Движение вязкой жидкости между двумя параллельными движущимися и гармонически колеблющимися пластинами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2

№ 2

УДК 532.526.72

ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ДВИЖУЩИМИСЯ И ГАРМОНИЧЕСКИ КОЛЕБЛЮЩИМИСЯ ПЛАСТИНАМИ

Е. М. Жмулин

Приведены результаты исследования ламинарного течения вязкой жидкости между двумя параллельными пластинами бесконечной длины, одна из которых движется поступательно и совершает в своей плоскости гармонические колебания, а другая остается неподвижной. Показано, что движение вязкой жидкости в этом случае сводится к течению Куэтта, на которое наложены гармонические колебания.

С увеличением частоты колебаний пластины распределение скоростей по сечению канала претерпевает существенные изменения. Область возмущенного колебательного движения сокращается, стягиваясь к колеблющейся пластине. Исследованы также касательные напряжения на неподвижной и колеблющейся пластинах.

Рассмотрим одномерное ламинарное движение вязкой жидкости между двумя параллельными пластинами бесконечной длины; одна пластина совпадает с осью х и покоится, другая пластина — параллельна оси л, отстоит от нее на расстоянии /г и, двигаясь поступательно со скоростью ни, совершает колебания в своей плоскости по закону

©-)-«! = НО + Щ вШ , (1)

где И] — мгновенная скорость колебания верхней пластины; и0 — амплитуда колебаний скорости; о>—круговая частота колебаний; I — время.

Схема исследуемого течения представлена на фиг. 1.

Для сформулированной задачи составляющая скорости V по оси у, производные скоростей ди/дх, дю)дх, ду1ду и производные давления др/дх, др/ду в уравнениях Навье — Стокса равны нулю. Тогда уравнение движения жидкости примет вид

ди д2и пч

д/ 7 ду2 ’ ^

где V — кинематическая вязкость.

Уравнение (2) линейно, поэтому допускает возможность получить решение задачи в виде суммы двух частных решений::

и = и{у)-\-и/(у, €). (3>

В дальнейшем и' (у, £) будем обозначать сокращенно и'.

Частное решение и (.у) описывает движение жидкости под. влиянием поступательного движения верхней пластины. Граничными условиями для этого случая будут

и(у) = 0, у = 0\, и(у)=*чи, у = к. (4)!

Частное решение и' описывает движение жидкости, вызванное: колебательным движением пластины. Граничными условиями за.-

дачи будет равенство нулю скорости и! = 0 на неподвижной пластине и условие (1) при _у = /г, т. е.:

и' = 0; у — 0; и,' = и0 еш; у = к. (5>

Решение уравнения (2) с граничными условиями (4) и (5) запишется после интегрирования и преобразований в виде

у б11 8_у

“ = ”Т + "»С‘"'Ж8Р (6>

где .= ■/£_<. + „

При отсутствии колебаний и0 = О и соответственно и-м у/к получаем хорошо известное течение Куэтта [1]. При т = 0 получим решение для движения жидкости, вызванное только колебательными движениями верхней пластины:

_ вЬ 8у

' Ли/ ■'

Аналогичное решение в несколько ином виде для чисто колебательного движения приведено в работе [2]. Полученное нами ■обобщенное решение (6) охватывает более широкий класс поступательно-колебательных движений вязкой жидкости.

Исследуем полученное решение (6). При этом рассмотрим подробно колебательную часть движения (7). В дальнейшем будем обозначать индексом „Г значения величин на верхней пластине, индексом „2“— на нижней.

Введем также обозначение /£ = 5Л = х н- ц, откуда получим

Физический смысл величины ч будет указан ниже.

Величина скорости и! получена в плоскости комплексного переменного. Проводя необходимые преобразования, получим выражение для профиля ^скорости в плоскости действительного переменного:

Выясним физический смысл величины Подставляя в выражение (8) значение <о = 2к/Т, где Г —период колебания, получим

Нетрудно видеть, что величина ч пропорциональна числу Рей-даольдса в степени 1/2 и обратно пропорциональна числу Струхаля в той же степени.

В числах Рейнольдса и Струхаля в качестве характерной длины ©зята ширина канала &, а характерной скорости — амплитудное значение скорости ы0.

Рассмотрим подробнее характер движения жидкости, вызванного колебаниями верхней пластины, для чего обратимся к решению (9) и формулам (10), из которых видно, что жидкость в канале совершает гармонические колебательные движения с амплитудой, меняющейся по сечению потока и зависящей от частоты колебаний <о и коэффициента кинематической вязкости жидкости V.

