Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости вблизи колеблющегося в ней проницаемого цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IV 197 3

№ 5

УДК 532.526.2

ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ В НЕЙ ПРОНИЦАЕМОГО ЦИЛИНДРА

А. Б. Айрапетов

Рассмотрена задача о движении вязкой несжимаемой жидкости около бесконечного проницаемого цилиндра, совершающего в безграничном объеме жидкости гармонические колебания в направлении оси. Для больших частот колебаний получены асимптотические представления решений, позволяющие указать вид демпфирующей функции Ван Дриста для расчета осесимметричного турбулентного пограничного слоя как на непроницаемой, так и на проницаемой поверхности при наличии вдува (отсоса).

В современных методах расчета турбулентного пограничного слоя учитывается взаимодействие молекулярного и молярного обмена вблизи стенки в вязком подслое и в переходной области течения. Этот учет основывается на введении демпфирующих функций, позволяющих рассчитать изменение коэффициента турбулентного обмена или же длины пути смешения поперек потока вблизи стенки. Такого рода функции были получены различными способами Л. Г. Лой-цянским, Л. А. Вулисом, Ван Дристом [1].

Структурный вид демпфирующей функции для длины пути смешения в плоском пограничном слое определен Ван Дристом на основе анализа Стокса гармонических колебаний бесконечной плоской пластины в безграничной несжимаемой вязкой жидкости [2]. В этом случае, как известно, амплитуда колебаний с удалением от пластины затухает по закону ехр(— у/А), где А = (<o/v)1/2 , о> — частота колебаний и ч — кинематический коэффициент вязкости жидкости. В том случае, когда пластина неподвижна и колебания совершает жидкость, амплитуда колебаний будет изменяться по закону 1 — ехр(—у/А). Именно это выражение Ван Дрист предложил использовать в качестве демпфирующего множителя при расчете длины пути смешения плоского турбулентного пограничного слоя пластины вблизи стенки, т. е. l = ky[ 1—exp (—у+¡а)], у+=уи^ч, где k и а—эмпирические константы (k = 0,4; а = 26).

В работе [3] для получения вида демпфирующей функции в турбулентном пограничном слое пластины с вдувом или отсосом решена задача о гармонических колебаниях безграничной плоской проницаемой поверхности в своей плоскости.

Здесь решаются эти же задачи для бесконечного цилиндра при отсутствии и наличии вдува (отсоса) через проницаемую поверхность цилиндра.

Для случая, когда поверхность колеблющегося цилиндра непроницаема, общий вид решения задачи был указан в докторской диссертации Н. А. Слез-кина (1937 г., см. реферативный журнал „Механика“, 1972, 12Б 9730), а также в работе [4].

Полученное решение представляет интерес как точное решение уравнения "Навье — Стокса. Кроме того, оно может быть использовано при построении метода расчета осесимметричного турбулентного пограничного слоя с учетом влияния поперечной кривизны поверхности.

1. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости около бесконечного цилиндрического тела радиусом гш, совершающего в безграничном объеме жидкости в направление своей оси гармонические колебания с частотой о». Такое течение является слоистым и описывается уравнением

где и (г, £) — скорость в направлении оси цилиндра.

Граничные условия в этом случае — условие прилипания на поверхности цилиндра и условие затухания возмущения на бесконечности — имеют вид:

Для удобства граничное условие (2) запишем в форме и(гто, і)=и0е ,

имея в виду, что физический смысл имеет лишь реальная часть и(гт, Ї).

Будем искать решение задачи (1)— (3) в виде

Введем вспомогательные функции <рх и <р2; ф! = 1?е Ф (т)), <р2 = 1т Ф (■»]), т. е. ф (*]) = 91 + Щ2-

Решениями соответствующих задач для <р1 и <р2 будут функции Кельвина нулевого порядка (см., например, [5]).

Исходя из условия ограниченности решения на бесконечности (7), выберем функции Кельвина Ьег0(т]), Ье10 (■']). В дальнейшем, как принято, будем опускать значок функции.

