CC BY
58
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №2_
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 536.46
М.М.Кабилов
СТРУКТУРА СТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН ФИЛЬТРАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ ГАЗОВ В ИНЕРТНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Российско-Таджикский (Славянский) университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 24.10.2013 г.)
Рассматривается структура стационарных волн фильтрационного горения газов (ФГГ) в инертной пористой среде. Профили температур пористой среды, газа и концентрации недостающего компонента аппроксимируется экспоненциальными и полиномиальными функциями в зонах подогрева, горения и внутренней релаксации. Получены формулы для максимальной температуры газа, температуры воспламенения и их координат, а также для координат максимальной скорости химической реакции и точки перегиба в профиле температуры пористой среды. Для определения скорости волны получено соотношение параметров.
Ключевые слова: смесь - газ - температура - концентрация - волна - структура - скорость - зона подогрева - зона горения - релаксация.
Работа посвящена изучению структуры стационарных волн фильтрационного горения газов (ФГГ) и определению скорости волны. Обычно под стационарными волнами ФГГ понимается совокупность тепловых, концентрационных и барической волн, поддерживаемых химическим превращением и сохраняющих свои пространственные профили. Эти волны в математическом понимании представляют собой распределения температур, концентрации участвующих в химической реакции веществ и давления газа в пористой среде. В данной работе рассматривается только распределение температур пористой среды, газа и концентрации недостающего компонента при постоянном давлении газа.
Изучение структуры волны горения является первостепенной задачей теории горения, поскольку информация о структуре волны горения и её особенностях имеет важное практическое значение [1-6]. Метод бесконечно узкой зоны горения, развитый в [1], не даёт полной картины структуры волны. Во многих работах, например в [5,6], отмечалось, что изучение структуры волны горения асимптотической теорией или приближением моментальной реакции нельзя признать удовлетворительным, так как задача сводится только к определению зависимостей максимальной температуры и скорости распространения фронта горения от параметров системы. В ряде экспериментальных работ по исследованию структуры волны фильтрационного горения, например в [7,8], дополнительно определяются толщины зон в структуре волны. Для более детального анализа структуры волны фильтрационного горения, эффектов неодномерности и нестационарности используется численный метод решения системы дифференциальных уравнений [9-17].
Исследуемая математическая модель ФГГ имеет вид [3,11,17]
Адрес для корреспонденции: Кабилов Маруф Махмудович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. М. Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (славянский) университет. E-mail: [email protected]
Аср (ц - и) ^ = (Т1 - Т2) + РхОппК ехР (-Е / Щ ), с1Т с^Т
-Р2с2и = а2^2 Г + а8а (Т1 - Т2 ) , (1)
А1 (ц - и) = -РПко ехр (-Е / Я^ ),
А (ц - и) = А10 (Цо - и), АТ1 = АоТо •
Здесь Т, Т - температуры газа и пористой среды; п - относительная массовая концентрация недостающего компонента; ц - скорость газа в порах; а , ср - приведенная плотность и теплоёмкость смеси газов; р2, с2 - те же величины для пористой среды; ^ - коэффициент теплопроводности смеси газов; Х2 - эффективный коэффициент теплопроводности пористой среды; а2 - объемное содержание пористой среды; а - поверхностный коэффициент межфазного теплообмена; -удельная поверхность пористой среды; Q - тепловой эффект реакции; &0 - предэкспонент; Е -
энергия активации; Я - универсальная газовая постоянная.
Граничными условиями задачи являются условия на бесконечности
х = -да : Т = Т0, Т = Т0 ,п = 1,
х = +да : —± = о, —1 = о, п = о. (2)
—х —х
Заметим, что в зонах, где химическая реакция отсутствует или её скорость протекания пренебрежимо мала, задача (1), (2) имеет точные решения. Эти зоны в теории горения называются зонами подогрева и внутренней релаксации. Между этими зонами находится зона горения, где скорость химической реакции существенная. Началом этой зоны в работе [3] считается координата х равенства температур Т пористой среды и газа, а концом - координата хт, максимальной температуры Тт газа. Протяженность зоны подогрева определяется в [3] как расстояние от точки, где температура равна Т = (Гщ - Т) / е до точки с температурой Тед (е - основание натурального логарифма). Зона
внутренней релаксации начинается от координаты максимальной температуры газа до координаты равновесной температуры Те. В соответствии с этими обозначениями, координаты точки с температурой Т разместим в начало координатной оси абсцисс. Поскольку скорость волны находится из
соотношения, получаемого интегрированием по х первого уравнения системы (1) в пределах от -да до +да при условиях (2) и в предположении моментальной реакции и линейной зависимости температуры от координаты, модель структуры волны горения представим в следующем виде
х < 0:
Т = Т0 + Б^ехр (к2х), п = 1, Т = Т + А (1 + юк2) ехр (к2х).
