CC BY
111
УДК 621.396
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЗНАЧЕНИЙ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА ОТ ТРАЕКТОРИЙ ПРОЦЕССА ОРНШТЕЙНА-УЛЕНБЕКА
Ю.П. Вирченко,1) А.С. Мазманишвили2)
1) Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, г. Белгород, 308015, Россия, e-mail: virchObsu.edu.ru 2) Сумской государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2 , г. Сумы,40007, Украина, e-mail: mazmanishvili@gmail.com
Изучается задача вычисления плотности р(е) распределения вероятностей случайных значений квадратичного функционала от траекторий многомерного случайного процесса Орнштейна-Уленбека в Cd. Получено представление этой плотности распределения в виде разложения по экспоненциальным функциям exp(-Anе), n € N, где (An; n € N} - спектр собственных значений корреляционного оператора этого процесса. Оно генерируется представлением плотности р(е) в виде бесконечной последовательности свёрток экспоненциальных распределений.
Ключевые слова: процесс Орнштейна-Уленбека, корреляционный оператор, квадратичный функционал, разложение Адамара, экспоненциальное разложение.
1. Введение
Рассмотрим следующую задачу. Пусть векторный процесс Орнштейна-Уленбека определяется стохастическим дифференциальным уравнением
dz(t) = Az(t)dt + dw(t) , (1)
где процесс ^(^; t € К) принимает значения в Сй; А — диссипативная d х d матрица; w(t)
— d-мерный комплекснозначный винеровский процесс с вещественной и симметричной ковариационной d х d-матрицей Б, т.е.
^(^ ® w(t)) = Б min(t,t/) . (2)
Пусть, кроме того, задан положительно определенный квадратичный функционал
т
,1т^} = J(z(t),Vz(t))dt, (3)
о
где V — заданная самосопряженная, неотрицательная d х d-матрица; V + = V (здесь
и ниже знак + означает эрмитовское сопряжение); Т — действительный положительный параметр, (•, •) - скалярное произведение в Сй.
Введём в рассмотрение распределение вероятностей случайных значений функционала
Р(е) = Pr{z(t) : <7тЩ < е} (4)
от траекторий г(£), которое зависит от Т и матриц А, Б, V. Это распределение, очевидным образом, обладает плотностью р(е). Настоящая работа посвящена изучению плотности р(е), а именно, получению представления этой плотности в виде следующего разложения
(Ат > 0; т £ М) - неограниченно возрастающая, неубывающая последовательность, (ат £ К; т £ М) с Й1 > 0. Это разложение сходится при любом положительном е, причём оно сходится равномерно на полуоси [8, то) при 8 > 0.
Уточним смысл математических объектов, определяющих постановку задачи. Символом (.) ниже мы обозначаем математическое ожидание по вероятностной мере случайного процесса (г(£); £ £ К).
Комплекснозначный гауссовский процесс (г (£); £ £ К) как функционал вида г (£) = х(£) + гу(£) от траекторий пары гауссовских процессов ((х(£); £ £ К), (у(£); £ £ К)), если для любой непрерывной, финитной комплекснозначной вектор-функции 'у(з), 5 £ К выполняется соотношение (все интегрирования, в которых не указаны пределы, выполняются по
где суммирование выполняется по всем элементам Р группы перестановок Рп набора
ГО
т=1
к)
ехр< І Ке / ("у(з), (^(з))) ^5
/
где комплекснозначная матриц-функция
С(м') = ^(ф) - (~(з))) О (-V) - (-V)))} , 1,1'£ Ж
значениями которой являются комплексные й х ^-матрицы.
Отметим, что С+(£,£;) = С(£;,£) при £,£; £ К и, следовательно, интеграл
/
^5 / ("У(з), С(в, 5/)^(в/))^5/
/
веществен и неотрицателен.
Для комплекснозначных гауссовских процессов математические ожидания
А(іі,...,іп; ІЬ...,С) = = ((^(іі) - (г(іі))) 0 ... 0 (г(іп) - (^(іга))) 0
0 (**&) - (г*(і'і))) 0 ... 0 (**(С) - (**(С)))).
отличны от нуля, только если п = П, и при этом справедливо правило Вика [2]
П
А(іі,...,і„; іі,...,і/га/) = ^П2С(^'^) ,
РЄРп і = і
{1,...,п}.
Комплекснозначным винеровским процессом (эд(£); £ £ [£0, то)) будем называть
комплекснозначный гауссовский процесс, для траекторий эд(£) которого случайные процессы (х(£) = Кеэд(£); £ £ [£0, то)) и (у(£) = 1тэд(£); £ £ [£0, то)) - стохастически эквивалентные и независимые й-мерные винеровские процессы, начинающиеся в х(0) = у(0) = 0 и обладающие общей для них ковариационной й х й-матрицей Б = Б+, (х(£) ® ж(£;)) =
(у(£) О у(^0) — 9^ ^ ) • Эти свойства процессов Ь £ [^0)то>)) и (у(^); £ £ [£о)то>))
являются необходимыми для гауссовости процесса (эд(£); £ £ [£0, то)).
Мера стационарного процесса (г(£); £ £ К) получается из меры случайного процесса (г(£); £ £ [£0, то)) - решения стохастического уравнения (1) с начальным условием г(£0) = г0 £ С предельным переходом £0 ^ -то. Эта мера не зависит от выбора начального значения г;.
Замечание 1 Распределение вероятностей для вещественного случайного процесса (х(£); £ £ К) Орнштейна-Уленбека в пространстве Кй, определяемого уравнением
и вещественными матрицами А, Б, V (А - гурвицева, а Б, V - симметричны), нельзя получить из распределения вероятностей комплекснозначного процесса посредством стремления к нулю статистических характеристик процесса (Ішг(і); і Є К), что, заведомо, бессмысленно, так как процессы (х(і); і Є К), (у(і); і Є К) связаны условием совпадения их статистических характеристик.
