CC BY
178
УДК 621.391.372.019
СЕМЕЙСТВО СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В МОДЕЛЯХ КАЧЕСТВА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
© 2014 Е. В. Чучин
канд. техн. наук, доцент, ст. научный сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: chew 42@yandex. ru
Курский государственный университет
Предложены новые специальные функции, позволяющие унифицировать процедуру расчёта вероятности ошибки при передаче информации по каналам цифровой связи при воздействии комплекса аддитивных и мультипликативных помех. Функции принадлежат одному семейству обобщённых специальных функций. Проведено исследование функций. Приведены примеры их использования в новых моделях качества.
Ключевые слова: качество информации, вероятность ошибки, модель качества, специальная функция, информационный сигнал, структурная помеха, канал связи, замирания сигнала.
Исполнители трудоёмких часто повторяющихся операций обычно связаны с необходимостью разработки специальных приспособлений и инструментов, повышающих производительность труда. В математике роль такого инструментария играют специальные функции.
Специальные математические функции вводились и исследовались различными авторами. Вначале исследования носили чисто познавательный характер и велись в интересах развития самой математической науки. Однако, по мере разрастания спектра прикладных задач, роль специальных функций существенно возрастала.
Это связано с тем, что аналитические операции любой сложности стали выполняться преимущественно с использованием ЭВМ. При этом в любой области всегда существуют вычислительные процедуры, выполнение которых отличается только видом аргумента или значением параметра. Эти процедуры желательно максимально оптимизировать, результаты вычислений всесторонне исследовать, а пользователям предоставить максимальные удобства для дальнейшей работы с ними. Поэтому ни одна современная наука не может обойтись без использования специальных математических образований.
Математическое обеспечение современной ЭВМ включает большое число стандартных программ для работы со многими классами специальных функций. Имеется масса примеров, решаемых с помощью этих функций. Их количество растёт пропорционально числу исследуемых проблем. Наиболее полная информация о специальных математических функциях содержится в Математическом справочнике (2010).
Существует и другая литература, содержащая подробные сведения о специальных функциях [Янке, Эмде, Лёш 1977]. Изображение их в многомерном пространстве великолепно представлено в специализированных альбомах, ставя последние на уровень произведений искусства.
Специальные функции в теории информационных систем наиболее часто выступают в виде неберущихся интегралов, которые нельзя выразить посредством
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
элементарных зависимостей. Для расчёта значений специальных функций могут использоваться пакеты прикладных программ MathCAD, Matlab, Matematika и др.
Наиболее частое применение при исследовании информационных систем находят такие функции:
1. Интегральные функции распределений вероятностей.
2. Гамма-функция и бета-функция.
3. Эллиптические интегралы.
4. Ортогональные полиномы.
5. Гипергеометрические ряды.
6. Функции Бесселя и функции Маркума.
7. Интеграл вероятностей и связанные с ним функции
и другие.
Большинство этих функций подразделяются по виду, роду, классу, порядку и т.д. В результате формируются семейства, отвечающие определённым классификационным признакам. Семейство может формироваться как за счёт производящей функции, порождающей остальные члены этого рода, так и путём клонирования экземпляра, с характерными для данного семейства признаками.
Несмотря на обилие известных специальных функций, порой возникает необходимость введения новых обобщённых функций, частными случаями которых являются известные и ранее неизвестные соотношения, необходимые для построения аналитических моделей качества. Для этого может быть использован реализованный в интернете проект ALGLIB.
Проблемный вопрос здесь состоит в том, насколько качественно представлена сама специальная функция. Доведен ли её вид до канонической структуры, представляющей максимальные удобства пользователю? Возможно ли представление одних функций через другие. Как следует поступить для объединения их в рамках одной обобщённой функции?
Для большинства известных функций эти вопросы решены и полной мере. Однако для вновь вводимых они приобретают первостепенное значение.
ALGLIB - это кросс-платформенная библиотека численного анализа, поддерживающая несколько языков программирования (C++, C#, Pascal, VBA) и несколько операционных систем (Windows, Linux, Solaris). ALGLIB включает в себя, наряду с другими возможностями, раздел «Вычисление специальных функций». Многие из функций, входящих в этот раздел, могут использоваться и при расчёте качества информационных систем.
