CC BY
32
УДК 519 + 535 + 538
ТАБЛИЦА КОНТИНУАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ОПРЕДЕЛЁННЫХ НА КОМПЛЕКСНОЗНАЧНОМ СТОХАСТИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ ОРНШТЕЙНА-УЛЕНБЕКА
А.С. Мазманишвили
Сумской государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2, Сумы, Украина, е-та^тагтатзНуШС^таП.сот
Аннотация. Представлена таблица из более 140 континуальных интегралов, определенных на стохастическом комплекснозначном скалярном случайном процессе Орнштейна-Уленбека. По своему содержанию все они являются интегралами от соответствующих гауссовых форм. Это позволило в аналитической форме привести континуальные интегралы к виду, не содержащему усреднение по траекториям нормального марковского комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека. Значения рассмотренных континуальных интегралов, могут быть полезными при решении разнообразных прикладных статистических задач.
Ключевые слова: интегралы по траекториям, случайный процесс Орнштейна-Уленбека, гауссовские формы.
В представленной таблице континуальных интегралов от гауссовых форм результат интегрирования везде приведен к форме, не содержащей усреднения по траекториям нормального марковского комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека.
Последовательность континуальных интегралов даётся, начиная с достаточно простых и известных, и далее по возрастающей сложности.
Используются следующие обозначения:
¿(т) - решение стохастического уравнения
¿г(т) = -иг(т) ¿т + ¿п(т), ¿(0) = г0;
- значение процесса г(т) в начальный момент времени т = 0;
- значение процесса г(т) в конечный момент времени т = ¿;
V - декремент случайного процесса г(т) Орнштейна-Уленбека;
п(т) - порождающий обобщённый случайный процесс "белого шума"с коррелятором (п(т1)п(т2)) = аи &(т\ — т2);
А - вещественный параметр;
& = - интенсивность случайного процесса г(т);
г = у/и'2 + 2А/ат;
г+ = г + V; г_ = г — V;
= ____________4г//ехр(/4)_____________
(г + и)2 ехр(г^) — (г — и)2 ехр(—г£) ’
q = ехр(—г£);
в1 (¿) и в2(^) - произвольные локально квадратично интегрируемые функции;
V(х(т)) - произвольный функционал от процесса х(т);
Мы обозначаем угловыми скобками интеграл по распределению вероятностей комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека. В частности, (^о|У(х(т))|х*) - условное (относительно состояний Хо и Х*) математическое ожидание функционала V(х(т)), после результатом его интегрирования по всем возможным значениям Хо и х* является безусловное математическое ожидание по мере процесса Орнштейна-Уленбека.
Интегрирование по всей комплексной плоскости С осуществляется на основе интегрирования по вещественным переменных И,е X, 1т х, X € С в бесконечных пределах. При этом мера, по которой производится интегрирование, обозначается как ^2х.
1.
(хг |1|х*) = ш (х,г; Хт, т)
1
па (1 — q2)
ехр
№ - д~г| а (1 - д2)
где £ > т, q = ехр[—^(£ — т)].
Ит (хг|1|х*) = ш(х) = ехр —
Ы2
а
3.
(хо|хо|х4) = ХоШ (х,£; хо, 0).
4.
(хо|х*|х4) = (х*,£; Хо, 0).
5.
(хо|х(т)Ы = (1 — q2)-1 [ql (1 — Хо + q2 (1 — q2) х] ш (х*,£; Хо, 0), где 0 < т < £, q = ехр(—^¿), q1 = ехр(—^т), q2 = ехр(—^ + ^т).
6.
(Хо| V(х(т))|х*) = ш (х*,£; Хо, 0)
СО |
х / ^2гт V(хт) ехр < —
1 — q2
■х
па (1 — q2) (1 —
|Хт — ql(1 — Хо — q2 (1 — q2) Х|2
а (1 — q2) (1 — 9?) (1 — где 0 < т < £, q1 = ехр(—^т), q2 = ехр(—^ + ^т).
2
7.
СО
/ ^2х*ш(х*)(хо|1|х*) = 1.
-О
8.
СО
/ ^2Х*ш(го)(Хо|1|г*) = ш(х*).
— ОО
/ ^2Х* (Хо | Хо | Х*) = Хо.
-О
10.
СО
/ ^2Х*(Хо|Х*|х*) = Хо ехр( — ^¿).
-О
11.
СО
/ ^2Х*(хо|х(т)|х*) = Хоехр(—^т),
-О
где 0 < т < £.
12.
СО
/ ^2Х* (Хо|в(Хо)|Х*) = в (Хо).
-О
13.
СО
/ ^2Хош(хо)(х*|Хо|Х*) = Х*ехр(—^¿)ш(х*).
-О
14.
СО
/ ^2Хо ш(Хо)(Хо|Х*|х*) = х*ш(х*).
-О
15.
СО
/ ^2Хо ш(хо)(хо|х(т)|х*) = Х* ехр(—^т)ш(х*),
-О
где 0 < т < £.
16.
СО
/ ^2Хо ш(Хо)(Хо|в(Х*)|х*) = в(Х*)ш(х*).
— 'ОС'
17.
/ ^2х*(хо| V(х(т)) |х*) = / ^2ХГ V(гт)^(хг,т; хо, 0),
— О —О
где 0 < т < /.
18.
СО СО
/ ^2Хо ^(^о)(^о|в(х(т))|х*) = / ^2Хтв (Хт) w (х*, Хт, т),
—О —О
где 0 < т < /.
19.
(Хо|^о^о|Х*) = |хо|^ (х*,/; Хо, 0).
20.
(хок^х*) = |х*|^ (х*, ¿; хо, 0).
21.
(хо|х(т)х*(т)|х*) = [(1 — ехр(—2^)]—221и (х*,/; Хо, 0) х
х
а (1 — ?2) (1 — 5Ю [1 — ехр(—2^)] + |?1 (1 — хо + 52 (1 — ?2) х*|2
где 0 < т < /, 51 = ехр(—^т), д2 = ехр(—V/: + ^т).
22.
СО
/ ^2х*(хо|хохо|х*) = |Хо |2.
—О
23.
СО
/ ^2Хо w(zо)(z|zоz0|z*) =
—О
24.
а(1 — е—2^*) + |х*|2е—2^*
w(z*).
/ ^2х*(хо|х*х**|х*) = а (1 — е 2^*) + |хо|2е
— ОО
25.
