CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №9_
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 536.46
М.М.Кабилов, П.Б.Садриддинов, Б.Дж.Гулбоев*, О.А.Холов**
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ ГАЗОВ ПРИ ПОДОБИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОНЦЕНТРАЦИИ
т, нения стаи
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан, Российско-Таджикский (Славянский) университет, Дангаринский государственный университет
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 06.04.2
Рассматривается однотемпературная математическая модель распространения стационарной волны фильтрационного горения газов при подобии распределения температуры среды и концентрации недостающего компонента. Получена связь между функциями температуры и концентрации, а также уравнение для численного расчета распределения температуры. Численные расчеты проведены для разных составов водородо-воздушной смеси газов, и выяснено их влияние на характеристики волны. Изучены зависимости скорости волны, равновесной температуры, характерного размера зоны горения и коэффициента диффузии недостающего компонента от скорости вду-ва газа.
Ключевые слова: температура среды, скорость волны, численный метод, скорость химической реакции, фильтрационное горение газов, волны горения, уравнение энергии, число Льюиса, пористая среда.
Рассматриваемая задача фильтрационного горения газов (ФГГ) относится к задачам теории горения, где изучаемая система дифференциальных уравнений относительно температуры и концентрации приводится к одному уравнению для температуры [1]. Это имеет место при числе Льюиса, равном единице, которое характеризует равенство коэффициентов диффузии и температуропроводности, в результате чего получается линейная связь между функциями температуры и концентрации.
рое характеризует равенство го получается линейная связь В данной работе для однотемпературной низкоскоростной модели ФГГ применяется подход подобия полей температуры и концентрации, разработанный в [1]. Такая постановка задачи ранее не изучалась. Задача решается численным методом.
Нельзя не отметить исследований авторов в области ФГГ [2-5], где применялось подобие полей тшературы и концентрации; первые численные модели ФГГ были реализованы в работах [6-10].
Адрес для корреспонденции: Кабилов Маруф Махмудович, Гулбоев Бахтиёр Джуракулович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. М.Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: maruf1960@mail.ru, bakhtiyor-2012@mail. ru;
Садриддинов Парвиз Бахриддинович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АНРТ. E-mail: parviz06@list.ru;
Холов Омонкул Аблулхакимович. 735320, Дангаринский район, ул. Маркази, 25, Дангаринский государственный университет. E-mail: kholov.amon1993a@gmail.com.
Рассматриваемая однотемпературная низкоскоростная математическая модель распространения стационарной волны ФГГ, записанная в движущейся с постоянной скоростью и системе координат, имеет вид
^т ^ 2 т
(АоО + о^)Ср +р2 ис2) — = (аД +а2л2) -— + p1Q^0
ах ах
р ап
а2 п
рю(и-г = р1 в- 2
ах
- р13, 3 = nk0 ехр I--
Р1(и + Ц) = Р10 (и + РюТ0 = Р1еТе ■ Граничные условия системы (1) задаются на бесконечности
(1)
х = -да: Т = Т
ат п
х = +да: — = 0. ах
Здесь приняты следующие обозначения велич
Л ~
сительная массовая концентрация недостающе проводности смеси и пористой среды; ах, «2 ристой среды; р1, ср - приведенная плотность и теплоемкость с пористой среды; Q - тепловой эффект реакци: корость х
еличин: Т - температура среды; П = ^/^0
£
(2)
щего компонента смеси; Л1
относительные объем:
0 - отно-коэффициенты тепло-держания смеси и пои; р0, с2 - те же величины для еской реакции; Е - энергия
активации; R - универсальная газовая постоянная; £0 - предэкспонент; р10,^0,Т0 - исходные при-
веденная плотность, концентрация недостающего компонента смеси и температура среды; Ц0, Ц -
скорость вдува смеси в пористый блок и скорость д„ффУз„и „„^ к°мп°нента «еси; равновесном состоянии
Из-за температурах, бли
нии.
сильной зависимости , близких к равновесно
' А
вели
смеси в текущем сечении блока; И - коэффициент
индексом е соответствуют их значениям в
ичины с
О*
сти скорости реакции от температуры реакция будет протекать при
Те = Т0 + Ц Ср I1 + 1
Из интеграла системы (1) получим связ
> П = (Ср (Те - Т))/ при услови
, <Р =
0))
р2С2 Р10Ср
Ц
и0 =■
10 и
связь между функциями температуры т и концентрации п, п = (С„ (Т - Т)) / при условии, что число Льюиса равно единице
Le = р1С рИ /(аД + а2Д) = 1. Воспользуемся этой связью, и из первого уравнения системы (1)-(2)
после преобразования
а2т аТ
а—2----ъ а
ах2 ах
(
1 - Т
л
Т
ехр!
