Технология системного моделирования качества передачи цифровых сигналов при воздействии структурных помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.28.037.372

ТЕХНОЛОГИЯ СИСТЕМНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ

© 2012 Е. В. Чучин

канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем, доцент, e-mail: chew42@yandex. ru

Курский государственный университет

Рассмотрены методы нового направления общей теории связи - системного моделирования качества передачи цифровых сигналов в каналах радиосвязи при воздействии структурных помех. Изложены основные технологические приёмы системного моделирования качества связи.

Ключевые слова: канал радиосвязи, коэффициент передачи, четырехпараметрическое распределение, модель качества, система моделей.

Большинство приёмных устройств, предназначенных для работы в системах цифровой радиосвязи, находятся в жёстких условиях, определяемых воздействием разнообразных помех, искажающих принимаемые сигналы. Поэтому одной из задач, имеющих важное практическое значение, является выяснение вопроса о том, как изменится качество связи, если на вход приёмника, обеспечивающего потенциальную помехоустойчивость в условиях воздействия помех типа белого шума, поступают помехи, структурно коррелированные с принимаемым сигналом.

Эта задача объединяет совокупность взаимосвязанных подзадач, а именно:

1) какая из помех является наиболее опасной при выбранном сигнале и способе его приёма?

2) насколько чувствителен алгоритм приёма к структурным изменениям помехи (к ширине её спектра, к виду и параметрам модуляции, к способу воздействия на сигнальные тракты и т. д.)?

3) как изменится величина ущерба, наносимого помехой, при учёте ограничений на её среднюю или пиковую мощность?

4) при каком соотношении мощности помехи РП к мощности сигнала Рс на

входе приёмника К = (Рп /Рс) вх возможен приём сигнала с допустимым качеством и

когда оно становится неприемлемым для дальнейшей работы?

5) насколько критичны показатели качества к виду мультипликативных изменений сигнала и структурных помех при прохождении ими различных участков цифровой линии связи?

6) как изменится степень воздействия структурных помех при использовании разнесённого приема для борьбы с замираниями сигнала?

Ответы на эти и подобные вопросы позволяют обоснованно подойти к выбору трасс распространения сигнала и формированию требований к схемотехническим устройствам, обеспечивающим функционирование систем связи с заданным качеством.

Реализация этих требований зависит от глубины решения второй задачи, связанной с анализом влияния помех на приёмник, алгоритм работы которого оптимизирован с учётом структуры этих помех. Как и в первом случае, эта задача

состоит из совокупности подзадач, аналогичных перечисленным выше, и сводится к получению и анализу множества аналитических моделей, определяющих качество приёма сигналов в различных статистических ситуациях. Дополнительно здесь представляют интерес два вопроса: во-первых, до какой степени можно устранить вредное воздействие помех, если их структура известна с определённой степенью точности, и, во-вторых, какие следует предпринять меры по оптимизации приёмника, чтобы режим его работы был близок к оптимальному, а схемные решения оставались достаточно простыми.

Ответ на эти вопросы можно получить на основе анализа функциональных зависимостей, количественно связывающих вероятность ошибок с условиями функционирования систем радиосвязи, объединённых в единую систему аналитических моделей, учитывающих различные факторы.

Несмотря на то что отдельные приёмы, свойственные технологии системных преобразований, иногда применяются для построения моделей качества, постановка проблемы системного моделирования является принципиально новой. Методология системного моделирования в настоящее время не разработана. Отсутствует аналитическая база для реализации процедур системного преобразования моделей.

Методология системного синтеза моделей качества при воздействии структурных помех является дальнейшим развитием приёмов и методов, используемых для построения моделей качества цифровой связи при наличии аддитивных шумовых помех со спектральной плотностью мощности у и различным характером замираний сигнала. Основные принципы при этом сохраняются, однако их существо должно быть скорректировано с учётом параметров структурной помехи. Так, например, при воздействии структурных помех определяющим фактором качества приёма сигналов становится не только отношение сигнал/шум ^, но и отношение энергии помехи к энергии сигнала на входе приёмника КВХ = (Еп / ЕС)ВХ. Если шум белый, то это отношение можно записать в эквивалентном виде

К = Н2 / НI

^ ВХ "и 0 ' г10 5

где ¿По = иПРпТ/у2.