Тем не менее представляется целесообразным ввести в рассмотрение новую обобщённую структуру, порождающую аналитические соотношения, принадлежащие к различным классам функций, наиболее часто встречающихся в моделях качества информационных систем.
В качестве такой структуры рассмотрим тригонометрический функционал
п о\ 1 Г aPcos (Т) + Р2
С (а, Р) = — I ^----- 2 ч----т exp
г1 а + 2а/3 cos (т) + Р
где а и Р - любые действительные числа.
а2 + 2аР cos (т) + Р
2 Л
dT
J
(1)
Из этого функционала при различных сочетаниях между значениями а и Р следует множество функций, что позволяет использовать его в качестве базовой структуры при унификации технологии синтеза и анализа моделей качества приёма информационных сигналов в различных ситуациях.
Так, разлагая подынтегральную сумму в (1) на слагаемые, получим
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 1
Чучин Е. В. Семейство специальных функций в моделях качества информационных систем
где
0(а,0) = 01(а,0) + 02(а,0),
п(а 0) = -К_______a0COS(Г)______ехр
’ ж\а2 + 2a0cos (г) + 02
1 г
02 (а, 0) = - f
7Т "
( ^2
а2 + 2а0 cos (г) + 0
2
dr.
02
v J
ж\а2 + 2а0 cos (г) + 0
ехр
а2 + 2а0 cos (г) + 02
V
dr.
J
С другой стороны <0 (а, 0) можно представить, как
ехр
, , 1 К( а0cos (Г + а2 | [ а2 + 2а0cos (г) + 0
’ а2 + 2а0cos (г) + 0
Тогда, обозначая 1 К а0cos (г) + а‘
dr.
- f
ж\а2 + 2а0 cos (г) + 0
{
ехр
а2 + 2а0 cos (г) + 0
2 Л
V
dг = 0(0,a)
и
1 К
- f ехр
К*
( ^2
а2 + 2а0 cos (г) + 0
2
dг = 03 (а, 0),
будем иметь
03 (а, 0) = 0(а,0) + 0(0,а).
Не трудно заметить, что функция 03 (а, 0) равна произведению
03 (а, 0) = ехр
{ ~2
а2 +02 I 1
J—f ехр (-а0 cos (г))/ г = ехр
а2 +02
V0 (а0) ,
к
(2)
(3)
(4)
(5)
где
1 К
/0 ( z ) = — f ехр ( z cos К 0
нулевого порядка.
Соотношение
(г))Т- модифицированная функция Бесселя первого рода
03 (а, 0) = ехр
а2 +02
ко (а0)
(6)
весьма часто используется в моделях качества информационных систем. Оно детально табулировано в справочном издании [Кармазина, Чистова 1958] и может быть рассчитано при любых значениях а и 0. Расчётные формулы, использующие это соотношение, приведены в работе [Яковлев, Чучин 2011]. В частности, с помощью формулы (6) описывается плотность вероятности случайной величины сигнал/шум h при райсовских замираниях в канале связи
2h
f
W (h) = — ехр
h
Ф
и
h2 + hi Л ( 2hh
hi
In
\
h
2
(7)
к Ф J
где hp и h0 - соответственно регулярная и флуктуирующая компоненты, характеризующие энергетику принимаемого сигнала.
На основе функций, представимых через 0 (а, 0) и 0(0, а), формируются
к
J
расчётные формулы помехоустойчивости приёма цифровых сигналов в условиях воздействия белого шума и структурных помех.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Так, многие модели, характеризующие качество информационных систем, содержат в своём составе Q-функцию Маркума:
ад /
Q (а, 0) = \х exp -
2 , 2 а + х
10 (ах) dx.
(8)
Принимая hn = а и h = Р, вероятность ошибки при воздействии структурной помехи на приёмник двоичных ортогональных сигналов с не перекрывающимися спектрами рассчитывается по формуле
p=1Q (h, h). (9)
Р
Здесь h и hn - отношение энергии сигнала и энергии помехи к спектральной
плотности белого шума на входе приёмника.
