Модель работы кожухотрубного аккумулятора теплоты фазового перехода на основе решения задачи Стефана Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 697.32

МОДЕЛЬ РАБОТЫ КОЖУХОТРУБНОГО АККУМУЛЯТОРА ТЕПЛОТЫ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

В.В. Остапенко,А.В. Лукьянов,В.В.Дремов

С учетом ряда допущенийрешена задача нестационарной теплопроводности для полого цилиндра. С помощью условия Стефана математически описан процесс роста кристаллического тела во времени. Разработана методика определения размеров твердого тела цилиндра в зависимости от времени, предложена методика прогнозирования динамики изменения температуры теплоаккумулирующего материала (ТАМ) на изотерме заданного радиуса

Ключевые слова: теплоаккумулятор, теплоаккумулирующий материал, фазовый переход

:В настоящее время существующие методики теплового и конструктивного расчетов аккумуляторов теплоты фазового перехода (АТФП) кожухотрубного типа довольно сложны для исчисления, так как в большинстве основываются на использовании рядов Бесселя.Исходя из этого, была поставлена задачаразработатьпрактичную

математическую модель расчета рабочего процесса аккумулятора и нахождения значений конструктивных показателей, определяющих работу аккумулятора.

В данной работе рассматривается кожухотрубный АТФП, в котором межтрубное пространство заполняется аккумулирующим материалом, подвод и отвод теплоты производится теплоносителем системы теплоснабжения через поверхности теплообмена в виде горизонтально расположенного пучка труб.

В качестве расчетного принят процесс отбора тепла от теплоаккумулирующего материала (ТАМ). Однако задача является обратимой, и может быть использована для случая зарядки аккумулятора путем замены теплофизических показателей твердой фазына соответствующие жидкой.

С целью упрощения описания рабочего процесса аккумулятора, задача сведена к рассмотрению единичного стержня (теплообменной трубки). Таким образом, рассмотрение процесса изменения температурного поля

кристаллизующегося ТАМ преобразуется в нахождение распределения температур в любой момент времени для полого цилиндра. Поставленная задача является симметричной относительно оси кристаллизации - теплообменной трубки.

Для определения границ рассматриваемого температурного поля получена формула определения диаметра закристаллизовавшегося ТАМ, которая учитывает влияние режима движения теплоносителя на температуру стенки

Остапенко ВиталийВалериевич - ДонНАСА, аспирант,тел. +38(095)388-73-65, e-mail: vitalblaze@mail.ru ЛукьяновАлександрВасильевич - ДонНАСА, д-р техн.наук, профессор, тел. +38(050)608-63-58 Дремов Владимир Владимирович - ДонНАСА, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. +38(0622) 90-15-02

теплообменной трубки, и соответственно температуру теплоносителя на выходе из аккумулятора

21 (Т -Т)

24 кр 1'

, , ШЖ41ж (Тх-Тж) (1)

а-в ж 1 ж .

где а0 -диаметр канала для теплоносителя,

внутренний диаметр цилиндра;

а -наружный диаметр закристаллизовавшегося

ТАМ;

1 -коэффициент теплопроводности ТАМ в

твердой фазе;

1ж - коэффициент теплопроводности

теплоносителя при тж;

тж -средняя температура теплоносителя;

ткр -температура кристаллизации ТАМ;

Т1-температура внутренней стенки

теплообменной трубки;

- число Нуссельта, определяемое для потока жидкости.

Все рассматриваемые величины приводятся в системе СИ.

Как видно из формулы (1), каждому значению температурыстенки теплообменной трубки т1 будет

соответствовать определенный диаметр

закристаллизовавшегося ТАМ в форме цилиндра. В условиях увеличения диаметра

закристаллизовавшегося в твердой фазе ТАМ, происходит падение температуры стенки т®тж.

Таким образом, возникает такая величина а , при которой отбор тепла становиться

нецелесообразным, т.к. а ® о .

Математически определить минимальное значение температуры стенки Т1 функций а(Т1) и

а(т1) не представляется возможным, т.к. функции

не имеют экстремумов, и являются бесконечно убывающими. В таких условиях, определение минимального температурного напора

(минимальной Т1 ) становиться индивидуальным

выбором конструктора АТФП.

Диаметр dкр закристаллизовавшегося ТАМ

вокруг цилиндрической трубки также определяет шаг расположения теплообменных трубок в трубной решетке.

Используя уравнение (1), проведен анализ влияния различных параметров на конструктив аккумулятора. Построен график зависимости d(тр с

использованием парафина Т-3 (т =540С.) в

качестве

ТАМ

кр

теплоносителя

водыстемпературой на входе в аккумулятор 35 С и температурой на выходе 450С, со =0,1м/сдля теплообменных труб различного диаметра.

