CC BY
114
2015
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика
№ 4(36)
УДК 532.529:662.62
DOI 10.17223/19988621/36/10
О.В. Матвиенко, А.О. Андропова
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ ПОДВИЖНОЙ СТЕНКИ
Проведено исследование движения частицы в окрестности подвижной стенки. Результаты расчетов показывают, что увеличение частоты колебания пластины ю увеличивает частоту изменения скорости частицы. С ростом ю колебательный режим изменения скорости частицы наблюдается в более тонком слое, прилегающем к пластине. С увеличением диаметра частиц увеличивается их инерционность. Амплитуда колебаний частицы уменьшается с увеличением частоты колебаний пластины.
Ключевые слова: механика жидкости, частицы, дисперсная фаза, подвижная стенка, осаждение.
Процессы извлечения из воздуха взвешенных частиц включают, как правило, осаждение частиц на сухие или смоченные поверхности и удаление осадков с поверхностей осаждения [1]. В пылеуловителях и сепарационных устройствах применяют следующие способы отделения взвешенных частиц от взвешивающей среды: осаждение в гравитационном поле, осаждение под действием сил инерции, а также осаждение в центробежном поле [2]. Осаждение под действием гравитационных сил происходит из-за различной кривизны траектории движения составляющих выброса (газа и частиц), вектор скорости движения которого направлен горизонтально. Для этого необходимо создать соответствующий режим движения загрязненного газа в аппарате с учетом размера частиц и их плотности. Инерционное осаждение основано на том, что частицы аэрозоля и взвешивающая среда ввиду значительной разности плотностей обладают различной инерцией [3]. Инерционное осаждение происходит путем резкого изменения направления вектора скорости движения выброса, при этом твердые частицы под действием инерционных сил, двигающиеся по инерции в прежнем направлении, отделяются от газовой среды и попадают в приемный бункер. При центробежном разделении выбросу придается вращательное движение внутри циклонного аппарата, при этом твердые частицы отбрасываются центробежной силой на периферию аппарата к его стенке, так как центробежное ускорение в циклоне на несколько порядков больше ускорения силы тяжести, что позволяет удалить из выброса даже весьма мелкие частицы [4].
Целью настоящей работы является исследование движение одиночной частицы в потоке жидкости, вблизи плоской стенки, которая совершает в своей плоскости гармонические колебания.
Поле течения жидкости
Задача о движении жидкости вблизи колеблющейся в своей плоскости стенки известна как вторая задача Стокса [5]. Пусть неограниченная плоская стенка совершает в своей плоскости прямолинейные гармонические колебания. Ось x расположим в плоскости стенки, а ось z направим перпендикулярно к стенке. Так как
86
О.В. Матвиенко, А.О. Андропова
жидкость прилипает к стенке, то колебания последней приводят к тому, что жидкость на самой стенке (z = 0) обладает некоторой скоростью, меняющейся по закону Ux (0, t) = U0 cos(rat + a).
Движение жидкости вблизи стенки описывает дифференциальное уравнение
dUx
d 2Ux
----= V---г—
dt dz2
с начальным и граничными условиями, имеющими следующий вид: для t < 0 : Ux (z, t) = 0 ,
для t > 0 : z = 0, Ux (0, t) = U0 cos(rat + a);
z ^да, Ux (да, t) = 0 .
Решение дифференциального уравнения (1) с условиями(2) - (4) имеет вид
Uz (z, t) = U0eXP
cos
rat -J—z + a 2v
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Таким образом, жидкость вблизи стенки совершает колебательное движение с убывающей по мере удаления от стенки амплитудой U0 exp(-п), причем колебание слоя жидкости, находящегося от стенки на расстоянии z, имеет по сравнению с колебанием стенки смещение по фазе п = z^J®/2v в направлении, противопо-
ложном движению стенки.
