CC BY
16
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
БЕЙБАЛАЕВА Д.К.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
РЕГИОНА
В статье приводится модель экономической динамики. В ней рассматривается, что компонентами этого выступают сырье, материалы, основные фонды, трудовые и энергетические ресурсы - все, что может быть определено количественно и хотя бы в каком-то отношении характеризует экономический потенциал региона. Проводится анализ моделей, предлагаемых учеными, и предлагается рассматривать варианты, которые бы удовлетворяли следующим основным предпосылкам: одинаковому удовлетворению определенной потребности; совпадению между собой всех показателей, характеризующих варианты затрат, за исключением объемов текущих и капитальных; капиталовложения рассматривать и анализировать только с точки зрения затрат денежных средств. В статье отмечается, что для прогнозирования развития сложных процессов рассмотренные методы позволят улучшить процесс регулирования в экономике.
ВЕУВАЬАЕУА ПК.
TECHNOLOGICAL MODELS OF ECONOMIC DYNAMICS OF REGION
In article the model of economic dynamics is resulted. In it is considered that as components of it raw materials, materials, a fixed capital, labour and power resources - everything act that can be defined quantitatively and at least in any relation characterize economic potential of region. The analysis of the models offered by scientists is carried out and it is offered to consider variants which would satisfy to following basic preconditions: to identical satisfaction of certain requirement; to coincidence among themselves all indicators characterizing variants of expenses, except for volumes flowing and capital; capital investments to consider and analyze only from the point of view of expenses of money resources. In article it is noticed that for forecasting of development of difficult processes the considered methods will allow to improve regulation process in economy.
Ключевые слова: экономическая динамика, модель, ресурсы, экономический потенциал, регион, прогнозирование, развитие, сложные процессы, методы, регулирование, экономика.
Keywords: economic dynamics, model, resources, economic potential, region, forecasting, development, difficult processes, methods, regulation, economy.
Регулирование территориально-отраслевых отношений требует создания условий для динамического развития экономики региона. Это возможно при
использовании технологических моделей экономической динамики. Для этого состояние экономики в момент времени ? описывается набором неотрицательных чисел х = (х1, х2, ..., хп). Компоненты этого набора показывают наличие продуктов, к которым можно отнести, например, сырье, материалы, основные фонды, трудовые и энергетические ресурсы - все, что может быть определено количественно и хотя бы в каком-то отношении характеризует экономический потенциал (1).
Считая отправным это состояние, к моменту времени ? + 1, в зависимости от многих обстоятельств, можно добиться разных результатов, однако не произвольных. Множество состояний, в которые экономика способна попасть в момент ? + 1, если в момент ? она находилась в состоянии х, обозначим через А(х). Соответствие Аг : (х) ® А(х) называется технологическим отображением. Оно определяется технологическими возможностями экономики в момент
Если в качестве описания технологических возможностей экономики в момент ? используется технологическое множество 2, то, считая, что затраты и выпуск относятся к смежным моментам времени, технологическое отображение Аг можно получить:
Аt (х) = {у : (х, у) е2ь}. 1
Вместе с тем, если первоначально было задано отображение Аь то множество 2г строится как
2Г = {(х, н) : у еА}. 2
Технический прогресс находит отражение в том, что отображения Аг в различные моменты времени, вообще говоря, различны. Модель технического прогресса должна быть описанием изменения отображений Аг или множеств 2г.
Для заданного начального состояния экономики х0 множество технологически допустимых вариантов развития состоит из траекторий х(1), удовлетворяющих условиям х(0) = х0, х( + 1) е А(х$)). Это множество полностью определяется заданием отображений Аг (или множеств 2)
Такое общее представление множества допустимых вариантов развития полезно потому, что оно позволяет строго сформулировать ряд экономических проблем. Однако без конкретизации свойств технологических отображений составить представление о структуре этого множества невозможно.
Начало исследованиям в этой области было положено в тридцатые годы ХХ века Дж. Фон Нейманом, который предложил модель общего экономического равновесия, являющуюся, по существу, технологической динамической моделью, где технологическое множество задается конечным числом базисных технологических способов. Технологические модели остаются объектом исследований экономистов и математиков, в результате чего модель Неймана подверглась, с одной стороны, конкретизации, с другой - обобщению (2).
Лучше других изучены линейные модели, основные результаты которых получены для динамической модели Гейла, являющейся базовой моделью
экономической динамики, и технологическим множеством в ней берется конус Гейла.