Рис.1. График зависимости температуры стенки теплообменной трубки от роста диаметра закристаллизовавшегося ТАМ

Как видно из рис.1, рост диаметра закристаллизовавшегося ТАМ вокруг

теплообменной трубки пропорционален увеличению диаметра при неизменности остальных переменных. Таким образом, с увеличением диаметра возможно достичь роста тепловой мощности аккумулятора, и его производительности. Однако, при определенной температуре эффект от увеличения диаметрападает, происходит сближение кривых. В приведенном случае это наблюдается в области температуры стенки равной 440С, при градиенте40С. Если обратить внимание на искривление графиков для различных диаметров, то можно сделать вывод, что оптимальное значение dкрв данном примере находится в области значения 2d0.

Уравнение (1) также позволяет анализировать влияние скорости теплоносителя на условия работы аккумулятора. Построим для трубки ё=14мм. график зависимости d (т1) с использованием

парафина Т-3 в качестве ТАМ и теплоносителя -

воды с температурой на входе в аккумулятор 35 С и температурой на выходе 450С, при скоростях потока со =0,1 м/с (вязкостно-гравитационный режим); 0,3м/с (переходной режим); 0,8м/с (турбулентный режим).

Рис. 2. График зависимости температуры стенки теплообменной трубки от роста диаметра закристаллизовавшегося ТАМ при различных режимах течения теплоносителя

На рис.2 видно, что увеличение скорости потока теплоносителя не приводит к интенсификации процесса теплообмена, а напротив снижает температуру стенки, при этом уменьшая температурный напор. В областях турбулентного и переходного режимов при небольшом приращении диаметра закристаллизовавшегося ТАМ, происходит значительное снижение температуры. Это объясняется низкими теплофизическими свойствами кристаллизующегосяТАМ. Таким образом, по заданному значению dи минимальному температурномунапорувозможно спрогнозировать свойства необходимого ТАМ для аккумулятора при ограничении геометрических размеров АТФП в стесненных условиях, или необходимости увеличения тепловой мощности существующего аккумулятора.

Процесс отбора теплоты от аккумулятора (разрядка) протекает с постоянным изменением значений температур теплоносителя и перераспределения температурного поля внутри кристаллизующегося ТАМ во времени. Для описания работы АТФП установлена зависимость, по которой происходит изменение параметров температурного поля. Для этого решена задача нестационарной теплопроводности для

бесконечного полого цилиндра (см. рис.3).

и

Т.к. теплоемкость расплавленного ТАМ довольно низка, при рассмотрении задачи принят нагрев ТАМ до температуры фазового перехода без его дальнейшего перегрева. Т.е. в начальный момент времени температура в расчетной области кристаллизации принимается равномерной и равной ткр. За предельное расчетное значение роста

закристаллизовавшегося ТАМ в форме цилиндра принято значение с1=2Я.

Рис. 3. Температурное поле полого цилиндра в условиях кристаллизации ТАМ

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности для цилиндра запишется в виде [5,6]

2

эг(г,г) ЭТ (г, т) 1 дТ(г, г) = а(--— +----),

Эг

Эг

2

Эг

(2)

(г > 0; R0 < г < R),

где a - коэффициент температуропроводности; t - время.

Граничные условия приняты следующие: T (г, 0) = Т2 = Тр = const, (3)

T (R, г) = T2 = Тр = const, (4)

T (R0,t) = T = const. (5)

Преобразуя уравнение (2), получена функция T (г) распределение температуры в полом цилиндрев стационарном состоянии. Она определяет распределение температур как в жидкой фазе, так и в твердой.

R г

T in- + T ln — R

T (г) =•

г

in

R R

(6)

Для нахождения T(г,t)=T(г)f (г),

использован вариационный принцип локального

потенциала [1,2]. Решение поставленной задачи найдено путем определения

функции,минимизирующую функционал,

записанный на основании уравнения (2):

Я г,

L = [ [ (Г2 - - T° ■ T + - T0 • T)dvdt,

J J I- п

n2 т-,0

г

2

(7)

ЭГ (г, г)

= T;

ЭГ2 (г, г)

= T ;

ЭГ (г, г)

= T.

Эт Эг2 гг Эг г (8)

т-10 т-10

где тг , тт - неварьируемые производные от

температуры.

В результате решение определено в виде функции (9)

Я г

Т 1п— + Т 1п—

T (г, г) = ■

R,

R

in — R„

0 г

• е С

(9)

где:

Л = T-TL (1 -±);

in2 R R R0) R

(10)

1 1

B = (T^in ^ + ---) +

in2 R 1 R R R R

R0

+T2(-in R - — + -)); R R0 R0 R

1 R

С =-- T (R0 (in — + 1)2 + R0 - 2R)

(11)

in2

R

R

R

+2Т1Т2(1п-^(Я + Я) - 2Я0 + 2Я) + (12)

Я

Я

+г22(-Я(1п--1)2 + 2Я0 - Я)).

Я0

Уравнение (9) справедливо для однофазного состояния аккумулирующего материала, и может быть использовано в нашем случае для нахождения температур только в закристаллизовавшемся цилиндре радиуса Я. Для нахождения динамики изменения температуры по фиксированному радиусу г, необходимо учесть нарастание твердой фазы во времени.

Движение фронта кристаллизации во времени "рис.3" найдено из условия Стефана[2,7,8], выразив баланс энергий при переходе из одного агрегатного состояния в другое:

„ ЭT(г, г) Эг

l-= V2—,

Эг Эг

где L2 - теплота кристаллизации ТАМ;

R T.

r

г

г

рг - плотность ТАМ в твердой фазе.