Однако, вещественный процесс (х(і); і Є К) можно комплексифицировать, вводя ком-пекснозначный функционал г(і) = х(і) + іу(і), где процесс (у(і); і Є К), стохастически эквивалентный процессу (х(і); і Є К) и стохастически независимый от него. Тогда имеется очевидная связь между характеристической функцией ф(іА; г) случайной величины (4) и характеристической функцией <5(іА; х) соответствующей вещественной случайной величины (точное определение см.(15)), а именно,
поскольку, в отличие от дифференциала Ито, он более отвечает физической ситуации [4,5], описываемой конструкцией (1-4).
Замечание 3 Ниже, при вычислении характеристической функции
неотрицательность матрицы V не используется. Требование неотрицательности этой матрицы продиктовано соображениями значимости этого случая для приложений.
Замечание 4 Так как траектории винеровского процесса непрерывны с вероятностью единица [6], то траектории процесса (г(£); £ £ К) также непрерывны с той же вероятностью, поэтому интеграл в определении (3) можно понимать как обычный интеграл Римана. Действительно, уравнение (1) эквивалентно интегральному уравнению
^х(і) = Ах (і) гіі + ^и>(і)
^(іА,г) = ^2(іА,ж), А Є К.
(5)
Замечание 2 Стохастический дифференциал в (1) мы понимаем по Стратоновичу [3],
ф(іА, г) = (ехр(-іА7т[г])), А Є К,
которое имеет единственное решение в [С(0,Т)]2Й, в чем можно убедиться последовательными итерациями.
2. Предельная плотность стационарного процесса Орнштейна—Уленбека
Рассмотрим условную плотность р(г,г0; £) распределения вероятностей перехода из точки г(£0) = г0 в точку г(£) = г:
р^^0',1)= [(27г)<гdet_D(^)] ^хр^^^ - еА^0) , -С>_1(£) (с - | , (7)
£
Б(£) = J ехр(Ав)Б ехр(А+в)^в. (8)
0
Такое представление для плотности р(г, г0; £) предполагает, что ёе1 Б(£) = 0.
Лемма Если для некоторого £ > 0 имеет место ёе1 Б(£) = 0, то существует нетривиальное подпространство Н С кег Б, инвариантное относительно А+, и обратно, если такое подпространство существует, то для всех £ > 0 выполняется ёе1 Б(£) = 0.
□ Если ёе1 Б(£) = 0, то существует вектор г такой, что
£
(г,Б(£)г) = J (ехр(А+в)г,Б ехр(А+в)г)^в = 0 .
0
Поскольку Б > 0 и, следовательно, ехр(Ав)Б ехр(А+в) > 0, (ехр(А+в)г,Б ехр(А+в)г) = 0. Это означает, что ехр(А+в)г = 0 при почти всех в £ [0,£], а так как эта вектор-функция непрерывна по в, то равенство нулю имеет место при всех в £ [0,£]. В частности, при в = 0, Бг = 0, г € кег Б, а также для любого натурального п, Б(А+)пг = 0, (А+)пг € кег Б. Тогда минимальное подпространство Н С кег Б, натянутое на (А+)пг, п £ N инвариантно относительно А+. Доказательство второй части леммы очевидно. I
Наличие подпространства Н £ кег Б, инвариантного относительно А+, означает, что существует неособенная матрица Ш, действием которой в С можно представить уравнение (1) в виде двух несвязанных уравнений такого же типа во взаимно ортогональных пространствах Н и Н. При этом уравнение в Н уже не будет стохастическим. Таким образом, наличие подпространства Н не изменяет наших дальнейших построений, так как его с помощью матрицы Ш можно исключить из рассмотрения. Однако такая процедура приводит к излишнему усложнению всех последующих построений. Конечный результат, как это будет видно ниже, не зависит от Ш .В связи с этим, далее будем пользоваться следующей регуляризацией задачи. Она состоит в таком изменении матриц А и Б, которая обеспечивает отличие от нуля ёе1 Б(£). В конце же вычислений, необходимо вернуться к первоначальным значениям этих матриц.
Утверждение 1 Плотность распределения вероятностей (ПРВ)
(27г)-<г(с1е1 М)-<гехр| — -((с — Ь^), М_1(л — Ьс;))1 (9)
непрерывно зависит от матриц Ь и М и имеет слабый предел при ёе1 М ^ 0.
□ Доказательству подлежит только вторая часть утверждения. Если М ^ М0, ёе1 М0 = 0 и Н = кег М0, то, в смысле вычисления математического ожидания любой непрерывной функции f (г) случайной величины г, плотность (9) стремится к
(2п)-й+а™н^ Мэ)-1^ (Рн(г - Ьг')) х
х ехр^ — -(Рн^ — Ь^),М01Рн^ — Ь^))>^, (10)
где Рн - проектор на Н и М0 - сужение оператора М0 на Н, $(•) - обобщённая функция Дирака. ■
Дадим теперь ответ на вопрос, поставленный в начале раздела. Для этого рассмотрим ПРВ (7) в регуляризованном случае, когда ёе1 Б(£) = 0.
Утверждение 2 Для существования предела р(г, г'; £) при £ ^ то необходимо и достаточно, чтобы матрица А+ была диссипативной. Это означает, что в жордановом каноническом представлении оператора А диагональные элементы имеют отрицательную реальную часть.
□ Необходимо, чтобы существовал Ишехр(А+£) г, £ ^ то, для всех векторов г. Из представления Данфорда [7] А+ = В + N, [В, М] = 0, где В - оператор скалярного типа, N - нильпотентный оператор, немедленно следует, что
ехр(А+£) = ехр(В£) • Р(£) ,
где Р(£) - полином от £. В связи с этим, собственные числа ^, г =1 ^ d матрицы В должны иметь отрицательную реальную часть. Кроме того, из Ке ^ < 0, г =1 ^ d следует существование предела Иш Б(£).
t^■<Ж
3. Корреляционная функция процесса (г(£); £ € К)
Заметим, что построенный в предыдущем разделе стационарный процесс - гауссовский, так как он является пределом при £ ^ —то последовательности гауссовских процессов (г(£,£0); £ € [£0, то]), определенных уравнением (1) и фиксированным начальным условием г(£0) = которое статистически не зависит от эд(£). Гауссовость процессов из этой последовательности устанавливается вычислением характеристического функционала
С[^(£)] = ^|г Ке^^в), г(в)) dв|^ , (11)
£о
где •и(в) - произвольная финитная непрерывная функция на в € [£0, £] со значениями в Сй. Подстановка в (11) решения уравнения (1) даёт
С[(и(£)] = ехр|г J (ехр[(в — £0)А]^(в), г(£0)) dвj>G',
£о
а математическое ожидание С' имеет вид
гг 2
1 л л . 2
С" = ехр|-- ^2 (ф)^
, а го
dв'
г г
= ехр|-^ J сЬ 1 J(v(s1),g(s1,s2)v(s2))ds2^ , (12)
го го
при этом матричное ядро ^(в1, в2) определяется формулой
г
^(в1, в2) = J ехр[А(в1 — в')] ехр[А+(в2 — в')^в'.