Как и для сигнала, мощность помехи на входе приёмника зависит от коэффициента передачи канала /[лП0, определяющего затухание помехи при её распространении от источника к входу приёмника. Этот коэффициент может быть постоянным или случайным. Вероятностный закон распределения случайной величины ¡иП0 может быть весьма разнообразным. В интересах охвата большинства известных

радиоканалов будем считать его либо райсовским, либо Накагами. Если распространение сигнала и помех происходит по одному пути, то законы их флуктуаций могут совпадать. При этом сами флуктуации могут быть зависимыми или независимыми. В общем случае законы замираний сигнала и помехи будем полагать различными.

Для построения моделей качества, учитывающих воздействие структурных помех, могут быть применены традиционные и системные методы. Однако трудности нахождения апостериорной плотности вероятности случайных величин на выходах сигнальных трактов приёмника при использовании традиционных классических методов бывают настолько велики, что многие авторы обходят эти вопросы, ссылаясь на отсутствие статистики относительно структурных помех. Тем не менее именно отсутствие такой статистики предопределяет необходимость получения широкого класса моделей, позволяющих охватить различные статистические ситуации, соответствующие реальным условиям приёма сигналов.

Наиболее доступным из системных методов синтеза расчётных соотношений для вероятности ошибок при воздействии структурных помех является метод Н.П. Хворостенко, когда сначала вычисляется вероятность ошибки для случая релеевских замираний сигнала, а затем осуществляется переход к постоянному или райсовскому каналу. Однако саму аддитивную помеху Н.П. Хворостенко рассматривает в совокупности с белым шумом. Поэтому незамирающая структурная помеха в такой интерпретации выступает как райсовская [Хворостенко 1968].

В дальнейшем целесообразно разделить аддитивную помеху на две составляющие: флуктуационную, типа белого шума, и структурную, коррелированную с принимаемым сигналом. Тогда, обобщая метод Н.П. Хворостенко, можно усреднять энергию структурной помехи по любому вероятностному закону, справедливому для известных видов флуктуаций в каналах радиосвязи. Например, от релеевского канала можно перейти к постоянному каналу, а затем к райсовскому каналу или каналу Накагами. Возможные варианты построения моделей качества методом усреднения вероятности ошибок при постоянных параметрах канала показаны на рисунке 1.

I Рч4

Рис. 1. Синтез моделей качества методом усреднения вероятности ошибок в постоянном канале

Здесь в качестве исходной вероятности ошибки при различных методах приёма сигналов выбрано подмножество моделей для постоянного канала {psJ}, в котором

первый подстрочный индекс соответствует сигналу (s — signal), а второй — структурной помехе (j — от англ. jamming — взаимные помехи радиостанций при приеме). Усредняя выражения, соответствующие этим вероятностям, в пределах области изменения случайных величин h и hn можно получить модели качества передачи сигналов для комбинации законов замирания сигналов и помех. На данном рисунке обозначения соответствуют комбинации законов Райса и Накагами.

Использование системных методов позволяет в ряде случаев избежать трудоёмкой процедуры усреднения достаточно сложных формул, свойственных моделям качества приёма сигналов при наличии структурных помех. Например, вначале можно синтезировать аналитические модели для более простого случая канала Накагами, а затем, используя шлюзы между различными системами, перейти к каналу с райсовскими замираниями. Рассмотрим эту процедуру более подробно. Ориентированный граф канала Накагами, учитывающий наличие в канале связи структурных помех, показан на рисунке 2.

Рис. 2. Орграф канала Накагами

Глубина замираний сигнала и помехи в этом случае определяются величиной параметров т и т' соответственно. Поэтому этот закон носит также название т -распределения. Придавая т и т' частные значения в интервалах 1/г < т < ^ и У2 < т' < ю, можно получить множество вариантов распределения амплитуд сигнала и структурной помехи. Наиболее типичные из них:

т

Уг — усечённо-нормальный закон; 1 — релеевский закон замираний; го — канал без замираний.

Аналогичные соотношения справедливы при вариации параметра да' в случае замираний структурной помехи.

На представленном рисунке каждой вершине графа соответствует своя модель вероятности ошибки, дугами обозначены связь между моделями. Истоком графа является центральная вершина (т, т'), соответствующая обобщённому виду замираний сигнала и помехи по закону Накагами.