Несмотря на то, что Q-функция широко используется во всех работах, связанных с расчётом помехоустойчивости приёма дискретных сигналов, до сих пор ведутся поиски более удобного представления выражения (8) для его качественного анализа и количественного расчёта.
Дело в том, что значение интеграла в (8) очень чувствительно к величине параметров а и Р. Известные таблицы Q-функции ограничен небольшими значениями этих параметров. Используемые в расчётах аппроксимационные и граничные зависимости охватывают сравнительно узкие участки, соответствующие параметрам а и Р.
Устранить эти недостатки можно с помощью функционала (1).
Учитывая (1), функцию Маркума можно представить в виде
1 - при а > Р,
Q(а,Р) = С(а,Р) + Ч 0,5 - при а = Р,
(10)
0 - при а < Р.
Таким образом, вместо сравнительно сложного кратного функционала с переменным нижним пределом интегрирования (7), имеет место простая аналитическая зависимость, описывающая поведение Q-функции во всём диапазоне изменения параметров а и Р.
Убедиться в этом можно численными методами (рис. 1).
Сравнивая значения функции, полученные из графиков, с аналогичными значениями, известными из таблиц [Коржик, Финк, Щелкунов 1980], можно убедиться в их полном соответствии.
Числа под фигурной скобкой в (10), соответствующие различным соотношениям между параметрами а и Р, можно объединить единой функциональной зависимостью. В настоящее время такой зависимости не известно.
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 1
Чучин Е. В. Семейство специальных функций в моделях качества информационных систем
Однако её можно получить, если показатель степени в экспоненте функции С (а,0)
принять нулю.
В результате получим
г( о\ 1 f a0cos (т) + 0 Л „14
С, (а, Р)=-\ 2 ~ п ( \ п2dT • (11)
п\а + 2a0cos (т) +0
Данная функция обладает замечательными свойствами. Её слагаемые
, ч 1 f а0 cos (т) , ч 1 f 02
С01(а, 0) = — [ —------W------yd т и С02 (а, 0) = — ------0—^-----yd т
п\а2 + 2а0 cos (т) + 0 п\а2 + 2а0 cos (т) + 0
при а > 0 равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Причём
С01 (а, 0) всегда отрицательна, а Со 2 (а, 0) всегда положительна. Их сумма при а >
0 равна нулю.
При а < 0 слагаемое Со 2 (а, 0) по абсолютной величине превышает С0 — (а, 0) на единицу. Поэтому их сумма при любых а < 0 всегда равна 1.
При а = 0 значения слагаемых не определены. Однако в совокупности их сумма равна 0,5. Тогда, вычитая значение Со (а, 0) из единицы, получим результат,
соответствующий модели (10).
В итоге можно записать:
Q (а, 0) = С (а, 0) +1 - С, (а, 0) • (12)
Подставляя в (12) значения С(а, 0) из (1) и Со (а, 0) из (11) окончательно имеем:
Q(а,0) = 1 -—f C0cos(т)+0г , v ' я\\а2 + 2а0cos (т) + 0
у (
1 - exp
Л
а2 + 2а0 cos (т) + 0
2
dт. (13)
J)
Представление Q-функции в виде (13) впервые было получено и строго доказано автором настоящей статьи [Чучин 1998].
Учитывая (13), легко показать, что
Q (а, 0) + Q (0,а) =1 + exP
(
а2 +02
00 (а0) :
(14)
Q (а,а) = 1 f1 + exP (а ) /о (а )} Отсюда следуют частные случаи:
Q (0,0) = 1; Q (а, 0) = 1;
f
Q ( ° 0) = exP
V
(15)
Q ю) =1 •
(16)
Для передачи информационных сигналов могут использоваться различные каналы связи. Как показывают многочисленные теоретические и экспериментальные исследования, в основной массе используемых для связи сред распространения сигналов амплитудная компонента коэффициента передачи канала имеет обобщённое релеевское (райсовское) распределение (7). Для вычисления вероятности ошибки в этих условиях необходимо провести усреднение (9) по h и (или) hn в соответствии с законом Райса.
