Течение бинарной смеси разреженных газов в плоском канале при произвольном значении числа Кнудсена Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том II 1971

№ 3

УДК 533.6.011.8.532.54/55

ТЕЧЕНИЕ БИНАРНОЙ СМЕСИ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ

ЧИСЛА КНУДСЕНА

Н. К. Макашев

Исследуются течения бинарной смеси разреженных газов в плоском канале под действием малых градиентов парциальных давлений (течение Пуазейля) и температуры стенок канала (температурный крип). Задача решается, исходя из модельного кинетического уравнения Больцмана для бинарной смеси [3]. Рассмотрены случаи равных чисел Кнудсена компонентов смеси и большого отношения масс молекул компонентов смеси.

Для бинарной смеси газов можно поставить задачу о течении Пуазейля или о течении, вызванном градиентом температуры, совершенно аналогично тому, как это делается для однокомпонентного газа. В этих случаях при больших (сравнимых с единицей) значениях числа Кнудсена уравнения Навье — Стокса не применимы и для решения этих задач надо привлекать уравнение Больцмана.

Для монокомпонентного газа подобные задачи решались, например, в работах [1], [4] и [5]. В них подтверждено существование минимума расхода для течения Пуазейля, установлено, что расход у течения, вызванного градиентом температуры стенок, меняется монотонно по числу Кнудсена.

В настоящей статье задачи о течении Пуазейля и течения, вызванного градиентом температуры, решены для бинарной смеси газов, исходя из модели уравнения Больцмана в форме Гамеля [3]. Исследованы случаи одинаковых и различных чисел Кнудсена компонентов. Установлены некоторые новые качественные результаты для этих течений.

1. Рассмотрим плоский канал шириной й, в котором находится бинарная смесь газов. В этой смеси существует отклонение от равновесия, которое вызывается внешними причинами: перепадом давления вдоль по каналу или градиентом температуры стенок канала. Будем предполагать отклонение от равновесия малым, накладывая ограничения на изменение внешних условий:

Г = Г°(1-И), т«1. (1.1)

при этом задача допускает линеаризацию.

Будем предполагать также, что стенки отражают молекулы с максвелловским распределением по скоростям и с температурой, равной температуре стенок. Решать задачу будем, исходя из модельного кинетического уравнения Больцмана в форме Гамеля для бинарной смеси, которое для нашего случая имеет вид

Здесь/;—функция распределения для г-го компонента;

А1}- = А}1 — константы, характеризующие сечение столкновения

между молекулами г-го и у-го сортов; пь ти,-, Т1 — соответственно числовая плотность молекул, масса молекулы, скорость молекулы, среднемассовая скорость и температура для г-го компонента смеси, к — постоянная Больцмана, х, г — координаты соответственно поперек и вдоль канала.

Величины и1} и Ти определяются следующим образом:

где пйі = пі (0, 0); Т0( = Т1(0, 0); <р, — малая добавка, квадратами которой пренебрегаем. Очевидно, что для того чтобы отклонение от равновесия было слабым, надо, чтобы температуры компонентов мало отличались друг от друга. С этой целью положим Т01 = Т02 = = Т0 = Т„0. Линеаризуя и обезразмеривая уравнение (1.2), запишем его в следующем виде (г ф ]):

і

(1.2)

тгИі + от,- иу-

(1.3)

Условие на стенке имеет вид

(1.4)

где Тп ~ температура стенки,

= ^0,(0) (1 +та)(г)) — Т’шо (1 + тто(2))> (2) € 1,

определяется из условия непротекания.

Решение будем искать в виде

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Из определения ясно, что І^і — полная частота столкновений для і-й молекулы, ^ — доля в числе этих столкновений с молекулами другого, /-го сорта, аі — величина, обратная числу Кнудсена для г-го компонента смеси.

