CC BY
81
УДК 517.925.8;517.928
МОДЕЛИ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ У ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Лаптева Елена Анатольевна к.т.н., старший преподаватель
Саитбаталов Марат Викторович соискатель
ФГБОУВПО «Казанский государственный энергетический университет», Казань, Россия
UDC 517.925.8;517.928
THE MODELS OF CALCULATION OF TURBULENT BOUNDARY LAYER AT PERMEABLE SURFACE
Lapteva Elena Anatolevna C and. Tech. Sci., senior lecturer
Saidbatalov Marat Viktorovich competitor for degree
Kazan State Power Engineering University (KSPEU), Kazan, Russia
Фарахов Тимур Мансурович к.т.н.
инженер, ООО Инженерно Внедренческий Центр «Инжехим», Казань, Россия
Рассмотрены математические модели турбулентного пограничного слоя с учетом конденсации или испарения. Получены выражения для учета этих эффектов. Выполнено сравнение с известными экспериментальными данными
Ключевые слова: КОНДЕНСАЦИЯ, ИСПАРЕНИЕ, ТЕПЛООТДАЧА, МАССООБМЕН, НАСАДКА, ИМПУЛЬСООТДАЧА
Farakhov Timur Mansurovich Cand.Tech.Sci., engineer
LLC Engineering-Promotional Center “Inzhekhim ”, Kazan, Russia
In the article we have considered the mathematical models of turbulent boundary layer corresponding with condensation and evaporation. The expressions for accounting that effect have been derived. We have also compared them with the known experimental data
Keywords: CONDENSATION, EVAPORATION, HEAT TRANSFER, MASS EXCHANGE, NOZZLES, IMPULSE TRANSFER
ВВЕДЕНИЕ
Массопередача и теплообмен в промышленных аппаратах, как правило, являются сопряженными процессами. При этом градиент температуры и поперечный поток вещества могут оказывать существенное влияние на значение коэффициентов переноса. Конденсация пара и испарение жидкости с поверхности раздела фаз существенно влияют на интенсивность теплообмена и, следовательно, на параметры пограничного слоя, который формируется на межфазной поверхности [1-3]. Очевидно, что процессы ректификации смесей с высокой относительной летучестью компонентов и в процессах абсорбции газов с большим содержанием извлекаемого компонента при значительной степени его извлечения должны рассчитываться с привлечением моделей пограничного слоя учитывающих вышеназванные возмущающие факторы.
В предлагаемой работе рассматриваются особенности обменных процессов
в турбулентном пограничном слое у проницаемой поверхности и возможность и влияние их на интегральные коэффициенты переноса импульса, массы и тепла. Рассмотрение учета поперечного потока вещества при обтекании проницаемой поверхности удобнее начать с уравнений переноса импульса, поскольку в данной работе в моделях используется явление гидродинамической аналогии между всеми обменными процессами в пограничном слое.
ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА
В данной работе рассматривается стационарный пограничный слой в газовой фазе, на границе раздела с пленкой жидкости.
Уравнение для коэффициента переноса импульса выводится из потоковых
/ \ди
( - Х = рг+Ут)^Г’
соотношений 91 <х}\исс - ипд ) и ЧУ в общем виде [1]:
1
Ро_^ Р *^СТ
_^= I И -СГ йу
'Усо о (у + ут)
(1)
Уравнение (1) является интегральным выражением потерь импульса потока в пограничном слое посредством трения. С другой стороны величина касательного напряжения трения входит в известное уравнение Рейнольдса:
где и и и здесь выступают в роли составляющих скорости потока по оси х
(направленной вдоль омываемой поверхности по направлению течения) и У (перпендикулярной к касательной плоскости к омываемой поверхности) соответственно. В непосредственной окрестности стенки скорость и 0 .
Таким образом, решение уравнения (2) при 5 0 асимптотически сводится
к решению уравнения:
с1Р ди дт (3)
—+ри—=—
йбс ду ду
Интегрируя уравнение (3) по у от нуля до текущей координаты у в рамках рассматриваемой модели безградиентного (или квазибезградиентного) течения имеет:
Рст^ст^^у хст —
ш=и-ист где 7 7 .
Решение уравнения (4), очевидно, является асимптотическим и
действительным лишь в области 5 . Несмотря на кажущуюся грубость такого
приближения оно с успехом используется в алгебраических моделях турбулентности при распространении их на случаи обтекания проницаемых поверхностей: [4-10].
В работе [11] была предложена форма аппроксимации распределения касательного напряжения по высоте пограничного слоя у проницаемой поверхности на основе (4) в виде:
( - Л ^Рст^стШу ^
,-------------------- + 1
V ист у
гдеТс| Л) - функция распределения относительного касательного напряжения по высоте турбулентного пограничного слоя для классического случая невозмущенного обтекания непроницаемой пластины. Для внутренней
f х >
подобласти пограничного слоя, где стУо функция (5) соответственно переходит в (4).
В логарифмической области пограничного слоя у проницаемой поверхности наблюдается так называемый «обобщенный закон стенки», сформулированный Таунсендом, и выражаемый как:
_ д (6)
р Л \ р
1 (%у уу
Коэффициент пропорциональности ^ в данном случае полагается неизменным ввиду консервативности структуры турбулентного пограничного слоя. Впрочем, для градиентных турбулентных пограничных слоев у проницаемой поверхности многими авторами [5-7] отмечается некоторое повышение коэффициента ^. В первых двух приведенных работах для случая обтекания гладкой поверхности с положительным перепадом давления
рекомендуется . В работе [7] значение определялось исходя из
соотношений двузонного пограничного слоя и интегральных характеристик гидродинамических условий промышленного аппарата.