На рис. 1 изображены кривые распределения скоростей для различных моментов времени. Два слоя, находящиеся один от другого на расстоянии 2tcV2vTra, колеблются в одинаковой фазе. Это расстояние можно рассматривать как своего рода длину волны колебания. Слой жидкости, приводимый стенкой в колебательное движение, имеет толщину 8 ~л/VVra . Следовательно, он тем тоньше, чем больше частота колебаний и чем меньше кинематическая вязкость.
Рис. 1. Распределение скоростей вблизи плоской стенки, совершающей колебания в собственной плоскости (кр. 1 - 0°; кр. 2 -45°; кр. 3 - 90°; кр. 4 - 135°; кр. 5 - 180°; кр. 6 - 225°; кр. 7 -270°; кр. 8 - 315°)
Исследование движения частицы в потоке жидкости вблизи подвижной стенки
87
Уравнения движения частицы
Уравнение движения центра масс одиночной частицы можно записать в виде
py— = £ f
dt £ г
(6)
где p - средняя плотность частицы; У - ее объем; ^ Fi — главный вектор внеш-
i =1
них действующих сил.
Рассмотрим более подробно систему сил, действующих на частицу. Силу тяжести можно определить по формуле
Fg = pVg. (7)
Наличие локального градиента давления приводит к появлению силы, направленной в сторону градиента давления [2, 6]:
Fp = -J pnds = -J grad (p )dV и - grad (p )У .
()
Градиент давления, создаваемый статическим давлением равен grad (p) = -peg. Складывая силу тяжести и силу, вызванную градиентом статического давления, получим выталкивающую силу Архимеда [3, 7]:
Fa =(p - pe )Vg. (9)
Сила, связанная с неоднородностью касательных напряжений т, имеет вид [2]
FT=j div(T)dV и div(T)V, (10)
где т - тензор касательных напряжений.
Сила сопротивления в однородном потоке газа определяется как [3, 8]:
C
FD = --D%dlpe IV - Ve I (V - Ve ) ,
(11)
где CD - коэффициент сопротивления; dp - диаметр частицы; ve - скорость несущей среды.
При ускоренном движении частицы силы аэродинамического сопротивления будут отличаться от сил, свойственных стационарному течению. В частности, возникает сила, связанная с необходимостью привести в ускоренное движение вытесненные частицей массы несущей среды. Эта сила, называемая силой присоединенных масс, связана с относительным ускорением следующей формулой [8]:
Dve dv Dt dt
Fvm = Cm %d >e
(12)
где Cvm = 0.5 - коэффициент присоединенных масс.
Уравнения Навье - Стокса [9, 10], описывающие движения несущей среды, позволяют определить связь между градиентом давления, сдвиговыми напряжениями и характеристиками движения потока:
Dv
= - glad(p) + diV(T) + pe g .
p
(13)
88
О.В. Матвиенко, А.О. Андропова
Комбинируя это выражение с формулой для силы присоединенных масс и c законом движения, окончательно получим уравнение движения одиночной частицы в форме Буссинеска - Бассе - Озеена [2]:
PV(1 + ^)d = fd + (1 + Cvm)PevDV- +(p_p£)Fo. dt Dt p
(14)
Для расчета траекторий движения капли приведенная выше система уравнений дополняется следующими кинематическими соотношениями:
dxp
dt
■ = vx
dyP
dt
■ = v„
dzp
___P
dt
■ = vz
(15)
где xp, yp , zp - координаты частицы в декартовой системе координат.
Коэффициент аэродинамического сопротивления
Коэффициент сопротивления одиночной твердой частицы CD в простейшем случае является однозначной функцией относительного числа Рейнольдса Re = p |v - ve\d/ц, построенного по плотности частицы, ее относительной скорости, диаметру и динамической вязкости жидкости. Зависимость Cd (Re) в этом случае называется стандартной кривой сопротивления и имеет четыре характерных участка (режима обтекания).
