CC BY
60
УДК 621.391.28.037.372
СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ МНОГОПОЗИЦИОННЫХ СИГНАЛОВ ПО КАНАЛАМ РАДИОСВЯЗИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ
© 2012 А. А. Алексеев1, Е. В. Чучин2, Е. Е. Яковлев3
аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: alekseev@russia. ru 2канд. техн. наук, доцент, ст. науч. сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем, e-mail: chew 42@yandex. ru 3аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: re/kerayandex. ru
Курский государственный университет
Предложены системные методы моделирования качества передачи многопозиционных сигналов по каналам связи с переменными параметрами при воздействии белого шума и структурных помех. Синтезированы модели для каналов связи с общим гауссовым коэффициентом передачи и каналов с замираниями по закону Накагами.
Ключевые слова: канал связи, когерентный приём, некогерентный приём, гипергеометрический ряд, четырёхпараметрическое распределение, модели качества, система моделей.
Проблема системного синтеза моделей качества передачи многопозиционных сигналов по каналам с изменяющейся во времени передаточной функцией и влиянием на приём сигнала структурных помех получила частичное решение в работе [Чучин 2000]. В ней для случая некогерентного приёма ортогональных сигналов в райсовских каналах связи было синтезировано соотношение
(1)
в котором приняты следующие обозначения:
(2)
Ап = пкф + п + 1; Вп = (п + 1)йф + п + 2;
“ (а) (Ь) 2т
^3(а, Ь; с, ^; х, у, г) = V -к±1±т-- — —----- гипергеометрическая функция,
к&-0 (С) к+1 №) т к 1! т!
введённая в названной работе.
Полученное соотношение (1), несмотря на его универсальность, позволяющую моделировать качество передачи сигналов при разнообразии свойств среды распространения, всё же имеет ограниченное применение, поскольку оно ориентировано на приём сигнала без учёта его начальной фазы. В то же время большинство многопозиционных систем сигналов строятся таким образом, чтобы наиболее компактно расположить наибольшее количество сигналов в заданном сигнальном пространстве, обеспечивая при этом максимальное расстояние между сигналами. Поэтому современные системы обычно используют когерентные методы как при формировании многопозиционных сигналов, так и при их приёме.
Тем не менее выражение (1) в силу своей уникальности имеет большое практическое значение, поскольку позволяет осуществлять непосредственный переход к моделям для когерентного приёма путём применения к нему ^-преобразования во всех ситуациях, возникающих в райсовском канале связи.
Данное обстоятельство успешно использовано в работе [Чучин, Яковлев 2012], где на основе системного синтеза были получены обобщённые модели качества передачи сигналов по каналам связи с помехой в виде белого шума. При этом учитывался тот факт, что в отсутствии структурных помех (Н^ = о) канал
передачи является симметричным и вероятности ошибок первого и второго рода будут одинаковы р^(М) = Р^(М) = рд(М). Это легко показать на примере двоичного
канала с постоянным значением коэффициента передачи.
Ошибки первого рода возникают при некогерентном приёме в случае попадания помех в тот же тракт, что и передаваемый сигнал. Если помеха воздействует на альтернативный тракт, то возникают ошибки второго рода. Род ошибок обозначен верхним индексом в круглых скобках:
I к_ + к_п 7о ^. р^ 7 Л) _1 ехр - ^_±^п 7о Л).
\ $ " $
При равновероятном попадании помехи в каждый из трактов вероятность ошибки определяется полусуммой этих слагаемых и выражается через ^-функцию Маркума
Р»,» = 2 0.(кп, к).
В случае, когда структурная помеха отсутствует (ИП = о), все эти выражения
(і) 1
р!)» = 2ехР
Р? = РІ2) = Р^ = 0.5ехр(- к2 /2)
что свидетельствует о симметричности канала передачи сигналов.
При воздействии на приёмник структурных помех канал связи становится несимметричным, причём в случае когерентного приёма модели, описываемые выражениями (2) и (3), не являются эквивалентом вероятности ошибок при попадании помехи в различные тракты приёмника, как это имеет место при некогерентном приёме. В данном случае вероятность ошибки не зависит от того, на какой из трактов приёмника воздействует помеха. Тем не менее, преобразуя каждую из компонент, составляющих полную вероятность ошибки, с помощью Е-преобразования и производя их суммирование по тем же правилам, что и при некогерентном приёме, для каждой
ситуации райсовского канала может быть получена своя модель, характеризующая полную вероятность ошибки.