Динамическая модель Неймана, очевидно, является частным случаем динамической модели Гейла (3). Модель динамического баланса представляет собой частный случай динамической модели Неймана и динамической модели Гейла.
Технологическое множество Неймана задается парой матриц, составленных из коэффициентов затрат и результатов базисных технологических способов. Вектор обобщенных продуктов состоит из двух частей: собственно продуктов и мощностей. Тогда необходимые матрицы затрат и результатов динамической модели межотраслевого баланса выглядят следующим образом:
Продукты Е 0
Мощности Е Е
Продукты А Б
Мощности Е 0
Выпуск Затраты
Продукты Мощности
В качестве интенсивностей выступают объемы выпусков х и прироста
Ах.
Центральное место среди траекторий модели Гейла занимают траектории максимального сбалансированного роста.
Для технологической модели Гейла 2 найдутся такие числа а*>0 и технологический процесс (х*, у*), что
у*>а*х* 3
и а*>а (х, у) для всех (х, у) е 2,
где а (х, у) - темп роста процесса (х, у).
Если технологический процесс представить в виде - (х, у) е 2 и х'£х, у'£у, то выражение примет вид (х) у') е 2.
Известны способы неэффективного использования продуктов, например, непроизводительного потребления, или «бесплатного уничтожения». Выполнение последнего свойства сомнительно, по-видимому, лишь в тех случаях, когда к числу выпускаемых «продуктов» отнесены вредные последствия производства, в частности отходы, загрязняющие внешнюю среду (3).
Если дополнительное предложение выполнено, то, «уничтожая» часть произведенных продуктов, находим такой вектор у* , для которого
у*=а*х* 4
(у*, х*) е 2 5
Таким образом, если начальное состояние х (0) совпадает с х*, то, отправляясь из этого состояния, для ? = 1 получаем
х (1) = а*х(0) = а*х*. 6
Но так как множество 2 является конусом, отправляясь из состояния х (1) = а*х*, можем попасть в состояние х (2) = а* х(1) = (а*) х* и т. д. В момент времени г выражение примет вид:
х (г) = а*х(г -1) = (а*/х*. 7
Это и есть траектория максимального (по свойству максимальности а*) сбалансированного роста. Тот же результат получим для х(0) = Рх*, где Р>0.
Геометрически сбалансированность траектории означает, что она целиком проходит по некоторому лучу, выходящему из начала координат. Луч, по которому проходит траектория максимального сбалансированного роста, называется неймановским (он не единственен).
Среди сбалансированных траекторий, по которым можно было бы двигаться, существуют, конечно, и неймановские, но возможная скорость продвижения по неймановскому лучу является максимальной. Следовательно, если цель состоит в быстром сбалансированном росте экономической системы, то оптимальным решением является скорейший выход на этот луч. Однако значение неймановского луча в моделях экономической динамики этим не исчерпывается (3).
Неймановский луч играет важную роль при описании не только сбалансированных, но и других траекторий, обеспечивающих достаточно быстрый экономический рост. Для таких траекторий справедливы теоремы о магистрали, которые говорят о том, что при некоторых предположениях эти траектории, в известном смысле, тяготеют к неймановскому лучу максимального сбалансированного роста. Одну из таких теорем мы подробно рассмотрим ниже, а пока остановимся на вопросе о том, про какие траектории можно сказать, что они обеспечивают достаточно быстрый экономический рост.
В модели Гейла можно предложить несколько принципов оптимальности, отвечающих тем или иным представлениям о достаточно быстром экономическом росте. Для множестваХ^Кп+ обозначим А(Х) = и(А(х) : х еХ}.
Положим А1 (х) = А(х) и определим Ат(х) для Т = 2, 3, ..., равенством
Т Т1 Т
А (х) = А(А' (х)). Иными словами, А (х) - это множество тех состояний, в которые можно попасть из х за Т шагов, так что у е А (х), когда существует траектория (хг)0 с началом в х0 = х и концом хТ = у. Сразу же отметим, что
2Т
множество А(х) компактно, а значит компактно и А (х) и по индукции А (х) при любом Т = 1, 2, ....
Пусть на Вп+ задана неотрицательная, непрерывная и монотонная функция р. Монотонность функции ф здесь понимается в том смысле, что (р(х) > (р(у) для х >у и, более того, р(х) > р(у) для х >у (х1 >уУ, / = 1, ...,п). Пусть,
кроме того, заданы начальное состояние х0 и плановый период Т, тогда
Т
р(у) ®тах, еА (х0).
