Система моделей качества передачи двоичных сигналов в четырехпараметрическом канале связи при воздействии структурных помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.28.037.372

СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ В ЧЕТЫРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ СВЯЗИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ

© 2012 А. А. Алексеев1, Е. В. Чучин2

1 аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: alekseev@russia. ru 2канд. техн. наук, доцент,ст. науч. сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем, e-mail: chew42@yandex. ru

Курский государственный университет

Синтезирована система моделей качества передачи цифровых сигналов для четырехпараметрического канала связи, в котором, наряду с белым шумом, присутствуют структурные помехи, коррелированные с передаваемыми сигналами.

Ключевые слова: канал связи, когерентный приём, некогерентный приём, гипергеометрический ряд, четырёхпараметрическое распределение, модели качества, система моделей.

Постоянно возрастающая загрузка частотного диапазона, используемого для работы радиосредств различного назначения, делает особо актуальной задачу анализа их влияния на качество функционирования приёмных устройств цифровой радиосвязи. Попытка проведения этого анализа на интуитивном, эвристическом уровне в ряде случаев может приводить к глобальным ошибкам в практике проектирования и эксплуатации информационных систем.

Ошибки подобного рода встречаются в работах как отечественных, так и зарубежных авторов. Например, в некоторых работах необоснованно постулируется положение о том, что сосредоточенная помеха, воздействующая на тот же приёмный тракт, что и передаваемый сигнал, при частотной манипуляции не приводит к ошибке. На самом деле это не соответствует действительности [Алексеев, Чучин 2010]. Иногда в ходе анализа имеет место импликативный подход, приводящий к утрате общесистемных свойств, проявляющихся в процессе системных исследований. При этом на основе исследования частных ситуаций неоправданно делаются обобщённые выводы относительно ущерба, наносимого помехой в различных условиях приёма сигнала. Но одного фрагмента недостаточно, чтобы составить целостную картину.

Целью настоящей статьи является построение системы моделей, позволяющих проводить исследование качества передачи двоичных сигналов в широком спектре значений параметров, характеризующих распределение модуля коэффициента передачи канала связи, виды передаваемых сигналов, методы их приёма и структуры воздействующих помех.

Реализуемость поставленной цели обеспечивается показанной в [Пионтовский, Чучин 2010] возможностью представления модуля коэффициента передачи общего гауссового канала с помощью новой гипергеометрической функции. Это позволяет осуществлять процедуру усреднения вероятности ошибок не только по возможным

значениям отношения сигнал/шум, но и по различным видам распределения амплитуды структурной помехи.

В дальнейшем для синтеза обобщённой модели качества передачи сигналов при воздействии структурных помех будем считать, что распределение отношения помеха/шум на входе приёмника, так же как и для сигнала, подчиняется четырёхпараметрическому закону и имеет вид [Финк, Коржик 1981]:

^4 (ип )= ^"1 ехр

ИПфхИПфу

2И & 2 # ф(з)$!. і _^П

1 -1

вП ф

^лУПх ИпЇПу #

И2 ’ и2

Пфу Пфу

(1)

Здесь, по аналогии с коэффициентом передачи сигнала, для помехи введены обозначения:

-2 РХРПТ . -2 РУРПТ . -2 ФХРПТ . 1-2 ФУ РПТ .

“ИРХ 2 ’ ПРУ 2 7 “ИФХ 2 ’ ^ИФУ 2 7

V V V V

Н И2 Н2

в ф = ^ 1; гш = -р-; Гу = ; Гш = Г* + гпП, •

НП Фу НПФх НП фу

Для структурных помех будут также использоваться равенства:

И2 = И2 + И2 ■ И2 = И2 +1 (и2 + И2 ) а2 =___________^____

пр ,'прх^,'пру’ "по пт ^ ^ \"пфх ^ пПФу Ь Чп ,2 тл '

2 ИПФХ + ИПФу

Исходным выражением для последующего усреднения может служить формула, полученная для расчёта вероятности ошибки в постоянном канале при воздействии структурных помех в [Чучин 2000]. С учётом структурных свойств помехи и степени ортогональности передаваемых сигналов её можно записать в виде