2„ — 2и*
/ ^2хоw(zо)(zо|z*zí*|zт) = |х*|^(х*)
— ОО
26.
/ ^2х*(хо|х(т)х*(т)|х*)
-О
где 0 < т < /.
27.
СО
/ ^2Хо w(zо)(zо|z(т)х*(т)|х*) = w(z*)
-О
где 0 < т < /.
28.
СО СО
/ ^2Хо w(zо) / ^2х*(хо|хо|х*) = 0.
-О -О
29.
СО СО
/ ^2Хо w(zо) / ^2х*(хо|х*|х*) = 0.
-О -О
30.
СО СО
/ ^2Хоw(zо) / ^2х*(хо|х(т)|х*) = 0,
-О -О
где 0 < т < /.
31.
СО СО
/ ^2Хо w(zо) / ^2х*(хо|хохо|х*) = а.
-О -О
32.
СО СО
/ ^2Хо w(zо) / ^2х*(хо|х*х**|х*) = а.
-О -О
33.
СО СО
/ ^2Хоw(zо) / ^2х*(хо|х(т)х*(т)|х*) = а,
-О -О
где 0 < т < /.
а (1 — е—2^т) + |хо|2е—2^т
а (1 + е—2^(*—т)) + |х*|2е—2^(*—т)
34.
СО
/ ^2Хоw(zо)(z0|г|) = 0.
— ОО
35.
СО со
/ ^¿0 ^(¿о) / ^(¿о^* |^) = 0.
— о —о
36.
со со
/ ^¿о^(¿о) / ^2г*(^о|^2(т)г*(т)|^) = 0,
—о —о
где 0 < т < ¿.
37.
СО со
/ ^2^о^(¿о) / ^2^(гок0(4)2Ы = 2а2.
— о —о
38.
СО со
/ ^¿о^(¿о) / ^2г4(^о|^2(^о)2|^*) = 2а2.
— о —о
39.
со со
/ ^2^о^(¿о) / ^2г*(^о|^2(т)(¿*(т))2|^) = 2а2,
—о —о
где 0 < т < ¿.
40.
со со
/ ^2^о ^(¿о) / ^(¿окт^оГЫ = ^п! ап.
—о —о
41.
со со
л2^. (^ |.о ^
/ ^2^о Цго) / ^2г4(¿о|¿Г(¿*)п | ¿*) = ^тпп! ап
—о —о
42.
со со
/ ^2^о Цго) / ^2г*(го|^т(т)(г*(т))п|г*) = ^п! ап,
где 0 < т < ¿.
43.
со со N
/ ^2^о^(¿о) / (¿о| Ё) |г(пт)|2|^т) = (^ + 1)а.
— со —СО п=о
44.
/ ^2^о ^(¿о) / ^2^т (¿о|
N
Е ¿(пт)
п=о
г N N
|^т) = Е ехр(-^|п - т|).
п=о т=о
— 'ОС'
— 'ОС1
— 'ОС1
— 'ОС'
45.
N
/ ^¿о Цзо) / ^22^тЫЕИпт) + в(пт)|2|^т) =
п=о
N
(Ж +1) а +Е |в(пт)|2. п=о
46.
/ ^2^о ^(¿о) / ^22^т(¿о|
N
Е ¿(пт) + в (пт)
п=о
N N
Е Е [а ехр(-^|п — т|) + в (пт)в *(тт)].
п=о т=о
47.
/ ^2^о^(¿о) / ^22^т(¿о|
N
Е Ипт)|2
п=о
N N
а2 Е Е [1 + ехр(—2^т|т — п|)].
п=о т= п
48.
/ ^2^о ^(¿о) / ^22^т(¿о|
N
Е к(пт) + в(пт)|2
п=о
NN N
а2 Е Е [1 + ехр(—2^т|т — п|)] + 2а(Ж + 1) ^ |в(пт)|2 +
п=о т= п п=о
N N
+ 2а Е Е в(пт)в*(пт) +
п=о т=о
' N
Е |в(пт)|2 п=о
49.
(^о|в (^т )|^*) =
со со
= / ^2^т (¿о|в(^т)|^т)(^т |1Ы = / ^2^т (¿о 111 ¿т) (¿т |в(^т)Ы,
-о -о
где 0 < т < в(^) - произвольная локально интегрируемая функция.
50.
(¿о|/¿(т) ^т |^) = V 1 (¿о + (¿*,¿1 ¿о, 0).
о
— ОО
— оо
2
— оо
— ОО
2
— оо
— оо
2
— оо
2
51.
со *
/ ^¿о•Цго)Ы/¿(т) йт|^) = V-2^Ц^).
-о о
52.
со *
/ й2^(го|/¿(т) йт|^) = v—1^о [1 — ехр(—^)].
-о о
53.
со со *
/ й2^о ^(¿о) / й2^(го|/ ¿(т) йт|^) = 0.
-о -о о
54.
55.
(¿о| /в(тМт) йт|^) = (¿) /в(т)е—^(*—т) йт.
оо
56.
оо * *
/ й2^(го|/ в (т Мт) йт |^) = ¿о/ в (т )е—^т йт.
-о о о
57.
со со
/ й2^о^(¿о) / й2г*(^о|в(т)^(т)|^) = 0.
-о -о
58.
со со * *
/ й2^о ^(¿о) / ^¿(¿о^*/ в(т)^(т) йт|^) = а/в(т)е—^(*—т) йт. -о -о о о
59.
(^о|в1(^(т ))в2 (^(т/))|^*) =
= / й2г / й2г/в1(^)в2(^/)^ (¿,т; ¿о, 0) и> (¿/,т/; ¿о, 0) и> (¿¿, ¿/,т/),
где 0 < т < т/ < в1(^) и в2(^) - произвольные локально интегрируемые функции.
(¿о| / в(т)^(т) йт|2*)
(1 — е 2^*) 1 и> (¿,£; ¿о, 0) х
х / в(т) ¿о (е
е
е—К*+т)) йт.
60.
СО со
= / ^2г/ (г,т; го, 0) т (г^т'; г, т) и> (г,; г^т'),
— ОО —ОО
где 0 < г < г' < ;
61.
СО
/ ^2г*(го|г(т)г*(т')^) =
— О
= ехр(—^т' + ^т)|а ехр(—2^; — 2т') + |г0|2 ехр(—2^т) где 0 < т < т' < ;
62.
СО
/ ^2гот(го)(го|г(т)г*(т')|^) = ехр(—^т' + ^т)т (г*) х
—О
х|а [1 — ехр(—2^ + 2^т')] + |г*|2 ехр(—2^; + 2^т') где 0 < т < т < ;.