В случае райсовских замираний сигнала и помехи выражение (9), усреднённое с учётом (7), принимает вид
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Р =■
Qущ,J!h!)-Щ® exp
Hi + H
2 Л
I0 ( HCHn)J
1
(17)
где
H =
hi
hk ®G2 + h + 2
tt2 _______h®______
1Ф hk®G2 + h® + 2
hk =
hk PG2
h®®G2 + h® + 2
(18)
ф, hkp, И®ф характеризуют энергетику
Входящие в состав (18) величины к®, h,2 регулярных и флуктуирующих компонент помехи и сигнала, воздействующих на один из трактов принимаемого сигнала. Параметр G2 определяет степень подобия помехи сигналу.
При воздействии структурной помехи на обе сигнальные позиции двоичного сигнала моделирование качества передаваемой информации, как правило, приводит к вычислению вероятности ошибки через разность Q-функций вида AQ(а,0) = Q(а,3)-Q(3,а).
(19)
На основе представления (13), разность
?2 „,2 f С
1 - exp
1 л
AQ(а,р) = - f
ГГ *
3 -а2
п\а2 + 2а3с os (т) + 01
а2 + 2а3 cos (т) + 3 2
2
dT.
JJ
(20)
Это выражение является основой синтеза множества моделей, соответствующих различным условиям передачи информационных сигналов в райсовском канале, как-то:
- при когерентном и некогерентном приеме сигнала,
- при одинаковых или различных законах флуктуаций сигнала и помехи,
- при воздействии помехи на одну или обе сигнальные позиции и многих других.
Так, при воздействии структурной помехи, замирающей по закону Релея, на обе позиции незамирающего сигнала имеем
p = -{l+Q(а,P)-Q(P,а)}, (21)
где
а= HA
3 = н2
_h_ J 1_______1
V2 [V Ag GA + 2 VhkG^2N _h_J 1 , 1 }
s[2 hg GA + 2+ VhkG^2 j'
(22)
(23)
Приведенная здесь совокупность параметров h, h , G и G позволяет моделировать качество передачи информации с учетом энергетических и структурных различий воздействующих помех с каждой позицией передаваемого двоичного сигнала.
В случае когерентного приема сигналов структура модели (21) сохраняется. Видоизменяются только параметры а и 3. Существо параметров здесь не
раскрывается, поскольку влияния на структуру модели они не оказывают.
Аналогичное утверждение справедливо и в других ситуациях райсовского канала. Структура модели определяется только специальными функциями, следующими из тригонометрического функционала (1).
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 1
Чучин Е. В. Семейство специальных функций в моделях качества информационных систем
В тех случаях, когда флуктуации передаточной функции канала связи подчиняются другим законам распределения, функции, формирующие модели качества, могут быть получены с помощью обобщённого гипергеометрического ряда:
ФЕй)(a; b; Х2 э***:’ xn )= Z
(a )k
vk1 vk2 yk
x1 x2 xn
h ,k~,.....Ik,
(b )h1
, , h ! k2! k !
+*2 +...+kn 1 2 n
(24)
где (a)k = a (a + 1) ...(a + k — 1);
(bL,=(b) (b+1)m ;
a и b - любые рациональные действительные числа.
Семейство функций этого ряда соответствует одномерному распределению модуля коэффициента передачи общего гауссова канала. Четырёхпараметрическая модель этого канала пригодна для исследования качества передачи сигналов в различных частотных диапазонах. С её помощью можно исследовать качество связи при рассеянии радиоволн в тропосфере и ионосфере, при отражении радиоволн от естественных и искусственных образований, земной и водной поверхностей и во многих других ситуациях. Частными случаями общего гауссового канала являются каналы Бекмана, Кловского, Райса, Хойта и другие.
Модели качества информационных систем в этих случаях формируются на основе функции 2п переменных:
Ч, a2, b, Ci, c2;Xx,X2,...,X n
Ф
: z
k1,..„k„=0 1 ,..j„=0
d„d2,fi,f2; Y1,Y2,...,Yn
(a1 \+k2+...+kn (a2\+12+...+1.(b\+n (c \ (c2\ xk1,x22,...,xn y1 ,y2,...,Yln
(25)
(d! )k +k. +... + Т (d2 )..1, +...+, (/ ), (/ )
k !k !...k„!