р^(а,в) =1 {1-. ^2 («;« +\Р +1;-^,-1 г(а +^ • (2)

Входящие в это выражение символы имеют следующий смысл:

- подстрочные индексы (д = <х>, д = от) характеризуют отсутствие замираний сигнала и помехи;

- параметры а и в (1/2<а< 1 ; 0<в< 1/2) определяют степень некогерентности при приёме сигнала и скольжение помехи во времени соответственно;

- коэффициент 5 учитывает ортогональность передаваемых сигналов: д2 = 1 -в случае противоположных сигналов и 2 - для ортогональных сигналов;

- коэффициент G характеризует подобие структур помехи и передаваемых сигналов в частотно-временной области. Его значение вычисляется с учётом ортогональности передаваемых сигналов и степени когерентности, реализуемой в процессе приёма сигнала;

- Г (*) и Ф 2 (*) - гамма- и гипергеометрическая функции, соответственно.

В дальнейшем для конкретности будем считать, что сигналы являются ортогональными в усиленном смысле, а структура помехи полностью подобна одному из вариантов передаваемых сигналов (д2 = 2, О2 = 1).

При независимых флуктуациях сигналов и структурных помех усреднение (2) по h и ^ может осуществляться в любой последовательности в соответствии с законами распределения этих величин. Вычисления при общих законах приводит к повышенной сложности моделей качества любого ранга. Чем выше ранг модели и уровень её

сложности, тем большее число подсистем моделей она объединяет и тем большее количество частных моделей может быть получено путём придания каждому из параметров конкретного значения.

Вычислим вначале вероятность ошибок для случая трёхпараметрического распределения амплитуды передаваемого сигнала. Для этого усредним (2) по А в соответствии с законом Бекманна. В нашей интерпретации этот закон имеет вид

, ч 2И ( И2 % ^ '-2

ш, (и)

ИФхИФу

ехр

КУ

-Уу

Ф

1 И

2’ ’ И2

ФУ

1 -

1

в

И2г2 %

АФфу

ИФх * ИФу •

(3)

Тогда получим

РвЛав) = /р*Аав)^

1- 4 И2 1 "фу

2 3 /

(-г;)

ехр(- у рф

ф,

а +1, а

1 - Р--, УІ-, - ьф^и

2 Э А /'“'ф 5 / у 5 "фу

1, а +1, в +1; - ^/2

(4)

где введено обозначение для нового гипергеометрического ряда

а,ЬиСі; Хі,х2,Хз

К c2, Сз; у

(а\++т (ьі )т+„ (сі \ Хі Х2 Хзт уп

кЛ=0 (Ь2 )к+1 (с2 )т (С3 )п к! 1! т! П!

(5)

Повторное усреднение вероятности ошибки (4) с учётом трёхпараметрического распределения помехи, следующего из (1) при Апру= 0, может быть выполнено непосредственно по аргументу гипергеометрической функции

Рв,В'(«в> = у

и)

4 кФу 1 ехр(-у

в

у/ ф 1 ^ 3

а +1 а., ^2; 1 - Рф , Yy, - Ьфу /2

то

1, а +1, р +1; ^ / (- к£/2)> (кп

В результате интегрирования получим

а

4 к2 1

пФу

ехр(- г;;

■гП у

вфв

Ф

2 О

а +1, 1,а, -2; 1 -Д

'Ф > У у, - кФу /2

-2 ..2

1, 1,а +1 в +1;1 -ДПф, КПу, - кПфу/2

(6)

где для функции „Ф„(...) при п=3 использовано обозначение

ф |а15а2,Ъ,с15с2; Х15Х2,Хз 3 Ч ^, ^, /і, /2;

]■

(а1 ),1 +*2 +.з (а2\+г2 +^ (Ъ1 \ +із (С ^ (с2 \ Х^Х^ У^У^

(7)

к1, к^2, кз — 0

/, ,/о,/з —0

(^1 )к1 + к2 (^2 \ +12 (/1 )кз (/2 )1з

Л^!^ /1І/2І/з!

