Аналитический базис моделей качества передачи информации по каналам цифровой связи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.28.037.372

АНАЛИТИЧЕСКИЙ БАЗИС МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ ПО КАНАЛАМ ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ

© 2012 А. А. Алексеев1, Е. В. Чучин2, Е. Е. Яковлев3

1аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: alekseev@russia. ru 2канд. техн. наук, доцент, ст. науч. сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем, e-mail: chew 42@yandex. ru 3аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: re/kerayandex. ru

Курский государственный университет

Изложены аналитические основы синтеза моделей качества передачи информации по каналам цифровой связи. Показана возможность использования аппарата многомерных гипергеометрических рядов при создании блочных матричных структур моделей качества. Предложены новые виды гипергеометрических рядов и

интегродифференциальных преобразований для построения системы моделей.

Ключевые слова: канал связи, гипергеометрический ряд, четырёхпараметрическое распределение, модель качества, система моделей.

Практическая реализация системного моделирования качества цифровой связи напрямую зависит от аналитического базиса, на основе которого строится система моделей. Под аналитическим базисом здесь понимается совокупность используемых математических теорий включая их математический аппарат и приёмы работы с ним.

В отличие от решения конкретных задач здесь требуется использование различных научных направлений и специальных методов для синтеза и последующей структуризации аналитических моделей в соответствии с их рангом и уровнем сложности. Современная теория пока не даёт ответа на ряд принципиальных вопросов, связанных с построением и преобразованием подсистем моделей качества. К их числу можно отнести следующие:

1) какие из известных математических функций следует использовать в качестве базисных для построения моделей качества передачи сигналов?

2) каким образом можно осуществить переход от моделей для одних методов приёма к моделям при других методах приёма сигналов, например от когерентного приёма к некогерентному приёму и обратно?

3) с помощью какого преобразования осуществляется переход от моделей качества при воздействии синхронных помех к моделям для случая скользящих помех и обратно?

4) до какого уровня иерархии следует обобщать отдельные подсистемы моделей в метасистемы с точки зрения возможности и целесообразности такого обобщения?

а также ряд других вопросов.

Целью настоящей статьи является ознакомление специалистов с некоторыми новыми результатами, составляющими основу аналитического синтеза моделей

качества при передаче цифровых сигналов по каналам связи с разнообразными характеристиками среды распространения и различными методами обработки сигнала в приёмнике.

Аналитической основой системного представления моделей качества служит многомерный матричный подход, используемый в настоящее время при анализе линейных систем в пространстве состояний [Виноградов 1977]. Многомерные матрицы являются естественным аппаратом описания, моделирования, анализа и синтеза решетчатых систем. В аналитическом плане они эквивалентны блочным многоуровневым таблицам.

Алгебраическое представление многомерных матриц позволяет осуществлять различные операции над ними, включая операции кронекеровского произведения, сложения, агрегирования, декомпозиции, векторизации и девекторизации матриц. Эти операции используются при блочном анализе чувствительности систем, управлении многообъектными, многоэтапными системами, решении многоиндексных задач оптимального управления и линейного программирования. Практические потребности системного моделирования качества передачи цифровых сигналов по каналам радиосвязи показывают необходимость проведения исследований по согласованию структуры моделей качества с их размещением в многоуровневой таблице, описываемой многомерными матрицами.

Блочность и многоуровневость моделей качества обусловлены решетчатой структурой операторов канала связи и композицией их участия в формировании и передаче сигналов. Блочному построению обычно соответствует система передаваемых сигналов (ортогональные сигналы, биортогональные, симплексные и т. д.). Отдельными блоками в соответствии со структурными свойствами могут быть представлены помехи, действующие в канале связи. На основе различных принципов могут быть выполнены устройства обработки принимаемых сигналов и блоки процедур, реализуемые в соответствии с этими принципами. Всё это определяет качество передачи сигналов по каналу связи и должно учитываться в процессе моделирования.

