Модели качества приёма сигналов в условиях белого шума и воздействия структурных помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.372.019

МОДЕЛИ КАЧЕСТВА ПРИЁМА СИГНАЛОВ В УСЛОВИЯХ БЕЛОГО ШУМА И ВОЗДЕЙСТВИЯ СТРУКТУРНЫХ ПОМЕХ

© 2012 А. А. Алексеев 1, Е. В. Чучин2

1 аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: [email protected]

2канд. техн. наук, доцент каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: [email protected]

Курский государственный университет

Синтезированы модели качества передачи двоичных ортогональных сигналов в условиях воздействия белого шума и структурных помех. Дана оценка качества приёма при зависимых и независимых помехах.

Ключевые слова: Вероятность ошибки, стационарное моделирование, системное

моделирование, структурная помеха, белый шум, некогерентный прием, когерентный прием, релеевское замирание, релеевский канал.

Исследованные нами ранее свойства подсистем внешней среды, определяющей структурно-функциональную организацию системы моделей качества, позволяют перейти непосредственно к синтезу этих моделей. Для этого целесообразно использовать приёмы, свойственные технологиям как стационарного моделирования, так и системного моделирования.

Технология стационарного моделирования применяется в качестве первичной при получении моделей нижних уровней сложности. Количество структурных помех в этом случае не должно превышать двух. Этот случай имеет важное практическое значение, поскольку позволяет осуществить синтез моделей качества при воздействии на сигнал помех, скорость манипуляции которых близка к скорости манипуляции передаваемых сигналов.

В случае, когда количество помех больше двух, размерность корреляционных связей между помехами и сигнальными позициями возрастает настолько, что учесть их при построении стационарной модели практически невозможно. Единственная возможность синтезировать модель качества в этих условиях базируется на технологии системного моделирования, включая такие приёмы, как логическое объединение и логическое обобщение, впервые предложенные нами к использованию для синтеза моделей [Чучин 2006].

Учитывая важность двухпомеховой ситуации, когда на вход приёмника, помимо принимаемого сигнала и стационарного белого шума, воздействуют две структурные помехи, произвольным образом коррелированные с позициями передаваемых сигналов, проведём синтез модели для этого случая.

Смесь на входе приёмника запишем в виде

z'(t) = Mczr (t) + MA (t) + Acmzm (t) + Mmzm (t) +

+ Men 2 zn 2 (t) + Am 2 Zn 2 (t) + n (t) , 0 ^ t ^ T, (1)

где n(t) - аддитивная помеха типа белого шума.

При некогерентном приёме сигнала правило принятия решения, имеет вид квадратичной формы [Коржик, Финк, Щелкунов 1981]:

£ = X2 + Х2 - X2 — X22 > 0, (2)

т т

где Хг =|*'( К ()dt, Хг =|*'(*К ()Ж , г = 1, 2. (3)

0 0

В условиях релеевских замираний в канале связи все 2п слагаемые (п =2) квадратичной формы (2) являются нормальными случайными величинам с нулевым средним значением. Их совокупность полностью характеризуется корреляционной матрицей порядка 2п х 2п:

К (ХХ~Р ), к, р = 1,2,...,2п. (4)

Вероятность ошибки при таком правиле равна вероятности невыполнения неравенства £ > 0 при передаче *1 (I) и £ < 0 при передаче *2 ) :

0

р,=Рг{£<0|г, (()}={ Ш(£)</£; р2 = Рг{ > 0^(г)} = \ш(/;№, (5)

-ад 0

где

Ш (£)

- плотность вероятности квадратичной формы £.

Плотность распределения Ш (£) может быть получена с помощью собственных чисел К матрицы КА, которые находятся как корни характеристического

уравнения ^ (КА — Л1), где А - матрица квадратичной формы (2), I - единичная

матрица размером 2п х 2п. В случае корней парной кратности можно обойтись без вычисления интегралов (5), используя непосредственно собственные числа матрицы

КА.