е )
Е КТ
= 0,
(3)
а = ■
а1\ + а2Л2
Рюср (и + Цо) + Р2С2и
а =-
косрРюто
Р10Ср (и + и10) + Р2с2и
Уравнение (3) решалось численным методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Стационарную скорость волны и, входящую в коэффициенты а и а1, подбирали при выполнении граничных условий (х = —<Х), Т = 0, х = +ю, Т = Те ) (х = —<х>, 0 = 0, х = +ю, 0 = 0е) . Численный расчет
производился для трёх составов водородо-воздушной смеси (65%Н2+воздух, 55%Н2+воздух и 33%Н2+воздух). В каждом случае скорость вдува варьировалась от 0.5 м/с до 7 м/с с интервалом 0.5 м/с . Все расчетные варианты распределения температуры для водородно-воздушной смеси име ют подобный вид (рис.1).
е-
600 \ «V 1200 1500 1800 2100 2400 X' Рис.1. Кривые распределения температуры при различных составах водородо-воздушной смеси и скорости вдува газа и = 1 и 7 м/с , которым соответствуют кривые 1, 4 (65%Н2+воздух), 2, 5 (55%Н2+воздух), 3, 6 (33%Н2+воздух).
1 и 7 м/с, которым соотв! ух).
На рис. 1 ) - колич
Л
безразмерная продольная координата X' (X = L ■ N ■ X', где гжуточных шагов, Ь = а - характерный размер). На оси ординат при-ы в кельвинах, которая изменяется от начальной Т0 = 300К до равно-
N = 1000 -
водится температура сист весной температуры Те . Семейства кривых 1-3 и 4-6 (рис.1) рассчитаны для скорости вдува 1 м/с и 7 м/с. Для кривых 1-6 скорости волны и (м/с) - положительные и соответственно равны: 1 - 0.0003675; 2 - 0.00053; 3 - 0.00102; 4 - 0.0014326; 5 - 0.00228; 6 - 0. 00483. Из рис.1 видно, что содержание топлива в смеси не влияет существенно на формы распределения температуры при разных скоростях вдува смеси газов. Однако скорость волны увеличивается с уменьшением содержания водорода в смеси. Это объясняется тем, что равновесная температура (Те ) увеличивается (рис. 1).
Результаты расчётов характеристик (и, Те, Ь, D) волны горения при соответствующих значениях физико-химических параметров системы приводятся в виде графиков на рисунках 2-5.
Приведенные на рис. 2 расчётные кривые зависимости скорости волны от скорости вдува газа при различных составах водородо-воздушной смеси (1 - 65%Н2+воздух, 2 - 55%Н2+воздух, 3 -33%Н2+воздух) монотонно возрастают. Значения скорости волны характеризуют «второй режим низких скоростей (РНС2)» (~ 10 3-10 м/с) [11]. Заметим, что в прежних наших исследованиях [12], где явления диффузии не учитывались, скорость волны соответствовала режиму низких скоростей, то есть ~ 10-4 м/с.
0001
Рис.2. Кривые зависимости скорости волны и (м/с) от скорост:
водородо-воздушной смеси:
5%Н2 + воздух
и: 1 - 65%Н
В данном случае мы рассматриваем подоби достающего компонента смеси, которое означает, что си газов число Льюиса определяется по формуле
=И (л/
как отношение коэффициента диффузии нед смеси. Поскольку, в нашем случае, смесь га
газа Ц0 (м/с) при различных составах
+воздух, 3 - 33%Н2+воздух.
