CC BY
41
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №6_
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 536.46
М.М.Кабилов, И.Х.Халимов*
ТЕМПЕРАТУРА ИНИЦИИРОВАНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ В ВОЛНЕ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ ГАЗОВ ПРИ НАЛИЧИИ ТЕПЛООТВОДА
Российско-Таджикский (Славянский) университет, Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.К.Курбановым 03.05.2013 г.)
Рассматривается однотемпературная модель фильтрационного горения газов в инертной пористой среде в неадиабатической постановке. Условие инициирования химической реакции получено в результате решения задачи о неполном расходовании недостающего компонента газовой смеси при равенстве нулю градиента температуры.
Ключевые слова: температура - инициирование - теплоотдача - зона подогрева - горение - смесь газов.
В данной работе получено соотношение температуры системы (пористая среда - смесь газов), при которой инициируется химическая реакция в порах пористой среды. Это соотношение найдено исходя из однотемпературной и одномерной модели фильтрационного горения газов (ФГГ) и равенства потоков тепла, «уходящего» в предлежащие непрогретые слои и поступающего (в область подогрева) из зоны горения. При этом на момент инициирования реакции выгорание реагента не происходит. Функция скорости химической реакции в виде Аррениуса заменяется усечённой функцией. Необходимость таких дополнительных допущений отмечена в [1,2]. Заметим, что в однотемператур-ном приближении температура инициирования химической реакции (зажигания) является максимальной температурой в волне ФГГ. В [3] задача воспламенения (инициирования) решена в однотем-пературном и двухтемпературном приближении методами встречной экстраполяции и сращиваемых асимптотических разложений по аналогии с задачей о тепловом взрыве. При этом безразмерная пространственная переменная трактуется как безразмерное время. С такой позиции в [4] аналитически решается двухтемпературная задача с учётом внешних теплопотерь в приближении моментальной реакции. Однако в [1] приводятся недостатки оценок [3,4] температуры инициирования на основе теории теплового взрыва. В настоящей работе температура инициирования определяется в результате решения задачи о неполном расходовании недостающего компонента смеси газов при условии равенства нулю градиента температуры, аналогично [2]. Математическая модель стационарного распространения волны ФГГ в инертной пористой среде при условии внешнего теплоотвода состоит из уравнения переноса тепла системы (пористая среда и смесь газов) и массы недостающего компонента газа, записанных в движущейся со скоростью и системе координат, а также интеграла баланса масс всей смеси и уравнения состояния в предположении постоянства давления [1].
Адрес для корреспонденции: Кабилов Маруф Махмудович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. М.Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: [email protected]
(Р (Ц + и )ср + Р2С2и) ~Г = + а2Л2 ) -ТГ ~а0(Т - Т0 ) + Р 30 ,
—х —х
—п
Р (ц + и)— = -р3, 3 = пк0 ехр(-Е/ЯТ), —х
(1)
Р (Ц + и) = Ро (ц10 + и), РхТ = РюТ0 •
Здесь Т - температура среды, Т0 - температура внешней среды, р, ср приведённая плотность и теплоёмкость смеси газов соответственно, р2, с2 - те же величины для пористой среды, р10 - приведённая плотность исходной смеси газов, ц0 - скорость вдува газа, и - скорость волны горения, р , ц - текущие значения плотности и скорости фильтрации смеси газов, ах, а2 - объёмные содержания газа и пористой среды, Хх, Х2 - коэффициенты теплопроводности газа и пористой среды, 3 - скорость химической реакции, 0 - тепловой эффект реакции, п - доля массовой концентрации недостающего компонента газовой смеси, Е - энергия активации, Я - универсальная газовая постоянная, к0 - предэкспонент.
После преобразований
в =
Е(Т - То) ЯТ2 ''
в1 =
Е(То -2Т*) ЯТ2 ''
им
х = -
к
в— =
ЕАТ
а—
ЯТ
введя следующие параметры
в, = и\ро(1 + , ^О^, в = в-(1 + Ч „_ = 1 +
V
к =
Р1*кк0 ехрв* ах\ + а2\
Р10ср +р2с2
и 2и,
Р2С2
Р10Ср
V
(1+,)и,
V
V
1 + М
а =■
а
ц
10
и0 = ^ , р1* = '
Р10Т0
Т
д 71 — т1 _т —
АТа— Т а— Т0
Р10СР + Р2С2 0^0
имеем систему
§ - —±Л\ в+в П [ехрв-1] = 0
—х—х о о
-«к-Ш + _! п [ехрв-1] = 0.
—х о2 1 1
(2)
Далее систему (2) сведём к одному уравнению и, интегрируя от -го до х, получаем
— -в-4 ¡в—х + ве(1 -п) = 0. —х о
(3)
Поскольку
х п 1 п
¡в —х = ¡в-X-n = -о2( —п
в —п
• п(ехрв-1)
с
р
ёв ёв ёп 1 , „ ^ёв
— =--=--- п(ехрв -1)—.