При использовании привычных для пристенной подобласти безразмерных
и
скоростей и* и координат у* следует произвести преобразование:
Уравнение (5) с учетом (7) может быть переписано в виде:
(8)
Здесь индекс «0» будет употребляться как к внешнему потоку (вне пограничного слоя) и внешнему потоку при стандартных условиях, так как полагается, что влияние вдува ограничивается лишь областью пограничного слоя. В дальнейшем для сокращений массовый расход вещества через
Выражения для турбулентной вязкости в (1) также претерпевают изменения. Для моделей турбулентной вязкости, учитывающих ламинаризацию турбулентных течений вблизи стенки с помощью демпфирующего множителя, на основании (6) и (7) выражение для турбулентной вязкости запишется в следующем виде [11]:
Учитывая успешный опыт авторов [5,6,8] можно полагать, что форма
результаты для простых случаев турбулентного течения может быть применена и для описания обтекания проницаемых поверхностей. В рамках соотношений
омываемую поверхность будет обозначаться как 7ст истР|
(9)
демпфирующего множителя в виде
, показавшая наилучшие
Таунсенда демпфирующий фактор как функция от У* запишется в следующем виде:
(10)
кв =
1-ехр
-у*
Ро
р V
Для случая обтекания полупроницаемой пластины турбулентным потоком, исходя из вышеописанного, рекомендуются значения коэффициентов в формуле (10) близкие к турбулентному невозмущенному течению: " =3 , Л = 0,41-^0,436 (последнее значение коэффициента А предлагается авторами [6] в функции турбулентной вязкости для течений с совокупным воздействием трех возмущающих факторов: поперечной кривизны обтекаемой поверхности,
градиента давления, и вдува).
Поскольку в настоящей работе не ставиться целью точное описание гидродинамического пограничного слоя, осложненного различными возмущающими факторами, и ввиду уже указываемой консервативности законов массо- и теплообмена к градиентным возмущениям, очевидно, что для моделирования тепломассообменных процессов в турбулентных пограничных слоях промышленных аппаратов достаточно установить коэффициенты функции демпфирующего множителя лишь для безградиентного течения вдоль полупроницаемой плоской пластины.
Для проверки этой модели были выбраны экспериментальные данные полученные в работах [10,11] как наиболее достоверные. Сравнивались экспериментальные и вычисленные согласно приведенным выше формулам профили скорости по высоте пограничного слоя. В указанных источниках
результаты экспериментов были обработаны в безразмерных координатах ,
** V У =4г
' 5
Для приведения расчетных соотношений к безразмерным координатам
обработки эксперимента, ю и у , необходимо преобразовать уравнение (1) и соответственно входящие в него вышеприведённые функции.
Уравнение (1), переписанное в дифференциальном виде:
Ро_^
с/м р Тст м*2 (у + ут)
(П)
В безразмерных координатах ю и у уравнение (11) выразится в следующем виде:
Ро (12)
с/со = Р У 2 .----йу*
^-+1
сг
_ У (2
Если использовать в (12) функцию относительного трения /0
предложенную авторами [4], то (12) выразится как:
с/со =
Ч>-
с
/о
Яе
(^ + 1)
V
-с/у
(13)
Функция относительной турбулентной кинематической вязкости (9) и демпфирующего множителя (10) в этих координатах предстанут соответственно в
Научный журнал КубГАУ, №89(05), 2013 года виде:
(14)
(15)
Аналогичным образом преобразуется функция распределения относительного касательного напряжения по высоте пограничного слоя. Учитывая, что рассматривается течение вдоль полупроницаемой пластины, на
Д и,, = и- 0
которой выполняется условие прилипания, то есть ^ , получится:
Г - \
X
Х~'
V по У 0
Ро и0^Ср
-+ 1
(16)
7ст 2
Безразмерный комплекс Ро^° С/0 , характеризующий касательное трение на обтекаемой поверхности, создаваемой вдувом (или отсосом), отнесенное к
Яе**
касательному напряжению на непроницаемой пластине при том же числе
ъ =
далее будет обозначаться как Ро^°(',{) .
В качестве функции коэффициента трения при стандартных условиях была использована эмпирическая формула из [6]:
Единственным неопределенным параметром в системе уравнений (13)—(17)
_ У
с
является функция относительного трения /0 . В работе [9] была предложена аппроксимационная форма закона относительного трения в виде:
где Л|ф - критическая относительная величина вдува (или отсоса), для которой в
у** —»о Т = Ы
непосредственной окрестности стенки, • , выполняется равенство ■' , но
закономерности турбулентного пограничного слоя всё еще выполняются. При
Ь > Ьщ> происходит соответственно отрыв потока при вдуве или исчезновение пограничного слоя при отсосе.
В работе [4] были предложены две формулы для нахождения критического значения параметра Ь при заданном числе Рейнольдса:
^=4(1+0,83 (Ле**)
—0,14^ (19)
^кр - 4
^ + 5,зт°.35[ке"Т°Л81 (20)
В формуле (20) - параметр неизотермичности, в рассматриваемой
задаче
На рисунке 1 показано сравнение значений , полученных по этим формулам в широком диапазоне чисел Рейнольдса.
Ь = -
Рисунок 1. Графики функций критических значений параметра вдува. Ро^°('/0 от числа соответственно а-(19), Ь -(20).
Как видно на рисунке 1 наблюдается довольно большое расхождение
между этими двумя законами связи кр и .
Для замыкания представленной модели переноса импульса через
турбулентный пограничный слой ниже получена собственная функция кр' '.
В рамках метода «эквивалентного внутреннего подслоя» в ходе решения делалось
X
V ОТ
Л
допущение о
Очевидно, что для точки отрыва пограничного слоя должны соблюдаться условия:
(21)
Относительная толщина пограничного слоя находится из решения уравнения:
| со (1 — со)с/у** =1.
Таким образом, нахождение значения кр для каждого заданного сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (13) и входящих в его состав функций (14)—(17) при условиях (21) и (22).
Задача решалась численными методами в свободно распространяемом пакете БсйаЬ. Поскольку дифференциальное уравнение не является жестким, для его решения был применен стандартный алгоритм Рунге-Кутты- Фельдберга 4-5-го порядка точности, для численного интегрирования использован алгоритм Гаусса-Кронрода. Общий алгоритм вычислений организован следующим образом:
_5_
задавалось число Рейнольдса , первоначальные значения ^ и 5 ; интегрирование дифференциального уравнения проводилось от верхнего предела
со = 1 при у = —
(начальные условия - 5 ), в случае, если получаемый профиль
8
скорости ’ не удовлетворял условию (22) требуемое значение 5 искалось
_5_
I со(1-со)с//* -1< дГ-|г1
путем градиентного приближения до достижения условия 0 '.