При низких числах Рейнольдса Re < 1 поток практически симметричен относительно плоскости симметрии, ортогональной к направлению движения, так как инерциальные силы слишком малы, чтобы воспрепятствовать смыканию линий тока позади частицы.
Для этого режима решение уравнения Навье - Стокса в пренебрежении и инерциальными членами дает формулу Стокса: CD = 24/Re.
С ростом Re увеличивается влияние сил инерции и картина обтекания теряет симметрию. При значениях числа Рейнольдса, лежащих в диапазоне Re~10 - 25 потока, и за частицей образуется зона с замкнутыми линиями тока или со стационарным кольцевым вихрем. При дальнейшем увеличении Re до 300-700 вихревые кольца, образующиеся в отрывной зоне, срываются и уносятся вслед, а на их месте возникают новые.
В переходной области кривая сопротивления описывается различными формулами. В частности, стандартную кривую сопротивления можно аппроксимировать степенными зависимостями Бабухи - Шрайбера [2]:
A = 26.3, A = 12.3,
Cd
n = 0.8
n = 0.5
A
Ren
для
для
1 < Re < 10, 10 < Re < 1000.
При Re > 103 картина обтекания в некоторой степени стабилизируется, что в первом приближении приводит к независимости CD от Re : CD и 0.44 = const.
При Re > 1.5 -105 имеет место кризис сопротивления, который характеризуется резким падением значений коэффициента сопротивления и связан с турбулизаци-ей пограничного слоя и резким смещением точки отрыва в кормовую область. Этот эффект впервые обнаружил Эйфель.
Исследование движения частицы в потоке жидкости вблизи подвижной стенки
89
Для расчета коэффициента сопротивления в этом диапазоне чисел Рейнольдса можно использовать формулы, приведенные в [3]:
28.18 - 5.3lgRe CD = -j 0.1 lg Re- 0.46
0.19 - 4 -10-4 Re-1
для
для
для
1.5-105 < Re < 2-105, 2-105 < Re < 5-105,
5-105 < Re.
Взаимодействие частицы со стенками сосуда, в котором она движется, зависит от формы, начального движения и ориентации частицы, а также от геометрических особенностей стенок. Для частицы, двигающейся вблизи стенки, сила сопротивления зависит от расстояния от частицы до поверхности. Бреннер [11] изучил сопротивление, испытываемое частицей, двигающейся по направлению к стенке в условиях ползущего течения. Коэффициент сопротивления частицы, центр которой удален от поверхности на расстояние h, в первом приближении может быть рассчитан по формуле
CD =
24
Re
При движении частицы параллельно стенке также необходимо модифицировать силу сопротивления. При больших расстояниях до стенки Факсен [11] установил:
CD =
24
Re
—(О 1 (± I3 _ _45 (_d_Y _ _L (—]5
1612h ) 812h ) 25612h ) 1612h )
Анализ результатов
Рассмотрим гравитационное осаждение частицы вблизи колеблющейся стенки. На рис. 2 показана зависимость скорости осаждения частицы Uz различного диаметра от высоты z.
Рис. 2. Зависимость скорости осаждения частицы различного диаметра от высоты: кр. 1 - d = 50 мкм, а = [0, п/2, 3п/2]; кр. 2 - d = 100 мкм, а = [0, п/2, п, 3п/2]; кр. 3 - d = 500, а = [0, п]; кр. 4 - d = 500 мкм, а = [п/2, 3п/2]; кр. 5 - d = 1000 мкм, а = [0, п]; кр. 6: d = 1000 мкм, а = [п/2, 3п/2]. U0 = 0.1 м/с; ю = 0.1 c-1
90
О.В. Матвиенко, А.О. Андропова
Из рисунка видно, что существуют три характерных участка осаждения частиц. На первом участке происходит достаточно резкое изменение скорости частицы от начального значения до стационарной скорости осаждения. Затем частица движется с постоянной скоростью. При приближении к стенке происходит торможение частицы, связанное с наличием твердой преграды. С уменьшением размера частицы области нестационарного движения (начальная и пристеночная) сокращаются.