Например, для релеевского канала связи (д = 0, Д = 0) при воздействии синхронных помех (в = 0) на основании (1), (2) и (3) имеем
Ро,о(М>;М) - ^ Рі0 (1Д М) + М—1 р020 (1,0;м),
М М
М -1 1
где ^0 (1ДМ) = У (-1 )и+1 СМ-1 —2— . ,
п=1 П^Ф + АПП
Р00 (1,0, М) = 1 - У (-1 ус;,-2 $ А - 1;
П=0 (Ап ВПП + ЧФ Апп )
АПП = ПК Ф + П + 1
ВпП = (п + 1)^ПФ + п + 2
Выполняя Е-преобразование в случае когерентного приёма, получим
Р,
0,0 \ 2 М-1
2,0; м) - М р010( 2,0, м)+М-1 р020{ ід м) ,
где рЙ( ЇДм) = ^ (-1)”+1
С'П д.
П=1
М-2
1-
пк
М
2 %
Лп + пкФ
1 -у (- 1)"С
п=0
п п М-2
п + 1
В
1 + ВПп - 1
Пп
Впп V
кФ ЛПп
ВПп + кФ ЛПп
і
Л_
(4)
(5а)
(5б)
(6)
(7а)
(7б)
Другие соотношения, используемые в дальнейшем для моделирования качества передачи многопозиционных ортогональных сигналов, представим в виде таблицы 1.
Таблица 1
Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов при некогерентном приёме
Значение параметра Аналитическое соотношение
К = о М-1 Р-АвМ) = 2 (- 1ГСм-А^з(1,в;1 + в,1;*и -л-*я) П=1 м) = 1 -Му (-1)псм-2^ (1в;1+в,2;-1,-У,-1)+ П=0 П + 1 + ^3 (1,в;1 + в1; 1 , )п, 1 )}ехр ) \ + п+1,
нР2 = 0 м-1 у (в; м) - У (-1)"*1 с;-,-^ Ф1 (1,в;1 + в; X,, ) п=1 ;%Ф М-2 X ) ) Р2) в М) = 1 - у (-1)и с;-2 утНЛф + 1}Ф: (1, в;1+, -1;) ти^ПФ
К* = о (^; м) = 2 (- 1)и+1 смм - 4'%+!;! + в;-А И=1 * Ая Ая " ,в;в = 1 - (-1)ИСМ_2-^^{Ф2(1;1 + вД;-АЛЛ/-К'Апьп) + п-0 п п п + (А+1) (1;1 + в,1;-ЛПЛ / В,-А/ЛВи))ехр|-1
1
кП р = 0 м-1 X рЙ в'М) = У (-1)и+1с^^ (1,в;1 + в,1; X ,-2п); я=1 ™ПФ Р в М = 1 - 1 (-1)П См-2 Х А ф+ в Х^ п- ф п + ) п, + (1г2ф +1) ф\\,вирХ X,-а )^ехР [- + пйр2" *
в II о м-1 у РЦ^м) - У (-1)”*1 ^ Ы-г„ .-г,), п=1 П^ПФ М-2 4 ) ) ^2). (0;м) = 1 - У (-1)п с;-2а;Чаф2 (1;1,2; -1п, -4 / А) + А. п = 0 п + (кф +12) п ф (1;1,1; }, 4 / А2 )}ехр ( пНр ] ли2 2 V 55 ’ п п п )> ^ А ^п %Ф * ^п +
в = 0; К Ф = 0 р<;1 <0; м) - 2 (-1)“*' с- ) 1,1,1,-Пп.- Пк' и=1 * Ап Ап ' р{£ (0;М) = 1 - (-1)" СП_2 -Ь{^Ф2 -А^Лп ЛпВп Лп +(Аф +1) Ф 2 (1;1,1;-АП Лп / Вп,-Ар2/ Вп,-Ар2/ Л"В") + 4А )}ехр)-"^2 *
вида (х ,у ,2
\ п ’ * п ’ .
Для сокращения записи на первой позиции в таблице 1 использованы кортежи
(п +1),
п
А
(п + В
НПФ , НПР , Н1>
Пп Пп
Выполняя Е-преобразование для моделей, расположенных на этой позиции при
кПР = 0, для незамирающего сигнала и релеевской помехи получим
РЙ,(тАм) - У (-1)"*1
"-1
М -1
С
1
М-1
П"
вг/е
"к
П"
М-2
рЫЦ.О; М -1 -У (- 1)'С
п-0
П Г^п М-2
п +1
вг/е
пк
п+1
ВПп - 1
В
в/е
Пп
В
Пп
(8а)
(8б)
Аналогичные выражения в силу системных свойств моделей качества получаются путём обратного преобразования Лапласа от (7а) и (7б) соответственно.