ёх ёп ёх со ёп
Из уравнения (3) имеем
вёп
(4)
в-ве (1 - п)-р[
' п(ехр в -1)
ёп п(ехр в -1)
с
При малых в (то есть в окрестностях Т0) из последнего уравнения имеем
ёв в-ве (1 - п)-РЪ. п
ёп ~ пв '
с
ёв
где градиент- не конечен. Полагая
ёп
-в (1 - пт )-Р1п пт = 0, (5)
ёв 0 „
получаем неопределённость -= — . Для раскрытия неопределенности (4) воспользуемся правилом
ёп 0
Лопиталя из теории математического анализа, то есть берём производные по п от числителя и знаменателя правой части (4)
ёв+в Р ёв _ ёп е п
ёп 1 ,а , ёв
--2(в + ~Т~
с ёп
ёв
Разрешив это уравнение относительно -, имеем
ёп
(ёвЛ2 т 2. ёв 2 (а Р\ .
^ ёп) ёп ^ п)
ёв Р
В случае недогорания п = и-= 0. Следовательно, = —. В результате условие неопределён-
ёп в
ности (5) примет вид
1 - п„ + п 1п п = 0.
СО СО СО
Решением этого уравнения является пш = 1. Тогда уравнение Р -1 = 0 выражает равенство безразмерных потоков тепла, «уходящего» из зоны подогрева и «приходящего» из зоны горения, и опреде-
п
ляет безразмерную температуру инициирования химической реакции в зависимости от коэффициента теплоотдачи а0 и других теплофизических и кинетических констант газовой смеси
г= к°ехрв*. (6)
а0/ рх*ср
RT*:cp
Здесь у =-. Уравнение (6) является критерием воспламенения смеси газов, находящихся в
EQrto
порах пористой среды. В свою очередь, правая часть уравнения (6) представляет собой критерии подобия характерных времён процесса, а именно, отношение времени протекания химической реакции к времени теплоотдачи.
Отметим, что соотношение (6) содержит только физико-химические характеристики смеси газов, кроме коэффициента теплоотдачи, и не позволяет явно определить температуру инициирования T . Определение этой температуры из данного уравнения в зависимости от входящих в него параметров не составляет труда, поскольку существует стандартная программа «Подбор параметра». Отсутствие расхода недостающего компонента в момент инициирования реакции и равенство потоков тепла, «уходящего» из области подогрева в окружающее пространство и приходящего в него из зоны горения, заранее не предполагалось, а вытекает в ходе исследования по мере необходимости. Именно на нарушении последнего условия основана теория зажигания.
Поступило 06.05.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Добрего К.В., Жданок С.А. Физика фильтрационного горения газов. - Минск: Ин-т тепло- и мас-сообмена им.А.В.Лыкова НАНБ, 2002, 203 с.
2. Бабенко Ю.И. - Физика горения и взрыва, 2007, т.43, №6, с.75-77.
3. Лаевский Ю.М., Бабкин В.С. - В кн.: Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. -Новосибирск: Наука, 1988, с. 108-145.
4. FoutkoS.I., ZhdanokS.A., ShabunyaS.I. - 26th Symp. (Int.) on Combustion. Naply, Italy. The Combustion Institute, 1996, v.2, рр. 1556-1565.
М.М.Цобилов, ИДДалимов*
БО ГАРМЙ ТЕЗОНИДАНИ РЕАКСИЯИ КИМИЁВЙ ДАР МУ^ИТИ
КОВОКИ ИНЕРТЙ
Донишго^и (Славянии)Россияю Тоцикистон, *Институтиматематикаи ба номиА.Цураев Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Модели як хдроратонаи сузиши филтронаи газх,о дар мухдти ковоки инертй дар гузори-ши гайри адиабатй дида баромада шудааст. Шарти ба шуръ овардани реаксияи химиявй дар
натичаи хдлнамудани масъалаи пурра сарф нашудани реагенти ками омехтаи газ хднгоми ба нул баробар будани градиенти хдрорат х,осил карда шудааст.
Калима^ои калиди: %арорат - ба шуръорй - гармиди%и - со%аи гармшави - сузиш - омехтаи газ%о.
M.M.Kabilov, I.H.Halimov* THE INITIATION TEMPERATURE CHEMICAL REACTION IN THE WAVE FILTRATION COMBUSTION GASES IN THE PRESENCE OF HEAT SINK
Russian-Tajik (Slavonic) University, A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
We consider a single-temperature model of filtration combustion of gases in an inert porous medium in a non-adiabatic formulation. The condition of the initiation of the chemical reaction is obtained by solving the problem of incomplete expending of insufficient component of the gas mixture at zero temperature gradient.
Key words: temperature - initiation - heat - heating zone - burning - a mixture of gases.