1 1 !..L!
Обобщённые функции (24) и (25) получены автором [Чучин 2003].
Эксклюзивным свойством гипергеометрического ряда (25) является то, что при отсутствии в его составе аргументов x и Y этот ряд обобщает модели качества передачи сигналов по каналам связи с райсовскими замираниями сигналов и структурных помех.
Специальная функция, соответствующая этому случаю, может быть представлена в виде
Ф,
a, b, c; d, /и U
со, x, y, z
. (a)k+1+m (b )m+n (CC)k °k X ym z”
k ,l,m,n=0 (d )k+l (f1 )m (f2 )n k ! 1! m! n!
(26)
Другим важным свойством функции п Фп (. . .) является независимость её вида по
отношению к количеству аргументов с индексами {2,...,п-1}. При равенстве отдельных аргументов нулю изменяется только количество суммируемых слагаемых. Само же представление функции либо остаётся прежним, либо упрощается.
При отсутствии в составе ряда аргументов Y,., Yn (в данном случае это соответствует отсутствию структурной помехи) обобщённая функция принимает вид
Ф
0 Ф 4
a,\, b2;
c, d;
о, x, y, z
(a)k +1+m+n (b1 )k (b2 )n
k 1 m n
о x y z
k ,1 ,m,n=0 (c \+l+m (d )n k ! 1! m! n!
Из (26) при x = 0 (или из (27) при z =0) следует функция
Ф
0 Ф 3
a, bl, b2; c, d;
x, y, z
(a)k+1 + m (b1 )k (b2 )„
xk y1 z”
(27)
(28)
k ,1 ,m=0 (c L (d )m k ! 1! m!'
В свою очередь из (28) следует семейство конфлюэнтных гипергеометрических функций, известных из справочника [Прудников, Брычков, Маричев 1986]:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Ф
0 Ф3
a, by, b2; c, d;
ТтУлГ “ = • (a, b„ c, d; y, z);
Ф
0 Ф3
Ф
0 Ф3
Ф
0 Ф3
J k,/=0(c)k+l (d)mk! I!
(aL (bi \ (b2)/ xk zl
abb ' ^
a, bi, b2; r\ ^
x,0, z — / , ч / 4
. c,d; ’ ’ J kfe> (c)k(d) k! l!
— F, (a,by,b2;c,d;x,z);
a, by, b2; c, d;
x, y,0
( a L ( bi )k xk y
k ,l—0
(c)k+1 k! l!
— Фу (a, by; c; y, x);
0,y,z — X Гf+l) A ^77 = • (a,by;c,d;y,z); (29)
(30)
(31)
/ 4a 1 I > W , I (32)
J (у - x) V y - z у - z J
Свойства этих функций хорошо изучены, и они могут составлять основу построения моделей качества информационных систем, функционирующих в условиях различного рода мультипликативных и аддитивных помех. Частными случаями, следующими из приведенных соотношений, являются модели качества приёма сигналов в каналах с постоянными параметрами. Эти модели имеют следующий вид:
- при когерентном приёме двоичных сигналов
a, by, b,; . С b2;
x, y, z
1 ^ I ъ x y
-----Фу I a,b;c;-----,----
1
2h
p—211 A , • ^
2 {
1 h2 h„ )
2; 2,y 2 , 2 J
(33)
при некогерентном приёме двоичных сигналов с неперекрывающимся
спектром
1 L h 2
p—211 - T • 2
1-2 1- — - ^
’ ’ ’ —
22
2
J,
— \ Q (hn, h).
(34)
Естественно, что при отсутствии структурной помехи из этих выражений следуют известные формулы для вероятности ошибки при приёме сигнала на фоне белого шума.
При сложном характере воздействующих помех целесообразно их представлять в виде совокупности n простейших колебаний. В этом случае модели качества
содержат гипергеометрические ряды многих переменных •2”)(a;\,...,bB;x,■■■,xn), известные из справочников.