Итак, в соответствии с уравнением (5),

В работе [4] решение рассмотренной задачи выражается через модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка от мнимого аргумента.

Используя известные асимптотические представления для цилиндрических функций, можно найти асимптотическое представление для полученного решения (8) при больших значениях радиуса цилиндра гда:

(О

u(rw> і) = “о cos toi; и (оо, t) = 0.

(2)

(3)

и (г, t) = ще1ЫФ(г).

(4)

Подставляя выражение (4) в (1) и вводя новую переменную получим уравнение для Ф(г)):

Ф" + -1- ф' _ /ф (Г]) = о.

(5)

Граничные условия при этом принимают вид

Ф ("4w) = 1 і

Ф (оо) = 0.

(6)

(7)

<Pi (f]) = d her (г)) + с2 hei (т));

9а O')) = Ч her (т)) — Cj hei (fj).

Значения постоянных сг и с2 определяются из условия (6):

__________her (rlw)

Cl her2 (-(¡да) + hei2 (тій,) ’ _________________________hei (rto)_______________________

°2 her2 (rm) -j- hei2 (rlw) '

Таким образом, решение задачи (1) запишется в виде

(8)

и (ї)да + ху, 0 _ 00 ~ "о е %у COS (tat — %у).

(9)

Как видно, выражение (9) представляет собой не что иное, как стоксовское решение плоской задачи о колеблющейся бесконечной пластине [6].

Представляет интерес случай очень больших частот колебаний цилиндра,

О) -> оо.

/«\1/2

Введем некоторый безразмерный параметр Х = ( — I гш> единственный,

как нетрудно заметить, в данной задаче. Тогда независимая переменная приобретает вид

\1/2 г

■»!==

= X/-, %, = X.

При фиксированном гт случай <о -» оо эквивалентен случаю X--) оо. Нетрудно показать, что асимптотическое представление (8) при больших значениях X имеет вид

ч—1/2

и (Г, /) «о

Х-*СО

1 +'

в ху СОБ {а>І — %у).

! У \1/2

Видно, что у цилиндра амплитуда колебания в ( 1 + -—■ I раз меньше,

у пластины.

Решение (8) для ряда моментов времени и различных значений X иллюстрируется на фиг. 1.

х.=/

со 8дуЗом(у=2) без 6ду8а і] \|

/

«7 / / \ \ V \

/ - у / / Г У •/ \]

/ / / / V 1

-1,г -0.8

-0,4 Фиг. I

О а/ид

-1,2 -0,8 -0,4 О и/и0

Фиг. 2

Интересно отметить, что для очень широкого диапазона значений Х(Х^:1) величина и (т), () слабо зависит от X.

2. Рассмотрим теперь аналогичную задачу при наличии массопереноса (вдув, отсос).

Движение жидкости в этом случае описывается уравнением

ди (г, і) ді

+

ди ҐдР и 1 ди \

х,-д7 = ''[-д?ї + — Ж) ■

(10)

Величину радиальной скорости 1»(г, () можно определить из условия постоянства расхода через окружность произвольного радиуса г: гт — у(г, 1) г,

X) 1ТЯ1 Г о;

где — не зависящая от времени скорость вдува (отсоса), т. е. у(г, Ь) = —-— .

Таким образом, уравнение движения может быть переписано в виде ди . V,,, гю ди

ді

дг

/д2 и _1_ ди ' ( дг"1 ' г дг

(П)

Граничными условиями будут, как и в п. 1, условия прилипания

и (гт, () = «о соб Ы (12)

и затухания колебаний на бесконечности

и (со, 1) = 0. (13)

Решение задачи (11) —(13), как и в п. 1, ищем в виде

и (г, *) = и0ешФ(г). (14)

Подстановка выражения (14) в (11) —(13) дает

1 У.

- гФ(т))=0; (15>

»W = i; (16)

Ф (оо) = 0. (17)

Здесь X и y) выбраны таким же образом, как и в п. 1. Величина гW(u,v)1,2 = т

является вторым безразмерным параметром задачи и характеризует массопе-

ренос.

