). Графики функций Бесселя !о и II показаны на рис. 1.

Рисунок 1. График функции Бесселя I0 и ¡¡.

В обоих случаях графики представляют собой осциллирующие функции. Иными словами, даже если мы поддерживаем изотермические условия на стенках металлического цилиндра, все равно мы не можем избавиться от вредного влияния градиентов концентраций. Из уравнения (38) вытекает:

ЯК . (2гЛ

z2 =

Я

= А •т,

(39)

V Я у

где ъ - толщина диффузионного слоя, Д - коэффициент диффузии, т - продолжительность процесса [2]. Уравнение (39) с точностью 0,95 выполнятся во всех случаях.

Итак, нужно сделать важный вывод, что движение с подвижной границей раздела фаз приводит к автоволновому процессу. Сами термины «автоволновой процесс», «автоволна» (АВ) были предложены Р.В. Хохловым, хотя теория автоволн была начата математиками - работы Р. Фишера (1937), А.Н. Колмогорова, Г.И. Петровского и И.С. Писку-нова (1937), Н. Винера и А. Розенблюта (1946), А. Тьюринга (1952) - задолго до их экспериментального открытия [6]. В последующем теория АВП стала неотъемлемой частью теории самоорганизации или синергетики [7-9].

z

Таким образом, автоволна - один из результатов самоорганизации в термодинамически активных неравновесных системах. Это самоподдерживающийся волновой процесс, существующий в нелинейных средах, содержащих распределённые источники энергии. Период, длина волны, скорость распространения, амплитуда и другие характеристики автоволны определяются исключительно локальными свойствами среды.

Кроме движения фронта горения к автоволновым процессам относятся колебательные химические реакции в активных средах, распространение импульса возбуждения по нервному волокну, волны химической сигнализации в колониях некоторых микроорганизмов, автоволны в сегнетоэлек-трических и полупроводниковых плёнках, популя-ционные автоволны, распространение эпидемий и многие другие явления [10-17].

Такое многообразие АВП приводит к многообразию механизмов их возникновения, которые не всегда понятны и не всегда описываются простыми математическими моделями. Так дело обстоит со многими АВП в конденсированных средах и системах (включая и процесс коррозии).

Заключение. Уравнения (38) и (39) определяют коррозионную стойкость материала. Сделанный в работе вывод, что движение с подвижной границей раздела фаз приводит к автоволновому процессу, определяет процесс коррозии как синер-гетический процесс.

Благодарность

Работа выполнена при финансовой поддержке МОН РК. Гранты №0118РК000063 и №Ф.0781.

Литература

1. Азаренков Н.А., Литовченко С.В., Неклюдов И.М., Стоев П.И. Коррозия и защита металлов. Часть 1. Химическая коррозия металлов. - Харьков, 2007. - 187 с.

2. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. - М.: Наука, 1975. - 266 с.

3. Gupta S.C. The Classical Stefan Problem. Basic Concepts, Modelling and Analysis with Quasi-Analytical Solutions and Methods. - Elsevie, Typeset by SPi Global, India, 2018. - 732 p.

4. Юров В.М., Кукетаев Т.А. Кристаллизация цилиндра конечных размеров // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1982, № 6485-82 Деп.

5. Юров В.М., Ещанов А.Н., Кукетаев Т.А. Кристаллизация цилиндра конечных размеров при периодических граничных условиях // Вестник ПГУ, 2005, №1. С.28-31.

6. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно

B.Г. Автоволновые процессы. - М.: Наука, 1987. -240 с.

7. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. -М.: Мир, 1991. - 240 с.

8. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильто-новых системах. - Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований. 2004. - 288 с

9. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Шиман-ский-Гайер Л. Динамическое и статистическое описание колебательных систем. - Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований. 2005. - 156 с.

10. Герасев А.П. Неравновесная термодинамика автоволновых процессов в слое катализатора // УФН, 2004, Том 174, №10. - С. 1061-1087.

11. Елькин Ю.Е. Автоволновые процессы // Математическая биология и биоинформатика, 2006, том 1, №1. - С. 27-40.

12. Хищенко К.В., Ткаченко С.И., Левашов П.Р. О волне плавления в металле при быстром нагреве мощным импульсом тока // Письма в ЖТФ, 2006, том 32, вып. 3. - С. 67-74.

13. Зуев Л.Б. Данилов В.И., Баранникова С.А. Физика макролокализации пластического течения.

- Новосибирск: Наука. 2008. 328 с.

14. Майер Р.В. Компьютерное моделирование автоволновых процессов // Потенциал, 2009, № 07 (55). - С. 42-49.

15. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. - М.: Физматлит. 2010.

- 395 c.

16. Хабибуллин И.Л., Назмутдинов Ф.Ф., Габ-залилов А.Ф. Автоволновой режим нагрева диэлектрических сред электромагнитным излучением // Теплофизика и аэромеханика, 2010, том 17, № 2. -

C. 229-236.

17. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в кольцевой нейронной цепи с однонаправленной связью // Моделирование и анализ информационных систем, 2015, Т.22, №3-С. 404-419.