Аналогично, если при соблюдении предыдущего условия при заданном йкр не соблюдалось условие05 = 014)11 у =0, подбиралось новое значение Ьщ> до
достижения условия (пересчет производился для каждого нового
). Были выбраны следующие допустимые величины невязки ,
Рисунок 2. Расчетный предотрывный профиль скорости, полученный по
уравнениям (13), (21)
**
В качестве примера на рисунке 2 показан участок расчетной кривой ’ в окрестности стенки. На рисунке 2 виде перегиб профиля скорости характерный для пред отрывного состояния. Это является одним из показателей адекватного описания поведения турбулентного пограничного слоя у проницаемой поверхности представленной выше моделью.
Результаты расчетов аппроксимируются формулой:
Ькр = 4(1 + 2,484Ке**("0Л53)) (23 )
На рисунке 3 показан график аппроксимирующей зависимости (23) совместно с результатами численного исследования. После полученного
результата (функции йкр(^е ^)? можно снова вернуться к задаче проверки модели на предмет соответствия экспериментально полученным профилям скорости.
Рисунок 3. График результатов численного исследования краевой задачи (13), (21) (точки) и аппроксимирующей их зависимости (23).
С помощью формулы (23) система уравнений (13)—(18) оказывается замкнутой. Для сравнения в расчет включены выражения для безразмерного критического параметра вдува (19) и (20). Расчет производился для каждой пары
ь и Яе , указанных работах [10,11]. Начальным условием для (13) было со(^)_ ^
. Интегрирование производилось до достижения условия (22). Как и в решении, только что рассмотренной краевой задачи для интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения использовался алгоритм Рунге-Кутты Фельдберга 4-5-го порядка точности. Численное интегрирование получавшегося профиля скорости (после достижения указанного в экспериментальных данных верхнего уровня) проводилось по двадцатиодноточечному алгоритму Гаусса-Кронрода.
На рисунке 4-8 показаны результаты расчетов профилей скорости по высоте пограничного слоя в безразмерном виде, вычисленные согласно уравнениям (13)—(20), (22), (23), а также экспериментальные данные источников [10] и [11]. Как, видно, приведенные модели уравнения с использованием функции (23) дает наилучшие результаты для всего рассматриваемого диапазона,
даже для больших значений
Среднее относительное отклонение находиться в пределах 10 %, с учетом довольно сильного разброса экспериментальных точек и характера их получения,
это можно считать хорошим согласованием.
Рисунок 4. Графики распределения относительной скорости по высоте турбулентного пограничного слоя, отнесённой к толщине потери импульса при параметре вдува Ь = 1.25
и
числе
Рейнольдса
Яе = 777 . а _ экспериментальные данные [11]; Ь - расчет с использованием функции (19); с -расчет с использованием функции (20); <1 - расчет с использованием функции (23).
Рисунок 5. Графики распределения относительной скорости по высоте турбулентного пограничного слоя, отнесённой к толщине потери
импульса при параметре вдува
1 ^ с
“ ’ и числе Рейнольдса
Ле = 7200 . а _ экспе-риментальные данные [11]; Ь - расчет с
использованием функции (19); с -расчет с использованием функции (20); <1 - расчет с использованием функции (23)
Рисунок 6. Графики распределения относительной скорости по высоте турбулентного пограничного слоя, отнесённой к толщине потери
импульса при параметре вдува
^^ и числе Рейнольдса
Ле = 2870 . а _ экспериментальные данные [10]; Ь - расчет с
использованием функции (19); с -расчет с использованием функции (20); <1 - расчет с использованием функции (23).
Рисунок 7. Графики распределения относительной скорости по высоте турбулентного пограничного слоя, отнесённой к толщине потери
импульса при параметре вдува
£-1,31 и числе Рейнольдса
Ле =5860 . а _ экспериментальные данные [10]; Ь - расчет с использованием функции (19); с -расчет с использованием функции (20); <1 - расчет с использованием функции (23)
Рисунок 8. Графики распределения относительной скорости по высоте турбулентного пограничного слоя, отнесённой к толщине потери
импульса при параметре вдува
^^ и числе Рейнольдса
тэР =3410 ь а _ экспериментальные
данные [11]; Ь - расчет с
использованием функции (19); с -
расчет с использованием функции
(20); <1 - расчет с использованием
функции (23)
Как показали расчеты для турбулентного пограничного слоя у проницаемой поверхности коэффициент Прандтля-Карамана ^ может быть принят таким же как и для классического турбулентного течения у непроницаемой пластины:
х = о,41 Коэффициенты в функции демпфирующего фактора также могут быть признаны неизменными: " =3 , -1 =12 . Впрочем, есть основания полагать, что коэффициент затухания турбулентных пульсаций А может являться функцией от величины вдува (отсоса), и увеличиваться при увеличении ь . Однако данный вопрос требует отдельного экспериментального изучения.
ПЕРЕНОС ТЕПЛА И МАССЫ КОМПОНЕНТА
Выше приведен вывод алгебраической модели переноса импульса в турбулентном пограничном слое у проницаемой поверхности. Аналогичным
образом можно получить уравнения переноса теплоты и вещества для обозначенных условий.
У
0
Так же как при выводе уравнения (4) (в окрестности ^ ) запишем
асимптотическое решение уравнения сохранения энтальпии:
(24)
где А1у ?ст *У
Функция распределения относительной плотности теплового потока по
высоте пограничного слоя, от координаты
У* •
1+ Лт м*Род/
м*р0
(25)
и* Р0
Величина с,С1 имеет ту же размерность что и / является аналогом
динамической скорости для теплообмена. Очевидно также, что при
■/ст _
тепломассообмене с постоянной плотностью Р член и*Ро и* .
Коэффициент турбулентной температуропроводности в случае
необходимости может быть выражен в форме предложенной Себеси [12] и Мейером и Роттой [13] с учетом закона стенки Таунсенда (6):
(26)
}
где демпфирующий коэффициент определяется из выражения: http://ej.kubagro.ru/2013/05/pdf/28.pdf
1-ехр
Рп X
7*^ р і X СТ
Коэффициенты турбулентного обмена теплом можно полагать такими же
^ 33 8
как и для невозмущенного турбулентного пограничного слоя. Тогда: 4 ~ ’ ,
1д =0,44
Коэффициент теплоотдачи, отнесенный к максимальной разнице энтальпий по высоте пограничного слоя, для обтекания проницаемой пластины может быть выражен в следующей форме:
т
п . И*.С\п
и* Ро
ч роРг
Ргт ?ст Р рг Ріх+ух Рг V
(28)
сіу*
А_
где функция с/с' вычисляется согласно (25).
