CC BY
19
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2013, том 56, №5________________________________
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 536.46
М.М.Кабилов, И.Х.Халимов*
ТЕПЛОВОЕ ИНИЦИИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ В ИНЕРТНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Российско-Таджикский (Славянский) университет,
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Э.М.Мухаммадиевым 26.03.2013 г.)
Рассматривается двухтемпературная модель фильтрационного горения газов в инертной пористой среде в адиабатической постановке. Условие теплового воспламенения реакционной смеси получено в виде критерия подобия.
Ключевые слова: температура - воспламенение - теплообмен - время - взрыв - реакционная смесь.
Настоящая работа посвящена теории теплового воспламенения реакционной смеси, а именно, тепловому воспламенению смеси газов, находящейся в инертной пористой среде. Тепловое самовоспламенение горючей газовоздушной смеси осуществляется нагревом всего объёма смеси до температуры воспламенения. Это минимальная температура, при которой происходит самоускорение реак-ции.Она зависит от концентрации недостающего компонента газа в газовоздушной смеси, давления, интенсивностей тепловыделения, теплообмена между фазами, теплоотдачи во внешнее пространство и кинетических констант реакции. Критические условия самовоспламенения представляют собой критерии подобия. Последние, в свою очередь, являются отношением характерных времён процесса, а именно, времени теплоотдачи во внешнее пространство или теплообмена между фазами к характерному времени химической реакции. Некоторые вопросы моделирования процессов самовоспламенения рассмотрены и анализированы в [1]. Закономерности воспламенения используются при анализе механизма распространения волн горения в инертной пористой среде [2]. В [3] в адиабатической постановке рассматривался тепловой взрыв реакционной смеси, находящейся в инертной пористой среде, в зависимости от интенсивности межфазного теплообмена. В отличие от работы [3] в настоящей работе рассматривается небезградиентная среда, то есть предполагается неоднородность распределения температуры. Изменениями плотности и скорости фильтрации смеси газов пренебрегается. Математическая модель, описывающая процесс самовоспламенения реагирующей смеси в инертной пористой среде, включает уравнения переноса энергии фаз (смеси газов и пористой среды) и массы недостающего компонента смеси [4]. В безразмерной форме система выглядит следующим образом:
Адрес для корреспонденции: Кабилов МаруфМахмудович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. М.Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: maruf1960@mail.ru
Р)Д Р)Д
У1 -в + У1 -в = ~а'у1 (в1 -в2) + пехр(^^(1 + рвг)),
От Ох
-в7,,п п ч . О 2в У2 ~вв = аУ1(в1 в2) С1)
-П + -П = -П еХР(в1/(1 + ^в1)-
ОТ ОХ
Начальные и граничные условия имеют вид:
п(0, х) = 1, в(0, х) = 0, в(0, х) = 0,
п(т,0) = п*, в1(т,0) = в*, в2(т,0) = в2*,
дв2
V дх
Используются следующие безразмерные величины:
= f (п*,в1*,в2*).
в=-^ (T - U в2 =-Er (T2 - T0), п = 1,
К1() К1() ^0
т = k0 ехр(-E/RT0)t, х = %/L, L = ц0/k0 exp(-E/RT0),
RT02cP P2C2 о RT0
У1 =, У2 =У1^, (P = ^, P = ~^ ’
EQv0 pcp E
. a . a9A
a =-----------------------;-, Л = ■ 2^
P1cpk0 ехР(-E/RT0 ) ’ PffiK ехР(-E/RT0 )
Здесь в , в2 - безразмерные температуры смеси газов и пористой среды соответственно; п - относительная концентрация недостающего компонента.