Последующее усреднение этих выражений позволяет синтезировать модели качества не только в случае райсовских замираний, но и при других видах флуктуаций сигнала, встречающихся на реальных трассах. Поэтому дальнейшее решение получим в общем виде, полагая, что распределение амплитуды сигнала подчиняется четырёхпараметрическому закону.
Для этого положим (8а) и (8б) кр = к2 и выполним интегрирование в соответствии с плотностью вероятности случайной величины к по Ж4(к). Тогда для общего гауссового канала при релеевской структурной помехе имеем
М _1
Рг,о(2;М) _ У (_ 1)
- М _1*
с с
хг уг
А
К
(4)
Пг
2’2’2; _ с2 ^2 -(С2 ь2 1 _ С2 Ь2 1 _ С 2 Ь2
^ хг 1Рх> ^ уг 1Ру>1 ^ хг *Рх>А ^ уг 1Ру
2;
; (9а)
"
1
г
М-2
Рг!о( 2;М = 1 - ^ (- і)
г=0
-М -2*
\
—{С С Е1
, Х^хг^уг1 1
(4)
г +1
111. ^ ^ ^ ^
2’2’2’ с 2 и2 -С2 ь2 1 - С2 и2 1 - С2 и2
СхгиРх, СугиРу ,1 СхгиРх ,1 СугиРу
2.
______1 П П Е (4)
хг уг 1
В
Пг
1,2,2; пх-щы,і-пхл-тУ
2.
В этих формулах произведена замена индекса суммирования и на г, использована
& М #
другая символика для числа сочетаний С^ =
(сі, СI)
В1, В2 =
хг '
(Ахг, гк2фх + Апу
1 (г Ап >;
и введены обозначения
/С2 С!
АПг^<Фх + ВПг
В , В =
_уг '
{АУГ, гЫфу + Апг)’
1 (г, Ап> •
АПг^Фу + ВП
В соответствии с индексом суммирования здесь обозначено Аг = гЫфх + г +1; Вхг = (г + ї)Ь2фх + г + 2;
Ауг = гК>у + г +1; В,, = (г + 1)/Ф + г + 2;
4г = г^Лф +г +1; = (г + 1)лЛф + г + 2.
Преобразуя (9а) и (9б) с помощью обратного Е-преобразования, перейдём к моделям для случая некогерентного приёма сигналов в общем гауссовом канале при воздействии структурной синхронной помехи
М -1
р?,Ці;м) - У (-1)
Г+1
) М -1&
с„с.
-ехр1
(- СЖ - С);
(10а)
Р1 (1;М) - 1 - £ (-1)'*М~ 2" і{С,С,, ехр(- СІАР, - С;:,*’,)-
г-0
ВПг - 1
г +
і)„в,„ехр(- 5;Л - 5Х)}
(10б)
Используя рекурсивный метод синтеза аналитических моделей, объединим полученные соотношения (9) и (10) в единую структуру, унифицированную относительно способа приёма сигнала. В результате получим
(«,0; М) =
=2(- !)г+19М;16
9 і 6 ехр(- у2)
фу Апг 8 пг
Рф
а + 1, 1/2, а. 1, а +1;
22 р 2 ’ , ’ рф
гН
фу
(11а)
М -2
Р20 «А М) -1 -]—(-1)
- М - 2 *
1
1
г +1 I В
+
+
ехр1
и2)
вф - ГИ1 *
ДПг — 1 + АПгкФу
Д
д
Пг
Пг
-а +1, 1/2, а; 1
1, а +1;
в
22 1 - — ,Ух,Уу,-ф
АХ, *
Д
Пг
фу
г+1
ф
-а +1, 1/2, а; 1
22 — в2 ,Y*,YУ, вф
1, а +1;
фу
г+1
* ■
/ &
(11б)
г
Г
Г
2
1
1
г
а
а
Полученные соотношения объединяют обширное множество моделей, отражающих качество передачи сигналов в многообразии условий, складывающихся на практике. При значении параметра а = 1/2 они характеризуют качество когерентного приёма. При а = 1 приём является некогерентным. Варьируя параметр во, можно исследовать влияние на качество связи асимметричности квадратурных компонент сигнала. Значения величин, обозначаемых символом у, позволяют установить связь качества передачи сигналов с глубиной замираний в канале связи. Переход к двоичным сигналам осуществляется приданием соответствующего значения параметру М. Также легко можно осуществить переход к случаю отсутствия структурных помех. Для этого надо просто положить помеху равной нулю. Канал в этом случае становится симметричным, и для вычисления вероятности ошибки достаточно воспользоваться только выражением (11а).