Воспользовавшись методикой нахождения корней [8], вычислим вероятность

ошибки в предположении, что помехи *П1 (0 и 2П2 (0 независимы.

т т

Подставляя (1) в (3) и учитывая, что J*1 (0 *2 {/)$ = °> J*1 (^) *2 = 0,

находим

Х1 = Аст УиУІР с РП1Т2-цзш УиУІР с РП1Т2 +я Р с Т +

_________ _________ т

+ МсП 2 У12У1 Рс РП 2 Т2 -^П 2 + | П (0 *1 (^

0

Х1 = МсП1 Уіі4 Рс РП1Т2 + МШ1 Уіі\іР с РП1Т2 + М Р с Т +

_________ _________ т

+ МсП2УиліРсРП2Т2 + Мп2У12^РсРП2Т |П (0 *1 (^

0

Х2 = МсП1 У21У1РсРП1Т2 -^П1 У21У1 РсРП1Т2 +

_________ _________ т

+ МсП2У22у]РсРП2Т2 - Мп2У22>/РсРП2Т + |П (О ^2 ( ^

(6)

+

X 2 = Am y2lVР с РП1Т 2 + Am У21у1 Р с РП1Т 2

_________ _________ T

ЯсП2У22у1 РсРП2Т2 + Яп2У(2 VРсРП2Т2 + | П (О Z2 (^>

+

где

= /Р Р т, Iz(t) z" (t>*; y" = /Р Р т, Iz (t) zm W*;

\РсРП1 1 0 -у/РсРщ 1 о

T T

Рс = 1Iz( (^ Рт = 1I4 (t)t*

(7)

0 0 Тогда элементы корреляционной матрицы (4)

V2

2

__ z,

X( = X2 = V Рс т(( 2+( + hj2 gi2 +1) ;

(8)

x( = X( =V р с т( g (1 + ап2, gi +1) ;

X x2 = X1X2 = V Рс T((i + hm2( rn) ;

X X2 = -X1 X( =V Рс Т^ +%&) ,

(9)

где Sri = УГ1+ yr/;

Г12 = У12У(2 + У12 y22; r12 = У12 У22 — У12 У22;

Г21 = У11У21 + У11У21; Г21 = У11У(1 — У11У21 *

Произведение KA матрицы ковариаций переменных Xk (4) на матрицу квадратичной формы

A =

— 1

— 1

(10)

выраженное через клеточные матрицы второго порядка, имеет вид

V2

F1 -F(

/V

F, -F3

KA = — Р Т

где F1 = (h2 + ( g(1 + ^ g12( + ^ 1; F3 = (hm g 21 + hm2g 22 + ^I;

hmr21 + hn2 r12 hmr21 + hn2 *1:

— (hmr21 + hn2 r12) hmr21 + hn2 r1

I - единичная матрица второго порядка;

(11)

1

0

1

0

]"2 - матрица, транспонированная по отношению к ^2 •

Решая характеристическое уравнение, можно установить, что матрица (11) с элементами (12) имеет четыре собственных числа парной кратности:

+

А

Л =7- р с Т(Ь2 + ^ ( ± й( ± ^222) ±

Ь‘2 + Ь2 (( ± Й) + ^2 (( ± ) ] - 4 |\41 ёп Й + 2^А22Р + ^2 ёп ё 22 ]} =

(13)

I =1,2,3,4; р = г12Г21 + г12Г21 •

Здесь знак «плюс» соответствует ] =1,3 и «минус» ] =2,4.

Поскольку корни имеют парную кратность, вероятность ошибки при передаче первого варианта сигнала будет иметь вид

Рі =

Л

Л+Л2

1 -

Ь 2 + кП (( - ё221 ) + (( - ё222 )

І

Ь 2 + ЬП21М1 + Ьп22М2 ] - 4 [Ьп41 ёпё221 + 2Ьш'К2Р + Ьп42&2ё

. (14)

Аналогично определяется вероятность ошибки при передаче второго варианта сигнала:

1 -

Р1 =Рг (0}

В этих формулах

к 2 + кП21 < (21 - ёп ) + ЬП22 (22 - ё122 )