Решение (15) будем искать в виде Ф (•>]) — if1 W (irj), m = -?>- 7X, что после подстановки в (15) дает:

1 t тп?\

+ — W ~[i+ -^jw = o.

Введем, как в п. 1, = Re F, = Im ЧГ. Принимая во внимание (17), полу-

чим решения для 4*1 и 4у

4*1 = С] herm (ïj) + с2 heim (-»¡);

4*2 = с2 herm (ri) — d heim (7)).

Здесь herOT и heim — функции Кельвина порядка т. Значения сг и с2 получим из условия (16):

. herm (X) „ heim(X)

1 heim W + heim (Х) ’ 2 herm M + heim (Х) ’

Тогда решение (11) записывается в виде и (г, 0 _____1

«о (г)т Д

{[herm (X) herm (Xr) + heim (X) heim(Xr)] cos Ы +

m

+ [heim (X) herm (X/-) — herm(X) heim (Xr)] sin mí}, (18)

где Дт = heim (X) + heim (X).

Вид (18) для 7 = 2, X = 1 представлен графически на фиг. 2. Численные значения i и X выбраны так, чтобы удобно было пользоваться таблицами работы [5] (при 7 = 2 и Х = 1 коэффициент т — 1) и обеспечивалась возможность сравнения с результатами работы [3].

Для случая больших частот м асимптотическое поведение (18) исследуется так же, как в случае отсутствия вдува — отсоса. Заметим, что при этом величина индекса т функций Кельвина, входящих в (18), не зависит от частоты. Дейст-

1 ч V-w Гw , вительно, т = -у fX = —-— — фиксированная величина.

Асимптотическое разложение (18) для ч> -> оо имеет вид:

I to \ / 3

u(y,t) /, у \т-112 - У Г , /о>\1/2

-------- A +ÍW е с°в —(2V

«о

(19)

При т = 0 (отсутствие вдува) разложение (19) идентично полученному в п. 1.

3. Приведенные выше выражения могут быть использованы для обобщения демпфирующей функции Ван Дриста на случай осесимметричного турбулентного пограничного слоя. Следуя Ван Дристу, при определении длины пути смешения в пристеночной области осесимметричного турбулентного пограничного слоя на тонком теле вращения воспользуемся формулой I — /(у)?(у+/а) и в качестве Демпфирующего МНОЖИТеЛЯ Примем фуНКЦИЮ [СМ. (19), О) » 1]

1

1 + ~Г ) ехр ( — у+ ¡а), (20)

которая при отсутствии отсоса (вдува) имеет вид

У \~т

+ — ) ехр (-)-+/«). (20а)

гш ]

Функция f(y) определяет длину пути смешения в пристеночной области продольного обтекаемого тела вращения. В отличие от плоского течения, где I = ку, при наличии осевой симметрии I = %.у<^ (у\гт). Для определения вида функции /(у) проще всего воспользоваться гипотезой подобия Кармана [7]. Можно показать, что в соответствии с этой гипотезой, в осесимметричном течении длина пути смешения определяется локальными характеристиками поля средней скорости и (у) и имеет тот же вид, что и в плоском случае, т. е.

с1и1<1у

= (21)

Таким образом, формулы (20) и (21) позволяют полностью замкнуть задачу расчета осесимметричного турбулентного пограничного слоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л., „Судостроение", 1973.

2. Van Driest E. R. On turbulent flow near a wall. JAS, vol. 23, No 11,1956.

3. Nicoll W. B., Strong A. B., Woolner K. A. On the laminar motion of a fluid near an oscillating porous infinite plane. Transaction ASME, s. E. vol. 35, No 1, 1968.

4. A r ora K. L., Gupta P. R. Hydrodynamic How due to an axialy oscillating infinite cylinder. Ann. Soc. Sei. Bruxelles, s. 1, 83, No 3, 1969.

5. Ян ке E., Эммде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., „Наука“, 1964.

6. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Изд. иностр. лит., 1956.

7. Karmann Th. Mechanische Ähnichkeit und Turbulenz. Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften in Götingen. Math. Phys., 1930. ,

Рукопись поступила 2ЩХІІ 1972 г.