Граничные условия на <рг запишутся в виде

где ЛП1^ = Л0;(1 Тт = Т0(\

2. Так как задача линейна, возможна суперпозиция решений. Легко видеть, что можно разделить задачу на две: о течении Пуазейля, и о течении, вызванном градиентом температуры стенок (температурный крип). Постановку задачи о течении Пуазейля получим, если положим ^ = 0 и зададим градиенты давления для каждого из компонентов смеси. Постановка задачи о крипе получается при ^=0 и

Рассмотрим задачу о течении Пуазейля. Нам задан градиент давления для каждого из компонентов смеси: пусть давление изменяется по линейному закону:

(1.8)

(2.1)

Решение можно искать в виде

+ Ъ12^(Хи V,),

(2.2)

где Фг удовлетворяет уравнению:

с однородными граничными условиями

Полагая временно правую часть уравнения (2.3) известной, проинтегрируем его с учетом граничных условий, получим интегральное уравнение для <]>г:

Т-

Ь(Хг, Vix^0) = ^- С 12[(1~р;^)^ + рг/^С7,]-^

^ 1 I 1

(2.5)

2

X б гх й$.

-V*

Умножая это уравнение на тс-3/2 е г/?г и интегрируя по скоростям, получим интегральное уравнение для С/(:

1/2

' / и

= + (2.6)

где /„(*)= |кл<? (+,г)<й>; 7„(*)"° ~ й]п+'{х) ,

о

Полученное выражение представляет собой систему из двух уравнений для двух скоростей иг и и2. Уравнения эти связаны. Решение такой системы интегральных уравнений будет рассмотрено ниже.

3. Рассмотрим вторую задачу. Пусть температура стенок канала меняется по г так, что

7’1г, = 71юо[1+'с»(2)]. 'с«,(г)С1, Тщ о = Тш (0) = Т0, (3.1)

причем закон изменения температуры стенок канала линейный, т. е.

** = аг. (3.2)

В этом случае решение можно искать в виде

<fi = adz1v2i+viгФi{xu VI). (3.3)

Тогда

vi = -|-aa!z1; ^1 = аг^-, р1 = рю ^1 4- (3.4)

и для Фг- получаем уравнение

1 Лф. Л___ V2. аЛ

^г'^ + Фг=2[(1 -Ми*+ЬУъъЩ —^ (3-5)

и однородное граничное условие

ф/^ = + 4"> ®^°) = а (3’6>

Поступая аналогично тому, как при выводе уравнения для макроскопических скоростей в течении Пуазейля, получим интегральное уравнение для Фг:

Фг(*1, У(,^0) = -^| (2[(1-р|^)£/, + р|^у^]-^1х У ^ =Р1/2 I 1 )

V

Хе 1Х (3.7)

45

и интегральное уравнение для макроскопической скорости:

(/” т

Ч2

У*Х 2

-1/2

У_1 (*, | х, — 51) + -2~ А К I *1 ~ «I)

<&, г ф /. (3.8)

4. Системы интегральных уравнений (2.6) и (3.8) имеют одинаковую структуру:

£/г = /.*В*г£/,-Д. (4.1)

Здесь и ниже предполагается суммирование по повторяющимся индексам; 1Ш= Ь1к — матричный интегральный оператор, где Ь1к — единичная матрица, определяется следующим образом:

1/2

Тг^ = гт= Г Не)/-1(0^1 Х! — *!)*;

У 11 -1/2

БАг — квадратная матрица 2X2:

В_(1~ ?1 Н-Я

(4.2)

(4.3)

\р2 Уъ}*2 1—РзНчУ

и1—„вектор" решения, О, —„вектор“, вид которого зависит от рассматриваемой задачи;

о.-фМ- ф-1у* °

<'2“/ I о А

-' \ У тс,

Для задачи о течении Пуазейля

р1 *1 Т , , , 1,^ <. 1 ^

для задачи о температурном крипе

-Д _ ^ г2

1/"тс 1/^ тс 4

-1/2

/_!(<*, I*!— 5|) + -2~Л («/ I -«!-------------«|)

1 *ТШ

и. г—----------2.