Ш1п(^1,^2)
Гауссовость (г(£,£0); £ € [£0, то)) непосредственно видна из (12).
Найдем теперь корреляционную функцию Кав(£,£') = (га(£)гв(£')), которая, вследствие гауссовости процесса (г (£); £ € К), полностью его определяет.
Утверждение 3 Корреляционная функция Кав(£,£') определяется формулой
Кав(М') = 0(£ — £') (еА(г-г,)К + ^' — £) (КеА+(г'-гЛ , (13)
V / ав V / ав
где а, в = 1 ^ d; 0(£) - функция Хевисайда; матрица К удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова
АК + КА+ = —Б. (14)
□ Согласно определению, дифференциал Стратоновича
^а(г) с1и>*3(1)) = у/3сЫ.
Поэтому независящая от £ (в силу стационарности процесса (га(в); в € К)) матрица Кав(£,£) = Кав может быть вычислена на основе уравнения (1)
(га(£)(Аг(г))в d^) + ((Аг(£))агв(£) dt) +
= (га(£) dwв(£)) + ^'Юа(£) ^(£)) =
= (га(£) dzв(£)) + ^а(£) 4 (£)) = 0,
что эквивалентно уравнению (14). Наконец, усредняя уравнение (1), умноженное на г*(£'), получаем (при £ > £')
d
—ка/з(ь,г') = Аа1к1/3(г,г'),
так как при £ > £' благодаря статистической независимости ^иа^)^(£')) = 0. Отсюда следует часть утверждения (3) при £ > £'. Случай £ < £' рассматривается аналогично. ■
Замечание 5 Ввиду диссипативности матрицы А, уравнение (14) имеет единственное решение, так как в этом случае из него вытекает следующее интегральное представление для матрицы К
СО
К = J ехр(А£)Д ехр(А+£)Л£, о
которое показывает, что К + = К, и поскольку К является пределом при £ ^ то монотонно возрастающей матричной функции Д(£) (см. (8)), то ёе1 К = 0.
4. Производящая функция ф(Л, г) функционала </т[г]
Целью настоящего раздела будет вычисление следующего математического ожидания
ф(Л,г) = ( ехр (—Л7тИ) ) . (15)
Вычисление производящей функции ф(Л, г) осуществим, методом Карунена-Лоэва [6,8], который основан на следующем утверждении.
Теорема (Карунен-Лоэв)
Пусть (г(£); £ € К) — стационарный гауссовский процесс со значениями в С и Кад (£, £),
а, в =1 ^ Л, £, £ € К суть его корреляционная функция; еп(£) — неслучайные собственные вектор-функции интегрального оператора с матриц-ядром Кад (£, £) и Лп - соответствующие им собственные числа;
т
еп(£) = Лп J К(£,£) еп(£)Л£, п € N . (16)
о
Тогда для случайных траекторий г(£) процесса (г(£); £ € К) справедливо сходящееся с вероятностью единица разложение Фурье
О
г(£) = ^ ^пвп(£) , £ € К , (17)
п=1
где случайные коэффициенты гп - комплексные статистически независимые величины такие, что каждая из них имеет плотность распределения вероятностей
Рп(~п) = ехр (-Л„|с„|2/2) , »6М. (18)
Сформулированное утверждение справедливо тогда, когда отсутствуют нулевые собственные функции ет(£), для которых
т
J К(£,£) ет(£) = 0 ,
о
так как в противном случае необходимо положить Лт = то и рт(гт) = $(гт). Можно показать, что для ядра (13) указанное условие сводится к требованию отсутствия нетривиального подпространства Н С кег Д Н = туА+, либо, что эквивалентно, кег К = 0.
Последнее условие в дальнейшем будем предполагать выполненным. В противном случае, всегда можно добиться его выполнимости посредством регуляризации распределения вероятностей случайного процесса (г(£); £ € К).
Доказательство теоремы приведено в [6].
Воспользовавшись функциями
т
>(г) = / еА(г 5)Ке„(з) ^, <?„(£) = / еА+(5 *}е„(5) ^, (19)
0
уравнение (16) с ядром (13) запишем в виде
Єп(і) = А„ (р„(і) + К^п(і)) •
С помощью этого соотношения и определения (19) найдем дифференциальное уравнение для вектора (рп(і), ?п(і)) в пространстве С 2Л :
Л I «»М і “ Н I 4.(0 1 ' <20)
при этом оператор Н в С имеет следующую матричную структуру:
Н = (А-А^ ->-1* ) • <21>
Здесь в блоках матрицы Н указаны операторы, действующие в Сл. Кроме того, функции рп(і) и ^п(і) удовлетворяют, вследствие определения (19), граничным условиям
Рп(0) = 0, 5„(Т) = 0. (22)
Легко видеть, что задача об определении собственных чисел и собственных функций,
отвечающих ядру (13), при связи (19), эквивалентна решению краевой задачи (20)-(22). Решение этой краевой задачи выражается в терминах матрицы ехр(Ні) и поэтому, ввиду (22),
Р“(І) ^ = ехр(Ні) ■( ® ^ • (23)
о ) V ?п(о)
Представим теперь ехр(Н£) в виде
(Н+)= ( Е1(Лп,£) Е2(Лп,£) \ (24)
ехр(Н*)-( Е:,(Л„,«) Е4(Л„,г^ ' (24)
где Ед.(Л,£), к = 1, 2, 3, 4 - операторы, действующие в С и функционально зависимые
от параметров Л и £. Тогда для существования нетривиального решения краевой задачи
при фиксированном Л, необходимо и достаточно существование нетривиального решения однородного уравнения
Е4(Л,£)5п(0) = 0, (25)
что непосредственно следует из (23). Отсюда вытекает, что уравнение
г
ф^(а, т) = аеі Е4(а,т ) = о
(26)
определяет спектр собственных значений {Лп; п € М} интегрального уравнения (16) с ядром (13).
