Системный синтез функций помехоустойчивости квазикогерентного приёма сигналов цифровой связи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.372.019

СИСТЕМНЫЙ СИНТЕЗ ФУНКЦИЙ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ КВАЗИКОГЕРЕНТНОГО ПРИЁМА СИГНАЛОВ ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ

© 2011 Е. Е. Яковлев1, Е. В. Чучин2

1 аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: [email protected] 2ст. науч. сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем, канд. техн. наук, доцент

e-mail: [email protected]

Курский государственный университет

Синтезированы новые функциональные соотношения, определяющие качество квазикогерентного приёма произвольно коррелированных двоичных сигналов. Приведена технология синтеза.

Ключевые слова: помехоустойчивость, белый шум, когерентный прием,

некогерентный прием, цифровой сигнал, квазикогерентный прием, релеевский канал, ортогональный сигнал.

Известные в настоящее время методы моделирования качества цифровой связи предполагают стационарность параметров исследуемой системы. Возможности этих методов во многом ограничены ввиду сложности вычисления апостериорных распределений гипотетической обстановки, возникающей при приёме сигнала. Вследствие этого до сих пор в инженерной практике отсутствуют модели, позволяющие оценить качество квазикогерентного приёма даже в простых ситуациях передачи ортогональных сигналов.

Ещё сложнее обстоит дело, когда сигналы являются неортогональными. Избежать этих сложностей можно путём системного построения моделей.

Одним из способов системного моделирования является логическое объединение (либо обобщение) частных моделей, полученных для конкретных ситуаций, в одно аналитическое выражение, обобщающее эти ситуации [Чучин 2003].

Обычно существует несколько вариантов объединения исходных выражений. Одни из них являются более эффективными (позволяющими синтезировать обобщённую модель, соответствующую множеству параметров реальной ситуации), другие удовлетворяют только отдельным значениям параметров в исследуемой области. Возможны также различные способы обобщения.

В качестве примера проведём объединение известных выражений для вероятности ошибочного приёма двоичных ортогональных сигналов в релеевских каналах связи с помехой в виде белого шума [Финк 1970]:

Р =

1-.

hi

hi + 2

- при когерентном приеме;

hi + 2

- при некогерентном приеме сигнала,

(1а)

(1б)

1

где Иф2 - среднестатистическое отношение энергии сигнала к спектральной

плотности белого шума в канале связи с релеевским характером замираний. Выражение (1б) можно записать в эквивалентном виде как

Р =

1

1 -

И

2 \

&

/

Теперь (1а) и (1б) можно объединить в одну формулу: 1

Р = ~ 2

где в качестве показателя степени принята величина а

( И2. \ а

1- о

И + 2

V о У

0,5 - при когерентном приёме , 1 - при некогерентном приёме.

(2)

1

Введённая здесь величина а выступает в качестве параметра, характеризующего степень синхронности принимаемого и опорного колебаний, и принимает при оптимальном приёме следующие значения:

а = 12 - при идеальной синфазности принимаемого сигнала и

опорного колебания;

а = 1 - при неизвестной (равномерно распределённой в интервале 0, 2п) начальной фазе сигнала.

Учитывая, что при рассогласовании фаз сигнала и опорного колебания приёмника величина параметра а увеличивается, назовём его параметром некогерентности.

Аналогично можно поступить и в случае приёма неортогональных сигналов. Для этого следует в приведенные выше выражения ввести коэффициент р, учитывающий степень неортогональности сигналов (-1 ^р^ 1). Тогда можно записать:

Ркп =

Рнкп =

(1 -р) Ч (1 -р)+ 2

при когерентном приеме сигналов;

при некогерентном приёме сигналов.

(3а)

(3б)

Объединяя эти соотношения с помощью степенной зависимости, можно записать общее соотношение, охватывающее случаи когерентного и некогерентного приёма:

1

1

2

1

Р = — 2

1-

К (1р "в- 2 + 2а-1

ъф (1-р) + 2 ^ К (1 + р) + 2 ,

0,5 < а < 1

(4)

Если параметр а , принимает предельные значения а = 0,5 и а = 1, то из (4)

следуют формулы (3 а) и (3б) и соответствующие им числовые зависимости. Однако при задании этому параметру промежуточных значений вопрос соответствия полученного соотношения квазикогерентному приёму остаётся открытым. Поэтому целесообразно получить другие обобщённые зависимости, объединяющие выражения (3 а) и (3б), и провести их сравнение.

Одной из таких зависимостей является

Р = — 2

1-

\

И (ь»)

И1 (1+»)

И, (1-») + 2 I И, (1 + »)+ (2а-1)

0,5 < а<1 (5)

Здесь, как и в предыдущем случае, предельным значениям параметра а соответствуют формулы (3 а) и (3б).