Любая ф-оптимальная траектория эффективна независимо от функции ф, важно только, чтобы эта функция была монотонной. Наоборот, любая эффективная траектория (хг) 0 является ( -оптимальной для некоторой функции ( , например, для функции ( , определенной равенством
р(х) = т1п1х1/х\. 8
Кроме (-оптимальных и эффективных траекторий, интерес для нас могут представлять траектории (х) 0, которые обеспечивают достаточно быстрый рост в каждый момент времени г. Если задана какая-нибудь функция ( или последовательность функций (ф) 0, то рост в каждый момент г можно измерять с помощью величины ((х)((хг-1) или величины (г (хг)/ф{-1(х). Траек-
Т Т Т Т
тория х) 0 растет быстрее, чем траектории (у) 0 в смысле (( 0, где (( 0 -последовательность монотонных неотрицательных функций, если (0/0 = 0). Конечно, не для всякой последовательности (() 0 найдется траектория, растущая в смысле (() 0 быстрее, чем все остальные. Однако если такая траектория найдется, то она, очевидно, будет (-оптимальной и, значит, эффективной. Оказывается, что верно и обратное в определенном смысле утверждение: для любой эффективной траектории (х) 0, исходящей из х0>0, существу-
ТТ
ет такая последовательность функций (() 0, что траектория (хг) 0 растет в
ТТ
смысле (() 0 быстрее любой другой траектории (у) 0, причем вне зависимости от того, из какой начальной точки у0 исходит (уг) 0 (4).
Эта последовательность определяется так: в качестве (¡Т возьмем (, а для г = 0, 1, ..., Т-1 положим
Т 1
ф(х) = тах {(Т(у) : у еА' (х)}. 9
Т 1
Поскольку функция (Т непрерывна, а все множества А ' (х) компактны, то функции (г определены корректно. Эти функции монотонны, что вытекает из следующего, легко проверяемого свойства отображения А: если х>х' и у'еА(х), то у'еА(х), причем если х>х' и у'еА(х), то найдется уеА(х), такой, что у>у'.
Кроме того, для последовательности (() 0 справедливо неравенство:
&+1(у)<щ (х), х е Вп+, уеА(х), г = 0, 1, ..., Т-1. 10
ТТ
Итак, траектория (х1) 0 растет в смысле последовательности (() 0 быстрее, чем любая другая траектория. Сразу же отметим, что построенная последовательность (() 0 состоит из линейно-однородных функций.
При сравнении различных вариантов осуществления того или иного проекта возникает необходимость выбрать один, который будет реализован практически. Каждый проект, в который вкладываются средства, предназначен для удовлетворения той или иной общественной потребности (5).
Рациональная, т. е. наиболее эффективная, структура общественного производства может быть достигнута путем выбора вариантов реализации соответствующих проектов, основанных на сопоставлении уровня текущих и капитальных затрат по вариантам. В этих условиях задача нахождения наилучшего варианта состоит в том, чтобы найти такое сочетание текущих и капитальных затрат, которое было бы наиболее выгодно. Практические методы определения таких вариантов рассмотрим ниже.
Необходимо, чтобы рассматриваемые варианты удовлетворяли следующим основным предпосылкам:
1) все варианты осуществления одного проекта обеспечивают одинаковый конечный народнохозяйственный эффект, т. е. одинаковое удовлетворение определенной потребности;
2) все показатели, характеризующие варианты затрат, за исключением объемов текущих и капитальных, совпадают между собой;
3) капиталовложения рассматриваются и анализируются только с точки зрения затрат денежных средств.
Выполнение этих трех условий позволяет свести различия между вариантами только к различиям в уровне текущих и капитальных затрат и выбирать наилучший вариант на основе их сопоставления. Но нужно иметь в виду, что практически варианты осуществления одного и того же проекта могут различаться по многим показателям: объему и составу производимой продукции, местоположению объекта, распределению капиталовложений во времени, срокам строительства и т. д., каждый из которых, как будет показано ниже, по-разному влияет на величину конечного народнохозяйственного эффекта, достичь которого позволяет каждый вариант (7).
В соответствии с принятыми предпосылками, вариант с меньшими объемами текущих и капитальных затрат всегда предпочтителен. Пусть С1, С2 -годовой объем текущих затрат по 1-му и 2-му вариантам, К1, К2 - объем капиталовложений по 1-му и 2-му вариантам соответственно. Если С1<С2 и К1<К2, то вариант 1 заведомо лучше варианта 2.