Для сигналов и помех, подверженных райсовским замираниям, возможен раздельный учёт влияния на качество приёма их регулярных и флуктуирующих компонент. В этом случае число аргументов гипергеометрического ряда не превышает четырех, и модели содержат специальную функцию вида
a, by, cy, c2; d, b2, c2;
о, x, y, z
(a)k+l +m+n (b1 )k+l (c1 )k (c2 )m 0 ^ /” z"
k ,l ,m,n—0
(d )k+l+m (b2 )k+l (c3 )n k ! l! m! n!
Из (3 5) следуют две функции трёх переменных, ранее в математике не рассматривавшихся:
1) S3
где
a, by, b2;
c, dy, d2;
x, y, z
k,l ,m—0 '
( a )k +l+m (b1 )k (b2 )l ( d )k +l+m (b2 )k+l ( c3 )n k ! l! m!
(35)
(36)
Ц (a,by,b2;c,dy,d2;0,y,z;) — • (a,b2;c,d2;y,z);
S3 (a,by,b2;c,dy,d2;x,0, z;) —
[•( a; c, d2; x, z) при bx — dx;
• ( a; d, d; x, z) при bx — c;
S3 (a,by,b2;c,dy,d2;x,y,0;) — yFy (by,dy;x) yF0 (b2,y);
Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 1
Чучин Е. В. Семейство специальных функций в моделях качества информационных систем
2) S3 (a, b, ъ2; c, dl, d2; x, y, z;) = ¥3 (a, b2; c.d2; y, x, z ),
(37)
где
¥ 3 (a, b; c.d; x, y, z ) = £
(a)k+l + m (Ь )k
■ . . k l m
h+l+ m (b )kX У Z .
k ,l ,m=
0 (c)k+,(d)m k! l! m!
П+m
ад (a) (b) л/ 7m
¥3 (a,b;c.d;0,y,z)= £ '+” k y— = ¥2 (a;c,d;y,z);
l ,m=0
(c)(d), l!
m!
w (a) (b) yk 7m
¥3 (a, b; c.d; x,0, z )= £ ( k+m, \k —— = ¥, (a, b; c, d; x, z );
k ,m=0
¥3 (a, b; c.d; x, y,0)= £
(c )k(d)m k! m! ( a )k+i(b )
, , xk yl >k+l\ /k x У
= Oi (a, b; c; x, y ).
k,l=0 (c)k+l k! l!
Дальнейшее упрощение представленных здесь функций двух переменных возможно на основе соотношений, известных из справочников.
Используя специальные функции при различных значениях параметров и аргументов, соответствующих конкретной обстановке, можно получить множество аналитических моделей, характеризующих качество информационных систем, функционирующих в сложной помеховой обстановке. Это позволяет определять степень информационного ущерба, наносимого помехой; выявлять наиболее вредные виды помех. Своевременно принимать меры по защите передаваемой информации.
Библиографический список
Кармазина Л. Н., Чистова Э. А. Таблицы функций Бесселя мнимого аргумента и интегралов от них. М.: Наука, 1958
Коржик В.И., Финк Л.М., Щелкунов Н.Н. Расчёт помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений. М.: Сов. радио, 1981. 232 с.
Математический справочник / Дэниел Lozier и др., Национальный институт стандартов и технологий, штат Мэриленд - 2010 [Электронный документ]. URL: http://dlmf.nist.gov/ (дата обращения: 12.09.2013).
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.
Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов. радио, 1970. 728 с.
Чучин Е.В. Расширение области применения функции Маркума в интересах анализа помехоустойчивости цифровых линий связи // Науч.-техн. сб. в/ч 25 714 №3(122) / под ред. канд. техн. наук А.П. Волкова; МО РФ. 1997. 65 с.
Чучин Е.В. Аналитический базис системы моделей качества передачи сигналов в цифровой радиосвязи // Науч.-техн. сб. в/ч 25 714 №2(141) / под ред. докт. техн. наук А.И. Захаренкова; МО РФ. 2003. 121 с.
Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 342 с.
Яковлев Е.Е., Чучин Е.В. Системный синтез функций помехоустойчивости квазикогерентного приёма сигналов цифровой связи // Учёные записки: электронный научный журнал Курского госуниверситета. 2011. №4(20). URL: www.scientific-notes.ru/pdf/022-005.pdf (дата обращения: 14.12.2013).