1 т Лг

(4.4)

(4.5)

(4.6)

В силу линейности задачи решение можно искать в виде

(4.7)

2а/

Подставив это выражение в (4.1), получим матричное уравнение:

(4.8)

ф„.

Будем искать матрицу С(7 в виде разложения по матрицам 6,у, обра-

—► ->

зованным из собственных векторов матрицы В — и

б1 = (?! 0); в* = (0Гж); вз = (?2 0); в* = (0?*); (4.9)

Собственное число, соответствующее будет ^=1; Х2 = 1—

— РгР!—(51{12=1—Р — для з4. По этим матрицам разложим и Ф:

Фу=ЛЛ/. (4-11)

В результате получим уравнение

{епК-К11*еп + ГЛ№ = 0; (4.12)

здесь Хх.2 = 1, >-3,4 = 1 — Р.

Представляются возможными два случая.

Первый случай: числа Кнудсена для компонентов смеси равны,

т. е. а1 = а2 = <*. При этом = и по причине линейной неза-

висимости собственных векторов матрицы В получаем четыре скалярных разделившихся уравнения:

еп — \1еп +/„ = 0, «=1,2, 3, 4.

(4.13)

Второй случай: а, ф а2. Уравнения не расцепляются, и из (4.12) получаем систему из четырех интегральных уравнений.

5. Рассмотрим случай равных чисел Кнудсена для компонентов смеси. Уравнения (4.13) для задачи о течении Пуазейля имеют вид:

Г

«1(^1) =■ 77= } У-1(я Iх! ~ 51) I ~ —

V 11 _1/2 I-

^2(^1)= 4^ | 5|) вг{5)— ^

еМ'-

Ут

а (1 — Р) 1/2

У

Г У_1(а|х1 — х|) -1/2 1/2

в4(-*1)=гт=(1 -р) ( У-1 (а|л:, — в|)

У* 4,2

е3 (з) +

*4 («)

^5;

У^2

Я(1-Р)

(5.1)

Р(1-Р)

Эти четыре уравнения легко свести к двум уравнениям для двух функций. Положим

Р1 У [**

е; е

У7,

е~Р(1—Ру’ 4 Р(1 — /3)1

где е и р удовлетворяют уравнениям

1/2

е = — Г У-Ца!*! — 51) [е (в) ~ 1] из; У я -1/2

а 1/2

р = (1 -Р)-у= Г У-г1 (а | — з|) [р («) — 1]

У -1/2

(5.2)

(5.3)

(5.4)

Подставляя полученные выражения в (4.7), получим решение задачи о течении Пуазейля в виде

Т7

^1

1*2

Ьой

Поступая аналогичным образом, получим решения задачи о течении, вызванном градиентом температуры стенок канала:

тг а<1 Г01 Нч + Р1 УТТнГ* , 01^2 — 01У1*11*2 * 1— а [ Р и+ Р(1—Р) 2

11 а<1 Г01 ^2 + 02 У 1*2 4 , 02 1*1 02 У 1*1 1*2 4.

и*~ «I Р + Р{\~Р) 4

(5.6)

где ^ и удовлетворяют уравнениям 1/2

и = ^7= ( У_1(« |^1 — *1) [Л(я)—1] «& - —Г А(а\хг - я|)<&, (5.7) V к _1/2 2 у тс _]/2

{1,2

-£= Г У.^!*, —я|)[*2(я)—1]<*я —

У77 -*4/2

а 1/2 )

Г Л(а|х.-5|)^ . (5.8)

2У * -1/2

Это решение есть сумма решений задачи о чистом „крипе11 ^р.=(Л и задачи о течении Пуазейля с <^- — ^-айр01, т. е.

