Течение Куэтта умеренно плотного газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 197 6

№ 6

УДК 532.527.2

ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА УМЕРЕННО ПЛОТНОГО ГАЗА

В. 3. Свойский

Получено решение в квадратурах задачи о течении Куэтта умеренно плотного газа. Показано, что повышение давления вплоть до І08 Па мало изменяет профили скорости и температуры по сравнению со случаем совершенного газа (в пределах 2096).

Течение газа между двумя бесконечными параллельными пластинами, из которых одна неподвижна, а другая движется с постоянной скоростью в своей плоскости,—течение Куэтта,— соответствует одному из немногих случаев, когда уравнения Навье — Стокса могут быть решены точно.

Исследованию течения Куэтта при различных предположениях посвящено много работ; в краткой заметке не представляется возможным привести достаточно полный обзор их. Упомянем лишь некоторые: Иллингвортом [1], Гродзов-ским [2] и Жмулиным [3] исследован случай сжимаемого совершенного газа различными методами; влияние диссоциации и ионизации на течение Куэтта сжимаемого газа исследовано Лнпманом и Блевиссом [4], Кларком [5]; движение несжимаемой вязкой жидкости между двумя параллельными движущимися и гармонически колеблющимися пластинами рассмотрено в работах Жмулина [6, 7].

В настоящей работе рассматривается стационарное течение Куэтта плотного газа из твердых сфер. Коэффициенты вязкости и теплопроводности, а также уравнение состояния для этой модели газа получены Энскогом [8]. Показано, что если в качестве независимого переменного использовать плотность газа, то решение задачи можно представить в виде интегралов. Учет первой поправки по плотности в коэффициентах переноса приводит к появлению логарифмического члена в выражении для скорости. Отношение коэффициента вязкости к коэффициенту теплопроводности слабо изменяется с температурой и давлением. Это обстоятельство используется для приближенного решения задачи.

Рассмотрим установившееся вязкое течение газа между двумя параллельными бесконечными пластинами, вызванное движением верхней пластины относительно неподвижной нижней с постоянной скоростью и (плоское течение Куэтта). Расстояние между пластинами обозначим через//. Из уравнений Навье— Стокса следует, что давление р и касательное напряжение х сохраняют постоянное значение во всем потоке. Условия прилипания жидкости к стенкам выражаются равенствами

где и — продольная составляющая скорости.

Задаются также значения температуры (или плотности) на стенках. Параметры течения у нижней стенки обозначим индексом а у верхней — индексом сю.

Закон трения Ньютона и закон теплопроводности Фурье записываются так:

и—0 у нижней стенки; и — и у верхней стенки,

йи

(1)

10—Ученые записки № 6

131

где q — тепловой поток, а (л и X — коэффициенты вязкости и теплопроводности соответственно.

Уравнение энергии в случае течения Куэтта имеет вид (см. [9])

— q + хи = — qw — const. (2)

Предполагаются справедливыми уравнение состояния

р = pRT (1 + b?y )

и выражения для вязкости и теплопроводности Энскога [8]

ц = (l/bpz + 0,8 + 0,761 bpy); (3)

А = Х0 йр (1 ,/йру -f 1,2 + 0,757 by/), (4)

где [Xq и А0 — коэффициенты вязкости и теплопроводности газа при низкой плотности; у — радиальная функция распределения твердых сфер в точке г — а,

X = 1 + 0,625 bр + 0,2869 (йр)2 + . .;

' 2 а3

Ь = -гг- К -- ,

3 т

здесь т — масса молекулы; о—диаметр молекулы.

Заменяя в уравнении энергии (2) т и q по формулам (1), получаем дифференциальное уравнение

, dT du

ldy + dу ~ ~ qw’

которое с использованием (1) может быть записано в дифференциалах

■ (6>

Если использовать плотность р в качестве независимого переменного, то уравнение (5) можно записать в виде

d I “2 , \ 11 \

d? ( 2 + тю “j

где

I dT

откуда

/(р) = — rfp- •

И2 . Чш

2

+ "-«= Г /(p)rfp- (6)

Из последнего уравнения получаются выражения для скорости и теплового потока

Ра

/ -у'

? = ит,„ + <7® = ± |/ 2т^ /(р)йр+?да. (8)

Согласно уравнению (6) скорость является двузначной функцией плотности. При <7®,<0 (что имеет место при достаточно больших скоростях £/ верхней пластины) обе ветви этой функции имеют физический смысл, поэтому в выражениях (7) и (8) следует удерживать оба знака. На линии тока, где и = — имеется максимум температуры (минимум плотности), а тепловой поток обращается в нуль.

Для координаты у получаем из уравнения (I)

Соотношения (7) — (9) вместе с уравнением состояния определяют а, q, у л Т как функции независимого переменного р.

Интеграл в уравнении (8) может быть выражен в элементарных функциях в двух частных случаях: 1) если газ совершенный; 2) если учитывается лишь первая поправка по плотности в коэффициентах переноса (3) и (4).

Во втором случае из уравнения (6) получаем следующее равенство:

и2

Т

h-JL

!J-o R

Е>

+ 0,4 b In —

Pw

отличающееся от случая совершенного газа наличием логарифмического члена.

Получено приближенное решение задачи в предположении, что отношение Х/и в уравнении (5) является постоянным. Это предположение выполняется с погрешностью, не превышающей 15%, в чем можно убедиться, рассматривая выражения (3) и (4).

Проведенные расчеты показывают, что даже сильное увеличение давления до 108 Па (1000 бар) мало изменяет профили скорости и температуры по сравнению со случаем совершенного газа (в пределах 20%).

ЛИТЕРАТУРА

1. Illingworth С. R. Some solutions of the flow of a viscous, compressible fluid, Cambridge Philos. Soc. Proc., vol. 46, N 469, 1950.

2. Гродзовский Г. Л. Течение вязкого газа между двумя движущимися параллельными плоскими стенками и между двумя вращающимися цилиндрами. ПММ, т. 19, вып. 1, 1955.

3. Жму лин Е. М. Течение вязкого газа между двумя движущимися параллельными пластинами. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 4, 1971.

4. Lie рта nn Н. W., Bleviss Z. О. The effect of dissociation and ionization on compressible Couette flow. Douglas aircraft Co., Rept. SM- 19831, 1956.

5. Clarke J. F. Energy transfer trough a dissociated diatomic gas in Couette flow. J. Fluid Mech, vol. 4, Pt. 5, 1958.

6. Жмулин E. М. Движение вязкой жидкости между двумя параллельными движущимися и гармонически колеблющимися пластинами. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 2, 1972.

7. Жмулин Е. М. Температурное поле и теплоотдачи в потоке вязкого несжимаемого газа между двумя параллельными гармонически колеблющимися пластинами. „Ученые записки ЦАГИ", т. 4, № 3, 1973.

8. Чепмен С. и К а у л и и г Т. Математическая теория неоднородных газов. М., Изд. иностр. лит., I960.

9. Л и п м а н Т. В. н Рош ко А. Элементы газовой динамики. М., Изд. иностр. лит., 1960.

Рукопись поступила 2jIV 1975 г.