63.
СО со
/ ^2го т(го) / ^2^(го|г(т)г*(т')|г*) = аехр (—^|т' — т|).
—О —О
64.
СО СО * *
/ ^2го т(го) / ^2г4(го|/ г(т) ^т/г*(т') ^т'|г*) = (2а^2) (V; — 1+ е—^*).
—О —О о о
65.
СО СО * *
/ ^2го т(го) / ^2^(го|/^1(т)г(т) ^т/^тОг^т') ^т'|г*) =
—О —О о о
* *
= а//в1(т)в2(т') ехр ( — V|т — т'|) ^т^т'.
оо
66.
СО СО
/ ^2го т(го) / ^(¿о | ехр { Лг(т)} | г*) = 1,
—О —О
где 0 < т < ;.
67.
СО
/ ^о т(го) / ^2г*(го| ехр <{ Л/г(т) <^т [> |г*) = 1.
—О
68.
СО
/ ^о т(го) / ^2г*(го| ехр <! Л/г(т) <^т !> |г*) = 1.
69.
СО СО
/ ^2гот(го) / ^2г*(го| ехр < Л И,е
/г(т) ^т
ехр
Л2(Т
2^2
70.
/ ^2гот(го) / ^2г*(го| ехр < Л 1т
/г(т) ^т
ехр
А2<т
2^
(^ — 1 + е—^) |.
71.
/ ^2гот(го) / ^2г*(го| ехр < Л И,е
/в(т)г(т) ^т
1
* *
ехр - А <Т I I (3(т)[3*(т) ехр( — и\т — т\) с1т с1т }.
оо
72.
/ ^2гот(го) / ^2г*(го| ехр < Л 1т
/Жт)г(т) ^т
о
* *
ехр- А2(7 J J 13{т)13*{т')ещ>{—р\т — т'\)с1тс1т' оо
73.
/ ^2гот(го) / ^2г*(го| ехр < И,е
ехН 7 (^о + ^1) + 7^ (¿'о
где ^о, - произвольные вещественные числа.
— ОО
— ОО
— ОО
— ОО
— ОО
— ОО
— оо
— оо
— оо
— оо
— 'ОС'
— 'ОС'
74.
/ й2гот(го) / й2г4(го| ехр < 1т
^о^о + + Л / г(т) йт
о
4
2v
2v2
где ^о, № - произвольные вещественные числа.
75.
СО
/ й2гот(го) / й2г*(го| ехр ^ И,е
Л2а
^о^о + + Л / в(т)г(т) йт
* *
ехр 1 7 М + ^¿) + -г- /ехр (-Иг - т'|) /3(т)/3*(т) ¿тйт +
оо
где ^о, ^ - произвольные вещественные числа..
76.
/ й2гот(го) / й2г*(го| ехр < 1т
^о^о + + Л / в(т)г(т) йт
!а ( 2 2) Л а
4 (/'о + ^) + —
* *
ехр (—V|т — т |) в(т)в*(т') йтйт' +
оо
+ ^/ {^'°е~иТ + ^'¿е-гУ*+гУТ) 11е[/5(т)] ¿т о
где ^о, ^ - произвольные вещественные числа.
77.
Ыг(т )г*(т )г(т'К (т'
ОО ОО
/ й2г / й2г'|гг'|2т (г,т; го, 0) т (г',т'; г, т) т (г*,;; г',т'),
—оо —ОО
где 0 < т < т < ;.
— 'ОС'
— 'ОС'
I
— 'ОС'
— 'ОС'
I
78.
/ й2г*(го|г(т)г*(т)г(т')г*(т')|г*)
(1 — &)'
а2 (1 — ?о1) + Фо^
+
+ 522
2а2 (1 — 5о1) + 4а|го|2?о1 (1 — 551) + |го|2?о1
где 0 < т < т' < до1 = ехр(—vт), д12 = ехр(—vт/ + vт).
79.
/ й2гот(го)(го|г(т)г*(т)г(т')г*(т')|г*) =
(1 — ЗУ
а2?2* +
+
+ 522
2Ф2 + 4Ф*Г52* (1 — ЗУ +
где 0 < т < т' < 51* = ехр[—V (т' — т)], 52* = ехр[—V (; — т')].
80.
СО СО
/ й2гот(го) / й2г*(го|г(т)г*(т)г(т')г*(т')|г*) =
—О —О
= а [1 + ехр(—V|т' — т|)], где 0 < т, т < ;.
81.
/ / |г(т)|2 йт / |г (т') |2 йт'|г*)
оо
//_2<( а2 ( Л2 + /4 - 2гД ) + (а|л0|2 - а2) (1 - 2иЬ - е_2гУ*) -
- [\°2~ ФоР + \ ко|4 ) (1 - 2е-2^ + в-4"*) }.
— ОО
— оо
82.
СО
/ й2го т(го)(го^ |г(т)|2 йт / |г(т')|2 йт'|г*) =
—О о о
^ { о1 ( + И-| + | в-«) +
+ (а|г*|2 — а2) (1 + V; — е—2^ — 3^ е—2^) +
+ (а2 - 2ф4|2 + ^ |^|4) (1 - е~2иЬ - 2/4 е-2^)
83.
СО СО * *
/ й2го т(го) / й2г*Ы/в1(т)|г(т)|2 йфв2(т/)|г(т')|2йт/|г*)
—О —О о о
= / йт / йт'в1(т)в2(т') [1 + ехр ( v|т — т'|)].
оо
84.
ОО ОО * *
/ й2го т(го) / й2г*Ы/|г(т)|2 йт / |г(т')|2 йт'|г*) =
—О —О о о
= - [о¡V)2 \2и212 + 2/4 — 1 + ехр (-2/4)].
85.
СО СО
/ й2го т(го) / й2г*(го| ехр {—Ло|го|2 — Л*|г*|2} |г*) =
—О —О
= {(1 + Лоа)(1 + Л*а) — ЛоЛ*а2е—2^}—1.
86.
/ I Г Л п ( \\2,1 \ I \ гexp[(v — г)(; — т)]
(~т ехр < -А/ г(т) 2йт > с*) = — -------------------— -----— X
I т ) ^ {1 — ехр[—г(; — т)]}2
х ехр —---------(|^| - |лт| )----------- гт ехр[ г- т)
у 2vа vа
87.
