Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов по каналам связи при наличии белого шума Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391.28.037.372

СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕДАЧИ МНОГОПОЗИЦИОННЫХ СИГНАЛОВ ПО КАНАЛАМ СВЯЗИ ПРИ

НАЛИЧИИ БЕЛОГО ШУМА

© 2012 Е. Е. Яковлев1, Е. В. Чучин2

1 аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: retker@yandex.ru

2канд. техн. наук, доцент, ст. науч. сотрудник каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: chew42@yandex.ru

Курский государственный университет

Синтезированы подсистемы моделей, определяющие качество передачи многопозиционных сигналов в каналах связи с четырёхпараметрическим законом замираний сигнала и в каналах с замираниями по закону Накагами.

Ключевые слова: канал радиосвязи, многопозиционная передача,

четырёхпараметрическое распределение, модель качества, система моделей,

гипергеометрические ряды.

Внедрение в эксплуатацию на линиях связи систем, использующих многопозиционные сигналы, является своеобразным проявлением системного подхода к синтезу оптимальных систем передачи информации.

Помехоустойчивость многопозиционных сигналов ниже, чем у двоичных, и ухудшается по мере увеличения числа используемых позиций. Это естественно, поскольку с ростом числа позиций сигнала возрастает вероятность того, что хотя бы один из сигналов будет зарегистрирован неверно. Кроме того, при размещении большого числа сигналов в ограниченном частотно-временном пространстве сокращается расстояние между ними. Соответственно облегчаются условия переименования сигнала под действием шумовых помех. Поэтому? если придерживаться импликативного подхода, основанного на импликации «если..., то...», можно придти к неверному выводу о нецелесообразности применения многопозиционных сигналов.

Однако при системном рассмотрении можно заметить, что с ростом числа используемых позиций одновременно растёт количество передаваемых с их помощью сообщений. Для передачи этих сообщений двоичным кодом в том же временном интервале необходимо пропорционально сократить длительность двоичного символа. Это ведёт к снижению энергии сигнала и соответственно уменьшению отношения сигнал/шум на входе приёмника. В результате М-ичные сигналы обеспечивают выигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению с двоичными сигналами. Оценить величину этого выигрыша при использовании многопозиционных сигналов можно путём пересчёта значения вероятности ошибки на двоичный символ передаваемой информации.

К сожалению, известные в настоящее время модели не позволяют в полном объёме проводить исследование систем, использующих многопозиционные сигналы.

ТЕХНИЧЕСКИЕ НА УКИ

Даже в том случае, когда помехой является только белый шум, а параметры канала не изменяются с течением времени, замкнутые выражения для расчёта вероятности ошибки при когерентном приёме, являющемся основным при использовании многопозиционных сигналов, для большинства систем не получены. Более того, сама постановка задачи синтеза системы моделей для оценки качества передачи многопозиционных сигналов в условиях воздействия структурных помех в научнотехнической литературе практически не ставилась.

Известные из монографий и справочников [Коржик 1981] приближённые формулы для расчёта вероятности ошибок в постоянных каналах

Р Ч

(M - 1) [1 - F (hM )$ - при когерентном приёме сигналов;

¥ - (-f

(1)

при некогерентном приёме сигналов,

где М - число передаваемых позиций;

hM - отношение сигнал/шум многопозиционного сигнала;

F (л)

- $ 2 ]

dt

функция Лапласа,

не учитывают всего многообразия построения многопозиционных систем сигналов и не способны обеспечить анализ ситуаций, когда приём сигнала осуществляется в условиях комплексного воздействия различного рода аддитивных и мультипликативных помех. Поэтому в качестве цели дальнейших исследований ставится задача синтеза моделей, обеспечивающих возможность проведения расчёта вероятности ошибок при приёме сигналов с различной позиционностью, при различных методах формирования сигнального пространства и разнообразных способах приёма сигналов в условиях воздействия белого шума и структурных помех. В настоящей статье ограничимся рассмотрением влияния на качество передачи сигналов белого шума.

Для построения аналитических моделей качества передачи сигналов будем использовать системные методы, обеспечивающие отображение соотношений для вероятности ошибки из области некогерентного приёма в область когерентного приёма. При этом будем учитывать, что в случае многопозиционных сигналов это отображение не является биективным.