Отметим, что в отличие от случая й =1 [9] нельзя гарантировать простоту спектра {Лп; п € М}. Число собственных функций, отвечающих данному Лп, равно (й — гапкЕ4(Лп,Т)). То, что это число может принимать произвольное значение, не превышающее й, вытекает из следующего примера. В качестве исходной системы стохастических дифференциальных уравнений возьмем й статистически независимых экземпляров одного и того же процесса Орнштейна-Уленбека. Тогда А = — V/, Д = а/, где / - единичная матрица, и V, а > 0. В этом случае [10]
Ф1(Л,Т) = г-1 [(г + V)2 ехр(гТ) — (г — V)2 ехр(—гТ)] , (27)
г = (V2 — Ла)1/2 ,
откуда следует, что
Ф^(Л,Т) = [Ф1(Л,Т)]<*.
Таким образом, уравнение для собственных значений может иметь кратные корни. В связи с этим, вопрос о связи кратности каждого собственного значения Лп, п € N с кратностью каждого из нулей уравнения Ф^(Л, Т) = 0 должен быть исследован дополнительно (см. Приложение 3). Ввиду того, что каждый нуль уравнения Ф^(Л,Т) = 0 является собственным значением ядра (13) и, обратно, равенство кратностей этих величин означает, что функция Ф^(Л, Т) пропорциональна детерминанту Фредгольма ядра К(£,£;). С целью получения аналитического выражения для Qт(Л, г) (15) будем считать, что равенство кратностей имеет место. Учтем прежде всего, что Ф^(£,Т) - целая функция £ с нулями Лп с учетом их кратности и не имеет никаких других нулей. Кроме того, эта функция имеет порядок роста меньший единицы (доказательство этого утверждения приведено в Приложении 2). Поэтому для неё справедливо сходящееся разложение Адамара
= ооп^П [1-^-1 • (28)
п=1 ' п '
Возвратимся теперь к определению (15) и учтем, что г(£) - стационарный гауссовский процесс. Пусть сначала V = /. Используя теорему Карунена-Лоэва, получаем сходящееся с вероятностью единица разложение
т
„ те
/ ^ ^ \Хп\2 .
п\
п=1
ГО
Тогда вычисление математического ожидания ехр ( — Л ^ \гп\2 ) на основе плотностей (18)
V п=1 )
приводит к выражению
ГО
Q(Л,z) = Д(1 + 2Л/Лп)-1 , (29)
п= 1
т.е. существование производящей функции при Ке Л > 0 обусловлено сходимостью этого бесконечного произведения и тем, что Лп > 0 (см. Приложение 1). Из сопоставления выражений (28) и (29) вытекает, что это произведение сходится и
Q(Л,z) = сопв1 [Ф^(—2Л, Т)]
1
Поскольку Q(0,z) = 1, то получим окончательно
Q(Л,z) = Ф^(0,Т)/Ф^(—2Л,Т). (30)
Рассмотрим теперь общий случай V = /. Будем считать det V = 0, что не приводит к потере общности в силу непрерывной зависимости всех результирующих выражений от V. Пусть V1/2 - некоторый фиксированный корень из матрицы V (конечный результат не будет зависеть от конкретного выбора вида V1/2). Введем случайный процесс (гу(£);£ € К), который индуцируется процессом (г (£); £ € К) посредством формулы для его траекторий гу (£) = V 1/2г(£) и многомерный винеровский процесс (шу (£); £ € К) с траекториями шу(£) = V 1/2ш(£), имеющий ковариационную матрицу Бу = V1/2DV1/2 и = Бу. Так как матрица Ау = V1/2AV-1/2 диссипативна и траектории гу (£) удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению
йгу (£) = Ау гу (£) + йшу (£) ,
(31)
гУ Ю = (гУ)о , £о ^ —то,
то процесс (гу(£); £ € К) так же, как и (г(£); £ € К), является многомерным процессом Орнштейна-Уленбека. Из (15) вытекает
Q(Л,Zу) = ^ехр |—ЛI (гу(),гу(£)) ^| ^ ,
где символ (.)у означает усреднение по мере процесса (гу (£); £ € К). Следовательно
Q(Л,Zу) = Фу^(0,Т)/Фу*(—2Л,Т). (32)
Здесь Фу^(£,Т) = det ЕУ4(£,Т), ЕУ4(£,Т) - правый нижний блок матрицы ехр(НуТ) и
Ау + £К2
"V = І Ч -А+ -'Ы- (33)
а Ку - решение уравнения Ляпунова Лу Ку + Ку Л+ = — Бу, которое в силу (14) имеет
вид Ку = V1/2КУ1/2. После простых преобразований находим Ну = [/Н(V)и-1,
^ = Г V1/2 0 и V 0 V-1/2
Н(V) = ( Лу + ї^К N (34)
Н(V) = ^ —^ —л+—^к ; • (34)
Тогда ехр(НуТ) = иехр(Н(V)Т)и-1 и
Еу4(ї, Т) = V-1/2Е4(ї,Т; V^1/2 , (35)
где Еу4(ї,Т; V) - правый нижний блок матрицы ехр(Н(V)Т). Поэтому на основании (32) можно записать
д(Л,г) = Фгі(0,Т; V)/Фй(—2Л,Т; V) ,
Ф^Т; V) = аеі Е4(ї,Т; V) •
Отметим, что в полученное выражение (36) матрица V везде входит в целых положительных степенях. Кроме того, в силу непрерывной зависимости от V выражения (36), оно также имеет место и при det V = 0.
Замечание 6 Если Ш - неособенная матрица, det Ш = 0, то, определив случайный процесс (г;(£) = Шг(£); £ € К), перейдем к эквивалентной задаче о вычислении математического ожидания, в которой
A A = WAW
1
D => D' = WAW+
V ^ V' = (W+)-1VW Тогда матрица Hy преобразуется в
1
Hy
W 0
0 (W-1)+
к ^ к' = wkw +.