Из истока графа, придавая соответствующие значения параметрам т и т', можно перейти в любое смежное состояние, показанное на рисунке 2, или в любое другое состояние, соответствующее значениям этих параметров в определённых выше пределах.

Аналогично с помощью ориентированного графа можно представить канал цифровой связи при райсовских замираниях сигнала и структурной помехи. Орграф райсовского канала показан на рисунке 3. Истоком графа в этом случае является вершина р ,, где первый подстрочный индекс характеризует произвольное отношение

регулярной и флуктуирующей составляющих райсовского сигнала q2 = ИЦкф , а

второй - то же самое для структурной помехи д

= к2 ¡к2

"пр / "иф •

2

Рис. 3. Орграф райсовского канала связи

В отличие от канала Накагами, где релеевскому закону замираний сигнала соответствует значение параметра т = 1, здесь этому закону соответствует величина отношения q = 0 (т.к. в этом случае Ир = 0). Аналогичное высказывание справедливо и для помехи. Вершины графа, содержащие одноместные подстрочные индексы, соответствуют случаям отсутствия структурных помех, то есть когда Н2 = Н2 + Н2 = 0

"п 0 "пр т "ПФ и •

Общими для обоих графов являются вершины, соответствующие незамирающим сигналам и помехам, сигналам и помехам при релеевских замираниях, а также комбинациям этих случаев. Процесс сопряжения графов Накагами и Райса представлен на рисунке 4.

6)

00,00

Р оо.О

в)

Область моделей

т.т

Рю, 1

С?«*)

Рис. 4. Сопряжение аналитических моделей для каналов Райса и Накагами

На рисунке 4а показан подграф райсовского канала, в составе которого выделены вершины, соответствующие незамирающим или релеевским сигналам и помехам.

В принципе вся площадь, ограниченная рёбрами, инцидентными этим вершинам, представляет некоторую поверхность, покрытую точками (вершинами) при различных сочетаниях q и ^. Поэтому она показана затемнённой. Трансформируем эту

поверхность так, чтобы выделенные вершины совпали с аналогичными вершинами канала Накагами (рис. 4б). Тогда оба графа могут быть представлены в виде двух поверхностей, связанных в общих точках.

Это позволяет, работая с аналитическими моделями в области райсовских замираний сигналов и помех, переходить при необходимости в область замираний Накагами и наоборот. Результирующий граф, объединяющий обе области, показан на рисунке 4в.

Исследование моделей при райсовских замираниях сигнала и помехи позволяет получить обобщённую картину энергетических потерь при флуктуации коэффициента передачи канала. На её основе могут быть выработаны рекомендации по улучшению качества связи, например путём применения соответствующего числа разнесённых каналов [Андронов, Финк 1971].

Не менее существенным фактором, влияющим на качество связи при действии помех, являются структурные различия помехи и сигнала [Сикарев, Фалько 1978]. Если структура помехи существенно отличается от структуры сигнала, то от неё легче избавиться в процессе приёма. Структурные различия проявляются в величине корреляционных связей помехи с квадратурными составляющими сигнала. При произвольной начальной фазе помехи эта связь характеризуется коэффициентом подобия /-го сигнала и]-й помехи, который будем записывать в виде

2 2 ~2 ^ а у а + у а ,

где ytJ = ,-- ГZ (t )zUj (t )dt; ~ = ,-- f ~ (t )znj (t )dt. (1)

л/рСРпТЧ л/РсРпТ2 j0

Здесь z. (t) представляет собой функцию, сопряжённую с сигналом zi (t) по Гильберту, у которой все частотные составляющие сдвинуты относительно начальных фаз частотных составляющих сигнала на угол в = -л/2 . Величина коэффициента

подобия, с учётом нормирующего множителя (jPCРПТ2 ) , заключена в интервале [0,

1]. В случае полного совпадения структуры помехи с сигналом при любой её начальной фазе коэффициент подобия равен единице. Если помеха ортогональна сигналу (у1.. = 0;~г2 = 0), то коэффициент подобия равен нулю и помеха не оказывает влияния

на приём сигнала. Физически коэффициент подобия эквивалентен нормированному отклику на выходе фильтра, согласованного с сигналом, при воздействии на его вход только структурной помехи [Сикарев, Фалько 1978]. Отсюда следует, что информационный ущерб, наносимый помехой, даже в случае её полного совпадения со структурой сигнала будет определяться информационными параметрами помехи. Например, присутствие помех в сигнальных трактах некогерентного приёмника по-разному будет сказываться на качестве приёма сигналов. Наибольший вред наносит помеха, воздействующая на тракт, альтернативный передаваемому сигналу [Алексеев, Чучин 2010].