При системном построении многопозиционных сигналов обычно используется их начальная фаза. Равные по числу позиций системы могут быть сформированы различными способами (КАМ, ФМ, АФМ и т. д.) [Окунев 1991]. Эти системы различаются не только принципом построения, но и качественными показателями. Биективным отображение будет только в том случае, когда для связи используются ортогональные сигналы. Однако это не сужает область применения Е-преобразования для синтеза моделей качества при когерентном приёме сигналов. Устранить неоднозначность преобразования можно путём приведения отношения сигнал/шум к эквивалентному для каждой из систем сигналов виду. Для этого следует умножить величину h0 на соответствующий для данной системы весовой множитель уМ.

Так, например, при использовании в системе передачи эквидистантных сигналов вероятность ошибки при когерентном приёме находится путём вычисления следующей интегральной зависимости [Коржик 1981]:

[F(*)]М lexP

(2)

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2012. № 4 (24) Т. 2

Яковлев Е. Е., Чучин Е. В. Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов

по каналам связи при наличии белого шума

Здесь выступающая в роли весового множителя величина уМ принимает

следующие значения:

1 - при использовании ортогональных сигналов;

Ym ~' ^м / (м -1) - при симпликсных сигналах.

В аналогичном виде могут быть представлены весовые множители при использовании других систем сигналов.

Сложность вычисления интеграла в (2), по утверждению ряда авторов [Коржик 1981], не позволяет выразить его в элементарных или известных табулированных функциях. На самом деле это не так. Осуществить переход от моделей при некогерентном приёме многопозиционных сигналов к моделям для случая когерентного приёма можно с помощью прямого Е-преобразования. При этом выражение для вероятности ошибки может быть представлено в виде суммы известных функций

M-1 1

У (-1)'*1 CM _i— еф\ Ы Г +1 I

r

r + 1

YMh

&

%

(3)

2 x

где erfc(x) = 1 - erf (x); erf (x) = -= fexp(-12 )dt;

CrM-l - число сочетаний из (М-1) по r.

Не останавливаясь здесь на аналитическом доказательстве эквивалентности соотношений (2) и (3), приведём результаты численного расчёта по этим формулам для случая ортогональных сигналов (уМ =1). Результаты вычислений представлены в таблицах 1 и 2.

Расчёт вероятности ошибки по формуле (2)

Таблица 1

\м h 2 3 4 8 16 32

0 0.5 0.667 0.75 0.875 0.937 0.969

1 0.159 0.255 0.322 0.475 0.608 0.716

2 0.023 0.041 0.057 0.106 0.168 0.243

4 3.167*10-5 6.286*10-5 9.36*10-5 2.127*10-4 4.365*10-4 8.443*10-4

6 1.103*10-9 2.09*10-9 3.075*10-9 7.015*10-9 1.488*10-8 3.054*10-8

Расчёт вероятности ошибки по формуле (3)

Таблица 2

\М h 2 3 4 8 16 32

0 0.5 0.667 0.75 0.875 0.938 0.969

1 0.159 0.235 0.283 0.384 0.466 0.533

2 0.023 0.039 0.051 0.085 0.123 0.166

4 3.167*10-5 6.206*10-5 9.139*10-5 2.009*10-4 3.946*10-4 7.242*10-4

6 9.866*10-10 1.972*10-9 2.956*10-9 6.878*10-9 1.467*10-8 3.006*10-8

ТЕХНИЧЕСКИЕ НА УКИ

Как видно из приведенных таблиц, относительное расхождение в величине вероятности ошибки, рассчитанной с использованием программного продукта «Mathcad-2000», для значений h < 6 весьма незначительно.

Располагая соотношением (3), можно осуществить дальнейший синтез моделей, характеризующих качество передачи многопозиционных сигналов в каналах связи с переменными параметрами. Так, усредняя (3) в соответствии с райсовским законом распределения случайной величины h , получим

M-1

.(2;м) - У (-1)'+1 cm-1

q2 +1

1 - 2 1 ■

qr

2 hi %

'q ho

(4)

l('ho2 + q2) 1 & '' 'rtf + q2 ' 'ho2 + q2,

Аналогичное выражение для вероятности ошибки в случае некогерентного приёма сигналов имеет вид [Финк 1970]

M-1

(1,м) - У (-1)'*1 CM-1

q2 +1

~T2---2exP

rh0 + qr

rq2 ho %

2 . „2 r $

rho2 + q

(5)

Используя рекурсивные методы синтеза моделей качества, объединим оба эти выражения в одно. Тогда имеем

, м-\

Pq (a M) = a(q2 + \)§ (- \ +\

C

H2

- qr

м-\ rhl

W\(\,\-a; 2,\;\-Hi,-q2H2 ).