Системообразующие элементы, формирующие матричное представление моделей качества, можно объединить в следующие семейства подмножеств:

1) базовые функции, используемые для построения моделей в соответствии с блочным принципом;

2) аргументы базовых функций, системно развивающиеся по мере пополнения сведений о параметрах канала связи;

3) параметры, характеризующие принадлежность моделей соответствующим ячейкам многоуровневой блочной таблицы;

4) коэффициенты, определяющие вклад различных факторов в обеспечение качества передачи сигналов.

Связующим звеном этих подмножеств являются гипергеометрические ряды многих переменных [Прудников 1986]. Их использование вместе с квазидетерминированным подходом к описанию сигналов и помех [Сикарев, Фалько 1978] позволяет удачно сочетать значения параметров гипергеометрических функций с параметрами сигналов, свойствами аддитивных и мультипликативных помех, а также с алгоритмом работы приемника. При этом элементы каждого подмножества формируются по многоуровневому принципу, позволяющему осуществлять переход от общего к частному, сообразуясь с поставленными исследовательскими задачами.

Теория многомерных гипергеометрических рядов, несмотря на ее простоту и привлекательность, пока не нашла надлежащего применения в практике моделирования и ориентирована в основном на внутренние математические нужды. В результате

введённые в рассмотрение и исследованные многими математиками гипергеометрические функции, по существу, не затрагивают разделы, изучаемые в теории передачи сигналов, и, как следствие, большая часть полученных в настоящее время результатов в этой области не систематизирована. Более того, отсутствие аналитического базиса системного моделирования качества связи ограничивает возможность получения новых результатов для широкого класса радиоканалов, осваиваемых современными средствами связи.

Эффективность применения гипергеометрических рядов наиболее наглядно проявляется при исследовании общего гауссового канала.

Из многочисленных публикаций следует, что общая гауссова четырехпараметрическая модель канала связи пригодна для описания радиоканалов различного назначения в различных частотных диапазонах [Кловский 1969]. С её помощью можно исследовать качество передачи сигналов при рассеянии радиоволн в тропосфере и ионосфере, при отражении радиоволн от естественных и искусственных образований, земной и водной поверхностей и во многих других ситуациях.

Универсальность этой модели позволяет создать иерархически стройную систему аналитических соотношений, обеспечивающую непосредственный переход от верхних уровней к нижним, либо функциональное отображение одних подсистем моделей на другие.

Одномерное распределение модуля коэффициента передачи канала при общем гауссовом распределении имеет вид [Кловский 1969]

Это распределение зависит от четырёх параметров [лРх, ^Ру, [лфх, [лфу и поэтому названо четырёхпараметрическим. Здесь:

— IиРх и [1Ру — регулярные компоненты квадратурных составляющих

комплексного коэффициента передачи канала ^);

— [Лфх и /ифу — флуктуирующие компоненты квадратурных составляющих,

'-'2 о ,_2 2 о _2

определяемые их дисперсией: /ифх = 2ах , ^фу = 2ау.

Распределение (1) исследовалось многими авторами. Однако сложности, связанные с вычислением интеграла, не позволили получить W4 (м) в форме, пригодной для практического использования при вычислении вероятности ошибок в четырехпараметрическом канале. Даже в случае трёхпараметрического распределения Бекмана, когда

Решение (1) в замкнутом виде можно найти, если ввести в рассмотрение гипергеометрическую функцию и-переменных

ёф, 0. (1)

^Ру ~ 0

замкнутое выражение для Ш3 (и) не получено.

(2)

где (а\ = а(а +1)...(а + к -1) ; (ь\+т = (ь\ (Ь +1)т;

а и Ь - любые рациональные действительные числа; к, I и т - целые неотрицательные числа.

Тогда, разлагая подынтегральную функцию в ряд, производя почленное интегрирование и суммирование слагаемых, четырёхпараметрическое распределение (1) с учётом (2) можно представить в виде

2м

&

МФхМФу

ехр

где Ф Е3) - частный случай фЕ”) при п = 3.

М

МФу

(п )

у2!