олей температуры среды и концентрации нетело Льюиса равно единице. Обычно для сме-
(4)
понента смеси к температуропроводности ся в инертной пористой среде, то коэффици-
енты диффузии недостающего компонента с
температуропроводности должны определяться с
учетом
пористой среды. Например, температуропроводность - как отношение теплопроводности сис-
мкости системы - (аД + а2Л2)1(р1с р + р2с2). Тогда по аналогии с форму-^ ^ ^ - -
для смеси, находящейся в инертной пористой среде, можем написать
И- (1 + (р2с2)(рхср))
темы к объемной теплое лой (4)
(аД +а2Д )/(р1ср + р2с2) И (1 + (а2Л2 -)/(а1л))
Из равенства (5) получаем формулу для коэффициента диффузии недостающего компонента смеси покоящейся в инертной пористой среде
И = И •
1 + (а2Л2)/(а1Л1) 1 + (р2с2)/(р1сп )
(6)
В результате соответствующего обезразмеривания системы уравнений (1) и принятия условия подобия полей температуры и концентрации нами получена формула
а=D ■
1 + (а2^2)/(а1Л1) (Р2с2)/(Р1ср ) ,
1+
(1 + иш/ и)
си (и„ =
(7)
где и - скорость волны. Заметим, что при отсутствии вдува смеси (и10 = 0) формулы (6) и (7)
идентичны. Результаты влияния скорости вдува смеси и10 на коэффициент диффузии недостающего
компонента смеси а* при различных составах водородо-воздушной смеси приводятся на рис.3, откуда видно, что коэффициент диффузии недостающего компонента смеси, движущейся в инертной пористой среде, примерно на два порядка больше, чем коэффициент диффузии недостающего компонента неподвижной смеси. Это связано с тем, что в формуле (7) порядок числителя в чем порядок знаменателя.
/О 0 5 1 152
Рис.3. Коэффициент диффузии а* (м , воздушной смеси.
Другая характеристик
/с) от скорости вдува газа и10 (м/с) при различных составах водородо-
. 1 - 65%Н2+воздух, 2 - 55%Н2+воздух, 3 - 33%Н2+воздух.
по
угая характеристика волны горения - это характерный размер зоны горения, определяемый Ь = (а1Л1 +а2Л2)/(р10с (и + и10) + р2с2и) : расчётные значения приводятся на рис.4.
Кривые показывают, что по мере уменьшения содержания водорода в смеси размер зоны горения увеличивается при всех рассмотренных значениях скорости вдува газа. Относительно большие размеры зоны горения наблюдаются при относительно малых скоростях вдува.
блюдаютс блюдаютс
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 Ц^'с) Рис. 4. Кривые зависимости характерного размера зоны горения Ь (мм) от скорости вдува газа иш(м / с) при различных составах водородо-воздушной смеси: 1 - 33% Н2+воздух, 2 - 55% Н2+воздух, 3 - 65% Н2+воздух.
Время прохождения толщины зоны горения со скоростью
л\
определяется по формуле t = Ь / и , что является временем протекания химической реакции. Зависимость времени протекания химической реакции от скорости вдува для состава 65%Н2 приводится в таблице.
Таблица
Чт'
____ю волны и
акции. За
и10 (м/с) 1 2 3 4 5 6 7
Ь (м) 0.00154 0.00085 0.0006 0.00047 0.00039 0.00033 0.00029
и (м/с) 0.00037 0.00061 0.00081 0.00099 ^ 0.00115 0.0013 0.00143
t (с) 4.18965 1.39015 0.73559 0.4722 0.33587 0.255 0.2025
Для наглядного представления температур в зоне горения на рис. 5 приведены кривые зависимости равновесной температуры от скорости вдува газа при различных составах водородо-воздушной смеси. Из рис. 5 видно, что чем меньше содержимое водорода в смеси, тем выше располагается кривая, и все кривые - монотонно возрастающие.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5 5 б 1'„<м'г) Рис.5. Кривые зависимости равновесной температуры Те (К) от скорости вдува газа и10 (м/с) при различных составах водородо-воздушной смеси: 1 - 65%Н2+воздух, 2 - 55%Н2+воздух, 3 - 33%Н2+воздух.
Таким образом результаты исследований показали, что полученные расчётные значения характерных величин соответствуют РНС2 и движению волны по направлению потока.
Коэффициент диффузии недостающего компонента смеси, движущейся в инертной пористой среде, в характерное число раз больше коэффициента диффузии этого же компонента неподвижной смеси (без пористой среды).
Проведенное исследование показывает, что при относительно ших скоростях вдува реализуются относительно высокие равновесные температуры, большие ости распространения волны и малые толщины зоны горения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И. и др. Математическ 480 с.
2. Лаевский Ю.М., Яушева Л.В. - Вычислительные технологии, 2007
3. Кабилов М.М. - Физика горения и взрыва, 2012, т. 48, № 1, с. 14-20.