0 < х < х : п = 1,
Т1 = Тн + Бкх + (Тед -Тн -Цк2х)(х /хе?) , Тн = То + А, Т, = То + Д(1 + юк2)(1 + к2 х) + Т - То - Д(1 + юк2)(1 + к2 х))(х / х^ )2
Т = Т +
Т1 Тед +
х - х„
ед
х < х < х :
ед — — т
хт хед
(Т1 т - Тед ) ,П = 1
х - х„
ед
хт хед
Т2 = Тед + « (х - хе? ) + Ь (х - хед ^ + С (х - хед )
х > х :
Т = Т + Аехр (кхх), п = 0, Т = Т + А (1 + юкх ) ехр (кхх).
к=-1
1 2
к,=-1
2 2
1+ Р,С2и , ю
1+ Р,С2и ю а2^
1+ Р,С2и ю а2^
- 4
Р,С2и а
1+ РгС2и
ю =
ю а2^ Р10Ср («10 - и)
- 4
Р,С2и а
а2Л2ю а2Л2
а
Здесь К ,к2 - корни характеристического уравнения системы (1), А, А ,а,Ь,С - коэффициенты, подлежащие определению. Равные температуры пористой среды и смеси газов перед зоной горения определяются по формуле Тед = Т0 + е (Т0 + Ах). Неопределённый коэффициент А1 находим из условия равенства вторых производных температуры газа по разные стороны точки х = 0
А =
2еТ
(к2 хед ) + 2 (1 + к2 хед )
Координаты равенства температур пористой среды и смеси газов х находим из условия равенства вторых производных температуры пористой среды по разные стороны точки х = 0
1
хед = К
Лл
(
(
-1 + . 1 + 2
Л
Л
--1
Уюк2 У
Неопределенные коэффициенты а, Ь определяются из условия равенства первых и вторых производных функции температуры пористой среды по разные стороны точки х = хед соответственно
2
D (1 + cok2)k2 + —(Тщ - To - Д(1 + C)(1 + k2Xq)),
Xeq
b (Teq - T0 - Di(1 + ck2)(1 + k2Xeq)) .
Xeq
Из условия непрерывности температуры пористой среды в окрестности точки х = хт находим неопределённый коэффициент
С = -1 (Te + D2eXP (k1 Xm ) - Teq - aS - bS ) , 8 = xm - X^ .
s
Здесь выражение
D2exp (kiXm ) = Teq - Te +8 f DYk2 + ~ (Teq - T„ - Dik2Xeq )l .
V Xeq J
найдено из условия равенства первых производных функции температуры газа по разные стороны точки X = X и формулы Tm = T + D2eXp (k^Xm). Для определения толщины зоны горения 8 используется условие равенства первых производных функции температуры пористой среды по разные стороны точки X = Xm, которое сводится к квадратному уравнению
a 82+bfi+c = 0,
где
a = b + (1 + cki) kif,bi = 2a-(1 + cki )(3f - kl (Te - Teq)),
2
С = 3^1 {Те - Теч) , / =Вхкг +—(Теч -Тн -вхкгхеч)
хед
Полагая равным нулю вторую производную функции температуры пористой среды в зоне горения ( хед < х < хт ), находим координаты точки перегиба
_ _Ь_
хР = ^ - 3С •
Используя преобразование Франк-Каменецкого, а также функции концентрации недостающего компонента и температуры газа в зоне горения функции скорости химической реакции, представим в виде
J = nk0exp() ® (l - (x - xeq) / (а0 + ¿0(x - ) /
Приравнивая нулю производную этой функции, находим координаты максимальной скорости химической реакции
X = S(1 - 1/b0 ) + Xgq .
, А E(Tlm - Tq) E(2Te - Teq)
Здесь b0 =--—— , a0 =---——.
0 RT2 0 RT
e e
Скорость распространения волны горения определяем из условия согласования функции тепловыделения и температурных профилей в высокотемпературной зоне в предположении, согласно которому вся тепловая энергия выделяется в узкой температурной и пространственной зоне. Для этого интегрируем первое уравнение системы (1) в зоне горения
Х1 т -I Х1 т
\Tlm - Tq )+ J (T - T2) dx - -\pQJdx = 0
-Т„)+ _ 1 2,
а
хец хец
и, в результате подстановки функций Т, Т2, рх, J и интегрирования, получаем следующее соотношение
/ т \ ^ т \ а52 Ъ5ъ ед4
ПТ1т - Т*Я - Те? ---3---+
a(Tlm - Teq )
(!■+ ^+7)V+ ^((r-+ :D2-г2)-4- ^((Г-+ :D3-Г3)-,■■. X-
Л
= 0
0 У
T
где Q = рХоТоОЛоК> т = ^ •
Im eq
Поступило 24.10.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. - Математическая теория горения и взрыва. - М., 1980, 478 с.