Ф (3)$ !• 1Е I 2- -

М

МФу

_1_

в

м2у1

МФфу

М2г2у # МФу

(4)

При выводе (4) без потери общности было положено < /Л . При этом

введены обозначения: в

>2

'ф

Гх2

2

МРх

М<Фх

2 ^Ру 2 2 2

^ = Гх +г^. (5)

Фу Г-Фх МФу

Представление (1) в виде (4) позволяет сформировать систему функций распределения при различных соотношениях между параметрами канала связи. Так, при /л^у = 0 (лрх = Лр) распределение Бекманна приобретает вид

2/л

МФжМФу

V (а)

-ехр

ц

МФу

■~гЖ

Ф.

%

1. 1. М

2’ ’ МФу

1 -

2 2 # М Мр

4

МФу

- известная гипергеометрическая функция двух

Ж3 (м) =

где ф 3 (а; Ь; х, у)- ----

6=0\Ь)ш К переменных х и у [Виноградов 1977].

При симметрии канала по флуктуирующим составляющим ( ^фх = ^фу = ^ф )

сумма по кх в (2) вырождается. Тогда, вводя в рассмотрение функцию

0 Р\П) (!; *Ъ х2 хп ) = 10 (2л/ х1 + х2 + ••• + хп ),

при п = 2 будем иметь двухпараметрическое распределение Райса

(6)

№2 (и) = —ехр

Иф

2и & И2 +Л2'

иФ

0

(2)

2 2 2 2 & И Их И Ир # 1; ■

\

4

Иф

4

Иф

/

2И

— ехр

Иф

$ И2 +Ир2 V/ 2ииЛ

иФ

иФ

(7)

где

2 2.2.

= ^Рх + ^Ру;

10 (1) - функция Бесселя.

Аналогично из (3) получаются распределения для других ситуаций четырёхпараметрического канала. Их полный перечень представлен в таблице ниже.

1

0

Параметры Распределение модуля коэффициента передачи канала

1 2

РТХ ,№Ру * 0 2 2 п №фх >№фу * 0 Ш (,,) ^М ехр & 2 # I--М--У2 и2 71 % МфУ Ф(3) Е & 1-у м2 %2- • мФу 1 - в, м2у1 М2гу; #

* * 4 \ М) — ехр МФхМФу ’ 2 ’ 2 МФу МФу

Продолжение таблицы

Параметры

Распределение модуля коэффициента передачи канала

РЪ ,рРу * 0 Цфх = 0,рфу * 0

2а

-^■^Ифу И?х )

ехр

& 111 АРу А 2 — Ар; #

2 ’ 2 ’ 2 ’ А;у ’ Афу

2 2 2 п МРх ,^Ру ,№фх * 0

222 Мфх = №фу = Мф

^2 (л) = ~^Т"ЄХр

22 & Л + Лр #

2

ЛФ

2

ЛФ

2лЛр

2""

ЛФ

2 2 _ п ^Рх, ^Ру ” 0

22 ^Фх >^Фу * 0

^2 (и) = ‘

2и

ИФхИФ

У

& 2 И ' 1 1 # & 2 И ' 1 1 '

ехр 2 % 2 ИФх + —Г ИФу ^0 2 % 2 ИФх Т~ ИФу

Ир = °>№ру * 0 Цфх = 0>№фу * 0

wг (И)-

■\1П№фу

■ ехр

/ 2 , 2 \ / И + Иру

2

Ифу

22

1 И Иру

2

4

ИФу

И Рх , И ]=>■ _ 0

2 _ 2 _ 2 ИФх _ ИФу _ ИФ

Ы = ^гехр

^ехр

& £_ #

2

Ифу

1

2

о

2

2

В процессе исследования радиоканалов с общим гауссовым распределением естественно предположить, что такому же виду распределения подвержена и амплитуда структурной помехи. Поэтому в дальнейшем для обозначения коэффициента передачи канала при прохождении помехи будут использоваться аналогичные символы с дополнительным подстрочным индексом, обозначающим помеху

^4 (Мп )= / (М ПФх , МПФу , МПРх , МПРу ).

