CC BY
34
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И
Том II 1971
М 4
УДК 532.526.011.55:533.722
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА МЕЖДУ ДВУМЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ
Е. М. )Кмулин
Преобразование А. А. Дородницына для координаты у позволяет привести уравнения течения вязкого газа между двумя движущимися параллельными пластинами в физической плоскости (х, у) к уравнениям течения вязкой жидкости в плоскости (X, -Г]) и определить влияние сжимаемости на распределение скоростей и температур в потоке, а также на величину касательных напряжений на стенке канала. Видоизменение этого преобразования, примененное в данной статье, дает возможность проанализировать для рассматриваемого течения влияние различных форм связи коэффициента динамической вязкости и теплопроводности с температурой на профили скоростей и температур в потоке и касательные напряжения.
В работе [1] дано решение задачи об установившемся течении Куэтта для вязкого газа путем введения обобщенных переменных для скорости и координаты, перпендикулярной вектору скорости. В настоящей статье эта задача решается методом применения преобразования Дородницына [2] для координаты, перпендикулярной вектору скорости. Некоторое видоизменение преобразования Дородницына позволяет проанализировать для этого течения влияние различных форм связи коэффициента динамической вязкости и теплопроводности газа с температурой.
Уравнения, описывающие течение Куэтта для вязкого газа, запишем в виде
)=0; (1)
|r(*§)+f(#p; <2>
Р Т = const. (3)
Зависимость коэффициентов динамической вязкости и теплопроводности от температуры примем в виде
ь(гг)" " <4)
Здесь и —скорость потока, Т — температура газа в потоке, р—• плотность газа, Т0 — температура газа у неподвижной нижней пластины, Х0 и у,, — соответствующие температуре Т0 значения коэффициентов теплопроводности и динамической вязкости газа, п — показатель степени в уравнении связи температуры газа и его вязкости (4), принимающий значение 0,5; 0,75; 1,0 в различных температурных интервалах.
Введем новое переменное :
где р0 — значение плотности у неподвижной пластины.
Из формулы (5) видно, что переменное отличается от преобразования Дородницына наличием степенного показателя в подынтегральной функции. Выполняя преобразование уравнений (1) —(3)
где к — расстояние между пластинами; — значение координаты у\ при у = Л, подлежащее определению; и0 — скорость движения верхней пластины, получим:
Уравнение теплопроводности (7) с учетом (9) напишем в виде
Граничные условия у неподвижной пластины запишем в виде
У
(5)
о
относительно переменного
получим
следующие уравнения:
(6)
Интегралом уравнения (6) будет
U = С, ТГ) + с2.
Удовлетворяя граничным условиям
г, = 0 (.у = 0), и — 0; —y¡j (у = /г), и = и0,
(8)
(9)
где
и
Общий интеграл этого уравнения будет
Такие условия удобны тем, что дают возможность сравнить полученные результаты с результатами работы [1]. Кроме того, в этом случае течение можно зеркально продолжить за нижнюю пластину.
Удовлетворяя граничным условиям (10), получим распределение температуры поперек потока:
7'=г"-^(1г)^ (11)
или
т т-1- ь
То J\T0 \ т|1 / 2
ение коэс]:
образом:
2
Значение коэффициента -^°ц° можно представить следующим
и Л0 1 о
_^РгМ2 2 Х0/Г0 “ 2 т°’
п НёсР п
где Рг=:^------число Прандтля;
X — отношение теплоемкости Ср К теплоемкости С„,
М0 —отношение скорости движения верхней пластины и0 к скорости звука у нижней пластины.
Таким образом, распределение температуры можно записать в виде
(12)
Задача может быть решена до конца, если установить зависимость между переменными Г] и у.
По определению, £?к)=[—) йу или с1у=\ —) й-г\, но так как
Ро
Р V— (То\П ™ _ ( Т\п.
н)~ \1}' ™ *>•
Последнее выражение можно записать в виде
А-# = (£)*;,
~ У
где У — или после интегрирования
к
%
0
Подставляя в (13) значение температуры из выражения (12), получим
-~~У = § РгМоТ)2^ й-ц . (14)
о
3—Ученые записки № 4 ^3
Значение т)1 определяется ниже. Таким образом, принимая законы распределения скоростей и температур для заданных значений (10, Х0, и0, Т0, М„ и п по формулам (9) и (12) и вычисляя значения у для соответствующих значений т), можно построить профили скоростей и температур в физической плоскости течения.
Полученные результаты позволяют, как указывалось выше, выяснить влияние показателя степени п на распределение скоростей и температур в потоке.
Обозначая для удобства —2~ Рг Мо = а3, запишем (12) в виде
Так как при у = А, ^ или соответственно при у = 1, 71 = 1, из выражения (17) можно определить значение %
с учетом которого связь между у и у] определится следующим образом:
Из формулы (19) видно, что функция у = /(тг)) имеет смысл в области положительных подкоренных выражений в числителе и знаменателе. _
Поскольку максимальное значение г\ равно единице, выполнение условия положительности подкоренных выражений равносильно условию о=1, что означает для воздуха, как это следует из формулы (15), равенство нулю абсолютной температуры на движущейся стенке. Число М0 при этом равно 2,672.
Случай 2, /1 = 0,75. Выражение (16) в этом случае после выполнения интегрирования примет вид
Т =-• 1 — а2 т)2
(15)
и соответственно (14) в виде
(16)
Рассмотрим три случая.