H
W-1 О
О
W+
и поэтому Е4 = (Ш+)-1Е4Ш+. Следовательно, функция Ф^(Л,Т; V) при таком преобразовании не меняется. Выбирая подходящим образом Ш, например, такое, которое приводит А к жордановой форме, можно добиться, чтобы для всех г выполнялось Ке(Аг, г) < 0.
5. Плотность распределения функционала ^Т[г]
В этом разделе мы получим экспоненциальное разложение плотности р(е) распределения вероятностей (4). Исследуем прежде всего асимптотическое поведение собственных чисел {Лт}ГО при т ^ то.
Теорема Пусть det Д det V = 0, спектр Ду - простой. Тогда при т ^ то множество собственных чисел {Лт; т € М} распадается на й серий {Лт}, к = 1 ^ й с учетом их кратности, где
а {$fc; k = І ^ d} - собственные числа матрицы VD (либо, что то же самое, матрицы DV).
□ Заметим, что на основании уравнений (ПІ2), (ПІЗ)
Ді(А) = ix'\l)'x 2 + 0(1),
R2{А) = i\XI)\ 2 + 0(1), . (38)
5(A) = —і {2\/~\)~lD~1/'2 + 0(A_1), A ^ то,
При этом выбор корня D1/2 обусловлен выбором решений в (ПІ2). Конкретизация этого выбора не влияет на асимптотическое поведение (Лт; m Є N). Ввиду соотношений (З8) матрица Л-1/2Л1(Л) при больших значениях Л является матрицей скалярного типа, так как спектр Dy - простой. Таким образом, матрица Л1(Л) имеет спектральное разложение
d
ft (Л) = Л1/2£9І1,(Л)/к(Л), (39)
fc=1
где собственные числа «^(Л) и соответствующие проекционные операторы /^(Л), к = 1 ^й имеют, в силу (38), асимптотическое представление
«I11 (Л) = «;/2 + о(л-1/2) , (40) Л (Л) = Д + 0(Л-1/2),
а /^, к = 1 ^ й - проекторы на собственные векторы матрицы Ду. Аналогичное рассуждение справедливо для матрицы Д2(Л). Из формулы (39) имеем
d
exp(R^)T) = ^ехр(^А0<1,(Л)г) -4(A)
fc=1
и поэтому
exp(R^)T) = exp ^і?;(Л)Т^ + o(1), (41)
где
d
= о .
і?1(Л) = Л1/2£ (Л)4 , ^^?і(Л), Dy
fc=l
Для оператора Л2(Л) справедлива формула, аналогичная (41),
exp (—^(Л)Т) = exp ^ R2 (Л)Т^ + o(1), (42)
где
d
Ч
ІЇ2(Л) = Л‘/2£е'2,(Л)/к, [Я2(Л),о„] = 0, е'2,(Л) = «;/2 + 0(Л-1/2). (43)
fc=1
Найдем теперь асимптотику матричных элементов матрицы Е4(Л,Т; V). Из (П14) и формул (38)-(43) получаем
£4(А,Т; V) = У1/2{ехр(-і?2(А)Т) - ехр(Д1(А)Т)} • ^0~1'2КуУ~1'2 + 0(1). (44)
Тогда, уравнение для собственных чисел {Лт; т Є М}, Л-гі/2Ф^(Л, Т; V) = 0, согласно (44), представим в виде
det
exp(-Д2(Л)Т) — exp^^^) + o(1) = 0 ,
так как произведение det Д • det V отлично от нуля. Поскольку Лт ^ то при т ^ то, то из этого уравнения следует, что можно указать такие Л^1 такие, что при больших т имеет место асимптотическое соотношение Лт = Л^? + о(1). При этом числа Л^1, т € N удовлетворяют уравнению
d
Д [exp(Tv/A41)(A))-exp(-Tv/A^2}(A))] = О fc=l
Тогда, все Л^?, т € N распадаются на й серий Л^, к =1 ^ й с учетом их кратности, т.е.
Хш1 = + О(І)) , т-> оо,
откуда и следует утверждение теоремы. ■
Следствие Интегральный оператор с ядром (13) является оператором Гильберта-Шмидта, так как
Л
т=1
<00 •
(45)
Согласно определению (15) плотность распределения вероятностей р(е) является обратным преобразованием Лапласа от функции Q(Л)
р(е) = I <э(Л) еА'<гл.
(46)
Поскольку интеграл
п
т=1
1
1 + ^-1 ЄХє(І\ Лт
сходится равномерно относительно п на обоих пределах интегрирования и на каждом компакте в (—гто, гто) и сходимость бесконечного произведения в (29) в силу (45) равномерна по Л, то
1
Р{£) =
2ПІ
/п { 2 Л \ —1 °°
^ П (! + еЛ* = ЕКе8 [«(л)еЛ']
т=1 ' т/ т=1
Л——Лт/2
Отсюда следует экспоненциальное разложение плотности р(е),
(47)
где
и
ат —
Л \ 1™ 1 /7 _ 1 \ / Лк
£Г\. к*-*"*! товию
т
У
к=0
к
ЛЛк
Л=—Лт/2
<5т(А) — Д 1 + ) , т Є N .
п=1, п=т
1
Здесь /т — кратность точки спектра Лт, т € N. Если спектр {Лт; т € М} - простой, то набор коэффициентов {ат; т € N обладает свойством знакочередуемости,
(—1)т |Кев ^т(Л) ІЛ=—Лт/2 , т Є N •
—гоо
—гоо
а
т
Полученное разложение для плотности р(е) определяет её асимптотику при е ^ то.
Теорема Если det D • det V = 0, то при любом 5 > 0 для е > 5 ряд (47) сходится равномерно и абсолютно и, следовательно, при е ^ то имеет место
р(е) = a exp(—А]_е/2) + O (е-Л2£/2) . (48)
□ Утверждение теоремы немедленно вытекает из (37) и следующей равномерной по m £ N оценки на коэффициенты (am; m £ N}
|am| < const ed-1, е ^ то,. (49)
Доказательство этой оценки состоит в следующем. Каждая k-ая серия к =1 ^ d коэффициентов (amk; m £ N} соответствует k-ой серии собственных чисел {Amk; m £ N}. Сначала допустим, что асимптотически все нули {Am; m £ N} - простые. Общий случай может быть получен с помощью предельного перехода, который может приводить к совпадению некоторых из чисел 5^, к =1 ^ d. В случае простоты нулей, имеем
flmk = $d(0,T; V)
Согласно (44)
д 1-1
— Ф d{-2\T-V)
, m £ N.