Полагая независимость распределений W4 (^) и Ж4 (^п), можно получить систему моделей, элементы которой будут отражать качество передачи сигналов при произвольном сочетании параметров, характеризующих сигнал и структурную помеху. Для этого необходимо расширить аналитическую базу моделирования в плане введения новых гипергеометрических рядов.

С этой целью введём в рассмотрение новую гипергеометрическую функцию 2п переменных

ф

п п

■ а1,а2,Ъ,сх,с2; Х1,Х2,...,Хп 4, йг, /и и Y1,Y2,...,Yn

V (а1+...+.„(П1 22...Хп у/1у22-уп (8)

(4 11 —2 ШИ П П ':.*» ! ! .

Считая, что в обобщённом канале связи сигнал и структурная помеха имеют по четыре независимых параметра, в дальнейшем достаточно ограничиться значением п = 4.

Эксклюзивным свойством данной функции является то, что при отсутствии аргументов Х1 и Ух она обобщает функции, определяющие качество цифровой связи в каналах с райсовскими замираниями сигналов и структурных помех. При этом она может быть представлена с помощью ряда

Ф

со, x, y, z

(a ),

k+l+m (b)m+n (c)k °k X У" z

,a . .b. .c . ,.-k — l - .m _n

k,l]L (d)k+i (fX )m (f2 )„ k l! ml n\

(9)

3/2;

Другим важным свойством обобщённой функции п Фп )является

независимость её вида по отношению к количеству аргументов с индексами [2, п—1]. При равенстве их нулю изменяется только количество суммируемых слагаемых. Само же представление функции остаётся прежним. Данное обстоятельство позволяет проводить преобразования суммируемых рядов, обеспечивая понижение порядка суммирования.

При отсутствии в составе ряда аргументов У^ . Уп (в данном случае это соответствует отсутствию структурной помехи) обобщённая функция принимает вид

т, x, y, z

(4 (bA- (b2>. тху

m _n

z

(10)

№=0 (cl+l+m (d)n k! l! m!n!

Ряды (9) и (10) в силу их некомпликтивности (Incompleteness (англ.^ - неполнота, незавершённость) ранее в математике не рассматривались. Однако их роль при исследовании общих гауссовых каналов и непосредственная связь с (8) служат весомым доводом для практического использования. Понижение размерности этих рядов приводит к функции

(а)ы,А )i (Ъ2 , (11)

0 Ф 3

а, Ъх, ^2;

х, У,2 = а / \

С, Л; " к,1 ,т=0 \с)к+1 )п

которая следует из (9) при 1=0 или из (10) при х=0.

В свою очередь для (11) имеем

2

k ,/ ,m=0

к! /! m!

0 ф 3

а,Ь^,Ь^, c, d;

0, y, z

(а а)к+1 (Ь1 Yk y z uf ( u j Y

z ()( Y—ггт=^1abi;c,d;y,z); k%0 (c)k (c2 Yl k! l!

(12)

0^3

x.0. z

= | (a>*>■><-fe>i x_z_ = f2(a,*1,*2.c,d.x.z>; (13)

k .l=0

(c >k (c2 >i

k! l!

Га, b #_; \ $

& &,&; & ■ &\ \

((b ткк'-фЛa,Ф,c;ф■ &); (14)

— Ф, - a, d $ с $ —$—, $ )a \ ’ —- — 1-a

(15)

Дальнейшие преобразования введённых гипергеометрических рядов при вариации входящих в них аргументов и параметров выполняются с использованием

свойств функций двух переменных: (...), ^2 (...) и (...) и известных из

справочника [Прудников 1986].

