Локальная предельная теорема для распределения Манделя Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е2Л Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 41 УДК 519.213.5 + 519.217.4

Аннотация. Изучается распределение вероятностей Манделя квантовой оптики в случае одномодового циклически поляризованного стохастического излучения. Для этого распределения вероятностей доказана локальная предельная теорема при неограниченном росте времени регистрации Т.

Ключевые слова: распределение Манделя, локальная предельная теорема, процесс Орн-штейна-Уленбека.

1. Введение. Изучается распределение вероятностей для случайного числа фотоотсчётов при фотодетектировании оптического поля малой интенсивности. Особенностью такого физического процесса является то, что электромагнитного поле регистрируется отдельными порциями, состоящими из групп фотонов, и чем ниже интенсивность излучения, и чем больше разрешающая способность квантового счётчика, тем более вероятна регистрация отдельных фотонов. Число фотоотсчётов в течение времени регистрации Т, с необходимостью, является случайным. Эта случайность является следствием двух причин. Первая из них - квантовая природа регистрируемого электромагнитного излучения, вторая связана с тем, что поле может иметь помимо регулярной (сигнальной) составляющей, также и стохастическую (шумовую). Если регистрируемое электромагнитное поле содержит стохастическую составляющую, то его квантовое состояние является статистически смешанным и описывается матрицей плотности. Распределение вероятностей Рт (п) для числа фотоотсчётов получается посредством некоторой специальной процедуры усреднения диагонали этой матрицы плотности в представлении чисел заполнения фотонов [1]. Мы будем изучать, с чисто математической точки зрения, модель квантового счётчика фотонов одномодового циклически поляризованного полностью стохастического (без сигнальной составляющей) электромагнитного излучения. Нашей целью является асимптотика распределения вероятностей Рт(п) для больших значений времени регистрации Т.

2. Распределение Манделя. Известно (см., например, [1],[2],[3]), что случайное число П фотоотсчётов квантового низкоинтенсивного оптического излучения имеет в качестве своего распределения вероятностей Рт(п) т.н. составное распределение Пуассона, называемое в квантовой оптике распределением Манделя,

ЛОКАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАНДЕЛЯ Ю.П. Вирченко, Н.Н. Витохина

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail:virch@bsu.edu.ru

Одномодовый циклически поляризованный электромагнитный шум описывается комплекснозначным случайным процессом Орнштейна-Уленбека с траекториями ф (¿) = Х(£) + гу (¿), £ € К, у которых Х(£), £ € К и у(£), £ € К являются траекториями стохастически эквивалентных и независимых процессов Орнштейна-Уленбека, моделирующих, с физической точки зрения, соответственно, электрическую и магнитную составляющие шумового поля.

Каждый из стационарных процессов (£(£); £ € К), (у (¿); £ € К) определяется посредством одинаковых (ввиду стохастической эквивалентности этих процессов) стохастических дифференциальных уравнений

V > 0, где <фх(£), фу(¿) - стохастически независимые и эквивалентные «белые шумы» с одной и той же интенсивностью а > 0, (^х(£)^х(£;)) = аё(Ь — ¿;), (<^у(¿)<£у(¿0) = а£(£ — ¿;).

Таким образом, фиксация значений двух параметров V > 0 и а > 0 полностью определяет распределения вероятностей этих двух случайных процессов и, поэтому, полностью определяет распределения вероятностей случайных величин Зт[X], Зт[у]. Принимая во внимание независимость и эквивалентность процессов (£(£); I € К), (у(£); £ € К), можно утверждать независимость и эквивалентность случайных величин Зт[X], Зт[у]. Это влечёт выполнение равенств

что, наряду с результатом А.Зигерта (см., например, [2],[3]) приводит к формуле

ной формулы (4) позволяет применять для исследования свойств довольно сложного, задаваемого неявно распределения Манделя Рт (п), посредством формулы (1), методы функций комплексного переменного, как для качественных рассуждений, так и для прямых вычислений.

Здесь .1 (Т) - случайная величина, представляющая собой поглощённую за время регистрации Т энергию электромагнитного поля. Она определяется формулой

т

(2)

о

Х(і) + иХ(і) = фх(і), у (і) + иу (і) = фу (і),

Ят[А; ф = Ят[А; х]Ят[А; у] = (^т[А; X])2 ,

(3)

связывающих производящие функции

Ят[А; 5] = Е ехр (—А^[5]) , Ят[А; X] = Еехр(—А^[X]) ,

Ят[А;ф]

4ги ехр(иТ)

(4)

(г + V)2 ехр(гТ) — (г — и)2 ехр(-гТ) ’

где г = у/и'2 + 2Асг. Свойство мероморфности функции <5т[А; 5] и наличие для неё яв-

3. Локальная предельная теорема. Пусть Т(й) - характеристическая функция распределения Манделя

ГО

( 5 ) = е""“РГ{ П = П |

п=0

Тогда, очевидно, что имеет место Лемма 1. Имеет место формула

Т(5) = Х^ е^Ш = п} . (5)

Т(в) = Ят[1 — е*; ф]. (6)

□ Согласно определению, имеем

^ еівп / \ п / \ / \

Т(») = (Лт>) «р (-АТ)) = Еехр (,7(е” - 1)) = Ят[1 - е”;5]

П!