Л = -Лт,й/2
d - -1/2
Ф„(А,Г;Ю = |f) х
х П [exp (—9'2>(А)г) — exp (9<1){А)Г)] + O (A<d-1>/2) .
fc=1
Поскольку возможно дифференцирование этого асимптотического разложения, найдем производную дФ^(—2A,T; V)/дА в точке А = —Amk/2. Тогда, при m ^ то, для всех к =
1 d, имеет место
' ^ ' .7=1, ^
Из этой формулы и (47) следует, что коэффициенты ат, т £ N ведут себя при т ^ то наихудшим образом в том случае, когда все собственные числа ^, к = 1 ^ d совпадают. Полагая все , к =1 ^ d равными друг к другу, при вычислении коэффициентов ат приходится вычислять d-кратный вычет для каждого т £ N. Величина этого вычета удовлетворяет оценке (49). I
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Докажем положительность собственных чисел {Ат; т Є М} ядра (13).
Теорема Пусть правая часть равенства (16) не равна тождественно нулю, т.е. кег К = 0. Тогда собственные числа {Ат; т Є М} положительны.
□ Введем вектор /(і) = К 1/2еп(і) и матрицу А = К—1/2АК1/2. Воспользуемся равенством
в(і) ехр(Аі) = — [ еші(іи — А) Іс1и , 2п I
(1)
которое является следствием интегрального представления Данфорда-Рисса для матричных аналитических функций [7], и тем, что реальная часть собственных чисел матрицы А меньше нуля (так же, как и матрицы А в силу её диссипативности). Тогда на основе (16) получим неравенство
т
0 < / (е„(і),е„(і)) <іі
(2)
т т
А« у 9^ у ^7
— сю 0 0
Введем теперь вектор
Тогда из (П2) следует
еіш{і—і') (^^ - А)-1 + еІш(*,-І)(І^ - А+)—1 /(І) )
т
/М= / Є—-*/(і)Л.
т
0 < / (вга(і),вга(і))
— I (Л(^), (?£ — А) 1 — (ш — А+) 1 /(а;))
(3)
— — І [(іи + А+) 1/(и), (А +А+)(іи + А+) 1/(со)) сій.
Так как А + А+ = К-1/2(АК + КА+)К-1/2 = —К-1/2ДК1/2 < 0, то все числа Ап положительны, кроме того возможного случая, когда интеграл в правой части (П3) строго равен нулю. Но в этом случае, для почти всех ^,
(г^ + А+)-1/(^) = 0 ,
и поэтому, для почти всех £,
/(*) = К 1/2в„(^) = 0 , т.е. еп(£) £ кег К, что не имеет места по условиям теоремы.
— СЮ
— СЮ
— СЮ
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Оценим порядок роста функции Ф^(А,Т; V). Поскольку нам потребуется явное выражение для матрицы Е4(А, Т; V), представим резольвенту оператора (32) в виде
К - Н)—1 = ( ^Ї 1 . (4)
) ^4(С)
Тогда на основании операторного исчисления Данфорда-Рисса и определения матрицы Е4(А,Т; V) следует
Е4(А,Т;У) = (5)
При этом контур интегрирования должен охватывать все собственные числа матрицы . Из (П4) вытекает, что
^(С) = [(С + А+ + А^)+ А^ (С — А — А^ )-1^К ]-1. (6)
Как и ранее, будем предполагать, что ёе1 V = 0. Поэтому рассмотрим оператор ^У (С) = V-1/2С4(С^1/2, такое преобразование оставляет неизменным функцию Ф^(А,Т; V). Из (П6) и уравнения Ляпунова для следует
^4У = [С2 + С(А+ — Ау) — Ау А+ + АЕу] (С — Ау — АКу) • (7)
Интеграл (П5) определяется вкладом полюсов, являющихся нулями полинома
Р(с) = ^ [С2 + С(А+ — АУ ) — АуА+ + АЕУ] • (8)
Нули этого полинома С = С (А) обладают следующим свойством инвариантности: С ^ С*(А*), что указывает на возможность считать их двумя наборами собственных чисел для двух матриц Л (А) и — Д+(А*). С целью нахождения этих матриц представим операторный полином
Р(С) = С2 + С(А+ — АУ ) — АУ А+ + АЕУ (9)
в виде
Р(С) = (С — Л1)(С + Л2) • (10)
Для существования представления (П10) необходимо, чтобы матрицы Л1 и Л2 удовлетворяли уравнениям
Л2 — Л1 = А+ — Ау ; Л1Л2 = А+АУ — АЕу , (11)
из которых следует
Л2 + Л1 (А+ — Ау ) — Ау А+ + А^у = 0 ,
(12)
Л2 — (А+ — Ау) Л2 — Ау А+ + АЕу = 0 •
Известно [11], что каждое из этих уравнений разрешимо и, кроме того, каждое из решений является аналитической функцией от А, обладающей конечным множеством особенностей. Выберем определенную ветвь решений для, например, Л2 = Л2(А). На основании
обобщенной теоремы Безу [11] результат правого деления многочлена У (С) на (С + Л2) должен давать (С — Л1), при этом ветвь Л1 автоматически согласовывается с выбранной выше ветвью Л2.
