Течение Куэтта бинарной смеси разреженных газов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м II 197 1 Мб

УДК 533.6.011.8

ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА БИНАРНОЙ СМЕСИ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ

Н. К. Макашев

Рассмотрена задача о течении Куэтта бинарной смеси разреженных газов на основе модельного кинетического уравнения Больцмана для произвольных значений чисел Кнудсена компонентов смеси. Показано, что при равных числах Кнудсена решение может быть получено из известного решения для однокомпонентного газа, причем компоненты смеси в этом случае движутся с одинаковыми макроскопическими скоростями.

Для смеси с малым отношением масс молекул компонентов получено разложение решения по этому отношению.

Задача о течении Куэтта является одной из классических задач кинетической теории, на которой опробываются различные методы решения уравнений Больцмана. Однако эта задача имеет и самостоятельный интерес, так как ее решение позволяет прояснить многие явления, возникающие в течениях подобного вида. Для однокомпонентного газа задача в достаточной степени изучена [1], имеются различные аппроксимаций ее решения.

В настоящей статье в линейной постановке на основе модельного кинетического уравнения Больцмана в форме Гамеля [2] решена задача о течении Куэтта бинарной смесц разреженных газов. Изучен случай, когда компоненты смеси имеют равные числа Кнудсена, и случай большого отношения масс молекул компонентов. Результат решения задачи при компонентах с равными числами Кнудсена таков: компоненты смеси движутся с одинаковыми макроскопическими скоростями как одно целое, причем профиль скорости тот же, что и при однокомпонентном газе. Этот факт, как и зависимость перепада давления, возникающего при отсутствии расхода через канал, от перепада температур его стенок при таком же условии на числа Кнудсена компонентов [3] показывает, что равенство чисел Кнудсена компонентов смеси приводит к тому, что смесь в некоторых макроскопических явлениях ведет себя как однокомпонентный газ.

1. Рассмотрим бинарную смесь газов между двумя параллельными бесконечными пластинами, расположенными на расстоянии (1 одна от другой. Направим ось л: по нормали к пластинам, ось г — вдоль направления движения пластин.

Пусть верхняя пластина движется со скоростью , а нижняя—со скоростью

-\ Г пц

— где № такова, что УР у 2^7^ С 1- Здесь т* — масса молекулы 1-то компонента смеси, То — температура пластин, &—постоянная Больцмана,

Уравнение Гамеля для рассматриваемой задачи имеет вид

2

ті (£(

2 КГц

й£].

(і)

где /( — функция распределения /-го компонента, П(, %, и0 Т(-~ числовая плотность, скорость молекулы, макроскопическая скорость и температура /-го компонента бинарной смеси. Величины Иу И Гц определяются следующим образом:

— ті щ + /вуИу

ич =

ті + т/ ’

-г „ , 2т,ту- ^ ^ піїт2/

Т» = Ті + (™/+«,•)* (7> ~ Ті) + Ък (т, + т;)* ~ и^'

Вследствие малости задача может быть линеаризована. Решение будем искать в виде

/ т1 \з/2 г ~\

/г—/оо/ (1 + ?/), /оо » \ Ъ&%) ехР[^“Ш7Г " ^

где пщ — щ (0, 0).

Линеаризованное уравнение Гамеля (1) для безразмерных переменных в обозначениях, принятых в статье [3], запишется так (і фу):

Здесь

а* (Эх, + % = 2с,г/ [(1 — Р/ (V) ^1- + Р/ К!'•! IV ^/г! •

= ^5<: ^г= К"= * 2 |

«/ = (Л«Яо/ + ЛуЯо;) 14 = ;

о_______«01 ___

— Аи л0 г + Лу л0у ’ Х1= й ■

Предположив, как и в статье [3], что отражение молекул от пластин диффузное с температурой То, получим граничное условие Для

±1Г* ^* >°) =±»<г а»= ]/*■

Как можно заметить, <р£ удобно представить в виде

?;(*!. т-Чх, viг) = viг yr-^w'\li(x,,vix), где ф/ удовлетворяет уравнению

V/у дФ/

д*; + 'Ь==2 К1 “ °і + ^^УаЯ (2)

и граничным условиям

(3)

0. = .1 Г - *1л л = рЛ*

‘ 2}Лг .) '•* • да Г

Ф/ ^ І 2 * ® ) ~ І ^ •

Запишем уравнение (2) с учетом (3) в интегральной форме:

*, ’ ■ • ' ■

^(хихііх^(У)=р- С [(1-?,-^) о^ІІЧа,\ ехр[-а,.£к^1^ +

‘и1х - г I V^x і

+ Т

: +ехр[~^г(^±4-)]- ‘ (4)

Подставив уравнение (4) в соотношение для С/г (2), получим систему интегральных уравнений для й^хх): \ • пи- >ч,

^ 1/2 . ". .

(•*!> = [ [(1 — РгНу) (в> + Рг (V («)] 7-1 (“г \х\~ 5 I) * + :

— 1/2 , -

+ 2^ {/о Ь (“5~ - *>) - /(> [а‘ (т- + х) } ’ (<5>

00 : : . • ; . ' • ) ! где /„(*) = | <”

ехр

ЛЛчі.. і і ,

В задаче Куэтта представляет интерес также величина составляющей тензора напряжений Рхг. Введем безразмерный тензор напряжений

1X11 - 2кТ,

і Г2^7*0 з л

,хгг ті _ — ТІ —V2, , —

тпоічг ~г- )е

(6)

Подставив уравнения (4) в интеграл (6), получим выражение для тензора напряжений Р[Хг:

1/2

Ріхг — у- — £ [(1 —?і І1/) Xх) + Рі IV 6] (*)] А)

-1/2

“М 2

/і(ч)+~2-

(7)

Здесь учтено, что величина Ріхг не зависит от

2. При произвольных значениях чисел Кнудсена компонентов Кп/ = аТ1 уравнения системы (5) должны решаться совместно. Если же аг = а2, то возможно упрощение системы (5) и сведение ее к одному уравнению.