^[к 2 + кП21М1 + кП22М2 ]2 - 4 [к41 ёпё221 + 2к2 к2 р + к4 ё2 ё2 ] -г ±ПтПП2Г^ ПП2&12&22 J

. (15)

^1 <§11 + 8 21; ^1 811 + 8 21. (16)

Полная вероятность ошибки при равной априорной вероятности передачи — (О

и 2

(О

определяется выражением

1

1 -

'^[Ь + ЬП1М1 + кП2М2 ] 4 [кП1 ё11ё21 + 2кП1кП2Р + кП2ё12ё22

. (17)

При воздействии помех с равной энергией окончательное выражение принимает более простой вид

Р = ^ (1 + Р2) =

1 -

к 2 + кП2м] - 4кП4 (12 + ^21 ) + (2 + ^21 )

(18)

где М = £п + ё21 + ё12 + ё22 . (19)

Получим теперь модель качества для аналогичной ситуации при когерентном приёме двоичных сигналов.

Правило принятия решения при передаче сигнала — (0 имеет вид [Андронов, Финк 1971]

№о (ё1 - Х2 ) + Мя (Х1 - Х2 ) > 0 . (20)

Как и в случае некогерентного приёма, его можно представить в виде квадратичной формы:

вид

% = х1 х2 + *3 *4 > 0

(21)

с матрицей

А =

где 1

Х3 = №,

0

Х1 = Я>/РД,

0 1 1 0

0

0 1 1 0

*2 =

л/рд

(22)

(23)

л/РСТ. *4 = Т= (X, - Х2 ).

Элементы корреляционной матрицы (4) вычисляются аналогично (8) и имеют

(24)

V

*1= *3= *1 *3 = *2 *3 = *1 *4 = *2 *4 = _ Н;

2

*22 = *4 = VГ (2 + ( + Ш + 2);

X', *3 *2 *3 X', *4 *2 *4 ^0,

где в1 = (У11 — У21 ) + (У11 — У21 ) ; в2 (у12 — У22 ) + (У12 — У22 ) *

(25)

Произведение матриц

Н2 Н2

"2 . 772 Л 2 , 772 А 2 . ~ 772

КА = —

2

н 2+ад2 + лпв2+2 н 2 0

0

н 2 н 2

2 , 7“2 2 . 7~2 2 . о 7“2

Н + НТ110^ + НГ12 ^2 + 2 Н Решая характеристическое уравнение |КА — Л!\ 0, находим

4,2 = 4,4 =Н2 ±^/ Н2 (Й12Д2 + + 2) .

Тогда

1

(26)

1 —

Н

Н2 + /£в + /&? + 2

(27)

(28)

Л + Л 2

Аналогичный вид имеет и выражение для вероятности ошибки при передаче сигнала —2 () • Поэтому полная вероятность ошибки при когерентном приёме

двоичных ортогональных сигналов при воздействии двух независимых помех будет определяться формулой

1

Р =—■ 2

1—.

Н

н 2+ад2 + н^в! + 2

(29)

Предположим теперь, что составляющие структурной помехи -П1 ) и -п2 (t)

статистически зависимы. В этих условиях в составе элементов корреляционной матрицы появляются дополнительные члены, с учётом которых при некогерентном приёме можно записать:

рст( к2 + кж + 2^24й^, + ь,2, +1|;

(30)

X, х2 = Х, х2 = —Р т

12 12 2 с

X, X2 = -X, X2 = ■

(кП1Г21 + (г1і + Г22 ^ + кп2Г12 ) , УРсТ(^21 +(^,1 + Г22 )кП21кП22 +ЬП22Г

Г11 У12У22 + У11 У22’ *11 У11 У22 У11 У22’ *12 У11 У12 + У11У12’

где

(31)

Г22 = У12У21 + У12У21’ Г22 = Уі2У21 - У11 У21’ Г2і = У21У22 + У21У22 '

При передаче сигнала —2 (t) элементы Х12 и Х12 корреляционной матрицы имеют аналогичный вид, за исключением того, что теперь к2 будет входить не в

X2 и X2, а в Х22 и Х22.