5 5

Ь^-^-а. Вычитая из (5.6) решение (5.5) для Ь1 = -^-а, получим решение задачи о чистом температурном „крипе11:

,, ^ Г 02 1*1 + 01 У 1*1 1*2 / , 01 1*2 —01^1*1 1*2 /

21 [ р р(]___/э) 2

г I ___ а(1 Г 01 1*2 Ч~ 02 У1*1 1*2 1 , 02 1*1 02 V 1*1 1*2 1

2 2а [ Р 1 + Р (1 - Р) 2

(5.9)

где /1 и /2 удовлетворяют уравнениям

_ 1/2

= — Г У_1(а (л:* — в)|

У * -1,2

и

Л(5) + —

1,2

■

1,2

-7= Г 4 («1*1-«!)*, (5л0)

V те. -1/2

1-1 («) +

У

(5.11)

6. В случае разных чисел Кнудсена для компонентов смеси уравнения для еп разделить нельзя; в результате, расписывая матричное уравнение (4.12), получаем две системы из двух интегральных уравнений:

__ ____ р _ I/2

*1 У*\ - ^3 011Л*2 + ,7^ = 77^= [ У—1(«! I -^1 — «I) X у 1г у тг _-{/2

X [^1 у!*! (1 Р) 01 У^й

— а 1,2

У1ч + *з 02 /1*1 = 77^ 1* У-1(“а|^1 — «I) X

_ У —1/2 _

X /1*2 + (1 - Р) е3 02 1Л*1]

(6.1)

«1)Х

(6.1)

^2 У(*2 + еь Рг V + гт== — “7= Г 7_1 (а2 | ;

_ V * У я -Ь _

х [е2 V 1*2 + (1 - Р) <?4 Р2 У" рЛ

— а 1/2

^2У^ — ^4Р1 Т^Рг = (" Т—^а^л:, я|)Х

__ У -1/2

X [е21^1*1 (1 Р) ^4 Р1 У^г]

Вид эти* уравнений можно несколько упростить, вводя еле дующие обозначения:

— ^з?1 У Р2 — ёг» еъ\Г\‘-2 — Чт,'1

е4?2У1*1— Яг'1 Р = Рг Н-2-Функции £2, Яи Яъ удовлетворяют уравнениям р „ !'2

^1- + Г (Я11 *1 ~ в1) &1 “ С1 ~Р)&]<*«;

У к У к _^/2

(6.2)

1/2

ё'1 + й'2р=-^ | •/_1(о2|д:1 —5|)[£Г1-Ь(1—Я)РйГ2]*;

V П -1/2

Р я 1/2

01 - ?г + -7^ = гр= Г У_1 (а21-^1 — «|)[?1 —(1 -Р)Яъ\ Лз\ у К у 7Г _у];2

1/2

^1 + 02 = 4= ( /-^Ы-хц-^нр^ + о—/>)?,]<&:

У Л -1/2

(6.3)

(6.4)

Интересным является случай РС 1. Такая ситуация может возникнуть, например, если т1<^т2, а Р1 = 0(Р2). Легко видеть, что «1 = 0 (у?), т. е. тоже является малой величиной. Так как У0(х)

У я

х!пх, то при малых р справед-

при х-»0 имеет асимптотику лива следующая оценка для интеграла

1/2 _ _

£= ( У_!(а, |х1-5!)(?(5)^ = 0(аулр1пр),

У -1/2

где С — некоторое среднее значение функции в(х1) на интервале от —0,5 до 0,5.

Поэтому справедливы следующие разложения для g1, g2, ди #2 при малых р:

ё! = Р [Р1/21п Р^ + Р 1п2 р£2 +

£2 = Р1/21п р^ + р 1п2 р£2 + • '

Я\ = Я\ + РЯ\ + Р3/21п $Я\ 4- • 02 = Р02 + Р3'21ПР^+ • ' • -

где функции в разложениях находятся последовательным решением уравнений

в\ = ^="гбх 0; ^1 + ^ = т2[^ + (1

(6.5)

У*Ур 1п р ’

(6.6)

4—Ученые записки № 3

49

я\+щ'='ъя\\ я\ = -я\\ я\ = я\ + ъ[я\-{\-Р)я\\\

Я\ = ТТтг"

Шр

ъя{; я31-я! = ъ1я31 — (1 — Р)я!]