Для, собственно, массопереноса в пограничном слое балансовое дифференциальное уравнение (при условии размерности концентрации в долях массы - (кг/кг) запишется аналогично (2):
(29)
Откуда массовый поток в окрестности аналогично (4) и (24) можно
записать:
./с і ^ V ./с і ./
После преобразования (30) в безразмерный вид и с сохранением формы выражения относительной плотности потока аналогично (28) и (25) имеем:
1+ Лт “«Рйдг,
(31)
М*Ро У
ст у
Множитель
точки зрения выражение
здесь это условная функция (очевидно, что с физической абсурдно), имеющая такой же вид, как и
ИЛИ
х
V ст у
, но использующая в качестве масштабов координат интегральных величин диффузионного пограничного слоя.
Так, например, при использовании в качестве функции относительного потока импульса в невозмущенном турбулентном пограничном слое полинома
третьей степени имеем ^,0 4~и' , где и°
равно толщине диффузионного пограничного слоя для рассматриваемой задачи (течение у полупроницаемой пластины).
И соответственно коэффициент турбулентной диффузии может быть выражен аналогично (9):
= 1 — 31 — 1 +2и
( „ V
( V
У = 1-3 У + 2 У
\ Уст У 0 У У
В литературе не удалось найти упоминаний об экспериментальном
X
исследовании величины коэффициента ] ; однако, на основании сходных закономерностей изменения температуры и концентрации по высоте турбулентного пограничного слоя к возмущающим факторам, а также тесной
связи между турбулентным переносом массы и теплоты можно полагать // ~~ 7"? и
Наконец, интегральное уравнение для определения коэффициента массоотдачи в турбулентном пограничном слое:
1 1
я
У Ро
-2э
§СТ ./ст
вс вс* вс
вс
V*
V
ску*
(33)
В тех случаях, когда вместо интегральных коэффициентов совокупного переноса через пограничный слой, отнесенных к максимальной движущей силе,
Р°°, а°°, Уо°, используются коэффициенты, отнесенные к осредненной по высоте пограничного слоя, движущей силе, ^ср, а°р, Уср, вместо Ро можно использовать Рср. Ввиду использования в уравнениях (1), (28) и (33) относительных величин
возможна механическая замена на ^ср при условии, что и динамическая скорость будет также отнесена к осредненной по высоте пограничного слоя
\1СТ ^ Реп
плотности среды - ^ Р .
Предложенные выражения для турбулентной температуропроводности и коэффициента диффузии могут дают в среднем по пограничному слою значение
Окончательно система уравнений для расчета характеристик
тепломассообмена в пограничном слое запишется в следующем виде:
(34)
(35)
(36)
Порядок решения может быть построен следующим образом:
1)задается массив первоначального распределения безразмерных величин
^Асу
с/с1 и '/с| по высоте пограничного слоя, вычисляются, в первом
Чет Уст
приближении, относительные плотности переноса тепла и массы: и*Ро , и*Ро ;
2)из уравнения (34) находится распределение безразмерной разности
скоростей по высоте пограничного слоя и* и толщина эквивалентного
пограничного слоя - ^2э;
3)итерационно решается уравнение (35) до достижения сходимости по
Уст
параметру и*Ро , в результате вычисляются массив распределения безразмерной
концентрации - и относительный параметр вдува (отсоса) - ;
4)проводится итерационная процедура из пунктов 2 и 3 до достижения
я
и*
Уоо
-2э
•! Ут 0 1 + — V
и*
Роо
^2э
8с
^Ст ,/ст Р 8с 8с
&У*\-
и*
Роо
Л2э
J РО ^Ст Уст Р
&У*\-
^иу и*Ро
п ■ у
сходимости по величине 2э , в результате уточняются профили и* и '/с| , а
./С1
также безразмерный параметр вдува "*Ро ;
5)решается уравнение (36), в результате чего определяется профиль
^му
безразмерной энтальпии по высоте пограничного слоя - С,сл и относительной
Чет
плотности потока теплоты через поверхность раздела - и*Ро .
6)В случае если учитывается неизотермичность по высоте пограничного слоя, расчет проводится повторно с пункта 2 до уменьшения невязки по
Чет
параметру “*Ро до приемлемого уровня.
Первоначальное приближение в пункте 1 не обязательно, и призвано лишь, ускорить сходимость итерационной процедуры. Рекомендуется в качестве первого приближения расчетных профилей использовать форму гидродинамической аналогии предложенной в [14]. Следует все же отметить, что полное сведение задачи расчета переноса в пограничном слое к интегрально-параметрическому виду нежелательно виду неизбежного ограничения области применения полученных таким образом формул. В качестве первоначального приближения коэффициента массоотдачи рекомендуется использовать классическую форму гидродинамической аналогии Чильторна и Кольборна [1,2].
Для решения системы уравнений (34)-(36) использовался алгоритм Рунге-Кутты Фельдберга 4-5-го порядка точности.
Ход решения является итерационным и организован следующим образом: задается поток массы через границу раздела. На основании данных о коэффициенте гидравлического сопротивления из решения интегрального уравнения определяется эквивалентная толщина пристенного пограничного слоя
, по ее значению определяется коэффициент массоотдачи. В случае, если
полученное в результате вычисления значение поперечного потока вещества значительно отличается от заданного повторяют вычисление. Коэффициент теплоотдачи вычисляется в последнюю очередь по результатам итерации с
полученными значениями ^2э и и* . Однако, если существует необходимость в учете неизотермичности, то в итерационный цикл должно включаться и уравнение для теплоотдачи.