(го| ехр ( — Л / |г(т')|2йт' 1 |г*) =
СО ( t
ст^, ■ .....................|2
/ й2гтт (¿т,т; го, 0) (^| ехр — Л/ |г(т')|2 йт' 1}|г*)
— ОО
где 0 < т < ;.
2
88.
(го| ехр ^ —Л / |г(т)|2йт [> |г*)
г5 I . , г — V (| 12 , ,2) г л 2) — 1
ехр < /4 + — (|-*|2 — |-0|2)----------(1 — ?2) — 9-0|
пvа (1 — 52) [ 2vа vа
89.
ОО Г * ^1
/ й2го т(го)(го| ехр — Л/ |г(т)|2 йт ^ |г*)
—О о
2гд ( г2+-д2г2_ 21
ехр % /4 ----- ----■— г 1^1 }.
па (г+ + д2г_) [_ 2vа (г+ + д2г_)
90.
ОО Г * ^
/ й2г*(го| ехр — л} |г(т)|2 йт I |г*)
о
2 2 2
2гд ( (г2-//2)( 1-д2), |2
ехр /4 - —----- --- —-—-|с0|
*
2
г+ + д2г_ [ 2vа (г+ + д2г_)
91.
СО
/ й2го т(го) / й2г*(го| ехр <| — Л/ |г(т)|2 йт !> |г*) =
_О _О о
= 3(Л) =
= 4^ехр(^) [(г + V)2 ехр(г^) — (г — V)2 ехр(—г;)] 1.
92.
ОО Г * ^
/ й2го т(го)(го|го ехр — Л/ |г(т)|2 йт > |г*) =
_О о
4г2дехр(/4) Г г2 — д2г2
па (г+ + д2г_)2"*еХР I 2//а (г+ + 92г_)
+ ^ - |-г|2 па (г+ + д“Г-) I. ^г/а (г+ + <?2г_)
93.
ОО Г * ^
/ й2г*Ы^ехр — Л / |г(т)|2 йт I |г*)
_О о
4г2дехр(^) Г (г2 — V2) (1 — д2)
(г+ + (?2г_)2^ехр1 2//а (г++ д2г_) ^
2
— 'ОС'
94.
*
/V* гллггл J Л
¿о
/ й2го т(го)(го|го^о ехр < —Л/ |г(т)|2 йт ^ |г*)
о
4^аоехр(^) Г 2г2д2 . |2 .
п (г+ + д2г_)2 I vа (1 — 52) (г+ + д2г_)
х ехр /_________{Г'2 '/2/'2 ) "
" | 2//<т (г+ + д2г_)
95.
СО СО ( *
/ й2го т(го) / ^(¿офо ехр < — Л/ |г(т)|2йт [> |г*)
_О _О о
8гv 2а2д ехр(^)
, , 2 И 2 2 2 ^2 [(1“(?2) (Г+-Ф!) + 4гУ].
(г+ + д2г_) (г+ — д2г_)
96.
ОО Г * ^
/ й2г*Ыад* ехр < — Л / |г(т)|2йт I |г*) =
_О о
= ,4Г<г,‘ХР2('4.)3 К (1 - Я2) (г+ + Я2г-) + 2гУ|_-„|2] X (г+ + д2г_)
(г2 —
2vа (г+ + д2г_)
97.
СО СО ( * ^
/ й2гот(го) / й2г*(^о|г*г* ехр < — Л/|г(т)|2йт ^ |г*) =
_О _О о
_ 8гЛехр(,4, [(1_92)К_в2г,)+4г¥]
(г2 — V2)(1 — 52). ,2
х ехР ^ —о—7-------;—5—гЫ
(г+ + д2г_) (г+ — д2г_)2 +
98.
ОО ( * ^
/ й2го т(го)(го| (¿о^* + Ф) ехр <{ —Л / |г(т)|2 йт | |г*) =
8гУехр(/4) 2 ( г\-д2г2_ 2
-|с*| ехр N —---у-----------
па (г + + д2г_)2 I 2vа (г+ + д2г_)
— ОО
— ОО
99.
СО ( *
/ (гог* + ¿о*г*)ехИ —Л/|г(т)|2 йт !> Ы
о
8г2д2 ехр (/4) 2 [ (г2 - и2) (1 - д2) г
-|с0| ехр \ — ---- ---- —-—-|с0|
1 -1
(г + + 52г_)2 I 2vа (г+ + 52г_)
100.
ОО ОО ( *
/ й2гоЦго) / й2г*(го| (¿о^* + ¿о^ехр^ — Л/|г(т)|2йт|> |г*)
_О _О о
= 32г^2д2ае^ [(г + V)2 — (г — v)2e_2vt]_1.
101.
СО СО (
/ й2гот(го) / й2г*(го| ехр — Ло* (|¿о|2 + |г*|2) — Л/|г(т)|2йт !> |г*) =
_О _О о
= 4г^е^ [4Л0*^2а2(1 — д2) + 4Л0^а (г+ + д2г_) + (г+ — д2г_)]
102.
оо оо ( * 1
/ й2гот(го) / й2г*(го| ехр — Ло|¿о|2 — Л*|г*|2 — Л/|г(т)|2 йт I |г*) =
_О _О о
= 4г^е^ [4Л0Л^2а2 (1 — д2) + 2 (Ло + Л*) vа (г+ + д2г_) + г+ — д2г_]
103.
оо оо ( N Л
/ й2го Цго) / й22^т(¿о| ехр — Л £ |г(пт)|Н |*^т) =
_о _о I. п=0 )
_1
= рД (а+ — aN — (а_ — 5т)^ а_
где
5т = ехр( vт), р = 1 — дт2,
1
Д = л/ (1 + + Лар)2 — 4д2
а+ — (1 + д2 + Лар + Д) /2, а_ — (1 + дГ + Лар — Д) /2.
104.
/ й2го т(го) / й22^т+А(го| ехр\ — Л Е
N
п=0
г(пт) + г(пт + А)
|^^т+А)
где А - вещественное число.
/ й2го Ц^о) / й22^т(¿о| ехр <! —2Л (1 + е Е |г(пт)|2 !> |^т)
п=0
105.
/ аР^гфо) / оР-лгт+дЫ ехр<^ ^2
N
п=0
г(пт )г* (пт + А) +
+ г* (пт )г(пт + А)
/ оРло гфо) / (¿2^г(л0| ехр (1 + е гуА) Ё |л(?гг)|2 I |лМт) х
х / Логфо) / сг2^т(л0|ехр ] | (1 - е иА) Ё |~(пт)|2 \ \хМт),
N
Е
п=0
N
Е
п=0
где А - вещественное число.