(6.7)

Если известны функции g2, ди <72, то решение задачи можно записать в виде

лЧг) л[

V 1*2

/г2 ё 2с12

и* = (£1 + р£2) тА*- ^ + (?1- ?2) ^ ,

Г 1*1 2а1 2а2

(6.8)

где /гг

1 йр, , 1 й?Г,

----для задачи о течении Пуазеиля, /г,• = для те-

Рог а2: * о

чения крипа. В последнем случае мы получим решение с ненулевым градиентом давления (см. выше), поэтому для получения решения задачи о чистом температурном крипе из этого решения надо вычесть решение задачи о течении Пуазейля, соответствующее этому градиенту давления.

Для случая Р«1 первые члены в разложении скоростей

и,

Р1/2 1п Р .. . . р1п2р ... (

к2 а Р21п р

пМ

V-

X 1*2

(ё\ + ё\)±х

+

(6.9)

Как легко видеть, главный член в разложении и2 есть решение рассматриваемых задач для однокомпонентного газа (см. [11, [21,

[4], [5]).

Главный член в разложении £/, может быть выражен в квадратурах:

и'=~тМ+---- <6Л0>

Зная распределение скоростей для компонентов смеси, легко найти парциальные расходы С?г, среднемассовую скорость для всего газа и и полный расход С?.

Функции г, р, 1и /2, удовлетворяющие уравнениям (5.3), (5.4), (5.10) и (5.11), являются универсальными для случая равных чисел Кнудсена компонентов. Если известны эти функции, то расчет течений для этого случая не представляет большого труда. В качестве примера приведем расчет течений для следующих значений определяющих параметров и-1 = 0,1; р1==0,64; р2 = 0,24; (Р — 0,6).

Если градиенты парциальных давлений (задача о течении Пуазейля) противоположны и градиент одного из компонентов достаточно велик, то этот компонент увлекает другой за собой, последний течет в направлении возрастания своего парциального давления. В этих случаях парциальные расходы уже не имеют минимума, известного как „парадокс Кнудсена“ (фиг. 1).

Результаты расчета парциальных расходов для случая температурного крипа представлены на фиг. 2. Если вдоль стенок имеется градиент температуры, то равновесие (нулевой расход через сечение) установится при некотором градиенте давления, который является функцией от числа Кнудсена.

JT)^=-t т£ А

Фиг, 1

-!0

*г

0,3

цг

0J

Л Pi Г

ptiT

\

\

\

г з *

Фиг. 3

ос

Решение в этом случае получается путем суперпозиции решения о течении Пуазейля и решения о температурном крипе с условием нулевых парциальных расходов.

А о Т

На фиг. 3 представлена зависимость = К1 (а) как функ-

р1 ы

ция от а (случай одинаковых чисел Кнудсена). Оказалось, что (а) = К2 (<*) с точностью счета. Кроме этого, при сравнении с ве-А £7 Т

личиной АТ(а) = — -дуг для случая монокомпонентного газа (см. [1],

{2]) оказалось, что а) совпадают с этой величиной при всех а. В общем случае К1 есть функции от обоих чисел Кнудсена.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коган М. Н., Макашев Н. К. О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена. .Ученые записки ЦАГИ-, т. 1, № 2, 1970.

2. Макашев Н. К. К решению задач о течении Пуазейля и температурном крипе в плоском канале при произвольном значении числа Кнудсена. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 5, 1970.

3. Hamel В. В. Kinetlk model for binary gas mixtures. Phys. Fluids, v. 8, p. 418, 1964.

4. Коган М. H. Динамика разреженного газа. М., „Наука”, 1967.

5. Cercignani С. Rarefied gas dynamics. Third Symp., Acad.

Press, 1963. __________

Рукопись поступила ll\Vl 1970 г.