Однако в реальных условиях, как правило, меньшему объему текущих затрат соответствует больший объем капиталовложений.
Уровень текущих затрат сокращается с ростом объема вложений до определенного предела, начиная с которого увеличение объема вложений становится неэффективным, и текущие затраты резко возрастают. Точка К* задает объем капиталовложений, обеспечивающий минимум текущих затрат по проекту. Если бы фонд капиталовложений не был ограничен, то выбирая по каждому проекту вариант с объемом вложений К*, можно было бы обеспечить минимум текущих затрат в народном хозяйстве по всем рассматриваемым проектам. Ограниченность фонда капиталовложений, препятствуя достижению минимума текущих затрат по каждому проекту, порождает необходимость специфических методов отбора наилучших вариантов, основанных на сопоставлении прироста капитальных затрат, вызываемых переходом на более капиталоемкий вариант и соответствующей экономии текущих затрат.
Суть метода, рекомендуемого для сравнения вариантов в этом случае, состоит в следующем. Пусть К2>К1, С2<С1. Образуем отношение
Т = К2 - К/ С1 - С2. 11
Числитель этого выражения представляет собой прирост фонда капиталовложений, необходимый в случае, если вместо варианта 1 реализуется более капиталоемкий вариант 2, а знаменатель - сокращение (экономия) текущих затрат за год, обусловленное реализацией более капиталоемкого варианта. Выражение (11) сопоставляет оба эти прироста, и его можно интерпретировать как период, в течение которого дополнительные капиталовложения,
вызванные переходом на более капиталоемкий вариант, окупаются вызываемой этим экономией текущих затрат. При этом период Т представляет собой срок относительной или сравнительной окупаемости более капиталоемкого варианта по сравнению с менее капиталоемким, а не период окупаемости всего объема капиталовложений в проект, который окупается путем начисления амортизации в течение нормативного срока службы фондов (5).
Для отбора лучшего варианта с помощью показателя Т необходимо ввести базу сравнения, не зависящую от показателей окупаемости Тн, и выбор вариантов осуществляется по следующему правилу: если расчетный срок окупаемости меньше либо равен нормативному (Т<Тн), то лучшим считается более капиталоемкий вариант 2, поскольку дополнительные капиталовложения, порождаемые переходом на этот вариант, окупаются экономией на себестоимости за период меньший либо равный нормативному. В противном случае (Т>Тн) лучшим считается вариант 1, т. е. менее капиталоемкий.
При выборе лучшего варианта часто пользуются величиной, обратной нормативному сроку окупаемости: Ен = 1/Тн. Она получила название норматива эффективности капиталовложений. Нетрудно видеть, что Т<Тн, то К - К/С1 - С2 <Тн, 12
откуда
С1 - С2 /К2 - К1 >Ен. 13
Если Т>Тн, то
К2 - К/ С1 - С2 >Тн, 14
откуда
С1 - С2 /К2 - К1 <Ен. 15
Соотношение (13) есть условие предпочтения варианта 2; соотношение (15) - варианта 1. Из (13) следует, что
С2 + ЕнК2<С1 + ЕнК1, 16
из (14) следует, что
С1 + ЕнК1<С2 + ЕнК2. 17
Соотношения (16) и (17) показывают, что более предпочтительный вариант характеризуется меньшим значением суммы вида С + ЕнК, которая получила название «формулы приведенных затрат». Очевидно, верно и обратное утверждение: вариант с меньшим значением суммы приведенных затрат окажется предпочтительным в смысле критерия (11). Таким образом, попарное сравнение вариантов с помощью нормативного срока окупаемости можно заменить применением нормативного срока окупаемости и нахождением минимума приведенных затрат (10).
Рассмотрим подробнее экономический смысл формулы приведенных затрат и особенности их минимизации по сравнению с минимизацией текущих затрат по заданному проекту или некоторой отрасли в условиях ограниченного фонда капиталовложений.
Пусть С = /(К), где С - годовой объем текущих затрат,/(К) - непрерывная, дважды дифференцируемая функция, характеризующая зависимость те-
кущих затрат от величины капиталовложений; предполагается, что функция /(К) имеет единственную точку минимума.