В свою очередь соотношения (11а) и (11 б) являются основой для дальнейшего обобщения системы моделей. Так, для перехода к райсовской помехе следует осуществить их преобразование по методу Н.П. Хворостенко [1968] в отношении .
Переход к скользящей помехе выполняется с помощью прямого ^-преобразования энергии структурной помехи при любом характере замираний в канале связи. Например, в случае некогерентного приёма сигналов в каналах связи с релеевским характером замираний при воздействии скользящих помех будем иметь
1 . Ц Ап + ПКф +у1кЬГ
р(1)
У0,0
М -1
1п
4'
р£1( ЇА м) -1
м-2
-У(-1)
п—0
С
кф +1
м-2
■ ІП
ЪПф Ап
л
(12а)
(12б)
Ап4кПф Ап (вп + кПф Ап ) х 7
Естественно, что при М=2 из (12а) и (12б) следуют модели для случая использования двоичных сигналов, полученные в [Чучин, Яковлев 2012].
Четырехпараметрическая модель, несмотря на её универсальность, не способна охватить всё многообразие законов распределения амплитудной компоненты коэффициента передачи радиоканала. В ряде случаев, особенно на трассах подвижной радиосвязи, отмечаются флуктуации амплитуды сигнала, подчиняющиеся закону Накагами [Пышкин 1980]. Поэтому в дальнейшем синтез моделей качества проведём применительно к этому закону. Это тем более важно, поскольку закон Накагами является достаточно простой аппроксимацией общего гауссового распределения [Кловский 1969].
На основании таблицы 1 для случая некогерентного приёма ортогональных сигналов при воздействии незамирающей помехи будем иметь
р... <і, в; М = /р.» (і, в; м)шт ,
0
где (1, в; М = -1 (1, в; м) + М—1 рі2і (1, в; м),
(13а)
РЇІ (1, в; м (2) (1,в; м)-
М-2
М -1
у (-1)»1
П=1
С
М-1
п +1
р (2)
М
* пН2
1;1 + в,1;- п
п +1 п +1
1 -
2 (- і)"с,
п=0
\п
м-2
(п + 1)(п + 2) Р) п +112) п +1
пИ
И2 V *
1;1 + в,1 + ї,-
(п + 1И (п + 1)И2
п + 2 ’ (п + 1)(п + 2) &
п
1
п
2
1
Вычисляя значение интеграла в (13) с учётом распределения Жт(И) по закону Накагами, получим
М -1 1 *
РІП(1./Є.М) - У (-1)”*1 СМ.-1 — Фі[ 1,ш,1 + в,1;
4-1 п+1 )
№. <і,в, М -1 -
пН1
(п + 1)т ’ п +1
(13б)
М-2
П ґ~уп М-2
тт (п + 1)т 1 * т(п + 1)й(2 "
т
тп і-(
А
т
тп
1, т + і;1 + і,1 + /3-
(п + 2)Атп’ п + 2
(п + 2)4 _
где Атп = пИ0 + т(п + 1);
Л02 - среднестатистическое отношение сигнал/шум при замираниях Накагами.
Усредняя соотношения (13а) с учётом распределения амплитуды помехи Жт(ИП), аналогично получим
М-1 і
м) = У (-1Г СМ-1—
п=1 П + 1
п + 1
М-2
1, т, т';1,1 + в;
пНп
в;М -1 -2 (- !>'смм-2 ( ,¥ 2)
(п + Цп + 2)
(п + 1)т (п + 1)т' 1 ) т(п +1) &
А
і
■2
і-0
т(п + і)И{
А„
Я,
1, т + і, т’ ;1 + 7,1 + в;-
(п + 1)Н
(14а)
(14б)
2
'ПО
(П + 2)Атп (П + 2)т' )
где т' - параметр распределения Накагами, характеризующий глубину замираний помехи, кПЛ0 - среднестатистическое отношение помеха/шум при замираниях
Накагами.
Полученные модели позволяют спрогнозировать качество связи для тех ситуаций, когда законы замираний сигналов и помех совпадают. Реально они могут различаться. Для расчета качества передачи сигналов в этом случае следует в процессе усреднения использовать соответствующую плотность вероятности Ж(И) или Ж(ИП).
Так, проводя усреднение (13а) по ИП в соответствии с законом Райса, для случая воздействия синхронных помех (в=0) получим
М-1 і
(1,0,м)- у(-\Т'СМ,-1— ч>
А
Пп
1, т; 1,1;-
пНп пкЛ
2 \ ПР
* т(п +1)% Л * ткі" А I А
тА
Пп
А
р-(1Д М=1-Ъ^ - Т^в
где Атп = пН0 + т(п +1); = пкПф + и +1;
Пп &
*1, т + і;
1 + І,1 АтпВПп
(п + ФП р"
Ви„
(15а)
(15б)
впп = (и + 1)к^ф + п + 2.