(6)

r=\ ' ' *0

В этих формулах использованы следующие обозначения:

йс2 = % + И2Ф, q2 = h2/ йф;

= (r + l)q2 + r + 1; H2 =

rhl

rhc + qr

Конкретизируя значение параметра q, систему моделей (6) можно представить в виде двух подсистем:

1) подсистема моделей качества передачи сигналов для релеевских каналов связи (q = 0):

M-1

)(«;M) = V (- l)r+1 CM-i Pr(«},

(7)

где

Pr a = ----1

r + 1

1-

rh.

2 l“\

гИф + r +1

2) подсистема моделей для каналов связи с постоянным коэффициентом передачи (q^-ro):

rh2 #

p.4M - У (- i)r*‘ cr,$ i - - A. # f, $

r +1% r +1" Г(а +1) %

1 jc( ^ rh #

i FI a;a +1;---

r+1

(8)

Понижая уровень сложности модели, для частных ситуаций из (7) и (8) имеем

M-1

S(- •>

Ро а

M-11

CM -1

r + 1

S (- i)r+1 CM-1

rhl

гкф + r +1

a = 1/2;

M-1

(9)

M-1 , 2 i

тф + r +1

a = 1;

РЛа! = #

M-1, , 1

2(-1)" *■ CM

г* _i_ I

"=1

M-1

r +1 1

rh

2 '

\

j(- l)r+1CM-1------exp

7= " +1

r +1 * rh2

\

r+1

, a = 1/2;

I , a = 1.

(10)

r

1

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2012. № 4 (24) Т. 2

Яковлев Е. Е., Чучин Е. В. Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов

по каналам связи при наличии белого шума

При М =2 из (6) следует соотношение, моделирующее вероятность ошибки при приёме двоичных сигналов в райсовском канале связи:

а

Pq = (1,1 -а; 2,1; 1 -H2,-q2Hl),

(11)

где HI = hi /(hi + 2).

о "ф ' У1Ф

Конкретизируя здесь значение параметра некогерентности а, имеем

Pq а = #

1 V

2h

2 1 Ф

2

1,3/2; 2,1; 1- —,-q , при а = 1/2; 1

h2

h< + 2

exp

Ф & * hP2 '

(12)

h<2> + 2

при а = 1.

В случае когерентного приёма сигналы могут различаться на ортогональные и противоположные. Обобщающей моделью в данном случае является

1 '<Л2

62

2h+>'■)W|

&

62

i 21’ 2 ’ ,2 , с2 ’ 7 2с 2

кф + 6 кф + 6

(13)

„2 #1 - при противоположных сигналах;

где д=

12 - при ортогональных сигналах.

Моделирование качества передачи сигналов при осуществлении когерентного приёма значительно сложнее, чем в случае некогерентного. Поэтому до настоящего времени не были известны модели не только для райсовских каналов связи, но и для каналов с замираниями сигнала по закону Накагами. Системные методы позволяют преодолеть сложности, связанные с синтезом этих моделей. Для этого можно воспользоваться известным выражением для вероятности ошибки при некогерентном приёме [Коржик 1981]:

M-1 1

Pm (1; M) = У (- 1)Г+1 См ч —

r +1

1

rh2 $

m(r +1)

где m - параметр распределения Накагами.

Применяя к этому выражению Е-преобразование, получим

(2; M) - У (- Г с; -L $ , Л 2, ,„;,,, + #

П r-l Г + 1 % Amr " % Amr "

(14)

(15)

Р ,_m + i

П

В этом выражении

Amr = rh2 + m(r +1); B(x,y) - бета-функция.

На основании (14) и (15) при m = 1/2 для усечённого нормального канала имеем

2 М-1

У (- 1) См-i

r

1

Pv 2 {а М) =

П

# М-1

М-1 1

У(- l)r+1CM-i—iBx (^,-21 пРи

f={ r +1

а = 1/2;

(16)

У (- 1)r+1 CM-1

■J(r + xjyirh 2 + r + 1)

, при а = 1.