Вариант вложения, оптимальный по критерию минимума приведенных затрат, всегда требует меньшего объема капиталовложений, чем вариант, оптимальный по критерию минимума текущих затрат. Если увеличивается значение норматива эффективности (т. е. сокращается нормативный срок окупаемости), то уменьшается объем капиталовложений, необходимый для минимизации приведенных затрат; если норматив эффективности сокращается, то это ведет к росту объема вложений, минимизирующих приведенные затраты. Это следует из того, что геометрически значение норматива эффективности выражается тангенсом угла наклона прямой, соответствующей второму слагаемому в формуле приведенных затрат. С ростом значения норматива эффективности эта прямая вращается вокруг начала координат влево вверх, сокращая объем вложений, необходимый для минимизации приведенных затрат. При уменьшении значения норматива эффективности объем вложений возрастает. Если Ен = 0, то в этом случае g(K) = /(К), и объемы вложений, обеспечивающие минимум приведенных и текущих затрат, совпадают (К = К*).
Ограниченность фонда капиталовложений породила необходимость использования формулы приведенных затрат для выбора наилучшего варианта, сокращая тем самым необходимый для этого варианта объем вложений, а норматив эффективности выступает регулятором, который позволяет добиться практического минимума приведенных затрат в условиях заданного лимита вложений (6). Чем жестче лимит вложений, тем выше должно быть значение норматива эффективности, и наоборот, чем большей фонд капиталовложений выделяется, тем меньше может быть его значение. Если фонд вложений достаточен для обеспечения минимума текущих затрат, то ограниченность его перестает препятствовать достижению этого минимума. Если при этом использовать норматив эффективности и формулу приведенных затрат для выбора наилучшего варианта, то часть фонда капиталовложений, равная К* - К, не будет затрачена, хотя ее использование может повысить эффективность текущих затрат. Применение норматива эффективности и формулы приведенных затрат теряет в этих условиях экономический смысл. Формально это находит свое выражение в равенстве норматива нулю. Выбор варианта можно осуществлять по критерию минимума текущих затрат.
Условие (17) позволяет дать экономическую интерпретацию самого норматива эффективности. Согласно этому условию, его экономический смысл определяется экономическим смыслом производной, стоящей в левой части данного соотношения. Эта производная показывает сокращение (так как df/dk<0) текущих затрат, обусловленное увеличением капиталовложений на некоторую достаточно малую величину. При условии, что объемы и цены продукции, производимой по различным вариантам, совпадают (это одна из предпосылок излагаемых методов), сокращение текущих затрат эквивалентно приросту прибыли.
Таким образом, в достаточно часто встречающейся экономической интерпретации норматив эффективности показывает экономию текущих затрат или прирост прибыли, который обеспечивает в среднем один рубль капиталовложений в проект или отрасль. Если рассматривать вложения в отдельные проекты или по отдельным отраслям раздельно друг от друга, то мы всегда будем иметь дело с нормативами, дифференцированными по проектам или отраслям, так как отдача одного рубля вложений в различных проектах или отраслях различная.
Регулятором оптимальной величины вложений по отраслям может служить величина норматива эффективности. Необходимо определить его так, чтобы обеспечить соответствие, т. е. возможность совместной реализации частных минимумов затрат по отраслям в условиях ограниченного фонда капиталовложений. Для этого рассмотрим модель, представляющую собой частный случай модели, предложенной В. В. Новожиловым. Основное отличие излагаемой модели состоит в том, что в ней учитывается только один вид ограниченных ресурсов: фонд капитальных вложений, в то время как В. В. Новожилов рассматривал некоторое множество различных видов ресурсов. Кроме определения величины, предлагаемая модель позволит уточнить экономический смысл норматива эффективности и показать возможности наиболее эффективного распределения всего фонда вложений (9).
Создание и развитие теории оптимального планирования дало возможность более широко рассматривать проблемы эффективности капитальных вложений и формирование норматива эффективности. Это нашло свое выражение в том, что применение современных математических методов позволяет отказаться от требования обязательного выполнения достаточно жестких предпосылок. Введение предпосылок о тождестве эффекта по вариантам и их основных показателей, за исключением величины текущих и капитальных затрат, как и предпосылки об анализе капиталовложений только с точки зрения затрат денежных средств, было обусловлено необходимостью прямого сравнения вариантов между собой. Невыполнение этих предпосылок делало варианты несопоставимыми. Если процессы выбора вариантов вложений моделировать с помощью экстремальных задач, например задачи линейного программирования или других, то выбор вариантов осуществляется не прямым их сопоставлением, а на основе оценки влияния каждого варианта на изменение целевой функции задачи. Эта оценка формируется на основе некоторых общих свойств экономической системы, моделируемой данной экстремальной задачей (8).