106.
N
/ й2гот(го) / й22^т(¿01 ехр < — Л Е |г(пт) + в(пт)|2 > |^т)
п=0
рД
(а+ — д2)2 — (а_ — д2)2 а_
1
х
N N
х ехр ^ — Л Е |в(пт)|2 + Л2 Е Ф„Дга+1)_1
п=0 п=0
где
дт = ехр(—vт), р = 1 — д2, Д
а+
N
Е в(тт)дГ_п^т+1
■у/ (1 + д2 + Лар)2 - 4д
(а+ — дт2)2 а+ п — (а_ — дт2)2 п,
0 < п < (# + 1),
(1 + д2 + Лар + Д) /2, а_ = (1 + дт2 + Лар — Я) /2
2
— ОО
— ОО
— ОО
— ОО
— ОО
— ОО
— ОС
— 'ОС1
— 'ОС'
— 'ОС'
— 'ОС'
— 'ОС'
2
т=п
107.
СО со 1
/ Логфо) / о| —
— і'Ч''! -('Ч''! 1 У •
2п
|г(г )|2^г
N
ехр
— ехр(-гЛ^)£?(1 - Єг^) с&р,
где N - натуральное число.
108.
со со Ґ С
/ ^2г0 ^(¿о) / ^(¿0 ео^ А/ |г(т)|2 <іт [> |^)
— о —о I. 0
где
4//е^ (ріА + р2Б) (А2 + В2) '
Рі = Р‘2 =
V4 + 4А2^2а2 — V2
А = (а^С — 6і5 )ехр(р4) — (а2С + 62$ )ехр(—р4), В = (Ь1С + а15) ехр(р^) — (Ь1С — а15)ехр(—р4), (Рі + Ф — Ръ 61 = 2Р2 (Р1 + V), С =
а1
Й2
(Р1 — V)2 — Р2, 62 = 2Р2 (Р1 — V),
109.
/ ^2^о Ц^о) / ^(¿0 віп^ А/|г(т)|2 <іт [> |^)
—о —о 0
где
ЄОв(р2^),
вІп(р2^).
4//е^ (ріА - р2Б) (А2 + Б2) '
рі = р2 = у ^ (>/ї
А = (а1С — 615 )ехр(р1^) — (а2С + 62$ )ехр(—р1^),
В = (61С + а15) ехр(р^) — (61С — а15)ехр(—р4),
«1 = (Р1 + V)2 — р2, 61 = 2р2 (р1 + V), С = еов(р2^),
Й2 = (Р1 — V)2 — Р2, 62 = 2Р2 (Р1 — V), 5 = БІп(р2І).
V4 + 4А^2а2 — V2
С
110.
СО СО
/ й2го т(го) / й2г*(^о^ / |г(т)|2 йт } |г*) =
* _1
о
оо г
4^6^ Г 7---------Г------7---Г----7------Г------7-----г (1А.
0 (г + V)2 ехр(г£) — (г — V)2 ехр( — г£)
111.
о ап
Пусть функция С?(/7) целая, для которой разложение С(?/) = Е “г сходится
п=0 п-
всюду на С. Тогда
ОО ОО С *
/ й2гот(го) / й2г*(го|^ / |г(т)|2йт I |г*) =
_О _О о
о 2п
= (2п)_1 Ё (—1)гаа„ / ^(е^)ехр(тр) йр.
га=0 0
112.
со со Г * 1
/ й2гот(го) / й2г*(го| ехр — Л/|г(т)|2 йт > |гт) =
СО СО
= / йг„Цг„) / йг*(г„| ехр <{ — Л/ |г(т)|2 йт [> |г*),
_О _О
где 0 < и < £ < Т.
113.
/ й2гт т(гт )/ й2г*+т (¿о|С (¿т, ¿*+т) ехр — Л/ |г(т' )|2йт' > |г*+т)
— ОО
*+т
2
*
= / й2го Ц^о) / й2г* (¿о| С (¿о,<г*)ехр^ — Л/ |г (т') |2 йт' Иг*),
_О _О о
где С (¿о, ¿*) - произвольная локально интегрируемая функция.
114.
Пусть случайная величина Т является моментом времени достижения монотонно
*
возрастающей функцией П = J |г(т)|2 йт фиксированного положительного уровня А.
о
Тогда плотность распределения вероятностей рт (£) следующая:
ОО ОО
рт(£) = / й2го Ц^о) / й2г*(го| ^ (£ — П) |гт) =
—оо —ОО
— оо
— оо
— 'ОС'
— 'ОС'
— 'ОС'
[ ехр(гАЛ) р 1(р + у) ещ>(рь) + (р-1/) ехР(-^)1 ах, п У [(р + V)2 ехр(р£) — (р — V)2 ехр(—р£)]
— ОО
где
р = л/^2 + 2 гАглт.
115.
ОО
/ й2г0 эд(г0) / й2г*(г0| ехр <| — Л/ |г(т)|2 йт }> х
х С
/[г(т)в*(т) + г*(т)в(т)] йт
|г*)
^(Л)
п5 (;)
С(п)ехр(—п2/£*) йп,
где С(п) - произвольная локально интегрируемая функция,
5(¿) = а/ / в (т') О (т') йт' О 2(т) йт,
0 т
-О(т) = —ег'т [г+ехр (г+£ — г+т) + г_ ехр (—г_£ + г_т)]. 2г
116.
(¿о| ехр <{ —Л / |г(т) + в(т)|2 йт [> |г*)
—е1'* (ег* - е н) ^хр^-Л / |/3(т)|2с?т + ^ / |А(т)|2с?т + пvа 4 7 I .1 2 '
г — V
+ —— (|^|2 - Ы2) -
2vа
- -(1-е vа
где
_2г*)_1
г* — гое г* + vа / |А(т)|2 ехр(гт — г£) йт
А(т) = — 2Л / в (т') ехр (гт — гт') йт'.
о
— ОС1
1
—ОО
2
*
*
117.
(¿о| ехр <{ —Л/ |г(т) + р|2йт [> |г*)
пvа
(ег* - е г*) ехр<| — А|р|2£ + (|~*|2 — |^0|2) +
— 2ег* + е2г*) —
vа
1
- ~о<? 1 + ^ Хиацг 2 (2 - ег* - е г*)
где р - комплексное число.
118.