Для сравнения помехоустойчивости при квазикогерентном приёме положим а = 0,75 и р = -0,9. Результаты расчётов по (4) и (5) представлены на графике рисунка 1. Здесь формуле (4) соответствует кривая р2, а формуле (5) кривая р1.

Рис. 1: а) вероятность ошибки по формулам (4) и (5), б) втношение значений р1 к р2

Как показывают расчёты, различия в поведении кривых незначительны. Они имеют место при отношении помеха/сигнал примерно равном 10. Последнее обстоятельство демонстрируется графиком на рисунке 1 б.

Анализ показывает, что поведение кривых различается только при отрицательных значениях коэффициента корреляции, близких к величине минус 1, и параметре некогерентности, стремящемся к величине, близкой к 0,5. В остальных случаях имеет место практически полное совпадение обеих кривых. Поэтому в дальнейшем ограничимся анализом зависимостей, рассчитанных по (5). Данная модель более пригодна для дальнейших преобразований, поскольку степенная зависимость в ней отсутствует.

Поверхность, соответствующая поведению вероятности ошибки в координатах (а, р), представлена на рисунке 2.

Рис. 2. Зависимость вероятности ошибки от степени когерентности приёма а и ортогональности сигналов р

Как следует из представленного рисунка, наименьшего значения вероятность ошибки достигает в случае когерентного приёма (а = 0,5) и значении коэффициента корреляции р = -1. По мере роста а вероятность ошибки увеличивается и достигает наибольшего значения р = 0,5 при а = 1.

Количественно зависимость вероятности ошибки от степени неортогональности сигналов при различных а представлена на рисунке 3.

Рис. 3. Вероятность ошибки при различных значениях р и а

Здесь, как и прежде, в качестве параметра некогерентности принято значение а = 0,75 . Кривые, соответствующие другим значениям этого параметра, в силу монотонности функции (5), естественно, будут располагаться в пределах области, заключённой между а = 0,5 и а =1. Это следует из рисунка 2.

Для удобства дальнейших расчётов и последующих преобразований обобщённое выражение (5) для вероятности ошибки при квазикогерентном приеме двоичных, произвольно коррелированных сигналов представим в виде

р = 2 {1 -нрА нр^}, (6)

где введены обозначения

к , Я (1-р) . Р '' % (1-р) + 2'

Ьрр =

К (1+р)

Иф (1 + р) + 2(2а-!)•

(7)

Выражение (6), с учётом (7), позволяет непосредственно перейти к моделям качества для каналов с другим характером замираний сигнала. Для этого следует применить процедуру обратного преобразования Карсона - Лапласа к оператору

*=1К при переходе к каналу с постоянными параметрами, либо $ = 1/оф , если

_2

замирания сигнала носят райсовский характер. В последнем случае величина Оф

играет роль дополнительного слагаемого к ^ф в выражении (6), с помощью которого

осуществляется данное преобразование [Хворостенко 1968].

В результате перехода для райсовского канала получим

нр + н%%

I» ( Нрд Нр ), (8)

где введены обозначения

И\ = ГН„„ - Н,

рА

[ НрР НрА ]

Нр = У-

рр 2

[ К* + н*]

(9)

и использованы зависимости

10 (щ)йп - функция Маркума,

1 2 п

10 (2) = — ГеС05вёв - модифицированная функция Бесселя,

2п о

q2 = Ир I Ьф - отношение регулярной и флуктуирующей составляющих райсовского сигнала.

При отсутствии флуктуирующей составляющей в структуре сигнала для постоянного канала на основании (8) будем иметь

Р = б (нрд >нК)- 2ехР

И1 + н,

2 \

рд

рд

1о (нрд н р,)

(10)

/

где с учётом отсутствия флуктуирующей компоненты имеем

Н рд =

И

+р -^р

л/2а -1

+ Р

л/ 2а -1

+

л/1-

Р

(11)

со

Отсюда, при а ^ 12, следуют соотношения:

і и И и И

для р — і ^ н рД — ^—, Нр% — ^12;

для р = 0 ^ Н рд = —

1

>/2а-1 И

1

н И $ 1

’ Р2 2

у/2а-1

+1

Н

И

^2(1а-\У Р2 ^2(2а-1) '

(12а)

(12б)

(12в)

Исследуем поведение этих функций при различных значениях р и а . В случае некогерентного приёма а =1. Из (10) имеем

Р = 0 % ^(уії+Р-у1^р)Л(у1Ї+Р 1

— ехр 2

"pH2 #

/п

. (13)

Отсюда, учитывая, что б (°5 ^ ) — ехр

и 10 (0 ) = 1, получим известное

выражение для некогерентного приёма ортогональных сигналов ( р = 0 )

р = 0 (0, к) - 2 ехр

( к2" 1 ( к2"

= Т ехр —

& 2) 2 & 2"

(14)

В случае релеевских замираний из (8) непосредственно следует исходное выражение (5).