Поскольку 1Ф3 (...) является частным случаем 3Ф3 (...), то система моделей, следующая из (4) при частных значениях параметров, служит подсистемой метасистемы, объединяемой выражением (6).

Поступая аналогично в случае четырехпараметрического распределения коэффициента передачи канала, можно получить обобщённую модель качества

а

ЭО

1

)

Рв,в

2

передачи сигналов в общем гауссовом канале, в котором, наряду с полезным сигналом, присутствуют структурная помеха и белый шум. Такой обобщённой моделью является

ртх(а,р) =1

1-

2 % )" ехр(-Гу2 -гПу)

Фу

2

ехр(- у

вФвПФ

Ф,

а +1,1, а, "2, '2; 1 -вь, У*, УУ2, - ЬФу П ' 1 1,а + 1, в + 1; 1-впФ, уПх , Упу , - К.Фу/2

. (8)

Использованная здесь функция а,, ^й, а , ; X,, X,, X,, X

"аа "а ? "? О1 ? О2 ; Xl 5 X2 5 X3 5 X4 #

[ %,%,%,/2; у;%%% &

(111 +1 (а2 \+и+и+1, (йХ

(О (о\ Xкхк4 У^УЦ

кг1,к2 ,/т3 ,кА =0 /1# /2, /3, 14 =0

к,! к2! к3! к4!

I ! I ! I ! I !

^ .^2 -*з -*4 •

является частным случаем гипергеометрической функции „Ф„ (...) при п =4. Она обобщает функции для любых значений п, что позволяет представить многомерную систему моделей качества в виде одного аналитического соотношения.

Удобство такого представления состоит в том, что из него в явном виде следует всё многообразие подсистем моделей, удовлетворяющих различным ситуациям, возникающим в четырёхпараметрическом канале связи. Так, в случае каналов Бекманна (Иру = ИрПру = 0) из (8) следует (6). При равенстве нулю всех регулярных компонент

квадратурных составляющих сигнала и структурной помехи выражение (8) позволяет вычислить вероятность ошибок при передаче сигналов в канале Хойта:

рх,х {а>в) = 2

1 -

4 И2 1

ПФу

1

вв

ф

2^2

ФЛ'ПФ

а +1,1, а, 1, -2; 1 - вФ2, -И1„/2 1,1,а +1, в +1; 1 -в

1-2

7ПФ>

Фу 1

ИП Фу/2

(9)

где

Ф

> л

а1, а2, а3, Ь1, Ь2; х1, х2

С1, С2, С3, С4;

У1, У 2

(а1 )к + т (а2 )/+п (а3 )к+т (Ь1 )к (Ь2 )/ Х1 Х2 У1 У2

к.1.т.п=0

(С1 )к (С \ (С )т (С 1 к! 1! т! П

частное значение функции 4Ф4 (.) при Х2 =Х3 =У2 =У3 =0.

Если все компоненты структурной помехи равны нулю (помеха отсутствует), из (8) следует модель для общего гауссового канала, выраженная через гипергеометрическую функцию 0Ф4 (...). Отметим, что во введённых двухместных функциях подстрочный индекс, расположенный слева от символа функции, обозначает количество аргументов, относящихся к структурной помехе, а справа - к сигналу.

Особый интерес для исследования влияния структурных помех на качество передачи сигналов представляют райсовские каналы связи, когда имеет место симметрия по флуктуирующим компонентам квадратурных составляющих канала. В этом случае /3Ф = /3ПФ = 1, суммы по к1 и 11 вырождаются и вероятность ошибки преобразуется к виду 1

Ря.Ла,в = - %1 - Н Ф0ехР'

<—гС )Ф

а,а +1, в; в +1, а +1, 1;

н 2 — н 2 — Н2 V2

^ПФО? 77 ПРО’ 11 Ф0’ Ус

(10)

где

ф

а, Ъ, с;

Ч, Гу ГТ

со, х, у, z

,т _п

к I .......