Здесь Bx (y, z) - неполная бета-функция при x = —

1 -,

2rh2

2rh2 + r + 1

Все приведенные здесь соотношения, моделирующие качество передачи сигналов по каналам Накагами, можно объединить в простую модель следующего вида:

M-1 2

Pm {a;M = У (- 1У+1CM-1--~h (m, m),

r+1

(17)

Ф

ТЕХНИЧЕСКИЕ НА УКИ

в которой

Ix (m, m)

Bx(m, m) B(m, m)

отношение неполной бета-функции при

1

х = — 2

I

-

rh2 a #

rh2 + m( r +1) I

Учитывая, что при m

1 значение Ix(1,1) = x, для релеевских каналов из (17)

следуют соотношения (9). При m = 1/2 для каналов с усечённым нормальным распределением коэффициента передачи из (17) имеем (16), а при m^ ю для постоянных каналов получим (10).

Следующим этапом формирования моделей качества на более высоком уровне сложности является синтез моделей для каналов связи с четырёхпараметрическим законом флуктуаций сигнала в канале связи. Разработанный в [Алексеев, Чучин, Яковлев 2012] аналитический базис позволяет осуществить его традиционным способом, осуществляя усреднение вероятности ошибки (8) по всем возможным значениям h в четырехпараметрическом канале. Тогда имеем

pT(a; M) = J pja; M^4 (h)dh =

0

M-1

f (- i)r+1 CM-i

1

r +1

(rhl 7 ехр(-^2) ф r +1) в 0 4

a +1,1/2, a; 1,a + 1;

в

2 2 ГК

,Yx,Yy,-----

r + 1

(18)

Здесь, как и в работе [Алексеев, Чучин, Яковлев 2012], использованы обозначения:

1

1

1

W (к)-

2h

&

Kxhy

exp

Ифу

ФЕИ) [а;Ь; х15 х2,..., хп )= J

ф( 3) $ !■ 1- К

Е $ 2’ ’ И2

фу

k -yk2

в

h2yl hV2 #

2 Ф

xkn

h

фу

h

фу

Ф

П т A

a, Ь^, b2; c, d;

Ю, x, y, z

ki,k2,...,kn =0 ^P)k1+k2 +...+kn k1 k2 ! kn !

(a)k+l + m+n (Ь1 I (Ь2 )n ^ X Г'

k ,l ,m.n=0

IS

(c), , (d) k! l! m! n!

V /k+l+m V /n

hl t4x Pc T . h2 — BpYPcT . h2 BlxpcT

riPX v2 ' v2 ’ Г1ФХ v2

в К. < ! 2 hi 2 К 2 2 . 2

= —— < г Ky ’ Y " hi.' y = ’ Пфу = Y. + Yy.

h 1

bIyPc T.

V

2

h

1

1

2

2

Система моделей, объединяемая соотношением (18), включает в себя все приведенные выше формулы для расчёта вероятности ошибки в райсовских, релеевских и постоянных каналах связи. Более того, в неё входят модели, свойственные каналам Бекманна, Хойта, Кловского и другим каналам, являющимся частными случаями общего гауссового канала. Также она содержит модели для каналов Накагами при значениях параметра m ={1/2, 1, ю}.

В каждом конкретном случае, сохраняя необходимое количество параметров и придавая им соответствующие значения, можно переходить от (18) к моделям меньшего ранга и уровня сложности, упрощая при этом структуру аналитической модели. Перечень основных моделей качества передачи многопозиционных ортогональных сигналов по каналам связи при наличии общих гауссовых замираний и аддитивного белого шума для случая когерентного приёма представлен в таблице 3. Модели для случая некогерентного приёма представлены в таблице 4.

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2012. № 4 (24) Т. 2

Яковлев Е. Е., Чучин Е. В. Система моделей качества передачи многопозиционных сигналов

по каналам связи при наличии белого шума

Таблица 3

Вероятность ошибки при когерентном приёме многопозиционных ортогональных сигналов в общем гауссовом канале связи при помехе в виде белого шума (а = 1/2)

Вид канала

Аналитическое выражение для вероятности ошибки

Общий гауссов

М h M) =

- !'(-1)' "Q, -.-Lr|i-J%!ipH

Г-0 r L1 I V r L1 вф

Ф

i ^ A

3/2, 1/2, 1/2; 1 2 2 —

it/o 1 a 2 ’Y ’ Д, i

1, 3/2; вф ' l 1

Бекманна

fc = 0)

pB( i;M) =

M-l

= l(-1)+1 CM-i

r+ 1

, (-riL)