4. Кабилов М.М., Гулбоев Б.Дж. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №1, с.35-43.
5. Кабилов М.М., Гулбоев Б.Дж., Садриддинов П.Б. и др. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и
). - Изв. АН РТ. Отд. ф
техн. н., 2013, №1(150), с. 67-75.
6. Вайнштейн П.Б., Кабилов М.М. - Изв. АН ТаджССР. Отд. физ.-мат., хим.-геол. н., 1991, №3 (3), с.47-51.
7. Дробышевич В.И. Математическое моделирование процесса формирования гибридной волны горения. - Тепло- и массообмен в капиллярно-пористых телах. - Минск: ИТМО, 1996, т.7, с. 146150.
8. Drobyshevich V.I. Mathematical modeling of non-stationary hybrid combustion wave. - Advanced Comp. and Analysis of Combustion / Eds G.D. Roy, S.M. Frolov, P. Givi. -M.: ENAS Publ., 1997, pp.
- Вычисли
- Вычисли
^.А. и др. -
11. Бабкин В.С., Коржавин А.А. и др. - Доклады Академии наук РФ, 2011, т. 436, №6, с.756-759.
12. Кабилов М.М., Садриддинов П.Б. - ДАН РТ, 2009, т.52, № 6, с.443-448.
9. Рычков А.Д., Шокина Н.Ю. - Вычислительные технологии, 2003, т. 8, спец. вып., ч. 2, с. 124-144.
"V • Г
10. Какуткина Н.А. Коржавин А.А. и др. - Физика горения и взрыва, 2007, т. 43, № 4, с.23-37. .С., Коржав
Садриддинов П.Б. - ДА М.М.Кобило в, П.Б.Сад
М.МДобилов, П.Б.Садриддинов, Б.Ч,.Гулбоев*, О.А.Холов**
МОДЕЛИ МАТЕМАТИКИИ СУЗИШИ ФИЛТРОНАИ ГАЗ^О ^АНГОМИ МОНАНДИИ ТАЦСИМОТ^ОИ ^АРОРАТ ВА КОНСЕТРАТСИЯ
Институтиматематикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон ба номи А.Цураев, *Донишго^и (Славянии) Россия ва Тоцикистон, **Донишгох,и Давлатии Дангара
Модели математикии якдароратаи падншавии мавчи сузиши филтронаи газдо дангоми монандии таксимотдои дарорати мудит ва консентратсияи компоненти норасой дида баромада
шудааст. Вобастагии байни функсиядои дарорат ва консентратсия, инчунин муодила барои дисобкунии ададии дарорат досил карда шудааст. Х,исобкунидои ададй нисбати фоиздои гуно-гуни гидроген дар омехтаи гидрогену даво гузаронида шуда, таъсири ондо ба параметрдои мавч омухта шудааст. Вобастагии суръати мавч, дарорати мувозинатй, андозаи хусусии содаи сузиш ва коэффитсиенти диффузияи таркибаи норасо аз суръати даводидии газ омухта шудааст. Калима^ои калидй: дарорати мууит, суръати мавц, усули ададй, суръати реаксияи химиявй, сузиши филтронаи газуо, мавци сузиш, муодилаи бацои энергия, адади Люис, мууити ковок.
M.M.Kabilov, P.B.Sadriddinov, B.J.Gulboev*, O.A.Kholov** MATHEMATICAL MODEL FILTRATION COMBUSTION OF GASES SIMILARITY OF THE DISTRIBUTION OF TEMPERATUR
CONCENTRATION
ADhuraev .„«Uuee ofMahemaics, Academy ofSCences ofhe RepuK
Russian-Tajik (slavic) Unive Dangara state University
The one temperature mathematical model of dissemination stationary waves of filtration combustion of gases in the similarity distribution temperature and concentration of the missing component is considered. The relation between the functions of temperature and concentration, and the equation for numerical calculation of the temperature distribution is obtained. Numerical calculations are carried out for different compositions of the acidity - air mixture gases and long their affects on the characteristics of the waves. We have investigated the dependence of waves speed, equilibrium temperature, the characteristic sire of the zone of combustion and the diffusion coefficient of the missing component of the speed of the injection gas. Key words: the temperature of the environment, wave speed, numerical method, the rate of comical reactions, filtration combustion of gases, the combustion wave, the energy equation, the number of Lewis, porous medium.
(