С помощью функции 4 Ф 4 можно создать аналитическую модель качества передачи двоичных сигналов в четырехпараметрическом канале связи для случая воздействия произвольных помех, имеющих произвольную частотно-временную структуру. Однако при сложной структуре помех желательно представлять их в виде

совокупности простых колебаний. При этом число параметров гипергеометрического ряда может существенно увеличиться, что приводит к необходимости использования функций п переменных вида

го

ч'г’)(а; К b2,..., К; х1, х2,..., хп) = ^

Х^1 у^2 ХК\

Л2+-+^п Л1 2 Лп

+к2 +.. -+кп

=0(Ъ1\[ъ2\..(ъп\ ^ к2Г кп\

Для каналов с райсовскими замираниями модели качества передачи сигналов целесообразно представлять в виде суммы двух слагаемых [Чучин 2000]. Одно слагаемое характеризует вклад, вносимый в помехоустойчивость приёма регулярной составляющей сигнала, а второе - флуктуирующей. Это справедливо и при наличии в канале связи структурных помех. В этом случае формирование моделей осуществляется на базе гипергеометрических функций, введённых в работах [Чучин 1998] и [Чучин 2000]. Число аргументов при этом будет не более четырёх, и все подсистемы моделей могут быть объединены единой обобщённой функцией Га, Ъх, с1, с2;

й, Ь2,с3;

м>, х, У,2

- .1

(«)к+і+т+п (Ьі)к+1 Ык(С2)т Xі Ут 2П

к,1Жп=0 &) к+1+т (Ъ2 )к+; (сз)и к т! п!

Из (16) следуют две новые функции, ранее в математике не использовавшиеся:

(16)

а, Ь, Ь';

х, У, г

с, ё, ё';

; с.

(а) к+1+т (Ь)к (Ь' \ х У г

1 “3 _ ' ^ У," _ 1=0 (С)к+1)к Мт к 1! т!

где Е 3 (а, Ь, Ь; с, 1, 1 ' ;0, у, г) = Ф1 (а, Ь' ;с, 1' ; у, г);

Г^2 (а; с, йх, г),......(Ь = й);

! ^2 (а; й, й'; х, г),..(Ь = с);

Е 3 (а, Ь, Ь'; а, 1, 1х, >,,0)=1 ^ (Ь, 1; х) (Ь'; у )

2 3 (а, Ь, Ь' ;с, й, й'; х,0, г) =

(17)

(18)

2) Ез (а, Ь, Ь'; с, Ь, ё'; х, у, г) = ^(а, Ь'; с, ё'; у, х, г),

а, Ь;

X, .у, г

(а),+1+т (Ь), х^У ^ .

(с) к+1 (ё )т к ! 1! т!

к,ї~т=0 Vі'/к+1

(19)

00 (а) 7т

^3(а,Ь;с,ё;0,у,7) = V -------------—-----------= ^2(а;с,ё;у,7);

3 ' ’ ’ ’ ’ ’ ; 1 тт=0 (с) 1 (ё)т 1\ т! 2 ' ’ ’ ’ ^ ; ’

(а, Ь; с, ё; х,0, г) = V 77 (а,ъ; с, ^; х, г); (20)

*£о (с)к (ё)Г к\ т\

Ч3(а,Ь;с,ё;х,у,0) = ^ (Ь)* Х_У_ = фі(а,Ь;с;х,у).

к,1=0 (с) к+1

к! 1!

Представленные в этих соотношениях гипергеометрические функции двух переменных известны из справочника [Прудников 1986].

Семейство аргументов функций в моделях качества строится по многоуровневой схеме. В основе построения лежат независимые переменные кр2, Н^, , кПФ.

Дальнейшая модернизация аргумента представлена в виде кортежей и отдельных формул:

(я1, И2, И2) = т Ы1, к2, к1Л к! = 0;

т

Н 2 Н 2 Н 2

ПР^ ^ПРО’ П ПФ0

Н 2 Н 2 Н 2 Н 2

р ? -*■* ф ? -*■* ПР’ ПФ

кф + д

2 і к-р, ^пр, Л]пф

кПФ _ 0;

1

иф + ил фОі + д2 1

И2 + И! (%>

,еФ т ^Ф км 1

+ д2

(ИР2, Иф, И^рО^, ИПфС^), а =1;

Ир2, ИІ, ИПр(%Км, , а = 1/2;

ИПФ + ИФ + ^

и2 И2,л2 ,л2

2 \ Р’ Ф’ ПР’^ПФ /’

^2 — ^ 2 _ і.