УЧЕТ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Показанная модель переноса в пограничном слое не учитывает факторы вносящие возмущение в пограничный слой. В частности в работе [1] указывается на возможность подвижной межфазной поверхности, которая может быть фактором возмущения в пограничный слой. Там же предлагается метод учета этого возмущения в рамках развиваемого эквивалентного вязкого подслоя. В рамках данной модели расчета (которая вообще является частью общей концепции предложенной авторами [1,7,15]) приводиться подобный метод,
сводящийся к выше названному [1] при ^2э .
Используемая здесь функция турбулентной вязкости записана в следующем
виде:
~ = ХУ* (1 - ехр(-.у* / А*)|
При использовании ее в рамках предлагаемого метода должно выполняться условие:
и*рС
1-т
-/У'Рг 1,1
К2у
РГ'
1 х0
Рг6 +
с/у*
V Рг V у
При числах Прандтля много больше единицы, когда все сопротивление теплоотдачи практически полностью сосредоточено в вязком подслое гидродинамического пограничного слоя, можно утверждать, что степень т определяется из соотношения:
= % У* ехр(>ч /А )-> ^) 5
при у
.V
V V
(39)
а
где 0 - скорость турбулентных пульсаций.
Разложив функцию (37) в ряд Тейлора по переменной У* в окрестности нуля, получим:
V, _ X)’.”*1 + №"И(Зя2 +») _ №"4(яЧ":) + 00,5)
V А" 2 Ап+1
24 А
П+2
ЛП+3
Таким образом, с точностью до члена порядка ) степень п в
уравнениях (38) и (37) может быть определена из приближенного равенства:
Как показывают расчеты, основное влияние на степень т в формулах (38) и (39) при использовании (37) оказывает степень п. Коэффициент А в большей степени влияет на значение суммарной толщины вязкого и переходного подслоя,
, Ъ\т к\ =--------
V / * \т
= ХУ* (! - ехр(-Л1' / А )} + Оху* « ХУ*
где О - невязка выраженная в доле от произведения . Необходимость ее введения вызвана асимптотическим характером функции демпфирующего
множителя при .
Нахождение второго коэффициента демпфирующего фактора в (37) возможно из условия консервативности длины пути смешения к возмущающим воздействиям показанному Кутателадзе С.С. [4]. Иными словами, в расчетах предлагается руководствоваться гипотезой, что все действие возмущающих факторов ограничивается изменением толщины вязкого подслоя. В алгебраических моделях турбулентности такие условия реализуются путем изменения коэффициента В [1,4] в профиле скорости в логарифмической области:
« 1, „ (40)
— = —Ыу* +В 4 '
и* X
Очевидно, что
м
о
( \ 1 V
1 + ^т
(41)
V V у
В приближении эквивалентного внутреннего (логарифмического) подслоя можно также записать:
и 1 р р (42)
— = , =—1пі?7ч + Д 4 '
и* Л]СГ12 X
и для течения осложненного возмущающими факторами:
и
-к Я 2э В
(43)
Из описанных выше условий, в логарифмической области функция дефицита скорости, отнесенная к соответствующей динамической скорости должна быть инвариантна к возмущающим факторам:
ґ V ^
У*
1
II -и 1 ,* ^
--------=-------1п ——==- 1н
и* X % эJ X
У*
(44)
Тогда для любой безразмерной координаты У* , отвечающей
, справедливо равенство:
---------1п
( I л
I*
\К2э)
ІП-
+(/* ь
х
я,
ід;
-Ф
1 + -
V V у
(45)
Уравнение (45) относительно является нелинейным и может быть решено только численно.
Граница вязкой и переходной области гидродинамического пограничного
слоя (в том числе и в озмущенного, ) в свою очередь может быть выражена
Научный журнал КубГАУ, №89(05), 2013 года как:
Щ = А\п
Откуда, задаваясь погрешностью О можно при известном п вычислить коэффициент^.
Проверка на модели невозмущенного течения показала, что влияние коэффициента О на значение А может практически не приниматься во внимание
при 0 -1° 7.
ПРОВЕРКА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
В качестве проверки адекватности модели применительно к описанию массопереноса в газовой фазе при движении совместно со стекающей пленкой жидкости проведено сравнение с критериальными формулами полученных различными авторами в формах:
БЬ =—Бс”
(47)
(48)
Здесь - число Рейнольдса газа, вычисляемое по эквивалентному
диаметру и осредненной по поперечному сечению скорости.
Коэффициенты в формулах (47) и (48) указаны в таблице 1.
Также для сравнения использовалась формула, полученная авторами [1,7] на основании - модели диффузионного пограничного слоя:
811=-
6л/з 8с(Л1 8с)~2/3 Яес
л/31г
+1
(7?! 8с)“1/3 8с)“1/3 -1^ + 1
+ 6агй£
8с)~1/3 -ч/з
+ 71
и
где эффективную толщину вязкого подслоя пограничного СЛОЯ 1 можно найти из того же уравнения (49) при Бс=1, учитывая, что в этом случае будет
И-Т
справедливо равенство: е° . \и) - коэффициент трения для закона
перепада давления Вейсбаха-Дарси.
Моделировалась ситуация слабого противоточного взаимодействия потока газа в трубе внутренним диаметром а =27 мм и длиной 1 = 5 м, с пленкой воды, стекающей по внутренней поверхности трубы. Число Рейнольдса пленочного
течения = 13300 Число Рейнольдса газа (по средней скорости в свободном
Ч =400^-16482
сечении) варьировалась в диапазоне ^
Толщина пленки воды с учетом поперечной кривизны канала
рассчитывалась по уравнению, полученному в [27]:
^(£)'3/2 + 2,7 = 5,419 + 2,51п((£)3/2 -7,5).
где ;
Коэффициент сопротивления для газовой фазы вычислялся по зависимости
[26]:
\ = -
0,11 + 0,9
2/3 Л
V аЬ у
0,16
Число Рейнольдса пленочного течения:
Ке _ 4Г _ 48ПЇР(1 -8П/ сі)
(52)
5Л = —
На рисунке 9 и 10 показаны графики зависимостей числа Шервуда ^ ^
в газовой фазе от числа Рейнольдса на основе средней скорости в свободном
сечении канала - при числах Шмидта = 0,5 и 8с=ю соответственно. Расчеты осуществлялись при использовании в критериальных формулах числа
Рейнольдса по абсолютной скорости газа -
Для уравнений, основанных на
гидродинамической аналогии, расчет диффузионного числа Стантона также
осуществлялся на основе . Такой метод анализа зависимостей по массообмену, показанный в [26] позволяет унифицировать данные, полученные в опытах при противоточном и прямоточном движении фаз.