Ограничимся, естественно, рассмотрением изменения картины течения в пределах периода колебаний Т.

Амплитуда колебаний Т7 (-[, у) принимает на неподвижной пластине значение» равное нулю, на колеблющейся пластине —равное единице. Имеет место сдвиг фазы колебаний жидкости, который

(8)

Лі' = Р (•[, у) сое (ші — ер).

(9)

;где

ч Ь 5,1 ЧУ соі5 ТУ - Д єіп ХУ СИ чу _

а эЬ ху со эху + Ь сИ 7 у а = 5Іі7С05 7; і» = віп 7 сії 7; у—у!Н.

(10)

(П)

является функцией частоты колебаний, коэффициента кинематической вязкости и ординаты у.

Как и следовало ожидать, вблизи колеблющейся пластины сдвиг фазы равен нулю, вблизи неподвижной границы сдвиг фазы

после раскрытия неопределенности типа в формуле (10) будет:

arctg

0

tg 7 — th т

th т Н- tg т

Из формулы следует, что при малых и больших значениях величины у сдвиг фазы вблизи неподвижной пластинки также стремится к нулю.

Исследуем далее влияние величины ? на рассматриваемое возмущенное движение жидкости. При этом будем исходить из того, что величина у меняется только от изменений частоты колебаний <о. Это не уменьшает общности рассуждений и полученных результатов, так как изменения величины у в равной степени могут обусловливаться соответствующими изменениями вязкости жидкости при постоянном значении частоты колебаний.

При малых частотах колебаний верхней пластины амплитуда колебаний стремится к значению у, т. е. \\rnF (у, у)~у, а сдвиг по

т"° ^

фазе стремится к нулю. В пределе, полагая <о=0, получим течение Куэтта.

Для очень малых частот колебаний формула для определения профиля скорости будет иметь вид

и'= у cos (at (12)

или

и' — у cos2 nt, (13)

где t — t/T, из которой видно, что возмущения распространяются на все сечение потока, а скорость изменяется без сдвига фазы по закону косинуса.

Отмет_им, что максимальные по абсолютной величине значения скорости и' в каждом сечении потока у = const имеют место при

t = 0; 0,5 и 1,0. При значениях относительного времени £ = 0,25 и

0,75 скорость внутри потока равна нулю по всей ширине канала.

При неограниченном увеличении частоты колебаний амплитуда F(y,y) стремится к нулю во всей области, где величина (1 —у) имеет конечное значение, вблизи колеблющейся пластины амплитуда колебаний жидкости не отличается от амплитуды колебаний самой пластины.

Полученные результаты показывают, что по мере увеличения у характер движения жидкости претерпевает существенные изменения. Область распространения возмущений, занимавшая при малых у все сечение потока, начинает сокращаться с увеличением значений у, приближаясь к источнику возмущений. Глубина проникновения возмущений в этом случае является величиной, зависящей от условий ее определения. Приняв, как и в работе [1], за глубину проникновения / расстояние, на котором ‘амплитуда распространяющейся поперечной волны уменьшается в е раз, получим,

что / — 1 /^. Отсюда следует, что глубина проникновения уменьшается обратно пропорционально частоте колебаний и возрастает с увеличением вязкости жидкости.

Проведенные рассуждения хорошо иллюстрируются расчетами по формулам (9) и (10), выполненными на ЭВМ и приведенными на фиг. 2—4 для 7=0,5; 5 и 10.

у-0,5

/10,25 ~ 0,75

25 4 ТО 0,75 у 1.0

1,0

, а'

0,5

-0,5

<0

У‘5 £ '0; 1, 0^2%

1 ^ 0,25\

\ У)

Зачисления на ЭВМ • по формуле (9') 0,66^ 0.5\

Фиг. 2

Фиг. 3

1,0

й

0,5

-0,5

■1,0

Для воздуха при температуре -+20° С и нормальном атмосферном давлении коэффициент кинематической вязкости V = = 0,149 см2-сек~1. Вычисления, проведенные по формуле (8) для величины /г порядка 1 см, показывают, что величины круговой частоты, соответствующие 7 = 0,5; 5 и 10, будут ш = 0,0745; 7,45 и 29,8рад/сек. Для величины Л порядка 1 мм величина v= 14,9 мм2-сек-*, поэтому соответствующие указанным значениям 7 круговые частоты возрастут и составят ш =

= 7,45; 745 и 2980 рад/сек. Отсюда следует, что с увеличением расстояния между пластинами одинаковые профили скоростей и,' —

= и'(у, 0 будут иметь место при больших значениях частоты колебаний верхней пластины.