1-17+~в~

Ф

^03

3/2, 1/2, 1/2; i 1 , rh2 1, 3/2; -/в,-г + 1

Райса

(4 = 4 = h )

Pq

M-1 „2 1

\ч / iV+1 r q + 1

У (- 1) Cm -1 J , 2 21

n 2\rK + qr)

(

^1

4r

rq2h2 %

1 2 I 'lr_________L‘ no

-4 2’^’1’ >2 2 ’ I 2 2

rho + qr rho + qr

Хойта

(4 = = 0)

л( I;M) =

M-1 1

= J(-1У+1Q-1 -iT r +1

rh2

гпфу

1 (r + M

Ф,

2 0 2

3/2, 1/2, 1/2; 1, 3/2;

1--1. r1

в r + 1

Релея

thk=&=

\ПФХ ' *ФУ ' 1Ф }

M -1 1

Po - у (-1)'+1 Cm-1—,

r= r +1

&

rh

2 #

rhj + r +1

[h

Усечённо-

нормальный

2 = h = h1 = 0

PX ™PY "ФХ w

2 m -l 1 I

p 1(1/2; M) - - 2 (-O'*1 CM-i—Л (iO ) * -1

2 — Г-l r +1 2

2rh

2 #

2rh2 + r +1

Постоянный

(4 = 4y = 0)

M -1 1 / I r '

(i) - t (-+1 -1—T J—г A

Г-! r +1 у r +1

1

1

Таблица 4

Вероятность ошибки при некогерентном приёме многопозиционных ортогональных сигналов в общем гауссовом канале связи при помехе в виде белого шума (а = 1)

Вид канала Аналитическое выражение для вероятности ошибки

Общий гауссов Рг (1; M = M-1 1 - У(-1" CM-,-+-7 /-0 r + 1 ' 'ф exp(-Y2) ф ) 1 . -|\ о 0 4 2 +в '2,1/2, 1; 1 2 2 —' 1, 2; 1 в-7’’ r + 1

Бекманна (hpY = 0) Рв О; M = M-1 1 - 2 (-1 "cm-,—+ Г-0 ' + 1 . К exp (-Г:) ф ('+1) дФ 0 3 2, 1/2, 1; 1 1 2 —' 1, 2; в ' + 1_

ТЕХНИЧЕСКИЕ НА УКИ

Райса (4 = 4 = h) M -1 q 2 + i Pq (1;M - У ( 1) CM -1 ,2 2eXP ri rh0 + qr ( rq2hl J ' rK2 + q2r J

Хойта fe = = О) Px (1; m) = - У(-ГCM-, -Ц-+1 -—„ф2 r +1 (r +1) вф 2, 1/2, 1; 1 1 гНф ' 1, 2; 0ф’ r +1

Релея fe = = o) (h*=h>Y=h) M -1 1 p„(xM) - У (-i)r+1 cm-1—2 Г-f 'hi + r +1

Усечённонормальный (h2 = h1 = h2 = V'PX ™PY "ФХ M-1 1 PAM) - У(-1)"*1 C_ м _2 .. 2 7= -yj(r + 1)2rh2 + r +1)

Постоянный (4 = 4y = о) M-1 1 ( rh2 # p~ (!;M) - У ( 1) CM-1 exp r=1 r +1 % r +1"

Анализ представленных в этих таблицах зависимостей позволяет получить сведения по обеспечению заданного качества передачи сигналов применительно к конкретной обстановке. Подобный анализ должен проводиться при проектировании любой системы, выпускаемой в промышленности. Особое внимание при этом уделяется надёжности разработки, будь это конструкция здания, моста или радиотехническое изделие. В любом случае необходимо проанализировать условия эксплуатации изделия, выявить экстремальные ситуации и определить возможные последствия в случае их возникновения. Для систем связи такие экстремальные условия могут возникнуть при воздействии на вход приёмника, помимо белого шума, структурных помех, что требуется учитывать в дальнейших исследованиях.

Библиографический список

Алексеев А. А., Чучин Е. В., Яковлев Е. Е. Аналитический базис моделей качества передачи информации по каналам цифровой связи (статья в настоящем номере журнала)

Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов Н. Н. Расчёт помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: справ. М.: Радио и связь.1981. 229 с.

Окунев Ю. Б. Цифровая передача информации фазоманипулированными сигналами. М.: Радио и связь, 1991. 295 с.

Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов. Радио. 1970.

727 с.

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2012. № 4 (24) Т. 2