Движущая сила массопереноса последовательно принималась равной значениям АЛГ=1 кг/кг, ДЛ'Г = 1 кг/кг И АЛ^=0,01 кг/кг- условные обозначения кривых, соответствующих результатам представленной модели при этих
разностях концентраций: ^а'1, ^ и .
Таблица 1. ДАННЫЕ ПО ФОРМУЛАМ ДЛЯ ФОРМУЛ (47) И (48).
№ Форма уравнения А т п Литератур а Уел. обозн. на рис. 9 и 10
1 (47) 0,023 0,83 0,44 16 а
2 (47) 0,026 0,83 0,33 17 Ъ
3 (47) 0,03 0,8 0,33 18 с
4 (47) 0,75 0,63 19 <Л
5 (47) 0,0208 0,8 0,44 20 е
6 (47) 0,025 0,8 0,33 12,1 /
7 (47) 0,033 0,77 0,33 22 Я
8 (47) 0,023 0,8 0,4 23 И
9 (48) - 0,33 24 /
10 (48) - - 0,33 25 /
11 (4) - - 0,33 14 к
Рисунок 9. Сравнительный график зависимостей числа Шервуда от числа Рейнольдса газовой фазы, полученных по формулам различных авторов при
Бс = 0,5 . уСловные обозначения: а-к- формулы, (48) и (49), см. табл. 1., ^ , и
А# = 1
^ расчет по модели при кг/кг, ДЛ'Г = 1 кг/кг И ДА'Г = 1 кг/кг
соответственно.
Рисунок 10.Сравнительный график зависимостей числа Шервуда от числа Рейнольдса газовой фазы, полученных по формулам различных авторов при
; условные обозначения: а-к - формулы (47)-(49), см. табл. 1, , и
расчет по модели при Д^' = 1 кг/кг, ДЛ'Г = 1 кг/кг И ДА'Г = (,'° 1 кг/кг
соответственно.
Как видно на рисунке 9 и рисунке 10, в целом можно говорить о удовлетворительном согласовании полученной модели с данными других авторов во всем интервале практически значимых чисел Шмидта. Наблюдаемый довольно большой разброс результатов используемых формул, по всей видимости, связан с различными условиями проведения экспериментов. Наилучшее совпадение результатов при малых значениях движущих сил переноса приходиться на различные формы гидродинамической аналогии между трением и массоотдачей (уравнения (48) и (49)). Практически важно, хорошее совпадение с результатами авторов [1, 23], чьи формулы часто рекомендуются для практических
инженерных расчетов [16,26]. Влияние разности концентраций долгое время остается незначительной и лишь при сравнительно больших значениях сказывается на результатах.
В качестве поверки при моделировании тепломассообмена в насадочном слое проводилось сравнение коэффициентов массоотдачи, полученных экспериментально при испытаний макета вентиляторной градирни с сетчатыми насадками [25].
Экспериментальный макет представлял собой цилиндрическую трубу диаметром 0,211 м, заполненную 18-ю цилиндрическими блоками сетчатой насадки на высоту 0,4 м. Осуществлялось противоточное движение фаз. Вода с помощью форсунки подавалась сверху навстречу потоку охлаждающего воздуха. Скорость воздуха (на полное сечение макета) варьировалась в диапазоне 0,72 -1,07 м/с; плотность орошения 7,61 м3/ м2 -ч; температура воздуха изменялась в диапазоне 26-28 °С; температура воды - 28 - 40 °С.
Коэффициент переноса импульса относительно среднерасходной скорости применительно к данной задаче можно выразить через коэффициент
сопротивления насадки: 5
Средняя расходная скорость воздуха в свободном сечении мокрой насадки
Рш9(1йа -5эз) Удерживающая способность насадки 8ж может быть найдена из двух допущений о пленочном течении воды, и о полной равномерной смачиваемости всей поверхности насадки стекающей жидкостью. В этом случае
^=1-А,Ль>к2а
е - я8 , где толщину пленки можно найти х '■
Коэффициент сопротивления для потока воздуха вычислен с использованием зависимости (51).
На рисунке 11 показано сравнение значений коэффициента массоотдачи представленной модели с экспериментальными данными.
Расчетные значения удовлетворительно согласуются с экспериментом (с максимальным отклонением в 12%), однако, лежат ниже. Это очевидно вызвано влиянием допущений сделанных при разработке модели: полностью пленочное равномерное течение на всем рассматриваемом участке; коэффициент активности поверхности насадки близок к единице.
Р, м/с.
0,7 0,8 0,9 1 1.1 \УГ , М/С.
Рисунок 11. Сравнительный график расчетов с экспериментом.
Как показали расчеты, сделанные допущения могут применяться лишь при
относительно высоких плотностях орошения и нагрузках по газу ниже точки подвисания. Так при понижении нагрузки по воде до 4,93 м3/м2-ч существенно нарушается качественное согласование модели с экспериментом. Это может косвенно свидетельствовать о значительной неравномерности обтекания поверхности насадки при низких плотностях орошения и, как следствие, большом снижении коэффициента активности поверхности насадки.
Тем не менее полученные результаты свидетельствуют о возможности применения принципов гидродинамической аналогии к описанию тепломассообменных процессов в градирнях.