Пользуясь устойчивостью оптимальных двойственных переменных, необходимо задать некоторые, достаточно малые приращения правым частям ограничений исходной задачи так, чтобы базис оптимального решения, а значит, и система оптимальных двойственных переменных не менялись. Рассмотрим вначале изменения в плане производства продукции. Пусть план выпуска продукта ¡0 увеличился на единицу, т. е. вместо величины У0 в правой части ограничений задачи положим У1 + 1; величина всех остальных ограничений не изменяется. Приращение в правой части ограничений задачи
приведет к изменению оптимального выпуска продукции всех видов. Обозначим его через {Ах{*}. Оптимальный план новой задачи можно записать в
с*
виде {х I + Ах*}.
Оптимальная двойственная переменная, соответствующая данному ограничению на выпускаемую продукцию, характеризует тот эффект, который позволяет достичь изменения на единицу заданного объема производства этой продукции. Форма выражения эффекта совпадает с формой выражения критерия оптимальности исходной задачи.
Аналогично можно выяснить и экономический смысл оптимальных двойственных оценок ограниченных {г*} ресурсов. Пусть затраты ресурса]0 возросли на достаточно малую величину, и вместо Qj0 рассматривается Qj0 + 1.
В общем случае для задачи с произвольной системой ограничений и произвольным функционалом аналогично можно показать, что оптимальное двойственные переменные всегда показывают изменение целевой функции, которое обеспечивает достаточно малая единица приращения правой части соответствующего ограничения. Каждую такую оценку можно рассматривать в качестве специфического норматива эффективности соответствующего ресурса или продукции, учитываемых в ограничениях задачи. Этот норматив показывает эффект, который обеспечивает некоторая, достаточно малая единица их приращения. Преимущество применения таких нормативов состоит в том, что они позволяют оценивать капитальные вложения с точки зрения их материально-вещевой структуры, учитывая как каждый вид материальных ресурсов, необходимых для реализации некоторого проекта, так и различные виды производимой продукции и их влияние на эффект всей экономической системы. Это вызывается тем, что при формировании моделей оптимального планирования в принципе отпадает необходимость введения тех жестких предпосылок, о которых шла речь (9).
Следует отметить, что для прогнозирования развития сложных процессов рассмотренные методы позволят улучшить процесс регулирования в экономике. Для этого могут быть использованы экономико-математические модели этих процессов. В этом случае для определения значений независимых переменных на период упреждения используются соответствующие трендо-вые уравнения. Рассмотренные модели помогут совершенствовать развитие территориально-отраслевых отношений региона.
_Литература_
1. Бир С. Кибернетика и управление производством: Пер. с анг. - М.: Наука, 1965г.
2. Иголкин А.А., Мотылев В.В. Международное разделение труда: модели, тенденции, прогнозы. - М., 1988г.
3. Каранченцева В.Г., Каранченцев Н.В. О динамическом моделировании экономических процессов. Сборник трудов международной конференции. «Экономика. Бизнес. Информационные технологии». - Барнаул, 2001г.
4. Котов И.В. Моделирование народнохозяйственных процессов. - Л.: Изд-во ленинградского университета, 1990г.
5. Кугаенко А.А. Основы теории и практики динамического моделирования социально-экономических объектов и прогнозирования их развития. - М.: Дело и Сервис, 1999г. - С.272.
6. Мордвинов Н.С. Избранные произведения. - М., 1945г. - С. 100.
7. Панков Г.В., Селиванов С.Г. Непрерывная реконструкция предприятий машиностроения. - М.: Машиностроение, 1991г.
8. Попов М.Ю. Модель хозяйствования и экономическое поведение в условиях трансформации экономики. Сборник трудов международной конференции. «Экономика. Бизнес. Информационные технологии». - Барнаул, 2001г.
9. Попова В.Г., Караченцев Н.В. Динамическое моделирование экономических процессов //Взаимодействие образовательных, хозяйственных и административных структур в регионе: Материалы научно-практической конференции, апрель 2000.; НФИ КемГУ. - Новокузнецк. 2000г., - С. 349351.
10. Рубинштейн А.Г. Моделирование экономических взаимодействий в территориальных системах. Новосибирск, 1988г.