п=0

Перестановочность суммирования и вычисления математического ожидания следует из равномерной по т € N оценки

т е*^п

П!

п=0

т

<Е^(і<г)Гехр<_і<г))<1

п=0

которая показывает, что применима теорема Фату для интеграла Лебега (обозначаемого посредством оператора Е) по вероятностной и, следовательно, конечной мере от последовательности функций

т

< £(/(Т))п ехр(—/(Т)) ; т Є N ).

п=0

Применение этой теоремы как раз и обосновывает перестановочность суммирования по п и оператора Е. ■

Следствие 1. Средние значения ЕП и Е/(Т) совпадают.

□ Так как

к = —г (¿0т[1 - е“;:-]) , Е./(Г) = - (д <Зт[А; 5]

то утверждение следует из равенства при А = 1 — е“,

Следствие 2. Справедлива формула

En = TE\z(s)\2 = — = 0. (7)

v

□ Используя формулу (4), вычислим производную

Согласно определению комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека, имеем

E|z (t)|2 = E(X(t))2 + E(y (t))2 =

ГО ГО

^j f x2 exp (—/лг2/<т) dx + ^j f y2 exp {—uy2/a)dx= —

Таким образом, среднее En полностью определяется одним физически естественным безразмерным параметром 0 = aT/v.

Покажем, что локальное поведение распределения вероятностей Манделя при 0 ^ то является следствием эргодичности процесса Орнштейна-Уленбека.

Теорема 1. Для распределения Манделя Pt (n) при 0 ^ то имеет место асимптотическая формула

0n

Рт(п) = — ехр(-0) (1 +о(1)) . (8)

n!

□ Для эргодического процесса (z (t); t Е R), с вероятностью 1, имеет место предельное соотношение

т

Tlim 4 [ \5(t)\2dt = E\z(t)\2.

T^<x T J 0

Используя Следствие 2 предыдущей леммы, отсюда получаем

т

Tlim 4 f \z(t)\2dt = (9)

тT j v

0

По той же причине, при любом n Е N справедливо, с той же вероятностью, предельное соотношение

т

n

йЦт I 15^|2(Й) = (Е15^)|2),г = (“) • (10)

Формулу (10) запишем в виде

Шп (Т-'./(D) = £) . (11)

— го

— Го'

n

На основе полученных предельных соотношений распределение Манделя записывается как

0n

Рт(п) = —гЕ(1 + jT)raexp(-0(l + jT)) , (12)

n!

где случайная величина jx с вероятностью 1 стремится к нулю (становится неслучайной) при T ^ то. Последнее означает, что функция распределения Pr{jT < x} стремится к функции Хевисайда 0(x) при T ^ то. Формулу (12) представим в форме

0n

Рт(п) = -уехр (-0) Е(1 + jT)nexp(-(aT/u)jT)) = n!

0n г

= — exp (—0) (1 + х)п exp (—Ox) dPr{jT < •

—ю

Переходя в интеграле последнего выражения к пределу T ^ то и используя теорему Хелли, получим

(1 + x)n exp (—0x) dPr{jT < x} ^ / (1 + x)n exp (—0x) d0(x) = 1.

Следовательно, имеет место формула (8). I Обозначив пуассоновское распределение

Рт\п) = —гехР(—©) 1 (13)

n!

из доказанной теоремы заключаем

Следствие. PT(n)/P(\n) ^ 1 при T ^ то.

Литература

1. Mandel L. Progress in Optics, Vol.2 / ed. E.Wolf. - Amsterdam: North-Holland, 1963. -180p.

2. Lax M. Fluctuation and Coherence Phenomena in Classical and Quantum Physics / M. Lax. - New York: Gordon & Breach, 1968.

(пер. на рус. яз.: Лэкс М. Флуктуации и когерентные явления / М. Лэкс. - М.: Мир, 1974.- 300c.)

3. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач / А.С. Мазманишвили. - Киев: Наукова думка, 1987. - 224с.

— 'ОС'

— оо

LOCAL LIMIT THEOREM OF MANDEL’s DISTRIBUTION Yu.P. Virchenko, N.N. Vitokhina

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:virchObsu.edu.ru

Abstract. The Mandel probability distribution used in quantum optics is studied in the case of one-mode circled polarized stochastic optic irradiation. The local limit theorem is proved for the distribution when the registration time T is increased unboundedly.

Key words: Mandel’s distribution, local limit theorem, Ornstein-Uhlenbeck’s process.