оо Г * 1
/ й2гои>(2о)Ы ехр — Л/ |г(т) + в(т)|2 йт I |г*)
_О о
2г 1
— ехр(/4) Г(г + //)ег* + (г — и)е~н] х па
* 1
х ехр^ -А/ |/3(т)|2с?т + \А{т)\2 с1т+
г — V. |2 г
+ 1^' -
(г + V) ехр(г£)
vа (г + V) ехр(г£) + (г — V) ехр(—г£)
|в(;)|2 ,
где
А(т) = — 2Л / в (т') ехр (гт' — гт) йт',
В(£) = г* + vа / А(т') ехр(гт' — г£) йт'.
о
119.
/ й2г*(го| ехр — Л/ |г(т) + в(т)|2 йт > |г*) =
2ге^* [(г + V)ег* + (г — ve г*] 1 ехр^ — Л/ |в(т)|2йт +
г
2
*
— ОО
+ 2иа (1 — е 2Н) [(г + и) + (г — и)е 2Н] А<Л)-----------------------------------(1 — е 2Н) В<А)
vа
где
А(т) = — 2Л /в(т')ехр(гт' — гт) йт',
В(£) = —г0 ехр(—г£) + vа / А(т') ехр(гт' — г£) йт'.
о
120.
со со Г *
/ й2го•Цго) / й2г*(го| ехр — Л/|г(т) + в(т)|2йт [> |г*)
о
* Л2 7уа /г
<5(Л) ехр^ —Л Г |/3(г)|2 + 7---------------------Г-- г- ------------------Г-- -г
' 0 (г + V)2 ехр(г£) — (г — V )2 ехр(—г£)
х
* *
х / йт / йт' [(г + V)егт + (г — v)e_rт] х
от
х [(г + v)e
^_г(*_т,) + (г — v)e-r(t-т,)] [в(т)в*(т') + в*(т)в(т')] \.
121.
Пусть случайная величина Т является временем достижения монотонно возраста-
*
ющей функцией П = J |г(т) + в(т)|2 йт фиксированного заданного положительного
о
уровня А. Тогда плотность распределения вероятностей рт (£) имеет следующий вид
СО СО
рт(;) = / й2го Ц^о) / й2г*(го| ^ (£ — П) |гт) =
2пг У йЛ | (р + v)2ept + (р — V)2е_р*
_О
где
р = у/и2 + ИХ ист,
ехр
— Л^ |в(т)|2 + 3(£)
о
Л^а
р [(р + V)2 ехр(р£) — (р — V)2 ехр(—р£)]
х
*
2
— ОО
*
* *
х / йт / йт' [(р + V)ерт + (р — v)e_pт] х
от
х [(р + v)e_p(t_т') + (р — v)e_p(t_т')] [в(т)в*(т') + в*(т)в(т')].
122.
СО СО ( * ^
/ й2го^(20)/ й2г*(го| ехр — Л/ |г(т)+ р|2 йт ^ |г*) =
2Л2vа/
3
<5(А)ехр<| -А|р|2; + ——------------ '------- —-|р|2х
(г + V )2 ехр(г;) — (г — V )2 ехр(—г;)
х [4^2 — 2v(г + v)err + 2v(г — v)e гт + г;(г + V)2ен — г;(г — V)2е г*] }, где р - комплексное число.
123.
СО со
/ й2го ^(го) / й2г*(го| ехр <{ — Л/ |г(т) — рго|2 йт [> |г*) =
2г ехр(/4)
*
(г + V) ехр(гт) + (г — V) ехр( —гт)
где
р - вещественное число, с, = ги-\{1 -е~шу1 - 1 + Ар2^ +
— (Л2v 2а2/г3)(е2г* — 4ег* + 3 + 2г;) +
2 ■ г — v
+
2„(1 - ехр(2г*)) Г(2А,11Т/Г) (е« _1)+ (1 _ «*.)->’*
(г + V) — (г — V) ехр(2г;)
Ь* = ег* + (Лра/г2) (2 — ег* — е_г*).
124.
СО СО ( *
/ й2го•Цго) / й2г*(го| ехр — Л/ |г(т) — рг*|2йт !> |г*)
2г ехр(/4)
(г + V) ехр(гт) + (г — V) ехр( —гт) где р - вещественное число,
*
— оо
— оо
— оо
— ОО
— ос
— 'ОС1
Г — V
Gt = \ц2а — (4Л//.СГ/г2) (ег* — 1) —
2v
— (Л2^2^2/г3) (е2г* — 4ег* + г£ + 3) +
г —I— V 1
Н-------гег* [(г + и)ен + (г — //)е“г*] [1 + (2А¡миа/г2) {ен — Н + 1)].
125.
со со ( I Л
/ ^¿0 Ц^) / ^¿(20 ехр — Л / |г(т) — ^.т^2 а!т ^ |^) =
—о —о I. 0 J
= 2гдС-1 ехр(^) [(г + V) + (г — v)q2],
где ^ - вещественное число
г+ 1
2^ + 3
С* = ^ ^ Л^3(7^3 - А2^2//(Т5 + (г///) (1 - <?2) 1 {д- \ц^а,]2г 2) -
^ ^ [2А//.СГГ 2 + г// 1 (1 — д2) 1д — Хц^а.]\г 5],
(г + V) + (г — v)q
2
Л = е2н — АНен — 1 + 2Н + 2г2£2 + - г3£3,
3
/2 = ег* — е-г* — 2г£.
126.
со со ( I
/ ^2^о ^(20)/ ^¿¿(¿о! ехр — Л/ |г(т) — ^.т^|2 а!т [> |^) =
—о —о 0
гд ехр(^)
= (1-д2)(Ж7-Б2)’ где ^ - вещественное число,
А = (2v) —1 (1 — е-^Т1 [(г + V) + (г — V )е-2г*
В = (г^)е-г* (1 — е-2г*) [1 + 2(Л^а/г3)/1е-г*],
С* = —\ц2(7 — 4 (А¡1,(7/г2") (ен — \ — г£)--------—
3 2 V
- ц2,1-2/(^г5) + - (1 - [1 + (2А^//а/г3)Ле-г*1,
V у '
= ег* — 1 — н — ^ А2,
2
,]2 = е2г* — 2(1 + г£)ег* + 1 + 2Н + А2 + ^ А3.
3
127.