Из фиг. 2 видно, что при 7==

=0,5 возмущения распространяются на всю глубину канала, профили скорости имеют линейный характер, а изменения скорости во времени синхронны с движением колеблющейся пластины.

При 7 = 5 (см. фиг. 3) видно искажение линейности профилей скорости, особенно в области >0,5. Если в области у<С0,2 скорости изменяются по линейному закону в зависимости от у, то при .у >0,25 явно видны взаимно противоположные течения жидкости для одинаковых значений обусловленные взаимодействием инерционных сил и сил трения. При £ = 0,25, когда мгновенная скорость пластины равна нулю, жидкость движется в диапазоне

у-ю г-о,1.о~\ ощ

0.25/1

В. 25 0, * 0,7 0,75^

Вычисления на ЭВМ • по формуле(9') 0,666V 0,5Л

Фиг. 4

.у >0,4 в положительном направлении. При дальнейшем увеличении т (см. фиг. 4) область распространения возмущений еще более сокращается. До j/<0,5 возмущения от верхней пластины на движение жидкости практически не влияют., только при >/>0,5 имеют место значительные искажения профилей скорости, характеризуемые теми же признаками, что и в случае 7 = 5.

Поскольку вычисления по формулам (9) и (10) громоздки, приведем более простую формулу, зависимости u' — u'(y,t) для больших 7:

ц\ = е-ч {Х~у) cos [^(1 —• у)’— 2ir t\ — (1+у> cos [f(l -\-у) — 2тг?]. (9')

На фиг. 3 и 4 можно видеть достаточно хорошее согласование расчетов, выполненных по формулам (9) и (10) на ЭВМ, с расчетами по формуле (9'). Отметим, кстати, что если при 7 = 0,5 и 1= 0,25 и 0,75 скорость жидкости по всему сечению потока равна нулю (см. фиг. 2), то при больших 7 и указанных значениях t скорости жидкости отличны от нуля, равны по абсолютной величине, но противоположны по направлению.

Из решения (7) предельным переходом получается решение известной задачи определения возмущенного движения неограниченной вязкой жидкости при колебании бесконечной пластины, помещенной в начале координат параллельно, оси х [3]. Для этого необходимо совершить перенос координат в виде yi—y — h, найти sh8 (У\ — К)

предел выражения ------------- при h-^ — oo и вычислить значение

и' в плоскости действительного переменггого.

Выполняя необходимые преобразования, получим

«"^X^’cos jw/+ . (14)

Отметим, что формула (14) может быть получена также в случае неограниченного возрастания величины у, т. е. при 7-^00.

Предположим, что верхняя пластина совершает два колебательных движения: первое с частотой о>, второе—с частотой й = <о-j-Дсо, причем Аш настолько мала, что отношением Дш/ш можно пренебречь. В этом случае величины 7, <р и F(y, у) равны их значениям, определяемым величиной св, и распределение скоростей жидкости в канале между пластинами будет описываться формулой

нс = F(7, у) 1/2 [ 1 -f- cos (Д<в) f] cos (<в/ — ?), (15)

где ис — отношение скорости движения жидкости при сложном колебании пластины к скорости и0,

Сравнивая формулы (15) и (9), можно отметить, что при сложном колебании верхней пластины амплитудное значение скорости во всей возмущенной области будет больше в "|/^2 [ 1 -f-cos (Д«>) раз.

гг 4.

При значениях t = , где т — целое положительное число

или нуль, этот множитель принимает значение, равное двум. Таким образом, амплитуда колебаний скорости жидкости будет перемен-

ной во времени, достигая максимального значения 2Р(т, у), а •само движение жидкости будет иметь характер биений.

Полученный результат не дает оснований для вывода о неустойчивости течения жидкости в рассматриваемом случае, так как амплитуда колебаний скорости остается ограниченной. Однако можно предположить, что при больших частотах колебаний верхней пластины наличие частот, незначительно различающихся по величине, в условиях концентрации области возмущений вблизи их источника и значительных градиентов скорости приведет вследствие возрастания амплитуды колебаний жидкости во времени первоначально к образованию местных зон турбулентности, а затем к турбулизации всего потока.

Определим касательные напряжения, вызванные колебательным движением жидкости на пластинах. Обозначая касательное напряжение на верхней пластине т,, на нижней т2 и вычисляя производные йи'/йу для _у = 0 и у = к, получим в плоскости комплексного переменного формулы:

. и.и... к гЪ 1г

(16)

1 £ 1 о ъ kzhk

h sh k

№ 0 . , k

h e sh k ’

‘ta=="Tele'lb** (17)

где k по введенному ранее обозначению равно 8к.