Список условных обозначений:
Ь - безразмерный параметр вдува;
Ъ
КР - безразмерный параметр вдува в критическом, предотрывном, состоянии турбулентного пограничного слоя; с - концентрация, кг/кг; сі - внутренний диаметр трубы, м;
2,
В - коэффициент диффузии, м 'с ;
коэффициент ускорения свободного падения, м/с2; і - удельная энтальпия, Дж/кг;
9
7 КГ/(М • С)
- плотность потока массы поперек пограничного слоя, у 7 ;
Ь - длина трубы, м;
с/ - плотность потока тепла поперек пограничного слоя,
- эффективная высота вязкого диффузионного подслоя турбулентного пограничного слоя, в координатах «закона стенки»;
^2э . эффективная высота турбулентного пограничного слоя, в координатах «закона стенки»; и - продольная составляющая скорости потока (вдоль координаты х) газовой фазы, м/с;
и - осредненная по поперечному потока продольная составляющая скорости, м/с;
- продольная составляющая скорости на внешней границе пограничного слоя газовой фазы,
м/с;
- динамическая скорость, м/с;
- осредненная скорость движения пленки жидкости, м/с;
- координата по высоте пограничного слоя, м;
- безразмерная координата по высоте пограничного слоя (в масштабах «закона http://ej.kubagro.ru/2013/05/pdf/28.pdf
Научный журнал КубГАУ, №89(05), 2013 года стенки»);
** у
У =^г
^ - безразмерная координата по высоте пограничного слоя, отнесенная к высоте потери
импульса; ос •
I - коэффициент теплоотдачи (переноса теплоты), отнесенный к максимальной по высоте
„ кг/(м2 • с)
пограничного слоя разности энтальпии, у 7
^ - коэффициент массоотдачи (переноса массы), м/с;
^ - коэффициент переноса импульса, м/с;
Г - линейная плотность орошения (объемный расход жидкости на единицу омываемого 2/
периметра), м 'с ;
^ - коэффициент турбулентности Прандтля-Кармана;
- - функции движущих сил переноса (разности концентрации, энтальпии и скоростей соответственно) между границей раздела фаз и текущей координатой по высоте пограничного слоя, [кг/кг, Дж/кг, м/с];
^ ' - максимальная по высоте пограничного слоя движущая сила массопереноса (разность концентраций), кг/кг;
^ - толщина динамического пограничного слоя, м;
**
^ - высота потери импульса в пограничном слое, м;
- эффективная толщина турбулентного пограничного слоя, м;
5П
II - осредненная толщина стекающей пленки жидкости, м;
^ - приведенная толщина пленки жидкости, м;
Ґ Л2
ы )
^ ' - коэффициент трения для закона перепада давления Вейсбаха-Дарси;
^ - коэффициент динамической вязкости, Па-с;
2/
^ - коэффициент кинематической ВЯЗКОСТИ, М 'С ;
О ^ /
” - плотность, м ' 4 ;
^ - коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;
- напряжение касательного трения (плотность потока импульса поперек пограничного
слоя),
- относительная скорость газовой фазы в пограничном слое;
- коэффициент относительного трения; http://ej.kubagro.ru/2013/05/pdf/28.pdf
Рг . число Прандтля.
Список использованной литературы:
1. Лаптев А.Г. Модели пограничного слоя и расчет тепломассообменных процессов. -Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2007.
2. Александров А.И. Массопередача при ректификации абсорбции многокомпонентной смесей. Л., «Химия»,1975
3. Долгов А. Н, А.Г. Лаптев Математическая модель дегазации в насадочных аппаратах. //Изв. ВУЗов. Проблемы энергетики. №5-6. 2012.
4. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое - 2-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1985.
5. Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. Тепло- и массообмен в пограничных слоях / пер. Лыков А.В. - М.: Энергия, 1971.
6. Гарбарук А.В. Л.Ю.В., Стрелец М.Х. Турбулентный пограничный слой при одновременном влиянии продольного градиента давления, вдува (отсоса) и поперечной кривизны поверхности // Теплофизика высоких температур. 2002. Том 40. N № 3. с. 436-442.
7. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. - Казань: Изд-во Казанского университета, 1993.
8. Гарбарук А.В., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Простая алгебраическая модель турбулентности для расчета турбулентного пограничного слоя положительным перепадом давления//Теплофизика высоких температур. 1999. Т. 37. № 1. с. 87-91.
9. Squire Н.В., Young A.D. The calculation of the profile drag of aerofoils. R. & M. No. 1838, British A.R.C., 1938.
10. Леоньтев А.И, Миронов Б.П., Луговский П.П. Экспериментальное определение критического параметра вдува на пористой пластине // Инженерно-физический журнал. 1966. Том 10. N№4. с. 447-451.
11. Кутателадзе С.С., Леоньтев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. - М.: Энегрия, 1972.
12. Себеси Т. Метод расчета коэффициента турбулентной теплопроводности и турбулентного числа Прандтля // Теплопередача. 1973. Том 95. N № 2.
13. Мейером и Роттой .
14. Лаптев А.Г., Саитбаталов М.В. Аналогия переноса импульса, массы и теплоты в насадочных элементах градирен// Изв. Вузов. Проблемы энергетики,2009,-№1-2,-С.140-144.
15. Gilliland E.R., Sherwood Т.К. Diffusion of Vapors into Air Streams // Ind. Eng. Chem. 1934. v.
26. NN 5. 516-523.\
16. Войнов H.A., Николаев H.A. Пленочные трубчатые газожидкостные реакторы (гидродинамика тепло и массообмен). - Казань: "Отечество", 2008.
17. Van_Krevelen D.W., Hoftijzer P.J. Studies of gas absorption // Rec. Trav. Chim. 1949. v. 68. N N4. p. 221-223.
18. Кузнецов М.Д. Определение коэффициентов скорости абсорбции по методу подобия // Журнал прикладной химии 1948. т. 26. N 1. с. 48-57.
19. Турхан Э.Я., Жиделева К.П. Скорость абсорбции-десорбции паров воды и
теплопередача в системе газ - серная кислота // Хим. пром. 1946. 11. N с. 6-9.
20. Barnet W.I., Kobe К.А. Heat and Vapor Transfer in a Wetted-Wall Tower // Ind. Eng. Chem.
1941. v. 33. N33. p. 436-442.
21. Johnstone H.F., Pigford R.L. Distillation in a Wetted Wall Column. // Trans. Am. Inst. Chem.
1942. v. 38. N 1. p. 25—51.
22. Жаворонков H.M., Малюсов В. А. Исследование гидродинамики и массопередачи в процессах абсорбции и ректификации при высоких скоростях потоков // Теор. основы хим. технологии. 1967. т. 1. N 5. с. 562-577.
23. Дытнерский Ю.И, Борисов Г.С. Исследование массообмена в жидкой фазе // Процессы хим. технол. (Гидродинамика, тепло- и массопередача) / Под ред. М.Е. Позина. - М.: Наука, 1965. - С. 266-270.