Аналогичным способом можно синтезировать модель для альтернативного случая, когда сигнал замирает по закону Райса, а структурная помеха - по закону Накагами.
Варьируя значения параметров т, т’ и д, д’, можно получить множество частных моделей, определяющих качество передачи сигналов на трассах связи с различными условиями распространения радиоволн. Например, полагая в (15б) значения т = 1, =
0, получим формулу для расчёта вероятности ошибки при релеевских замираниях сигнала и помехи. При отсутствии структурной помехи из всех приведенных соотношений следуют выражения, приведенные в [Чучин, Яковлев 2012] для случая воздействия помех в виде белого шума.
Обилие возможных вариантов не позволяет провести их анализ в рамках одной работы. Больший интерес здесь представляет моделирование качества передачи
2
п
(
2
И
тп
сигналов в ситуации, когда флуктуации сигнала и помехи полностью зависимы. Такая ситуация возможна в случае двулучевого распространения сигнала при небольшой разности хода лучей.
Для синтеза моделей качества в этом случае необходимо связать мощность помехи с мощностью сигнала соотношением РП = КРС , в котором коэффициент К определяет энергетическую связь между лучами, поступающими на вход приёмника, а затем провести усреднение вероятности ошибки во всём диапазоне изменения соотношения сигнал/шум. Так, для случая флуктуаций сигнала по закону Накагами получим
Р.
(1)
М -1 і
(\,Р;М) - V (-1)”*1 СМ,_ — П-1 П + 1
К
т,1;в +1,1;-
пН,
2 \
кпН02________________
т(п +1)’ т(п +1)
(16а)
Рт \ і, в; М) = і -
М-2
-1-. (- і)"см -
(п + і)(л + 2)" Л„ $
НІ (п + і)2 КН02 # (16б)
1 + /Д + в Лтп (п + 2) Лтп (п + 2)
где Е4(...) - функция Аппеля [Прудников 1983].
При отсутствии структурной помехи значение К=0 параметр в теряет смысл,
канал становится симметричным (рт = рт)) и модель качества передачи М позиционных сигналов принимает известный [Коржик, Финк, Щелкунов 1981] вид
Р
м-1
;2(- *
Г=0
(М -1%
1
г +1
1 + ■
гН
2 \
г(г +1)
т(г +
Синтезированные здесь аналитические соотношения, моделирующие качество передачи сигналов по цифровым каналам связи, охватывают сравнительно небольшую часть статистических ситуаций, возникающих в процессе эксплуатации современных и перспективных систем связи. В основном были рассмотрены вопросы, когда структурной помехой был поражён только один из трактов приёма ортогональных сигналов. Дальнейшему рассмотрению подлежат модели, учитывающие влияние помех одновременно на несколько трактов.
Реально используемые сигналы в большинстве ситуаций не являются ортогональными. Для их передачи могут использоваться несколько параллельных каналов, в разной степени подверженных воздействию помех, имеющих разнообразную структуру. Замирания сигналов и помех в каналах передачи могут происходить по различным вероятностным законам, коррелированно или некоррелированно друг с другом. Алгоритмы приёма сигналов, приходящих по нескольким параллельным каналам, могут существенно различаться. Всё это вызывает значительные сложности при проведении исследований, включая процесс синтеза аналитических моделей.
Очевидно поэтому многие важные для практики вопросы не получили в настоящее время надлежащей проработки. Осуществить их решение можно на основе системных методов, предложенных в рамках работы [Чучин 2012].
Библиографический список
Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М.: Связь. 1969. 375 с.
Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов Н. Н. Расчёт помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: справ. М.: Радио и связь.1981. 229 с.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука.1983. 750 с.
і
-
Пышкин И. М. и др. Системы подвижной радиосвязи. М.: Радио и связь. 1986.
328 с.
Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных сигналов. М.: Связь. 1968. 335 с.
Чучин Е. В. Применение многомерных гипергеометрических функций для анализа помехоустойчивости некогерентного приёма многопозиционных сигналов цифровой радиосвязи // Научно-технический сборник / под ред. А. П. Волкова. Курск, 2000. №3(131). С. 63-71.
Чучин Е. В., Яковлев Е. Е. Система моделей качества передачи информации в общем гауссовом канале (статья в настоящем номере).
Чучин Е. В. Технология системного моделирования качества передачи цифровых сигналов при воздействии структурных помех (статья в настоящем номере).