— ^КЫ — А’

ИД

И2

И л

ИФ + ИПф САм + 5

И с

ИПФ САМ

ИФ + ИПФ САЫ + 5

И2

И2

И2

2 ’

Иф + ИПф с2м + <5

И 2 с 2

_ __________ИПФ С2Х______

ИФ + иПф с2ы + 5"

Н2 = ^ (к + А )2;

Ч п

?п

Ні - ^ (Аш+Ап,) ;

0Д’

ЯПод) = ,2 г 1 ^;

hПФGДN + ^

02

> ^П 02 ) = ,2 Г2 с 2 > ^ш) ;

hПФG2N + ^

Ч = Ьр1 Ьф, Чп = ^пр 1 ^пф

Входящие в состав этих формул сомножители , СдМ , представляют

собой систему весовых коэффициентов, несущих информацию о степени влияния помехи на качество передачи сигналов при изменении её структуры. Эти коэффициенты пропорциональны подобию помехи, состоящей из N взаимно связанных составляющих, передаваемым сигналам. Они формируются на основе корреляционных зависимостей помехи и сигнала по следующим правилам:

(Ош + 02м )2, (Ош - )2 \ - при некогерентном приёме;

а

0

при когерентном приеме сигнала.

С2 = У2 + У% • С2 = У2 + У% •

А Ш Ш’ 2N 2N т ^ 2N9

у2

х 11

N

2 ^1«

п=1

3%

А Ш

N

2 %

п=1

у2

х о

N

2 У2 п

п=1

п=1

% = у2 + у% • к2 =

^ д^ т ^ д^ 1 ДN

- N 2 % N "

^ Уд» }% = ’ А ДЫ | %

Угп =

т т

Р р т I2' 0 ) *пп (> )Л, УГП - Р ' Р /%' ) "пп (< )Л ,

ЛІ^Є^Пп1 0 УІГЄГПпГ о

где 2г ) и 2пи ) - функции, определяющие структуру г-го сигнала и п-й

помехи во времени;

~г (і) - функция, сопряжённая с zr () по Гильберту;

Рс и Рп - мощность сигнала и структурной помехи на интервале принятия

решения Т;

r = І, 2; n = 0...N.

В том случае, когда в канале связи действуют N независимых помех, эквивалентные отношения сигнал/шум и помеха/шум, определяющие структуру аргументов в моделях качества связи, принимают вид

При этом видоизменяются и коэффициенты подобия, которые в данном случае характеризуют степень схожести каждой п-й помехи с г-й позицией сигнала. А именно:

Приведенные соотношения справедливы при различных методах приёма сигналов. Степень когерентности приёма учитывается параметром а. Верхние

различной ортогональности сигналов обеспечивается с помощью параметра д2, который равен 1 в случае противоположных сигналов и 2 - при ортогональных сигналах. В дальнейшем будет также введена в виде параметра величина в, характеризующая степень изменения структуры помехи на протяжении сеанса связи.

Для объективности сравнения воздействий различного рода помех на качество связи в ряде случаев следует зафиксировать отношение полной энергии структурной помехи к полной энергии сигнала: К= ИП0/h0 = const. При этом независимые

переменные hp, h2, к'Пр, кПФ, определяющие величину аргументов

гипергеометрического ряда, целесообразно выразить через зависимые величины h0, q,

q\ K. Тогда кортеж переменных, определяющих значения аргументов гипергеометрического ряда, будет записываться в виде

В этом случае переменной величиной обычно является , а остальные

выступают в роли параметров.

Рассмотренные подмножества функций, их аргументов, коэффициентов и параметров системно формируются в процессе моделирования операций,

а = 1/2;

а = 1;

выражения под фигурной скобкой соответствуют некогерентному приёму нижние - когерентному приёму сигналов Модификация аргументов при

осуществляемых при передаче сигналов по каналу радиосвязи. Каждому семейству подмножеств соответствует своя модель качества. Модифицируя элементы этих подмножеств, можно переходить от одной модели к другой, формализуя процесс синтеза новых моделей.