Суммируя все три уравнения системы (1), имеем
дв
дМ±вп> = -(-У-в-- п+У-Лв>
От дх
дв
Если предположить, что У2в2 = -У\Л—2, то из (2) имеем ув\ + У в + п = comt. Удовлетво-
Ох
ряя начальные условия п = 1, вх = 0, в2 = 0, получаем
Ухв1 + У2в2 + п = 1. (3)
Заметим, что для горючих газов параметры / ,УХ малы. Наличие малого параметра У позволяет использовать для анализа аппарат теории сингулярно-возмущённых систем. Аналогично [3], анализ решений системы (1) проводим на фазовой плоскости (в ,в2) . При нулевом приближении по малому параметру У из первого уравнения системы (1) имеем
-« у {вх-в2) + п ехр(6> /(1 + рвх)) = 0. (4)
Это выражение описывает линию максимальных температур на фазовой плоскости. Например, при п = 0 имеем вх=ве, в2=ве - равновесная температура. Интегралы (3) и выражение (4) можно использовать для нахождения граничных условий п», вх*, в2», / , которые необходимы при численном решении задачи распространения волны горения. Температура в2„ - это температура пористой среды, необходимая для воспламенения смеси газов в инертной пористой среде, и мало отличается от в* •
Из интеграла (3) переменную функцию п выражаем через в ,в2: п = 1 -уА\-у2в2 и, подставляя в выражение (4), имеем
А -(1 ~ У А ) ехР (А1 /С1 + )У Уф'
1 - (У2 / ехР (А1 /(1 + РА1 ))
Предполагая малым второй член в знаменателе выражения (5)
(У2 /У^О ЄХР (А /(1 + ^А1 )) < 1 = разлагаем дробь в ряд и в результате имеем
А2 ~ А1 Ї 1 + —;
I УУ
1 Г 1 -У
У2
А
ехр+——2— ехр(2А / (1 + ))
уУ
(1 АуУ?ехр(3А/(1 + А)) }•
А1(У1у) I
Поскольку температуры в, в мало отличаются при воспламенении смеси, полагаем равным нулю второй член в последнем выражении и, как следствие, получаем в =----------------, что в раз-
01 + У2
мерном виде выражает равновесную температуру при отсутствии вдува смеси газов
Т — Т 4- О^о _ т1
Т1* = то + п , ч = Те . СР(1+ф)
Тогда относительно в2<, имеем
вг »в,|1 -^ ехр(3в,/(1 + /в*))} .
I в (У1«) ]
Следовательно, условием воспламенения реакционной смеси инертной пористой средой является
(1 -вУ')у22ехр(3^ (1 + в )) = Г ^ ^оехр(-ЩКГ, ) I3 < 1.
Если перейти к размерным величинам, то имеем
р2С2к0 еХР(- Щше )
3
(6)
а
Отношение в правой части (6) выражает критерии подобия характерных времён межфазного теплообмена и протекания химической реакции. В случае равенства этих времён пористая среда не нагревается, а температура находящейся в ней смеси максимальная и равна Те = Т*, то есть происходит
самовоспламенение смеси. Следовательно, для исследования самовоспламенения реакционной смеси в инертной пористой среде получено условие
а
В случае, когда время протекания химической реакции меньше, чем время межфазного теплообмена, воспламенение смеси газов происходит посредством нагрева пористой средой, при этом температура пористой среды определяется по формуле (6). Если отношение в левой части (7) много меньше единицы, то из формулы (6) следует « Те = Т*. Поскольку формула равновесной темпера-
туры Те содержит параметр р = р2с2/р10ср , который очень большой при атмосферном давлении
смеси газов, из-за малого значения р температуры Т* и Т2* будут мало отличаться от Т0, что не характерно для температуры воспламенения в случае малости последнего. И, как следствие этого, можно предположить, что плотность смеси горючих газов р в момент воспламенения будет соответствовать давлению много выше атмосферного.
1. Сеначин П.К. elib.altstu.ru/elib/books/Files/va2000_2/pages/07/07.htm
2. Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. Сб. науч. трудов - Новосибирск: Наука СО, 1988, 286 с.
3. Бабушок В.И., Гольдштейн В.М., Романов А.С., Бабкин В.С. - Физика горения и взрыва, 1992, т.11, №4, с. 3-9.
4. Лаевский Ю.М.,Бабкин В.С. - Сб. науч. трудов. Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. - Новосибирск: Наука СО, 1988, 286 с.
р2С2к0 ехР(- Е/КТс) =1
(7)
Поступило 28.03.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
М.М.^обилов, ИДДалимов*
БО ГАРМЙ ТЕЗОНИДАНИ РЕАКСИЯИ КИМИЁВЙ ДАР МУСИТИ КОВОКИ ИНЕРТЙ
Донишго^и (Славянии) Тоцикистону Русия,
*Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Модели духдроратонаи сузиши филтронаи газх,о дар мусити ковоки инертй дар гузори-ши адиабатй дида баромада шyдааст. Шарти бо гармй даргирии омехта дар намуди критерияи монандй х,осил карда шудааст.
Калима^ои калиди: уарорат - даргири - мубодилаигарми - вакт - таркиш - омехтаи реаксиони.
M.M.Kabilov, I.H.Halimov*
THERMAL INITIATION OF CHEMICAL REACTION IN AN INERT POROUS MEDIUM
Russian-Tajik (Slavic) University,
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan We consider a two-temperature model of filtration combustion of gases in an inert porous medium in an adiabatic formulation. The condition of thermal ignition of the reaction mixture obtained in the form of a similarity criterion.
Key words: temperature - ignition - heat - time - explosion - the reaction mixture.