На рис. 3 представлены изменения горизонтальной составляющей скорости Ux малых частиц (d = 50 мкм) в зависимости от времени для разных частот колебания пластины ш и углов а .
Рис. 3. Изменение горизонтальной компоненты скорости частицы со временем, d = 50 мкм, U0 = 0.1 м/с: а - ю = 0.1 с-1, б - ю = 10 с-1 (кр. 1 - 0°; кр. 2 - 90°; кр. 3 -
180°; кр. 4 - 270°)
Анализ рисунков показывает, что горизонтальная составляющая скорости частицы, находящейся на некоторой высоте z в некоторый момент времени t близки к скорости жидкости на той же высоте и в тот же момент времени. Это свидетельствует о малой инерционности частиц малого диаметра. При z > 2nJ2у/ш горизонтальная компонента скорости близка к нулю. При z > 2пУ2у/ш изменение горизонтальной скорости частицы приобретает гармонический характер с возрастающей амплитудой. Увеличение частоты колебания пластины увеличивает частоту изменения скорости частицы. Однако с ростом ш колебательный режим изменения скорости частицы наблюдается в более тонком слое, прилегающем к пла-стине.С увеличением диаметра частиц увеличивается их инерционность. Амплитуда колебания частицы уменьшается. При этом увеличение колебания пластины приводит к уменьшению частоты и амплитуды частицы.
Перейдем к рассмотрению траекторий движения частиц (d = 50 мкм, рис. 4). Как видно из рисунков, на начальном этапе частица движется прямолинейно, затем по мере приближения к стенке начинает совершать гармонические колебания с возрастающей амплитудой. Амплитуда колебания частиц, а также область, в которой происходят эти колебания, уменьшается с увеличением частоты колебания стенки. Такой же эффект наблюдается и при увеличении диаметра частицы (рис. 5). Отдельный случай, ю = 0, соответствует движению частиц в окрестности плоской стенки движению с постоянной скоростью U0. В этом случае траектории движения частиц прямолинейны (рис. 5).
Исследование движения частицы в потоке жидкости вблизи подвижной стенки
91
z, мм
-6 -3 0 3 х, мм
Рис. 4. Траектория движения частицы, d = 50 мкм, U0 = 0.1 м/с: а - ю = 0.1 с-1 , б - ю = 10 с-1 (кр. 1 - 0°; кр. 2 - 90°; кр. 3 - 180°; кр. 4 - 270°)
Рис. 5. Траектория движения частицы, U0 = 0.1 м/с, ю = 0 с 1: а - d = 50 мкм, б - d = 1000 мкм
Таким образом, проведенные исследования показывают, что с ростом ю колебательный режим изменения скорости частицы наблюдается в более тонком слое, прилегающем к пластине. С увеличением диаметра частиц увеличивается их инерционность. Амплитуда колебания частицы уменьшается, при этом увеличение колебания пластины приводит к уменьшению частоты и амплитуды частицы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Crowe C., Sommerfeld M., Tsuji Ya. Multiphase Flows with Droplets and Particles. CRC Press., 1998. 472 p.
2. Островский Г.М. Прикладная механика неоднородных сред. СПб.: Наука, 2000. 359 с.
3. Кутепов A.M., Полянин Л.Д., Запрянов З.Д. и др. Химическая гидродинамнка: справочное пособие. М.: Бюро Квантум, 1996.
4. Матвиенко О.В., Евтюшкин Е.В. Математическое исследование сепарации дисперсной фазы в гидроциклоне при очистке вязкопластических буровых растворов // Инженернофизический журнал. 2011. Т. 84. № 2. С. 230-238.
5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.
6. Матвиенко О.В., Ушаков В.М., Евтюшкин Е.В. Математическое моделирование турбулентного переноса дисперсной фазы в турбулентном потоке // Вестник Томского государственного педагогического университета. 2004. № 6. С. 50-54.