Особенно просто это выполнить в случае перехода от моделей более высокого ранга или уровня иерархии к моделям на нижерасположенных уровнях. Однако для синтеза обобщённых моделей качества использование только этих подмножеств недостаточно. Здесь необходимо располагать методами системных преобразований, переводящих известные модели в смежные по отношению к данным видам преобразований, состояния.

К числу таких преобразований следует отнести:

1) усреднение модели по случайному параметру при известном законе распределения этого параметра;

2) преобразование моделей в рамках райсовского канала связи по отношению сигнал/шум операторным методом, предложенным Н.П. Хворостенко [1968];

3) применение операторного метода с использованием таблиц ^-преобразования Лапласа-Карсона по отношению к энергии структурной помехи при переходе от моделей релеевского канала связи к моделям для случая райсовских замираний помех и помех с постоянным энергетическим уровнем;

4) интегральное Е-преобразование отношения сигнал/шум при переходе от моделей некогерентного приёма к моделям когерентного приёма сигналов;

5) интегральное ^-преобразование отношения помеха/шум при переходе от моделей, характеризующих качество связи при воздействии синхронных помех, к моделям для случая скользящих помех;

6) обратные интегродифференциальные Е1 и ^-преобразования, переводящие модели качества из области когерентного приёма в область некогерентного приёма и из области скользящих помех в область синхронных помех соответственно.

Последние три вида преобразований являются новыми и до настоящего времени неизвестными не только в теории связи, но и в математическом плане. Аналитической основой этих преобразований служат интегродифференциальные уравнения Вольтера первого рода. Применение интегральных преобразований по своему принципу подобно матричному конструктору, когда путём соответствующего разворота отдельных элементов кубической матрицы, её столбцов или строк можно получать различные изображения на поверхности матрицы.

В ряде ситуаций, имеющих наиболее общий характер, классическими методами получить модели качества не представляется возможным. В этом случае они являются результатом рекурсивного синтеза, основанного на симбиозе методов, применяемых в классической математике, в её конструктивном и интуиционистском направлениях. Модели этого вида получаются обобщением частных зависимостей в единую структуру на основе известных и новых свойств гипергеометрических функций нескольких переменных. Критерием соответствия модели исходной обстановке служит совпадение результатов аналитического моделирования с численными расчётами, полученными на основе исследования интегральных зависимостей.

Для проведения таких расчётов на персональном компьютере достаточно использовать программный продукт «МаШСАО». Использование этого пакета прикладных программ обеспечивает эффективный расчёт гипергеометрических рядов всех рассмотренных видов. Вычисления существенно упрощаются, если они выполняются на основе рекуррентной процедуры, в основе которой лежат встроенные в пакет «МаШСАО» гипергеометрические функции Гаусса и Куммера. Конкретные результаты по построению системными методами моделей качества передачи

цифровых сигналов по каналам радиосвязи представлены в следующей работе авторов [Алексеев, Чучин, Яковлев 2012].

Библиографический список

Алексеев А. А., Чучин Е. В., Яковлев Е. Е. Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов по каналам радиосвязи при воздействии структурных помех (статья в настоящем номере журнала).

Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М.: Связь, 1969. 374 с.

Математическая энциклопедия / гл. ред. И.М. Виноградов. Кн. 2. М.: Сов.

Энциклопедия, 1977.

Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука.1986. 800 с.

Сикарев А. А., Фалько А. И. Оптимальный приём дискретных сообщений. Связь. М., 1978. 326 с.

Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных сигналов. Связь. М., 1968. 335 с.

Чучин Е.В.. Обобщение двухмерных гипергеометрических рядов в интересах анализа помехоустойчивости цифровых линий связи // Научно-технический сборник / под ред. А. П. Волкова. Курск, 1998. №1(124). С. 23-31.

Чучин Е. В. Гипергеометрические функции четырёх переменных и их применение в процессе анализа помехоустойчивости приёма цифровых сигналов в райсовских радиоканалах при воздействии структурных помех // Научно-технический сборник / под ред. А. П. Волкова. Курск, 2000. №3(131). С. 43-52.

Чучин Е. В. Яковлев Е. Е. Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов по каналам связи при наличии белого шума (статья в настоящем номере).