X у г

= у (а )к+1 + т (Ъ)т+п (с )к °___________

к^п =0 (Ч )к +1 {/у )т С/2 )п к! 1! т! П!

4

а

2

Н Н Н2 \ —

п пфпро>п фо ' —

1

^ПФ + 2

; У а =

Ир

И

Особенностью модели (10) является то, что число аргументов гипергеометрического ряда здесь сокращается до четырёх. Это существенно ускоряет процесс схождения суммы ряда. Неопределённость, возникающая здесь при

0 (кф = о), легко устраняется, если представить это выражение в виде

Р'ЛаР) = -

1 - и,

Ф0

у (ЛИ»0 (- И2о Ц- И1о ї р ( т а 1; ,

к АоТвгг-^ я тт-1 р (- т-а 1 -Гс

/к+1

и воспользоваться известным асимптотическим свойством функции Куммера

!^ (а; с; г) ~ (- г)~°,

Г(с - а)

В результате для постоянного уровня сигнала и райсовской структурной помехи получим

р~Лав)=2 &1 -

Р0

Г(а +1)

а н2 - н2 - Н 2

11 ПФ0> 11 ПРО? 11 Р0

(12)

в +1, а +1;

При отсутствии регулярной компоненты в составе сигнала (дс =0) из (10) непосредственно следует

Р°.Аав -11і-Я«Ф, [а, вв +1; Н™, -Н

2

ПР1

(13)

Входящие в это выражение переменные могут быть представлены с помощью кортежа

1

н 2 Н н

П Ф1 11 ПФ 1 П ПР 1

ИФ + ИПФ + 2

И2 И2 И2

Ф ПФ ПР

В тех случаях, когда в составе структурной помехи отсутствует флуктуирующая или регулярная компонента, из функции 4Ф4 (...) по (11) следуют два новых ряда, суммы которых в дальнейшем будут обозначаться как

а, Ь; а, 1 /2;

а, Ь, с; ч, /х, /2;

х, у, Z

^ (а Ь:+1(ь)/ Х У

(а ): (/1 ), (/, )

к\ 1\ ш\

М (а )к +, (Ь )/ +т (с )к *к у1

,6т= (ч )к (/1), (/2)

к! ,! т!

(14)

(15)

к,1 ,т.=0 )к ’

Модели, представленные через эти ряды, будут иметь следующий вид:

при незамирающей помехе

, = С Iі - ~2^єхр(_ №

а, а + 1, /3; ЬПг ИІ 2

---------,---------, У

в + 1,а +1, 1; 2 2

- при помехе, замирающей по закону Релея -

2

а, а +1; в +1, а +1, 1;

Н 2

^ПФО’

, - Н Фо, г

при синхронной помехе = о), замирающей по закону Райса

а,а +1; 0

Л72 Л72

/?1 11 Н ПPC, Н

р +1, а +1, 1;

нф0, г;

(16)

(17)

.. (18)

)

2

2

2

2

Модели, определяемые соотношением (10) и следующими из него формулами (12), (13), (16), (17), (18), отражают зависимость вероятности ошибки от отношения энергии регулярной и флуктуирующей составляющих сигнала к спектральной плотности белого шума. Однако они не способны охарактеризовать вклад, вносимый этими составляющими в обеспечение требуемого качества передачи сигнала. Оценка этого вклада имеет свои особенности. Несмотря на то что полное (общее) отношение сигнал/шум определяется суммой двух слагаемых Н02 = Ир + Нф, конечный результат

будет определяться не столько величиной этой суммы, сколько отношением между её слагаемыми.

В силу свойства эмерджентности, присущего любой сложной системе, система моделей качества характеризуется сложной зависимостью вероятности ошибки от величины этих слагаемых. Выявить эту зависимость позволяет системный подход к исследованию качества связи.