24. Олевский В.М. Пленочная тепло- и массообменная аппаратура/ под. ред. Олевского Под . ред. В. М. - М.: Химия, 1988.
25. Лаптев А.Г., Ведьгаева И.А. Устройство и расчет промышленных градирен. - Казань: Изд-во КГЭУ, 2004.
26. Рамм В.М. Абсорбция газов. Изд. 2-е, переработ, и доп. - М.: Химия, 1976.
27. Лаптев А.Г., Бажиров Т.С., Саитбаталов М.В. Модель гидродинамических характеристик пленочного течения // Вестник Казанского государственного энергетического университета 2010. №3 - С. 18-23
References
1. Laptev A.G. Modeli pogranichnogo sloja i raschet teplomassoobmennyh processov. - Kazan': Izd-vo Kazansk. gos. un-ta, 2007.
2. Aleksandrov A.I. Massoperedacha pri rektifikacii absorbcii mnogokomponentnoj smesej. L., «Himija»,1975
3. Dolgov A. N, A.G. Laptev Matematicheskaja model' degazacii v nasadochnyh apparatah. // Izv. VUZov. Problemy jenergetiki. №5-6. 2012.
4. Kutateladze S.S., Leont'ev A.I. Teplomassoobmen i trenie v turbulentnom pogranichnom sloe -
2-e izd., pererab. - М.: Jenergoatomizdat, 1985.
5. Patankar S.V., Spolding D.B. Teplo- i massoobmen v pogranichnyh slojah / per. Lykov A.V. -М.: Jenergija, 1971.
6. Garbaruk A.V. L.Ju.V., Strelec M.H. Turbulentnyj pogranichnyj sloj pri odnovremennom vlijanii prodol'nogo gradienta davlenija, vduva (otsosa) i poperechnoj krivizny poverhnosti // Teplofizika vysokih temperatur. 2002. Tom 40. N № 3. s. 436-442.
7. D'jakonov S.G., Elizarov V.I., Laptev A.G. Teoreticheskie osnovy i modelirovanie processov razdelenija veshhestv. - Kazan': Izd-vo Kazanskogo universiteta, 1993.
8. Garbaruk A.V., Lapin Ju.V., Strelec M.H. Prostaja algebraicheskaja model' turbulentnosti dlja rascheta turbulentnogo pogranichnogo sloja polozhitel'nym perepadom davlenija // Teplofizika vysokih temperatur. 1999. T. 37. № 1. s. 87-91.
9. Squire H.B., Young A.D. The calculation of the profile drag of aerofoils. R. & M. No. 1838, British A.R.C., 1938.
10. Leon'tev A.I., Mironov B.P., Lugovskij P.P. Jeksperimental'noe opredelenie kriticheskogo parametra vduva na poristoj plastine // Inzhenemo-fizicheskij zhurnal. 1966. Tom 10. N № 4. s. 447-451.
11. Kutateladze S.S., Leon'tev A.I. Teplomassoobmen i trenie v turbulentnom pogranichnom sloe. -М.: Jenegrija, 1972.
12. Sebesi T. Metod rascheta kojefficienta turbulentnoj teploprovodnosti i turbulentnogo chisla Prandtlja // Teploperedacha. 1973. Tom 95. N № 2.
13. Mejerom i Rottoj .
14. Laptev A.G., Saitbatalov M.V. Analogija perenosa impul'sa, massy i teploty v nasadochnyh jelementah gradiren//Izv. Vuzov. Problemyjenergetiki,2009,-№1-2,-S. 140-144.
15. Gilliland E.R., Sherwood Т.К. Diffusion of Vapors into Air Streams // Ind. Eng. Chem. 1934. v. 26. NN5. 516-523Л
16. Vojnov N.A., Nikolaev N.A. Plenochnye trubchatye gazozhidkostnye reaktory (gidrodinamika teplo i massoobmen). - Kazan': "Otechestvo", 2008.
17. Van_Krevelen D.W., Hoftijzer P.J. Studies of gas absorption // Rec. Trav. Chim. 1949. v. 68. N N4. p. 221-223.
18. Kuznecov M.D. Opredelenie kojefficientov skorosti absorbcii po metodu podobija // Zhurnal prikladnoj himii 1948. t. 26. N 1. s. 48-57.
19. Turhan Je.Ja., Zhideleva K.P. Skorost' absorbcii-desorbcii parov vody i teploperedacha v sisteme gaz - sernaja kislota // Him. prom. 1946. 11. N s. 6-9.
20. Barnet W.I., Kobe K.A. Heat and Vapor Transfer in a Wetted-Wall Tower // Ind. Eng. Chem.
1941. v. 33. N33. p. 436-442.
21. Johnstone H.F., Pigford R.L. Distillation in a Wetted Wall Column. // Trans. Am. Inst. Chem.
1942. v. 38. N 1. p. 25—51.
22. Zhavoronkov N.M., Maljusov V.A. Issledovanie gidrodinamiki i massoperedachi v processah absorbcii i rektifikacii pri vysokih skorostjah potokov // Teor. osnovy him. tehnologii. 1967. t. 1. N 5. c. 562-577.
23. Dytnerskij Ju.I., Borisov G.S. Issledovanie massoobmena v zhidkoj faze // Processy him. tehnol. (Gidrodinamika, teplo- i massoperedacha) / Pod red. M.E. Pozina. - М.: Nauka, 1965. - S. 266-270.
24. Olevskii V.M. Plenochnaja teplo- i massoobmennaja apparatura/ pod. red. Olevskogo Pod . red. V. М. - М.: Himija, 1988.
25. Laptev A.G., Ved'gaeva I.A. Ustrojstvo i raschet promyshlennyh gradiren. - Kazan': Izd-vo KGJeU, 2004.
26. Ramm V.M. Absorbcija gazov. Izd. 2-e, pererabot, i dop. - М.: Himija, 1976.
27. Laptev A.G., Bazhirov T.S., Saitbatalov M.V. Model' gidrodinamicheskih harakteristik plenochnogo techenija // Vestnik Kazanskogo gosudarstvennogo jenergeticheskogo universiteta 2010. №3 - S. 18-23