ОО
/ ^2г0и>(г0) / ^2^(г0| ехр ^ — Л/к(т)|2 ^т — ц
0
/г(т) ^т
^(Л) [1 + Ц^л]
1
где ц - вещественное число,
Ял = (2^г-3) (г+ег* — г-е-^) 1 х
+4-
х [4v2 — 2vr+eí’¿ — 2vr-e-í’¿ + г£(г+е'" — г-е
2 ег* Г2 е-г*
128.
СО СО I ¿1 ¿1+^2
/ ^2^0 м(20) / ^^+¿2 (¿0 ехр< —Л1/ |^(т)|2 ^т — Л2 / |^(т)|2 ^т ¡> | ¿¿1 +¿2)
¿1
8^Р1Р2Р1Р2 ехр (//¿1 + /42) (Р1А1-В2 + Р2А-2В1)
где Р1 = Р2 =
А1 = В1 =
129.
^2 + 2Л1//СГ, р! = ехр ( р!^!) ,
^2 + 2\2рсг, р2 = ехр ( р2^2))
(V + Р1) + (V — Р1) р1, А2 = (V + Р2) + (V — Р2) Р2,
(Р1 + V) + (Р1 — V) р1, В2 = (Р2 + V) + (Р2 — V) Р^
¿1
/ ^2^0 ^(20)/ ^¿¿^+¿2 (¿0! ехр ^ — Л/ | ¿(т)|2 а!т —
0
¿1+Д ¿1+Д+¿2 |
— Л1 / Ит)|2 ^т + Л2 / Ит)|2 ^т >N^+¿2) =
¿1 ¿1+Д J
_ 8//Р1Р2РР1Р2 ехр (//¿1 + //А + /42)
Р1 (1 + V2) (Р1А1В2 + Р2А2В1) + (1 - р2) (Р1Р2ЛА2 - р2В1В2):
где
р = л/^2 + 2Хиа, р\ = у/и2 + 2А1/ат, р2 = у/и2 + 2\2 ^сг,
Р = ехр( рА), Р1 = ехр ( р 1 ^ 1), Р2 = ехр(—Р2^2),
А1 = (V + Р1) + (V — Р1) р2, А2 = (V + Р2) + (V — Р2) Р2,
В1 = (р1 + V) + (р1 — V) р1, В2 = (р2 + V) + (р2 — V) Р2.
2
— ОО
— ОО
130.
о о
= ф(А)(1 + Л1Л2 /) 1,
где £1, . . . , - набор комплексных чисел,
га=М
Л1 = А* Е | |2,
П=1
п=М т=М п=М
Л2 = А Е Е £пет — А Е |ега|2)
п= 1 т= 1 п= 1
р = л/^2 + 2Л1//<т,
3 = (4^2а/р3) [(р + V)2ер — (р — ^)2е-р*]-1 х х ^ — (р + v)epí — (р — v)e_pí + 2р2*е_рь].
га=М
Е е«^(тга)
П=1
131.
*+А
/ ^2^о^(¿о) / ^2^4+а(¿о| ехр< — А / |г(т) + ¿(т + А)ехр(гш^А) +
+ в(т) ехр(г^вт — т) + в(т + А)х
х ехр(г^вт — т + А)|2 ^т >|гь+А)
ехр<^ —А/ |В(т)|2 ^т
4рv ехр(^)
о | р+ ехр(р*) — р_ ехр(—р*)
х
X ехр < ~2
А2^2Я/р
ь ь
р+ ехр(р*) — р_ ехр(—р^)
^т / ^т' [В(т)В*(т') + В*(т)В(т')] х
оо
х [р+ ехр(рт) + р_ ехр(—рт)] [р+ ехр(р* — рт') + р_ ехр(—рт + рт')]
где А, - вещественные числа,
р = \/и2 + \vcrR, р+ = р + V, р_ = р — V, Я = 1 + ехр(—vА) еов^А),
В{т) = - [/5(г) + /5(г + А) ехр СЦ3Д)] ехр (-Ц3А - ги^Д).
2
— оо
— оо
132.
т
/ ¿2г0и>(г0) / ¿2гт (г0| ехр ^ —Л/
о
м
ш=1
¿т > |*т) =
— ^(Л7м),
где Д1,..., Дм - набор вещественных чисел, е1,..., £м — набор комплексных чисел,
Т — шах{Дь Д2,..., Дм},
мм
Зм — Е Е £ш£пехр(—^|Дш — Дп|).
ш=1п=1
133.
со со ( МА
/ ¿2^о ^(20)/ ¿2^маЫ ехр < —Л /
0
м
Е рше^шшАг(т + тД)
ш=1
¿т > |^ма)
— Ф(Л7а),
где р, ш, Д - вещественные числа,
мм
За — Е Е рш+ше^(ш-п)шА ехр(—^Д|т — п|).
ш=1п=1
134.
ОО со \ t
/ ¿2^0^(20)/ ¿2^+а(2ю| ехр < —Л/
-о -о 0
— ^(ЛЗа),
где Д - вещественное число,
А А
3А — / ¿т/ ¿г'в(т )в*(т + т' )ехр( —^|т — т' |).
00
135.
СО
/ ¿2^0^(20)/ ¿22^+аЫ ехр ^ —Л/
0
/ в(т')^(т + т') ¿т'
¿т > |2^+А)
/ в(т') ¿(т + т') ¿т'
¿т > |^+А) —
— ^(ЛЗа),
где Д - вещественное число,
А А
3А — / ¿т / ¿т'в(т)в*(т')ехр ( —V|т — т'|).
00
2
2
2
2
136.
оо оо { t ^
/ d2z0 w(z0) / d2zt(z0| exm ¿A/ Re [z(r)z*(t — т) + z*(t — r)z(r)] dr >|zt)
— о —о L 0 J
p+ exp(vt) p— exp(vt)
p+ cosh (p+t) + v sinh (p+t) p— cosh (p—t) + v sinh (p—t)
где
p+ = л/^2 + 2i\vcr, p_ = \Jv2 — 2i\vo.
137.
OO CO I t
/ C2Zow(zo^ d2zT+A(zo| exp< — A/[z(r)z*(r + A) +
—о —о 0
+ z* (r + A)z(r)] dr I |zt+A) =
= Q (H1 + exp(-//A)]) Q (I [1 - exp(—z/Д)]). где A - вещественное число.
138.