Для его реализации при оценке влияния регулярной и флуктуирующей составляющих федингующего сигнала на качество цифровой связи представим вероятность ошибки в виде разности

Такое представление возможно в силу независимости значений Ир и Ифф. При равенстве их нулю вероятность ошибки равна р =0.5. Чем больше значения Ир и Ифф, тем больше величина вычитаемого и меньше вероятность возникновения ошибки.

Поскольку вычитаемое в (19) не должно превышать единицу, то вклад каждой составляющей в вероятность ошибки регулируется весовыми функциями (Ир, Иф ) и

Л (Ар, А.), которые в свою очередь также зависят от величины энергетических составляющих сигнала. Исследования показывают, что в райсовском канале между весовыми функциями существует взаимосвязь вида

Вид связи не зависит от структуры аддитивных помех, действующих в канале связи. Поэтому можно записать

Решая это дифференциальное уравнение, для райсовских замираний сигнала и структурной помехи получим

Представленная здесь гипергеометрическая функция четырёх переменных объединяет все ранее полученные подмножества функций, используемых при моделировании качества передачи сигналов в райсовских каналах связи. Её частными

(19)

где

(21)

случаями являются функции 2 3 и [Алексеев, Чучин, Яковлев 2012], а также суммы

рядов, для которых будем использовать обозначения:

а, Ь1, с1, с2; й, Ь2, с3;

х, у, 2

а, Ьг, Ь2;

X, у, 2

; у (а)к+1+т(Ь1)к(с1)I(с2)к х^у_2т.

к,У= о (й)к+1 (Ь2 )к (сэ) т к! 1! т!

" (а)к+1+т(Ьг)к Фг)I X У 2т

к ,1 ,т=0

) к +1 (С) т к! 1! т

Основные соотношения, следующие из (21) при понижении модели на один уровень, представлены в таблице 1. Содержащиеся в таблице модели позволяют провести расчёт качества передачи двоичных сигналов по каналам связи, характеризуемым четырьмя параметрами. При этом величина одного из параметров фиксируется, а остальные параметры могут принимать произвольные значения из области их определения. Поэтому все эти модели относятся к четвёртому рангу и имеют третий уровень сложности.

Таблица 1

Модели качества передачи двоичных сигналов в райсовском канале связи

3

Параметр и его значение Аналитическое соотношение

а 1/2 Р,Л'2в =111 -нФ29”3< 2 $ 1=0 Г1, 1/2, в, 1/2; 2 2 2 2 1 Н2 - Н 1 - н - н 11/71 • ПФ1? ^Ф1? ^Р1 1, 1 + в, 1 + *;

1 Р,Л-в - -2 &1 - н ф, ^ д 2 ^ (1, в; 1+в, 1+1, н Пф ,, - н П, „ - н р )#

в 0 р,А а 0 - ^ I1 - н ф ^ ч 2'2, 1,а, 1 — а; 1 1 1 )# ’ ’ н 1 — н — н " л л л • ^ПР1> А ^Р1 " 1, 1, 1 + V; _ !

1/2 р,,,{а, 1/2) -1 %1 - нф У <! 23, 2 $ 1-0 "1, а 1/2,1 -а; 2 2 2 ,,11 н - н 1 - н - н " 1, 1/2, 1 + г; !

ч 0 р„.Аав - 2 { - н Фаф. [«■ +1; н ПФ ., - н Пр, |

да '■■а - 2 ('-га:,,| а, в; 2 2 ~2 Н - Н - Н л п л ^^ПФ^ ^ПР0> ^^Р0 1 + р, 1 + а;

ч' 0 Рф (а, в) - 2&1 - Нф ^ дЬЕ, 1, а. в, 1 — а. 0 о о ’ ? — Н 1 — Н — Н л л п Л ■ ^^ПФ^’ 1 ^^Р1 1, 1 + в, 1 + /;

да р,.М,Р> - 2 %1 - нфо ^ ч"Я 1. а. 1 — а. ~ 0 0 0 —н 1—н — н л л п л . ^^ПР^’ 1 ^Ф^ ^Р0 1.1 + р. 1 + /;

Дальнейшее понижение ранга или уровня сложности модели позволяет перейти к более простым зависимостям, выражаемым через известные гипергеометрические ряды. Пример таких зависимостей для случая однопараметрического закона распределения коэффициента передачи канала приведен в таблице 2.