Преобразуя уравнение (13) с учетом (9), получено уравнение движения фронта кристаллизации Гф в зависимости от времени:

R

гф =

Ф

a( A-B )

2(Г2 -T)

с2 • C(1 - e

R

L2ln — ( A - B) 2R

1 + R.'.

(14)

Используя уравнение (14) построен график движения фронта кристаллизации для теплообменных трубок различных диаметров, учитывая акр=2а0:

Рис.4. График роста тела

закристаллизовавшегося парафина Т-3 во времени для теплообменных труб различного сечения при 7\=46,5°С

Рис.4 показывает динамику кристаллизации ТАМ вокруг теплообменных труб аккумулятора. Как видно, процесс для трубок различного диаметра протекает практически без существенных отличий по времени. Следует отметить значительную роль температуры стенки Т на угол наклона кривой. При уменьшении значения Т происходит сокращение времени процесса. Поэтому усреднение температуры стенки не рекомендуется проводить при большом диапазоне ее колебаний во время процесса работы, так как это может привести к значительной погрешности.

Преобразовав (14) относительно Т , получено уравнение зависимости времени, за которое фронт достигнет координаты Гф:

С

L ln (A - В)(Гф - Ro)

R (15)

• ln(1 --0-). ' '

a( A - B) 2с С(Гг - T)

Положив в уравнении (15) Гф :

R,

можем

определить полное время разрядки аккумулятора, т.е.

R

С

t = -

разр.

^2 1п (А - Б)(Л - Л)

Я (16)

-. ]П(1 --0-). ^ ^

а( А - Б) 2с С(Тг - Т)

Учитывая Я = Гф в уравнении (9), можно

построить график изменения температуры на произвольной изотерме радиусом Гво времени:

Рис.5. График изменения температуры на изотерме г=0,01м. при кристаллизации парафина Т-3 вокруг теплообменной трубки ^0=14мм. при Г;=46,5°С

Рис.5 отображает динамику изменения температур на изотерме с зафиксированным радиусом (неподвижная точка) во времени. Как и в случае температуры стенки на "рис.1" здесь наблюдается падение температуры за счет увеличения радиуса твердой фазы, что в свою очередь ведет к увеличению сопротивления теплопередаче. Стоит заметить, что уравнение (11) справедливо только для однофазной среды, поэтому для диапазона г>гф, следует полагатьТ=Ткр, т.к. в данном диапазоне фиксированная точка находится в среде расплава.

Таким образом, разработана математическая модель кристаллизации бесконечного полого цилиндра при его охлаждении теплоносителем

=-

т

C

системы теплоснабжения. Учитывая ряд допущений, решена задача нестационарной теплопроводности для полого цилиндра. Используя условие Стефана, математически описан процесс роста кристаллического тела во времени. На основании модели построено графическое отображение температурного поля в сечении закристаллизовавшегося ТАМ; разработана методика определения размеров твердого тела цилиндра в зависимости от времени, методика прогнозирования динамики изменения температуры ТАМ на изотерме заданного радиуса.Показана зависимость температуры стенки теплообменной трубки от величины тела закристаллизовавшегося цилиндра. Такая зависимость указывает предельные расчетные показатели температурного напора при критических диаметрах ТАМ в твердой фазе, что определяет шаг теплообменных труб и емкость аккумулятора.Проанализировано влияние режима течения теплоносителя на условия теплообмена между средами. Установлено, что влияющими показателями на интенсивность теплообмена являются теплофизические свойства

аккумулирующего материала -12, Тр ; это дает

возможность спрогнозировать свойства ТАМ для аккумулятора конечных размеров.

Литература

1. Prigogine J., Glansdorf P., Variational Properties and Fluctuation Theory, Physica, 31 p. 1242 (1965).

2. Дремов В.В. Вариационный и численный методы в теплофизике затвердевающего слитка. / Недопекин Ф.В.// ДонНАСА - 2007 - с.34-36.

3. Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. - М.: «Высшая школа», 1975. - с.381-394.

4. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. Изд. 2-е, стереотип. М., «Энергия», 1977. 344 с.

5. Исаченко В.П. Теплопередача. / Осипова В.А., Сукомел А.С.// «Энергия», М. - 1975. 488с.

6. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М., «Энергия», 1966. 600 с.

7. Муйрманов А.М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1986. 240с.

8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408с.

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры

MODEL OF WORK TUBE TYPE PHASE TRANSITION HEAT ACCUMULATOR BY SOLVING THE STEFAN PROBLEM

V.V. Ostapenko,A.V. Lukjanov, V.V. Dryomov

Given a number of assumptions, solved the problem of unsteady heat conduction for a hollow cylinder. Using the Stefan condition, mathematically described the process of growth of a crystalline body in time. The technique of determining the size of the solid body of the cylinder depending on the time was designed, method for predicting the dynamics of changes in temperature TAM isotherm given radius was proposed

Key words: heat accumulator, heat storage material, phase transition