CO CO I t
/ d2z0w(z0) / d2zT+A(z0| exp< — А/Re
o
(z(r) + e(r ))x
dr >|zt+a)
t t t
x(z*(r + A) + e*(r + A))
= Q+(A)Q—(A)x
x exp< —A f [e(r )e*(r + A] — A2/ dr/ dr' [U+ (r, r') + U— (r, r')]
^ 0 0 0
где A - вещественное число,
Q+(A) = 4vp+ exp(vt) [(p+ + v)2 exp(p+t) — (p+ — v)2 exp(—p+t)] Q—(A) = 4vp— exp(vt) [(p— + v)2 exp(p—t) — (p— — v)2 exp(—p—t)j p+ = \Jv2 + 2Az/cri?+, i?+ = ^ [1 + exp(-//A)],
p_ = \Jv2 + 2\v(jR-, R- = - [1 — exp(—uA)],
-i
а+ = ^[13(т) +/3(т + А)], а_ = ^ \/3(т) - р(т + А)],
и+(т, т') = (2v^R+/p+) [(Р+ + v)2 exp (p+i) - (p+ - v)2 exp (-p+i)] 1 х х [(p+ + v) exp (p+t - p+т') + (p+ - v) exp (-p+t + p+т')] х х [(p+ + v) exp (p+T) + (p+ - v) exp (p+т)] [а+(т)а+(т') + а+(т)а+(т'^ > Ц_(т, т') = (2vaR_/p_) [(p_ + v)2 exp (p-t) - (p- - v)2 exp (-p_t)] 1 х х [(p_ + v) exp (p_t - p_t') + (p_ - v) exp (-p_t + p_t')] х
х [(p_ + v) exp (p_T) + (p_ - v) exp (p_т)] [а_(т)а_(т') + а_(т)а_(т')].
139.
т
^ T^(t) I z(t) 12
— оо
/ d2z0 w(z0) / d2zT(z0| exp |-A J e(t) |z(t)|2 dt j |zT) =
2v (r0 + rT) exp(vT)
(ro + v) (rT + v) exp (R0,T) - (ro - v) (rT - v) exp (-R0,T) ’
где e(t) - произвольная неотрицательная функция,
_______________ ______________ т _______________
r0 = \Jv2 + 2А<т//б(0), rT = a/v2 + 2Aaue(T), R0T = f \J v2 + 2\aue(t) dt.
00
140.
со co T ^
/ d2z0 w(z0) / d2zT (z0| exp < - A/e(t) |z(t) + в (t) |2 dt > |zT) =
_о _о 0
2v (r0 + rT) exp(vT)
(r0 + i/) (rT + i/) exp (i?0 T) - (r0 - i/) (rT - v) exp (~R0iT)
x
T
х exm - f e(t) |в(t)|2 dt +
0
т t
+ 2A2va /dt JdT6(t)e(T)r_1 (т) chRTt Re[e(t)e*(T)] + 00
+ 2A2va
(vro + vrT) chRo,T + (rorT + v2) shRo,T
1
T T
1
х Jd^dTe(t)e(T)r 1 (т) Re [e(t)e*(T)] }х 00
X
го еЬЯо,* + V
где е(£) - произвольная неотрицательная функция,
го = \///2 + 2Ла//б(0), гт = \///2 + 2 Хаие(Т), г* = г (Ь) = л/ V2 + 2А иае(Ь),
Дт 4 = / \/ //2 + 2Ааие(1г) №.
т
141.
СО Г ^ 1 Г ^ ^
/ ^2г„(^о| ехр -А]^(¿(т)) а!т ^ |г„)(г„| ехр -А]^(¿(т)) а!т ^ |^) =
— ОО
= (¿о| ехр |-А / V(¿(т)) <^т| |г).
142.
со со ( / Л
/ ^2^о ^(¿о) / ^2^+д (¿о| ^ -А/ V(¿(т)) <^т I |^+д) =
— О —О I. и J
СО СО Г ^ ^
= / ^2г„•Цг«) / (¿о| ^ -А/ V(¿(т)) <^т I |^),
— О —О I. и J
где 0 < и < £ < (£ + А), С(п) - произвольная локально интегрируемая функция.
143.
(¿т| ехр |-А / V(¿(т')) <^т'| |г*) = Ф(^,£; ¿т,т),
где функция Ф = Ф(г4,£; ¿т, т) является решением уравнения
д д д д2
_Ф = „_(;Ф)+„_(.-•*)+ 2и7_Ф-А^)*
с начальным условием Ф (¿¿, т; ¿т, т) = £(2)(^ - ¿т).
144.
(¿о| ехр{-А /V(¿(т)) ^т! |^) =
о
{т=М+1 (т+1)Д
-А Е I V(^(т)) ^т} ^
т=о тД
где А = £/М.
Литература
1. Мазманишвили А.С. Некоторые континуальные интегралы от гауссовых форм / Препринт ХФТИ. Харьков, 1985, № 85-18. - 45 с.
2. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач / А.С. Мазманишвили. - К.: Наукова думка, 1987. - 224 с.
3. Петров В.А. Интегралы по гауссовым мерам от специальных функционалов. Мера Винера. Условная мер Винера / Препринт АН БССР, Институт математики. Минск, 1986, № 28. - 34 с.
4. Петров В.А. Интегралы по гауссовым от специальных функционалов. Меры с корреляционными функциями вида /i(min(t, s)), /2(max(t, s)) / Препринт АН БССР, Институт математики. Минск, 1987, № 29. - 47 с.
5. Петров В.А. Интегралы по гауссовым от специальных функционалов. Квадратичный функционал общего вида в показателе экспоненты / Препринт АН БССР, Институт математики. Минск, 1987, № 23. - 36 с.
6. Петров В.А. Интегралы по гауссовым с корреляционными функциями вида
p(min(t, s)), q(max(t, s)) от экспоненты с квадратичным функционалом общего вида в показателе. Производные Радона-Никодима / Препринт АН БССР, Институт математики. Минск, 1987, № 22. - 24 с.
TABLE OF PATH INTEGRALS DEFINED ON STOCHASTIC COMPLEX-VALUED ORNSTEIN-UHLENBECK PROCESS A.S. Mazmanishvili
Sumy State University,
Rimsky-Korsakov St., 2, Sumy, Ukraine, e-mail:[email protected]
Abstract. The work represents the table of more than 140 path integrals defined on the stochastic complex-valued scalar Ornstein-Uhlenbeck process. They are integrals of corresponding Gaussian forms. This fact permits to reduce them to analytical form of path integrals which are contain the average on trajectories of the normal Markov complex-valued Ornshtein-Uhlenbeck process. Formulas obtained may be useful in the solving of various applied statistical problems.
Key words: integrals on trajectories, random Ornshtein-Uhlenbeck process, gaussian forms.