Из (16) и (17) нетрудно видеть, что множитель есть не что

иное, как касательное напряжение на верхней и нижней пластинах в течении Куэтта.

В отличие от течения Куэтта в рассматриваемой задаче величины касательных напряжений отличаются наличием дополнительных сомножителей.

Множитель ем с точки зрения величины касательного напряжения не представляет интереса, так как определяет лишь знак напряжения.

Величины максимальных касательных напряжений определяют k ch h k

множители —■ и -т-т. При уменьшении частоты колебаний мно-

оП /2 Sfl /2 -

k ch k

житель -г- стремится к единице, с возрастанием частоты — не-

Ы1 /v

k

ограниченно возрастает пропорционально k. Множитель -г—т при

oil гб

уменьшении частоты также стремится к единице, а с возрастанием частоты стремится к нулю.

Таким образом, амплитудные значения касательных напряжений на нижней неподвижной пластине не превышают напряжений в течении Куэтта, уменьшаясь с увеличением частоты колебаний верхней пластины.

Касательные напряжения на колеблющейся пластине по амплитуде могут значительно превышать напряжения в течении Куэтта, особенно при больших частотах.

Отметим еще одну особенность касательных напряжений, возникающих при неустановившемся течении жидкости. Если в течении Куэтта касательные напряжения на границах равны по величине и различаются только знаком, то в рассматриваемом случае

касательные напряжения значительно отличаются по величине друг от друга и только при малых частотах их отношение стремится к минус единице.

Физически это различие объясняется тем, что с увеличением частоты колебаний, как это видно было из распределения скоростей по сечению потока, зона возмущенного движения смещается в сторону колеблющейся пластины. Если в течении Куэтта напряжения замыкаются на твердых границах, то в рассматриваемом случае это происходит внутри движущейся жидкости.

Рассмотрим условия, при которых изменение геометрии канала, физических свойств жидкости и других параметров течения позволяют сохранить амплитудное значение касательного напряжения постоянным.

Это особенно интересно для колеблющейся пластины, на которой напряжения по амплитуде неограниченно возрастают с повышением частоты. Из формул (16) и (17) можно видеть, что равные величины напряжений будут при одинаковых значениях параметра к, но при различных величинах со, V и Л. Так как параметр имеет

значение & = А то, обозначив соответственно для двух слу-

чаев величины Л, си, V и ^ как к', о/, V, и к", со", V", к", будем иметь:

Для сохранения постоянства касательных напряжений необходимо, чтобы — к," или

Из формулы (18) видно, что сохранение постоянного амплитудного значения касательного напряжения возможно в случае одинаковой вязкости жидкости при изменении частот колебаний за счет соответствующего изменения ширины канала к. Если это не всегда выполнимо, возможна замена жидкости (смазки) между двумя поверхностями с соответствующим подбором коэффициента кинематической вязкости.

Формулы для касательных напряжений в области действительного переменного выглядят следующим образом: верхняя пластина

(18)

— срх),

(19)

где

- ___ 1 т/эЬ2 2 ^ + вігі2 2 7 _

у2 эЬ2 у + віп3 7 ’

нижняя пластина

где

?2 = агс^

т -

Из формул (19) и (20) видно, как этого и следовало ожидать по физическим соображениям, что изменение касательных напряжений во времени происходит по закону косинуса. На фиг. 5 и 6 для иллюстрации представлены кривые касательных напряжений

на пластинах в зависимости от времени для различных значений 7. По оси ординат отложено отношение касательного напряжения в рассматриваемой задаче к касательному напряжению в течении Куэтта.

На фиг. 5 видно, что с увеличением у касательные напряжения на колеблющейся пластине интенсивно возрастают, фиг. 6 свидетельствует о том, что на покоящейся пластине по мере возрастания у касательные напряжения уменьшаются и при 7=10 эти напряжения равны нулю. Полученные распределения скоростей и напряжений трения могут быть симметрично отражены в нижнюю полуплоскость с учетом того, что пластина 3 должна двигаться в противофазе с пластиной 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Изд. иностр. лит., 1956.

2. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1953.

3. Аэродинамика. Под общей редакцией проф. В. Ф. Дюрэнда, т. III. М.—Л., Государственное издательство оборонной промышленности, 1939.

Рукопись постуиила 4/Х 1971 г.