Для нахождения вероятности ошибки в этом случае воспользуемся выражениями [Хворостенко 1968]

Р, = рг{<0|г, (і)} = !<

1 -

X2 - X2

X2 + Х22 I - 4Я2

(32)

Р2 = РГ {‘э > 0 |^2 У)}=-^ <

1 -

X2 - X,2

Iх2

где Я2= X X + X х2 •

Подставляя в (30) значения X из (28), можно записать общее выражение для вероятности ошибки при зависимых помехах, имеющих различную энергию. В силу громоздкости общего выражения этого делать не будем. Ограничимся случаем, когда

помехи имеют одинаковую мощность Нт = Нп2 = Нп .

В этом случае выражение для вероятности ошибки принимает вид

1 -

к

к2 + кп2 ( + а2) + 2

- 4кп4а2а2

(33)

где (У11 + У12) +(У11 + У12) ’ ^2 (у21 + У22) + (У21 + У22) * (34)

В случае когерентного приёма при наличии корреляции между помехами

—пі У) и —п2 (і) в (24) изменяются только случайные величины х2 и х4 . Их дисперсия

х2 = х42 = — (И2 + И^О + 2.

А22 ( 12 + Г 21 )-(1 + Г22 ) + + 2) ,(35)

и выражение для вероятности ошибки принимает вид 1

Р = — 2

1

И2

И2 + ИПО,2 + 2^ Ип2,Ип\ (*12 + Г*21 )-(*11 + Г22 )_ + ИП202 + 2

(36)

При равной мощности помех (^Ги ~ ^пг _ ^п) соотношение (36) приобретает компактную форму:

1

Р = — 2

и 2 + + 2

(37)

0Е2 = О12 + 2 [( Г 12 + Г 21 )-(1 + Г22 )] + 0

где О2 = °1 т 2[Vг 12 т г 21^ -(г11 т г22 )) т °2 . (38)

При оценке влияния на качество цифровой связи манипулированных помех, изменяющих свою структуру на интервале существования сигнала, а также исследование влияния многолучёвости, требуется располагать моделями, учитывающими воздействие на сигнал N структурных помех. До настоящего времени такие модели не известны. Задачу синтеза этих моделей можно решить только системными методами, основу которых составляют процедуры логического объединения и логического обобщения частных зависимостей (см.: [Чучин 2006]).

Использование данных процедур основано на известном принципе, высказанном ещё Блез Паскалем (1623-1662) «...Познать части без знания целого также невозможно, как познать целое без знания его частей». Аналогичные мысли высказывал Гегель (1770-1831): «Целое определяет природу частей. Части не могут быть познаны при рассмотрении их вне целого».

Поэтому, пользуясь приёмами логического объединения моделей, будем учитывать не только результаты полученных выше для случая релеевских замираний сигналов и структурных помех, но также известные соотношения для каналов связи при более общих райсовских замираниях и обобщённого алгоритма квазикогерентного приёма сигналов [Чучин 2000, 2006а].

Тогда, вводя в рассмотрение параметр когерентности приёма 0 -1 - 1 и производя нормировку коэффициентов подобия относительно наиболее мощной помехи, например первой:

1 т 1 т Уп = I 2 (К, ()Л■ Ут = І 2 (Кп ()Л,

л/р^р

г є 1,2;

П1 А 0

п є 1, К;

(39)

К = 1,2,

для случая независимых помех получим:

вероятность ошибок при когерентном приёме сигнала

И

И +ИП10 N + 2

вероятность ошибок при некогерентном приёме сигнала

1

Р = — 2

1 -

И

4 [И2 + И2П1М1 + 2 ]2 + 4ИЯХ

(40)

(41)

В этих формулах

И2 и Ищ - среднестатистическое отношение сигнал/шум и помеха/шум в

релеевском канале связи;

~2 _ ~2 ~2

У Ап У1п У 2п ’

N _ ^

ґ^2 _ ґ^2 , ґ^2 _ 2 , ~2 . 2 _ 2 2.