Выберем такие ветви матриц Л1 и Л2, которые при А ^ 0 имеют вид:
Л = А + АК + о(А); Л2 = А+ + АК + о(А),
тогда для достаточно малых А согласованные спектры матриц Л1 и (—Л2) не пересекаются в силу диссипативности А. Поэтому при тех же А однозначно разрешимо относительно оператора Б следующее уравнение:
ЗД + Л2^ = I. (13)
Для построения аналитического продолжения матрицы Б = Б (А) покажем конечность набора Л тех точек А £ С, для которых происходит перекрытие спектров матриц Л1 и (—Л2). Пусть Ао - граничная точка этого набора. Существует путь 7 в плоскости комплексных значений А, приводящий в точку А0 с обходом точек неаналитичности матриц Л1(А) и Л2(А). Из уравнений (П11), переходя вдоль пути 7 к пределу А ^ А0, находим, что производная dЛ2 ^А в этой граничной точке не существует, поскольку уравнение для этой производной
dЛ1 dЛ2
---- + -----
с1\ (IX
при det = 0 не разрешимо при А = А0 из-за перекрытия спектров рассматриваемых матриц Л1 и (—Л2). Поэтому А = А0 - точка неаналитичности для матрицы Л2(А). Ввиду конечности набора точек неаналитичности этой матрицы, множество Л совпадает с этим набором.
Найдем теперь искомое представление для матрицы Е4(А,Т; V). Благодаря однозначности решения уравнения (П13) для оператора Б из (П10) следует
-^1 —ГГ- £ —ГГ- В2 —
У-1(С) = Б (С — Л1)-1 — (С + Л2)-1Б.
Поэтому, в силу (П7) и (П9), получим после вычисления контурного интеграла в (П5)
£4У(А,Т; V) = V 1/2{ [Б ■ ехр(^Т) ■ Л1 + Л ■ ехр(—Д2Т) ■ Б] +
+ [ехр( Л2Т) ■ Б — Б ■ ехр(^Т)] (Ау + АКу)| V 1/2. (14)
Оценка порядка роста а функции Ф^(А,Т; V) находится на основе (П14),
а = Иш [1п1пшах |ФЙ(А,Т; V)|/ 1п Л].
|Л|=^
Для этого достаточно получить асимптотику при больших значениях |А| матриц Л1, Л2 и Б. Из (П12) и (П13) вытекает, что при det V = 0 имеет место
Я, (А) ~ Д2(А) ~ ИМ), )' 2, 5(А) ~ ^(АЯ')“1/2, |А| ^ оо . (15)
Поскольку Ф^(А, Т; V) < d! || Е4(А, Т; V) ||й, где норма понимается в смысле максимума матричных элементов, и
|| ехр(Д^) || < 1 + d-1[exp(Td || Л1 ||) — 1] ,
то на основании (П15) можно заключить, что
(16)
для искомого порядка роста.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Докажем равенство кратностей любого нуля Ап функции Ф^(А,£; V) и
dimker В4(Ага,£; V), п £ N •
Кп
При d =1 это равенство доказывается непосредственно на основе явного представления
(27) для Ф^А,*; V).
Докажем предварительно простое утверждение, имея в виду общий случай d > 1, что кратность нуля Ап не меньше, чем кп, п £ N. Отметим, что содержание этого утверждения не связано с конкретной структурой матрицы Е4, а оно имеет место для произвольной матричной функции.
Приведем матрицу Е4 к жордановой матричной форме
Е4
\
Во
0
Вз
V
Bi
( в г 0 0
1
вг
0
0
1
вг
0
вг
0
Здесь вг = вг(А, t) являются функциями А и t. Число нулевых собственных векторов Кп матрицы E4(An, t; V) равно ^2m dim Bim, где суммирование осуществляется по тем im, для которых функция вгт (A, t) обращается в нуль при А = An. Если - кратность нуля An функции вгт (A, t), то кратность нуля An функции Ф^(А, t; V) равна m dim Bim. Отсюда и вытекает указанное утверждение.
Теперь докажем обратное.
Утверждение Кратность нуля An функции Ф^^,^ V) не превышает кп.
□ Введем пространство упорядоченных пар матриц M = {(D, A)} таких, что D+ = D, D > 0 и A - диссипативна. Для того, чтобы подчеркнуть зависимость функций Ф^^, t; V), Q(A, z) и матрицы E4(A,t; V) от элементов пространства M, введем обозначения
Ф(A|у) = Ф^, t; V), Q(A|y) = Q(A, z), E(A|y) = E4(A, t; V),
где у = (D, A).
Доказательство будем строить от противного. А именно, предположим, что не существует всюду плотного в M подмножества X такого, что при у G X, для всех нулей An, имеет место совпадение кп и «П, где кП - кратность нуля An функции Ф( A | у), где n G N. Другими словами, при у, принадлежащих некоторому открытому подмножеству в M, функция
тг(А| у) = const Ф(А| y)Q\~
2
у
0
не равна тождественно 1, а является целой функцией А, имеющей разложение Адамара. Если бы и кП совпадали на всюду плотном в М подмножестве, то на этом подмножестве п(А|у) = 1 и, используя непрерывность функций Ф(А|у) и <5(А|у) по у, мы бы имели п(А|у) = 1. Будем считать, что набор нулей {Ап; п £ N1 всегда упорядочен по величине. Сопоставим каждой точке у £ М соответствующий ей набор {Ап; п £ N1. Тем самым мы получим набор функций {Ап(у); п £ N1, причем Ап(у) < Ага+1(у), п £ N. В связи с тем, что кратность каждого нуля Ап(у), п £ N функции Ф(А|у) может быть только конечной, назовем функцию Ап(у) /-кратно вырожденной в точке у, если существует ровно / > 1 номеров т таких, что Ат(у) = Ап(у). Для /-кратно вырожденной в у функции Ап(у) имеем
&к Ф(А|у)^ = 0, к = 0,1,...,/-!;
дА" / Л—Л„(у)
^7Ф(А|у)) ^ 0, п
дА / Л—Лп(у)
Функция Ф(А|у) согласно построению, данному в разделе 4, бесконечно дифференцируема по А и у в М ® (0, то). Построим множества Хг в М
Хг = \ у : существует Ап(у) такая, что
ои ф(%) = °> А: = 0,1,..., / - 1;
дА / Л—Л„(у)
^Ф(А|у)) ^0^; / = 2,3,
Л — Лп (у)
т.е. при у £ Хг существует по крайней мере одна /-кратно вырожденная функция Ап(у).
Из предположения, принятого нами выше, следует, что замыкание Х1 не исчерпывает М. Тогда, ввиду конечной кратности вырождения каждой Ап(у), существует по крайней мере одно непустое Хг, содержащее открытое подмножество X. В самом деле, если замыкание Х1 совпадает с М, то при у £ Х1, ввиду бесконечной дифференцируемости Ф(А|у), по теореме о неявной функции все Ап(у), невырождены, т.е. кП = 1 при всех п. Это противоречит предположению.