Приводимые ниже таблицы 3 и 4 содержат модели, определяющие качество передачи сигналов при релеевских независимых замираниях сигнала и структурных помех (д 0 0, <х>; д'0 0, <х> ), а также для каналов с постоянным значением коэффициента передачи. Значение параметров а и в фиксированы (аб 1/2, 1; в*Е. 0, 1/2). Модели этого вида соответствуют четвёртому рангу и нулевому уровню сложности. Поэтому большинство из них можно представить в виде композиции элементарных математических функций как при воздействии синхронных помех, так и в случае скользящих структурных помех.

Таблица 2

Модели качества передачи двоичных сигналов при воздействии синхронных помех

(0=0)

N Параметры Аналитическое соотношение

Ч Ч а

1 да да 1/2 I1 -{Л^ (- 1 - - Й2П, - * )] >

2 1 1 = 2 о{кп > Ь)

3 0 1/2 1 1- 1 . \ Н 2 ( ^1Г + 2 )

4 1 лЛ) - 2ехр( -2 +2 )

5 0 да 1/2 ^ 2> - 2 I1 ^ И 2 + 2 вХР( 2(й "+ 2))^ ( 2(й "+ 2))}

6 1 /л 1 ". *2 - *5 *$ А- О) = 2 % - * 2 + 2еХР(-*2 + 2 ])

7 0 1/2 Ро,о{2) = \ & 1 ^ - ~2 \ Л 2 + Ип2 + 2 •

8 1 р М = П +2 "0,0\ / о/Т2 Г2 оч 2(п +п11+2)

Таблица 3

Модели качества передачи двоичных сигналов при воздействии скользящих помех

(в=1/2)

Таблица 4

Модели качества передачи двоичных сигналов при однопараметрическом распределении коэффициента передачи канала

N Ч Ч Аналитическое соотношение

1 да да Р.Ла.Р) - 2 |* (2) г(« +1)Ч' (а; 1 в 1; 2’ ^ )}

2 0 р~Аа,р)- 2% Г(~+1)4’1 {авв+1,а+1’нПф«, н10)!

3 0 да Р«,„ а, в - 2 {1 - Н, Ъ (а в +1, - НПр 0)}

4 0 Ро,о а, в - 211 - нФ 2 Г (а в, в +1. - Н5Ф)}

Следующим шагом в направлении систематизации моделей качества цифровой радиосвязи является обобщение полученных результатов на случай использования многопозиционных сигналов. Синтез таких моделей проведен в последующих статьях настоящего номера журнала [Чучин, Яковлев 2012; Алексеев, Чучин, Яковлев 2012].

Библиографический список

Алексеев А. А. Чучин Е. В. Структурно-функциональная организация моделей качества цифровой связи при воздействии комплекса помех // Информационные системы: Теория и практика: сб. науч. работ фак. информатики и вычислит. техники Курск. гос. ун-та. Курск, 2010. С. 103-110.

Алексеев А. А., Чучин Е. В., Яковлев Е. Е. Аналитический базис моделей качества передачи информации по цифровым каналам связи (статья в настоящем номере журнла).

Пионтовский В. В., Чучин Е. В. Системные свойства каналов цифровой радиосвязи// Информационные системы: Теория и практика: сб. науч. работ фак. информатики и вычислит. техники Курск. гос. ун-та. Курск, 2010. С. 84-92.

Чучин Е. В. Обобщённая гипергеометрическая функция Гаусса и её применение в процессе анализа помехоустойчивости приёма цифровых радиосигналов // Научнотехнический сборник / под. ред. А. П. Волкова. Курск, 2000. №3 (131). С. 5-14.

Чучин Е. В., Яковлев Е. Е. Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов по каналам связи при наличии белого шума (статья в настоящем номере).