Заметим, что выражение, аналогичное (13), в несколько ином виде было получено Л. М. Финком путём стационарного моделирования. При этом для коэффициента корреляции было использовано его представление через квадратурные составляющие р и р2 в виде [Финк 1970]

0 *р = 4 р1+А *1

что несколько усложняет процедуру вывода и нарушает единство подхода к оценке влияния неортогональности сигналов в случае нарушения синфазности принимаемого и опорного колебаний в приёмнике.

Для исследования этого влияния воспользуемся соотношением [Хворостенко

1968]

О ( X, У ) + О ( У, X ) = 1 + ехр

10 ( ХУ )

и представим (10) в эквивалентном виде

р =1 (і - Я (нрд, нга)+е (н, нрд)}.

(15)

Отсюда, на основании (12в), для любых а и р = 1 имеет место равенство Q (Нрд, НР2 ) = 2 (НР2, Нрд). Такое же равенство имеет место при а =1, р = -1. В этих

случаях, согласно (15), вероятность ошибки всегда равна 0,5. При других значениях а равенство между аргументами Q-функций нарушается и вероятность ошибки в зависимости от величины р принимает различные значения.

Так, при а = 0,5 (когерентный приём) в (11) возникает неопределённость:

р =1 {1 - б * 2 (х-Л/Г-7) Л (х+7Г-7) % + б $ 2 (х + ТГ-7),+2 ((х-^!-^)!.

Тогда, учитывая известные соотношения [Хворостенко 1968]

0 (х, у) « 0,5^ег/е в (х, у)«1 - 0,5^ -еф

II х

л/2

“ х - у #

42

, у > х >> 1;

, X > у >> 1,

будем иметь

р = —ЄФ

^л/Т-

р

л/2

ег/е (.X ) = — 2 в

'сів.

(16)

что и следовало ожидать в случае когерентного приёма двоичных сигналов в каналах связи с постоянным коэффициентом передачи [Коржик, Финк, Щелкунов 1981].

Уникальность соотношения (15) состоит в том, что оно не только охватывает известные предельные случаи, но и позволяет моделировать вероятность ошибок при квазикогерентном приеме неортогональных сигналов. При этом обеспечивается простота числовых расчётов за счёт представления разности функций Маркума в виде простой интегральной зависимости [Чучин 1997]:

1 ж

Л0 = 0 (х у)- 0 (у, * ) = - Г

2 2 * - у

ж Ж х + 2*у еоэ в + у

1 - ехр

х2 + 2 ху ооэ в + у

2 &

йв

Данную зависимость можно использовать и в случае расчётов при райсовских замираниях сигнала по (8).

В этом случае (8) следует записать в эквивалентном виде

1 р = ~ 2 I 1-Д0 (Нр, Нр) - ЄХР & нр + Нрл 2 о Н Н Ъ

А* \ у

Проведём расчёт по формуле (15) для различных значений р . Результат расчёта при приёме сигналов в постоянном канале и различных значениях а представлен на рисунке 4.

Рис. 4. Поведение вероятности ошибки при приёме неортогональных сигналов

Анализ приведенных графиков показывает, что в случае когерентного приёма вероятность ошибки с ростом параметра корреляции монотонно растёт. Кривые помехоустойчивости при этом сдвигаются вправо, но порядок их чередования сохраняется. В случае некогерентного приёма кривые помехоустойчивости при отрицательных значениях р также смещаются вправо, но, в отличие от когерентного приёма, самая левая кривая здесь становится самой правой. При промежуточных значениях а и отрицательной корреляции между сигналами порядок следования кривых также нарушается, причём при отрицательном значении р качество приёма ухудшается значительнее, чем при положительном (см. рис. 4б при

р = -0,25 и р = 0,25).

Таким образом, полученные в данной статье результаты системного синтеза функций помехоустойчивости позволяют проводить количественный расчет качества квазикогерентного приема цифровых сигналов с учетом влияния неортогональности и несинхронности принимаемых колебаний.

Библиографический список

Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов Н. Н. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: справочник. М.: Радио и связь, 1981. 229 с.

Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. 2-е изд. М.: Сов. радио, 1970. 727 с.

Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных сигналов. М.: Связь, 1968. 336 с.

Чучин Е. В. Концептуальные основы системного моделирования качества передачи цифровых сигналов по каналам радиосвязи // Научно-технический сборник / гл. ред. А. И. Захаренков. Курск, 2003. №2 (141). С. 8-27.

Чучин Е. В. Расширение области применения функции Маркума в интересах анализа помехоустойчивости цифровых линий связи // Научно-технический сборник / гл. ред. А. П. Волкова. Курск, 1997. №3 (122). С. 3-11.