Пусть <*1 = а2 = а. Вычтем одно уравнение системы из другого. В результате получим уравнение для разности С?!^)— 02(дг1):

а 1/2 '

(х\) ~ (жі)= Тг^ (1—— Рі!*а) § /_і (а І л?і — $ |) [Сі («) — 02 (в)] (8)

" " -1/2

Однородное уравнение (8) имеет лишь тривиальное решение, так как интегральный оператор является сжимающим, т. е. в случае а1 = а2 величина О, (л:х)= = ба (*і) = О (*і), причем а(хг) удовлетворяет тому же уравнению, что и безразмерная макроскопическая скорость в задаче о течении Куэтта в однокомпонентном газе [1]:

1/2

0(х і) =

Г о (в)/_!(<.!*!-і |)*+_1=(/0

У*-Гі/2 2^1

2 — х\

1-/

~2~ + х1

Выражения для "Р(гг также сводятся к выражению для тензора напряжений в задаче о течении Куэтта в однокомпонентном газе. Таким образом, при равных числах Кнудсена компонентов бинарной смеси их макроскопические скорости равны между собой, щ2= й (х'\)'№, и смесь движется как однокомпонентный газ с этой макроскопической скоростью.

Можно показать, что тензор напряжения Рхг = Р\Хг^г Р2хг Для течения Куэтта бинарной смеси с компонентами, имеющими одинаковые Числа Кнудсена, при температуре Т0 связан с тензором напряжения Р*2 для однокомпонентного газа с тем же значением числа Кнудсена при температуре Т*0 соотношением

П _п* Л/"Ж «О 1 Ущ + "02 У"Ь ,0.

хг ~ хг Г Т*0 п0 Ут ’ ( )

где Пд и т — числовая плотность и масса молекул однокомпонентного газа.

В частности, используя результаты решения задачи о течении Куэтта двух-моментным методом [1], получим на основании соотношения (9) приближенное выражение для тензора напряжений в случае равных чисел Кнудсена компонентов смеси:

>—; («01 V т 1 + л02 У т2)>

2(а + Уп)

которое дает верные значения Рхг в пределе для свободномолекулярного течения (а-»0) и для сплошной среды (а-»оо).

3. При произвольных числах Кнудсена компонентов анализ решения затруднен, однако в случае малой величины отношения масс молекул можно получить некоторые результаты, разлагая решение по малому параметру.

Пусть ту/т? = е С 1 и ■р1 == О (Р2). Тогда, очевидно,

1*1 = 0(«). «1=0 (/О.

Так как асимптотические выражения для 1^{х) и 1Х (х) имеют вид

У К

1

/о (х) = ^к- + х]пх+ ...; Л (.*) == ~2~ ~ О (*);

то справедлива следующая оценка для интегралов:

1/2 _

-7^ Г /_ 1 (ах 1 ^ — = 0(Уе1п в).

1/2

= О (/е) .

В связи с этим справедливы разложения:

б! =■ 1п еС?ц + е 1п* + ...;

бг = С?21 + еОгг _ 1

гу*

Ръхг — Ря + е^2 2 + ••• >

где функции О/* и Я/* находятся последовательным решением уравнений, полученных из (5) и (7):

1/2

Оа,(л:1)=-^=. Г /_1Ы-*1-«|)021(«)<*«+ ;{/0Га2/-1_ —

/*_■{/ 2 2>М I I2 /

(1/2

“2 (-2-+л‘1

' +

1/2

On = Г /-1 (ea |*j - s\) (022 - Ga *;

V* --{/2 V E /

1/2

<?.,= S~1/2ln-i s3l(1~?'> f /«,(0,1 x.-sDG^ds;

J;2

Видно, что первые члены в разложении 02 и Р2хг являются решением задачи о течении Куэтта в однокомпонентном газе [1]. Главные члены разложений

О, и Р1хг соответствуют значениям этих величин в свободномолекулярном режиме; для этот член выбором системы координат сделан нулем. Следующие за ним поправки зависят, как и должно быть, от движения тяжелого компонента.

В статье [3] были получены разложения скоростей компонентов смеси для случая «,/«2^1 в задаче о течении Пуазейля и температурного крипа. Там первые члены в разложении макроскопической скорости для легкого компонента не зависят от движения тяжелого. Это следует объяснить тем, что в пределе при свободномолекулярном режиме скорости для рассматриваемой плоской геометрии течений Пуазейля и температурного крипа имеют особенность, стремясь к бесконечности при а -» 0. Поэтому в основных порядках разложения решения для легкого компонента отсутствуют члены, зависящие от тяжелого компонента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука”, 1967.

2. Hamel В. В. The kinetic model for binary gas mixture. Phys. Fluids, 8, 418, 1964.

3. Макашев H. К. Течение бинарной смеси разреженных газов в плоском канале при произвольном значении числа Кнудсена. .Ученые записки ЦАГИ”, т. II, № 3, 1971.

Рукопись поступила 29/III 1971 г.