Учёт информационных параметров помехи осуществляется системным построением корреляционных зависимостей, определяющих величину коэффициента подобия (1). При некогерентном приеме эквивалентная мощность помехи разделяется на составляющие, пропорциональные коэффициентам подобия для каждой из сигнальных позиций. Суммарная мощность помехи для каждой позиции будет определяться фазовыми соотношениями между компонентами структурной помехи. В этом случае модель качества приёма сигналов строится на основе обобщённых коэффициентов подобия

G2 = Y2 +Y2

rN rN

Т

т

учитывающих воздействие совокупности N помех на г-ю позицию сигнала:

_ / Л #2 — / Л #2

В случае когерентного приёма сигналов комплексное воздействие структурной помехи, состоящей из N компонентов, определяется не только их энергетикой, но и фазовыми соотношениями помехи и сигнала, а также соотношениями начальных фаз всех составляющих помехи. В этом случае отношение мощности помехи к спектральной плотности шума зависит от обобщённого коэффициента подобия и принимает вид

Исследования влияния структурных помех на качество приёма сигналов обычно ограничиваются рассмотрением ситуации, когда структура помехи на интервале анализа сигнала не изменяется [Коржик 1981; Сикарев, Фалько 1978]. Реально на вход приёмника может воздействовать манипулированная помеха с различными видами амплитудной или угловой модуляции. Скорость манипуляции помехи может отличаться от скорости манипуляции сигнала. Если при этом не выполняется условие кратности скоростей, то помеха «скользит» во времени относительно сигнала. Такая скользящая помеха будет иметь случайный скачок амплитуды и фазы в случайный момент времени Т.

Если закон распределения случайной величины т известен, то выражение для средней вероятности ошибки можно получить традиционным способом. Для этого необходимо усреднить вероятность ошибки при фиксированном значении г в соответствии с законом распределения этой случайной величины. При когерентном приёме подобное усреднение необходимо проделать и для манипуляционного скачка фазы помехи ^^ . Последовательность вычисления средней вероятности ошибки роли не играет. Диаграмма, соответствующая процедуре вычисления средней вероятности ошибки при случайных значениях т и ^^, представлена на рисунке 5.

с2п = у1 + %; у! = У2 - У1 ; % = у% - у%

р^чО

рКчО

Рис. 5. Преобразование моделей качества при когерентном приёме сигналов

Черта над параметром здесь означает среднее значение этой случайной величины. Двойной переход к средней вероятности ошибок, к сожалению, не всегда возможен. Всё зависит от сложности исходной модели и законов распределения случайных величин. Более эффективными в этих ситуациях являются системные методы, позволяющие осуществлять переход от моделей качества при фиксированных параметрах к моделям при их средних значениях, в частности метод интегродифференциального преобразования и параметрический метод.

Интегродифференциальное преобразование связано с непосредственным преобразованием энергии помехи при изменении её структуры. Существо этого метода основано на том, что при изменении структуры помехи уменьшается или возрастает её воздействие на приём сигнала, что отражается на его качестве.

Степень изменения этого воздействия можно учесть путём коррекции эквивалентной мощности помехи. Обычно это делается с помощью построения графических зависимостей помехоустойчивости приёма при различных помехах и последующего их качественного сравнения. В отличие от этого интегродифференциальное преобразование позволяет осуществить непосредственный переход от одних аналитических моделей к другим и получить количественную зависимость качества приёма при изменении структуры помехи.

Возможность осуществления такого преобразования показана на рисунке 5. Здесь этому преобразованию соответствует линия, связывающая модели при неизменных значениях параметров и при средних значениях этих параметров. Преобразование, соответствующее равномерному закону распределения Т в интервале [0, Т] и ^^ в интервале [0, 2п], в дальнейшем назовём В-преобразованием. Это преобразование биективно. Оно отображает модели качества из области фиксированных значений параметров Ти ^^ в область их средних значений и обратно.