7. Матвиенко О.В., Базуев В.П., Агафонцева М.В. Исследование динамики пузырька в закрученном потоке нелинейно-вязкой жидкости // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2012. № 4 (37). С. 144-156.
8. Rubinow S.I., Keller J.B. The transverse force on spinning sphere moving in a viscous fluid //
J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 385-400.
92
О.В. Матвиенко, А.О. Андропова
9. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, drops and particles. N.Y.: Academ Press, 1978. 380 p.
10. Матвиенко О.В., Данейко А.М. Исследование ударного взаимодействия частиц в потоке // Изв. вузов. Физика. 2013. Т. 56. № 9/3. С. 190-192.
11. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976.
Статья поступила 08.04.2015 г.
Matvienko O.V., Andropova A.O. STUDYING THE PARTICLE MOTION IN A FLUID FLOW IN THE VICINITY OF A MOVABLE WALL
DOI 10.17223/19988621/36/10
In this paper, an investigation of the particle motion in the vicinity of a movable wall is carried out. The numerical results show that an increase in the plate oscillation frequency ю increases the frequency of variation in the particle velocity. With an increase in ю , the oscillation mode of the variation in the plate velocity is observed in a thinner layer adjacent to the plate. With an increase in the particle diameter, the inertia of the particles increases. The amplitude of particle oscillations decreases with increasing frequency of plate oscillations.
Keywords: mechanics of fluid, particles, dispersed phase, movable wall, deposition.
MATVIENKO Oleg Viktorovich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: [email protected]
ANDROPOVA Antonina Olegovna (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)
E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Crowe C., Sommerfeld M., Tsuji Ya. Multiphase Flows with Droplets and Particles. CRC Press., 1998. 472 p.
2. Ostrovskiy G.M. Prikladnaya mekhanika neodnorodnykh sred. St. Petersburg, Nauka Publ.,
2000. 359 p. (in Russian)
3. Kutepov A.M., Polyanin L.D., Zapryanov Z.D. i dr. Khimicheskaya gidrodinamnka: spra-vochnoeposobie. Moskow, Byuro Kvantum Publ., 1996. (in Russian)
4. Matvienko O.V., Evtyushkin E.V. Matematicheskoe issledovanie separatsii dispersnoy fazy v gidrotsiklone pri ochistke vyazkoplasticheskikh burovykh rastvorov. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal, 2011, vol. 84, no. 2, pp. 230-238. (in Russian)
5. Shlikhting G. Teoriyapogranichnogo sloya. Moskow, Nauka Publ., 1974. (in Russian)
6. Matvienko O.V., Ushakov V.M., Evtyushkin E.V. Matematicheskoe modelirovanie turbulent-nogo perenosa dispersnoy fazy v turbulentnom potoke. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta, 2004, no. 6, pp. 50-54. (in Russian)
7. Matvienko O.V., Bazuev V.P., Agafontseva M.V. Issledovanie dinamiki puzyr'ka v zak-ruchennom potoke nelineyno-vyazkoy zhidkosti. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo ark-hitekturno-stroitel'nogo universiteta, 2012, no. 4 (37), pp. 144-156. (in Russian)
8. Rubinow S.I., Keller J.B. The transverse force on spinning sphere moving in a viscous fluid.
J. FluidMech., 1965, vol. 22, pp. 385-400.
9. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, drops and particles. N.Y., Academ Press, 1978. 380 p.
10. Matvienko O.V., Daneyko A.M. Issledovanie udarnogo vzaimodeystviya chastits v potoke. Izv. vuzov. Fizika, 2013, vol. 56, no. 9/3, pp. 190-192. (in Russian)
11. Khappel' Dzh., Brenner G. Gidrodinamika pri malykh chislakh Reynol'dsa. Moskow, Mir Publ., 1976. (in Russian)