= Е Оп • Оп = У Ап + У Ап • У Ап = У1п — У 2п •

п=1

N

М1 = Шп + ё 22п )•

2 2 , ~2 2 2 , ~2 ё1п = У1п + У1п • ё2п = У2п + У2п ’

(43)

' N

N

ЕУ1пУ2п + ~1пУ2п )

->2 2 , ~2 2

\ = Г +г Г

^ N N ’ N

Е(1п У 2п + У1п~2п )

(44)

При наличии корреляционной связи между структурными помехами решение неравенства (32) приводит к следующим аналитическим соотношениям для вероятности ошибок:

при когерентном приёме и зависимых помехах

1 2

Р = Н 1_ л/ =2—=Г ~9

ґ ^>1 *1 ',2 , !„ 2 г*2

где

О2 = у2 + У2 •

^ЕЫ А ДЫ ^ А ДЫ’

У2 =

ДЫ

Е Удп

У2 =

ДЫ

Е Удп

(45)

(46)

при некогерентном приёме и зависимых помехах

^ = 1Г___________________________И2____________________

2 [ л][И 2 + ИЯ1 (<^12М + 62М )+ 2] 2 + 4И771 6

(47)

где 0ш = Y ш + Y ш :

О 22N

N

Е :

п=1

1п

У

1N

N

Еу

п=1

1п

У:

2Ы

N

Еу

п=1

2п

2N

N

Еу

п=1

2п

. (48)

В случае воздействия на вход приёмника одиночной структурной помехи (N=1) понятие зависимости теряет смысл, и выражения (40, 45) и (41, 47) попарно тождественно равны.

Аналитическая модель, обобщающая выражения (45) и (47) при воздействии совокупности зависимых помех, может быть записана в виде

1 . И2

Р = ■

1 -

,/[*2 + АпОЕы + 2][к2 + (АпОД„ + 2) (2а-1)]

п=1

2

2

п=1

2

п=1

2

2

2

2

2

2

где

/ V \((ш + О2 м)2, (ш- 02 м)2,1) - при некогерентном приёме;

(, 0, 1/2 >- при когерентном приёме сигнала.

Остальные модели для случая релеевских замираний в канале связи и обобщённые соотношения для каналов при четырёхпараметрическом характере замираний сигнала и помех впервые получены и представлены одним из авторов статьи ранее [Чучин 2000, 2003].

Библиографический список

Алексеев А. А. Чучин. Е. В. Структурно-функциональная организация моделей качества цифровой связи при воздействии комплекса помех // Информационные системы: Теория и практика: сб. науч. работ / под ред. Е. А. Бабкина; Курск. гос. ун-т. Курск, 2010. С. 103-111.

Андронов И. С., Финк Л. М. Передача дискретных сообщений по параллельным каналам. М.: Сов. радио, 1971. 408 с.

Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов Н. Н. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: справ. М.: Радио и связь, 1981. 232 с.

Чучин Е. В. Логико-лингвистические принципы системного построения моделей качества передачи цифровых сигналов по каналам радиосвязи // Научно-технический сборник. Курск, 2006. №4 (155). С. 19-37.

Чучин Е. В. Применение многомерных гипергеометрических функций для анализа помехоустойчивости приёма двоичных сигналов при воздействии комплекса аддитивных и мультипликативных помех // Научно-технический сборник / гл. ред. . Курск, 2000. №3 (131). С. 52-62.

Чучин Е. В. Система моделей качества передачи двоичных сигналов в четырёх параметрическом канале связи при воздействии структурных помех // Научнотехнический сборник / гл. ред. . Курск, 2003. №2 (141). С. 75-87.

Чучин Е. В. Обобщение моделей качества передачи цифровых радиосигналов на основе решения некорректно поставленных задач // Научно-технический сборник / гл. ред. . Курск, 2006а. №4 (155).С. 50-61.

Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных сигналов. М.: Связь, 1968. 316 с.