В случае некогерентного приёма сигналов модели качества инвариантны относительно фазового скачка помехи. Поэтому усреднение по ^^ здесь не требуется. Однако в данном случае проявляется зависимость качества приёма от характера распределения энергии помехи между сигнальными трактами. Если на протяжении интервала [0, Т] помеха равномерно «скользит» по трактам приёма сигнала, то с помощью ^-преобразования, так же как и при когерентном приёме, можно осуществить биективное отображение моделей качества из области регулярного воздействия помехи на одну из сигнальных позиций в область скользящей помехи и обратно.

Интегродифференциальные преобразования для других видов распределений случайных величин Т и ^^ в настоящее время не известны. Однако и в этом случае имеется возможность связать числовой зависимостью степень информационного ущерба, наносимого помехой, с её структурными свойствами. Для этого можно использовать параметрический метод синтеза моделей качества связи при воздействии структурных помех.

Применение параметрического метода основано на каноническом представлении моделей качества, при котором функциональные зависимости вероятности ошибок в явном виде содержат параметр, характеризующий степень скольжения помехи в интервале [0, Т]. Обозначим этот параметр в. В работе [Чучин 2000] показано, что величина этого параметра заключена в пределах [0, 1/2]. Параметр в равен нулю при отсутствии скольжения помехи и 1/2 - при равновероятном распределении момента манипуляции помехи на протяжении элемента сигнала. Конкретизируя величину параметра скольжения помехи, можно исследовать зависимость качества связи при воздействии разнообразных видов манипулированных

помех. Наибольший интерес это представляет при расчёте электромагнитной совместимости радиосредств, размещённых в ограниченном пространстве.

При синтезе моделей качества, учитывающих наличие в канале связи структурных помех, особую значимость приобретают системные методы, обеспечивающие взаимно-однозначное отображение подмножества моделей когерентного приёма сигналов в область некогерентного приёма и обратно. Это отображение осуществляется либо с помощью ^-преобразования, либо параметрическим методом [Чучин 2000]. Совместное применение Е-преобразования и ^-преобразования позволяет связать в единую систему модели качества когерентного и некогерентного приёма сигналов при воздействии как регулярных, так и скользящих помех. Фрагмент такой системы представлен на рисунке 6.

Рис. 6. Схема интегральных преобразований моделей качества

Вершины, расположенные в нижней части графа, изображённого на этом рисунке, относятся к некогерентному способу приёма сигналов. В параметрическом представлении это соответствует значению параметра, обозначающего эти вершины, а =1. Параметр а здесь и далее введён в целях удобства обозначения. Он связан с параметром оптимальности приема щ простой зависимостью а =1/(2п) и может быть в данном случае интерпретирован как параметр некогерентности приёма сигнала. В верхней части графа расположены вершины, соответствующие когерентному методу приёма сигнала. Этим вершинам соответствует обозначение параметра а=1/2. Слева находятся вершины, соответствующие случаю регулярной помехи (в =0), а справа — скользящей помехе (в =1/2). Пунктиром на графе показаны маршруты последовательного усреднения функционалов качества при когерентном приёме в соответствии с рисунком 5.

Как видно из представленного фрагмента, исходным элементом для синтеза системы моделей качества может служить аналитическое соотношение, принадлежащее любой из вершин графа рисунка 6. Последовательно применяя интегродифференциальные преобразования в прямом и обратном направлении, можно перейти от этого соотношения к другим аналитическим зависимостям, соответствующим остальным вершинам графа.

Рассмотренная возможность преобразования аналитических моделей справедлива при любой статистике замираний сигналов и помех. В качестве примера приведём подсистему моделей при релеевских флуктуациях коэффициента передачи канала, когда сигнал и помеха содержат только флуктуирующие компоненты их энергетических ресурсов (^=^'=0). Замирания сигнала и помехи будем полагать независимыми, а сами сигналы - ортогональными в усиленном смысле [Финк 1970].

В параметрическом представлении это соответствует модели вида

где

а ■■

Ро,о {а;Р),

Г1/ 2 - при когерентном приёме сигнала; I 1 - при некогерентном приёме сигнала;

в =

0 - для синхронной помехи; 1/2 - для скользящей помехи.