2. Алдушин А.Г., Мержанов А.Г. - Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред. Ю.Ш.Матроса. - Новосибирск, 1988, с. 9-52.
3. Лаевский Ю.М., Бабкин В.С. - Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред. Ю.Ш.Матроса. - Новосибирск, 1988, с. 108-145.
4. Киселёв О.В., Матрос Ю.Ш., Чумакова Н.А. - Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред. Ю.Ш.Матроса. - Новосибирск, 1988, с. 145-203.
5. Худяев С И. - Химическая физика, 1991, т.10, №6, с.838-847.
х
6. Добрего К.В., Жданок С.А. Физика фильтрационного горения газов. - Минск: Ин-т тепло- и мас-сообмена им. А.В.Лыкова НАНБ, 2002, 203 с.
7. Потытняков С.И., Бабкин В.С., Лаевский Ю.М., Дробышевич В.И. - Физика горения и взрыва, 1985, т.21, №.2, с.19-25.
8. Потытняков С.И., Лаевский Ю.М., Бабкин В.С. - Физика горения и взрыва, 1984, т.20, №1, с.19-26.
9. Шкадинский К.Г., Ивлева Т.П., Степанов Б.В. - Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред. Ю.Ш.Матроса. - Новосибирск, 1988, с.263-275.
10. Дробышевич В. И. - Распространение тепловых волн в гетерогенных средах/ Под ред. Ю.Ш.Матроса. - Новосибирск, 1988, с.275-285.
11. Вайнштейн П.Б., Кабилов М.М. - Изв. АН ТаджССР. Отд.физ.-мат., хим. и геол.н., 1991, №4, с.47-51.
12. Рычков А.Д., Шокина Н.Ю. - Вычислительные технологии, 2003, т.8, Спецвыпуск, ч.2, с.124-144.
13. Лаевский Ю.М., Яушева Л.В. - Вычислительные технологии, 2007, т.12, №2, с.90-102.
14. Какуткина Н.А., Коржавин А.А., Намятов И.Г., Рычков А.Д. - Физика горения и взрыва, 2007, т.43, №4, с.23-38.
15. Какуткина Н.А., Коржавин А.А., Рычков А.Д., Сеначин П.К. - Ползуновский вестник, 2007, №4, с.33-38.
16. Какуткина Н.А., Рычков А.Д. - Физика горения и взрыва, 2010, т.46, №3, с.44-51.
17. Кабилов М.М., Халимов И.Х. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №4, с.297-303.
М.М.Цобилов
СОХТИ МАВЧДОИ УСТУВОРИ СУЗИШИ ФИЛТРАЦИОНИИ ГАЗХО ДАР
МУ^ИТИ КОВОКИ ИНЕРТЙ
Донишго^и (Славянии) Русияю Тоцикистон
Дар макола сохти мавчх,ои устувори сузиши филтроационии газх,о дар мух,ити ковоки инертй дида баромада шудааст. Ин мавчх,о профилх,ои хароратх,ои газу мух,ити ковок ва кон-сентратсияи таркибаи камтарин буда бо функсиях,ои экспоненсиалй ва полиномиалии наздик-шаванда дар полати гармшавй, сузиш ва релаксатсияи дохилй иваз карда шудаанд. Нисбати хдрорати баландтарини газ, хдрорати даргирй ва координатх,ои онх,о, инчунин барои координатах,ои суръати калонтарини реаксияи химиявй ва нуктаи хамшавй дар профили хдрорати мух,ити ковок формулах,о хосил карда шудаанд. Барои суръати мавч вобастагии параметра ёфта шудааст.
Калима^ои калидй: омехта - газ - %арорат - консетратсия - мавц - сохт - суръат - со%аи гармшавй - со%аи сузиш - релаксатсия.
M.M.Kabilov
STRUCTURE OF STATIONARY WAVES FILTRATION COMBUSTION OF GASES
IN AN INERT POROUS MEDIUM
Russian-Tajik (Slavic) University We consider the structure of stationary waves of filtration combustion of gases in an inert porous medium. Temperature profiles of the porous medium, the concentration of gas and missing component is approximated by exponential and polynomial functions in the areas of heating, combustion and internal relaxation. The formulas for the maximum gas temperature, the ignition temperature and their origin, as well as the coordinates of the maximum reaction rate, and the inflection point in the temperature profile of the porous medium. To determine the velocity of the wave received ratio parameters.
Key words: mixture - gas - temperature - concentration - a wave - structure - speed - zone - heat - burning - relaxation.