Случай 1, л = 0,5. Выражение (16) примет вид
или после интегрирования
(17)
аУ 1 — а8 + агсвіп а ’
(18)
ті V1 — а2 т)2 -)—— агсэт ат)
(19)
у
Vа 1 — а2 -\----эгсвт а
а
к -
Заметим, что в случае п = 0,75 интеграл не выражается по правилу Чебышева в элементарных функциях, поэтому для его вычисления нами взято разложение в ряд подынтегрального выражения с сохранением двух первых членов:
Поскольку сходимость степенного ряда имеет место при а2т)2-^Л> что по формуле (15) дает предельное значение ч—\ при т; = 1, сохранять третий член нет необходимости, так как он после интегрирования на порядок меньше учитываемого члена.
Аналогично предыдущему случаю, полагая в (20) у) = 1 и у = 1, можем определить величину т(1:
Соотношение между у и т) окончательно выразится для рассматриваемого случая формулой
Случай 3, п=-1. Зависимость у=у(у]) в этом случае выражается соотношением
Необходимо указать, что несмотря на допускаемую формулами (22) и (23) возможность вычислений, не противоречащих условиям у<1 и ^-<1 при а>1, принимать а>1 нельзя, так как это противоречит при тг) = 1 условию Г<;0.
Определим далее напряжение трения на неподвижной пластине в случае течения вязкого газа между стенками.
По определению
(1-а2
к
(21)
% =
- а'
Ч - т71'
(22)
У =
У =
(23)
а величина % соответственно формулой
к
(24)
то — Ро
Эу!,,о~Н . . . . ■
да \ и0
(25)
Из соотношения (9) следует, что — —1.
ОТ)
Для определения (-=] воспользуемся формулой (16). Разла-
гая подынтегральное выражение в ряд и интегрируя, получим
Дифференцируя правую и левую части этого выражения, получим
В выражении (26) не было необходимости оставлять дальнейшие члены после первого, поскольку в них сохраняются после дифференцирования величины т) в возрастающих степенях. Так как производная д-ц/ду в формуле (25) берется для т) == 0, то все эти члены обращаются в нули.
Таким образом, формула для напряжения трения на нижней пластине будет иметь вид
Отсюда видно, что она структурно совпадает с формулой для напряжения трения на нижней пластине при куэттовском течении несжимаемой жидкости, в сжимаемой жидкости роль расстояния между пластинками играет параметр
Если принять, что в потоке несжимаемой жидкости коэффициент динамической вязкости равен р0, можно определить отношение напряжения трения на нижней пластине т0 в газе к напряжению трения в несжимаемой жидкости т00. Оно выразится формулой
Отсюда становится понятным физический смысл величины которая по (29) является „масштабом“ пересчета касательных напряжений в сжимаемой и несжимаемой жидкости.
Для сопоставления результатов настоящей работы и работы [1] на фиг. 1 и 2 приведены результаты расчета распределения скоростей, а также касательных напряжений на неподвижной пластине.
(26)
(28)
о
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 М*
М = 2,672, Рг=07
/г =1,0
Фиг. 1
На фиг. 1 представлено распределение числаМ* (отнесено к скорости звука у нижней пластины) внутри потока в зависимости от у для различных значений л. Сплошными линиями нанесены кривые, полученные по формулам работы [1], точками обозначены результаты расчетов по формулам данной статьи. Можно видеть, что отклонения значений М* = М*(у, п) не-
значительны и находятся в пределах точности расчетов.
С увеличением числа га кривизна распределения скоростей в потоке увеличивается. Поэтому, принимая в расчетах п — 0,5, будем получать завышенные значения скоростей в сравнении с их величинами при « = 0,75 и, наоборот, при га = 1 —заниженные значения скоростей.
На фиг. 2 дано изменение в зависимости от числа М0 для различных значений показателя степени га. Как и на фиг. 1, видно хорошее совпадение результатов, полученных в данной статье, с результатами, полученными в работе [1].
Для всех значений п влияние _ сжимаемости приводит к уменыпе- ^ нию напряжения трения на неподвижной пластине. Однако с уменыне- в,5 нием га касательные напряжения воз- ' растают при одинаковых числах М0.
Поэтому принимая га = 1, будем в результате получать заниженные зна- 0 чения, а при га = 0,5 — завышенные значения напряжений трения в сравнении с их величиной при п — 0,75.
На фиг. 3 представлено распределение температур внутри потока для различных га, из которого следует, что с увеличением га температура в одной и той же точке потока увеличивается. Таким образом, в сравнении с температурой в потоке, полученной для га —0,75, при га= 1 величина ее завышается, а при га —0,5 —занижается.
Как и в работе [1], из полученного общего решения могут быть использованы вырезки, описывающие течение вязкого газа между двумя движущимися пластинами при заданных тепловых потоках через пластины.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г родзовский Г. Л. Течение вязкого газа между двумя движущимися параллельными плоскими стенками и между двумя вращающимися цилиндрами. ПММ, т. XIX, вып. 1, 1955.
2. К очи и Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. II. М., Гостехтеориздат, 1948.
п = 0,5^ 015'^
1,0' N \
—по решемаю Г. А. Гродмбского о по формулам данной статьи \
Фиг. 2
Рукопись поступила 261111 1971 г.