В дальнейшем подстрочные индексы д = 0 и ц = 0 временно можно опустить. Тогда один из вариантов подсистемы моделей качества для случая приёма сигналов в условиях воздействия структурных помех будет иметь вид, представленный на рисунке 7. Математические выражения, записанные на этом рисунке, обозначены в соответствии с введёнными выше индексами. Стрелками обозначены реальные связи между моделями, обеспечивающие возможность перехода от одного выражения к другому.

Рис. 7. Система моделей качества приёма сигналов в релеевских каналах связи

Здесь введены обозначения

НПФ =

к

ПФ

кф + кП ф + 2

Нф =

К

кф + КПФ + 2

а также использовано обозначение гипергеометрической функции Гаусса [Прудников 1983]

,(«X (ЬX

2 ^ (а, Ь; с; х ) =

х

; (а)г = а(а + 1)...(а + г -1) .

- (с )г г!

Аналогично могут быть представлены модели для каналов с постоянными параметрами, каналов с замираниями по закону Накагами, райсовскими замираниями и другими видами замираний.

Рассмотренные методы системного синтеза моделей качества передачи информации в условиях воздействия на сигнал структурных помех позволяют охватить широкий круг ситуаций, соответствующих реальным условиям функционирования систем цифровой радиосвязи. Однако даже они оказываются бессильны в случае, когда сложность решаемых задач резко возрастает. Это имеет место при исследовании помехоустойчивости многопозиционных передач с различными видами модуляции сигнала (КАМ, ФМ, ОФМ и т.д.); учёте влияния на сигнал коррелированных и некоррелированных помех при различных вариантах их воздействия (на все позиции одновременно, избирательно на отдельные позиции, скольжение по позициям и т.д.); анализе качества связи при сложном характере замираний сигналов и структурных помех, а также при решении многих других задач.

Объём и сложность задач существенно возрастают при проведении анализа качества параллельного приёма сигналов [Андронов, Финк 1971]. Исследование возможностей повышения качества связи за счёт оптимизации приёма при различных вариантах воздействия структурных помех на приёмные радиотракты (коррелированные помехи во всех параллельных каналах, некоррелированные помехи, помехи в отдельных трактах и т.д.) здесь сталкивается с рядом нерешённых проблем математического характера.

Для их разрешения в дальнейшем могут быть предложены системные рекурсивные методы, не нашедшие пока применения в прикладной математике. Эти методы могут рассматриваться как обобщение процедуры вычисления рекурсивных функций, когда значения искомой и-местной функции для определённого набора аргументов определяется через значения этой функции при других наборах аргументов. Применение рекурсивных методов во многом базируется на эвристическом подходе и осуществимо лишь на основе глубокого изучения свойств специальных математических функций.

Практическая целесообразность исследования этих и ряда других подобных задач состоит в том, что результаты их исследования становятся доступными широкому кругу разработчиков и могут быть использованы ими для обоснования принятых решений при проектировании конкретных образцов техники. В теоретическом плане предложенные системные методы обеспечивают построение иерархически структурированных систем, объединяющих агрегированные подмножества аналитических моделей качества передачи цифровых сигналов в пределах того уровня, которому соответствуют потребности практики.

Библиографический список

Алексеев А. А., Чучин Е. В. Структурно-функциональная организация моделей качества цифровой связи при воздействии комплекса помех // Информационные системы: Теория и практика: сб. науч. работ фак. информатики и вычислит. техники Курск. гос. ун-та. Курск, 2010. С. 103-110.

Андронов И. С., Финк Л. М. Передача дискретных сообщений по параллельным каналам. М.: Сов. Радио, 1971. 406 с.

Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов Л. М. Расчёт помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: справ. М.: Радио и связь.1981. 229 с.

Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука.1983. 750 с.

Сикарев А. А., Фалько А. И. Оптимальный приём дискретных сообщений. М.: Связь, 1978. 326 с.

Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных сигналов. М.: Связь, 1968. 335 с.

Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов. Радио. 1970.

727 с.

Чучин Е. В. Гипергеометрические функции четырёх переменных и их применение в процессе анализа помехоустойчивости приёма цифровых сигналов в райсовских радиоканалах при воздействии структурных помех // Научно-технический сборник / под. ред. А. П. Волкова. Курск, 2000. №3 (131). С. 43-52.