Точно так же, применяя теорему о неявной функции дг-1Ф(А|у)/дА1-1 = 0 при у £ X, существует однозначная дифференцируемая функция А(у), которая совпадает с какой-то /-кратно вырожденной при у £ X функцией Ап(у). Можно утверждать большее, так как Ф(А|у) - бесконечно дифференцируемая функция, то таковой же является и А(у). Поэтому, представив Ф(А|у) = (А — А(у))гФ'(А|у), где Ф'(А(у)|у) = 0, у £ X, имеем
Ф(А|у)
Л—Л(у)
дУ Ф(А|у)
Здесь дУ - дифференциал по у в М.
0, к = 0, ^•••,/ — 1; (17)
= 0, / > 1 • (18)
Л—Л(у)
Таким образом, в открытом подмножестве Z уравнения (П17) при условии (П18) должны иметь совместные решения. При k = 0, І (ПІТ) представляет собой систему из (3d2 +1) уравнений относительно (3d2 +1) вещественных независимых параметров и поэтому, вообще говоря, они не могут иметь решений при y, принадлежащих множеству точек
общего положения. Если это справедливо, то мы и прийдем к искомому противоречию,
доказывающему сформулированное утверждение. Нам потребуется следующая
Лемма Если матрица M удовлетворяет уравнениям
ME(Л|у) = 0 , (19)
SpMyE(Л|у)) = 0 , (20)
то M = О.
□ Из всех возможных вариаций в (П20) нам достаточно рассмотреть лишь такие, которые удовлетворяют условиям неизменяемости двух матриц: а) AV A+ — ЛЕУ; б) AV — A+. При выполнении этих условий справедливо дy= дyR2 = 0 и, следовательно дyS = 0. Поэтому из (П14) вытекает
д„E4 = V 1/2£(д,AV + Лд,AV)V-I/2 ,
(2І)
E = exp(—R2t) ■ S — S ■ exp(R;T).
Из (П20) следует
Sp(ME^yAV + ЛдyAV)) = 0 .
С помощью уравнения Ляпунова AV AV + AV A+ = — найдем уравнение для дyAV
• <9yAF + dyl\v ■ A^r = — — [dyAy ■ (A^ + AAV) + (Av + AAV) • dyAv\.
Используя стандартную форму решения [12] уравнения Ляпунова, получаем
Sp(M Eдy AV) =
со
1 Г~ ' (А± + Шг)елг,МЕелу, + еАг,МЕелу,(Аг + \К\.)
"A SP
о
После преобразований найдем
Яр[М£ (ду+ АдуАу)] = Яр({2М£ — А[АУ,Х]+}ду) , где символом [•,•]+ обозначен антикоммутатор фигурирующих матриц и
СЮ
N = J ехр(А+£) ■ М£ ■ ехр(Ау£)^£ • о
Ввиду произвольности дифференциала дус учетом того, что ду(А+ — ) = 0,
получим следующую систему тождеств:
М£ = ^[Ку,Щ+] А+М + МАу = М£.
Из этих тождеств следует, что матрица N удовлетворяет условиям
К - ъКу •« + АГ-и,-т:Кг )=0. (22)
~2К') ' " +
Учтем теперь то обстоятельство, что вместо основной задачи нахождения производящей функции можно рассматривать изоморфную ей задачу, получающуюся с помощью неособенного преобразования Ш (см. Замечание 6). С помощью указанного преобразования всегда можно добиться, чтобы диссипативная матрица удовлетворяла условию Ие(Ау/,/) < 0 для произвольного ненулевого вектора /. Тогда матрицы (Ау — и
(-21+ + |/ц.) не имеют общих собственных чисел, так как собственные числа матрицы (Ау - |К у) имеют отрицательную действительную часть. Поэтому из (П22) следует, что
СО
N = J ехр(А+£) ■ М£ ■ ехр(Ау£)^£ = 0. о
В результате интегрирования получим
М£ = 0 . (23)
Из этого равенства и условия (П19) следует
М ($#1 ■ ехр(Я^) + ехр(—Д2£) ■ Л2$) = 0 ,
а повторное использование (П23) и уравнения (П13) приводит к Мехр(Д^) = 0. Поэтому М = 0. ■
Воспользовавшись Леммой покажем теперь, что равенства (П17) и (П18) не могут одновременно выполняться на подмножестве X. Поскольку
гапкЕ(Лп|у) = д — I + 1,
то
аеі Е(іь...,^; = 0; к = 0,- 2 , (24)
где Е(іі,..., ік; _7і,... , _%.) - матрица, получающаяся из Е(Ап|у) вычеркиванием строк с номерами і1,... , ік и столбцов с номерами ^,..., . Вместе с тем существуют такие наборы
номеров іі,...,гг-і и ^4,..., Іг-1, для которых
£(гь... ,гг_і; іі,...,іг-і) = (-1)Е аеі Е(гь..., гг_і; іі,...,іг-і) = 0 , где Е = іі + ... + і1-і + ^ + ... + ^’г_і. Из определения Ф(Ап|у) и равенства
£(іі,...,4; іі,...,ік) = 0 , к =1,...,/ - 2 ,
получим
дУ_іф(Ап|У) = X! ^(*і,...,*г_і; Іі,...,Іг_і) х (25)
іі,—,іг—і
Л >--->Л —і
X (дуЕ)іі і ■ (дуЕ)і2 і ' ... ' (дуЕ)іг—і іг—і 0
Суммирование в этом выражении проводится независимо по всем указанным индексам, полагая при этом Ь = 0, если в наборах (*!,..., г^—1) и Л ...,^-1) встретятся повторяющиеся индексы.
Введем теперь последовательность матриц
411 = X! Ь(*г-1,...,*2,*1; Л'г-1,...,Л'2,Л'1) ■ (ду Е )^г_1 ,-1_1 ■ ... ■ (5У Е ^ ,-2. (26)
^’2._ 1
Аналогичным образом, введём матрицы для каждого значения к = 2, 3,..., / — 1 и для любых возможных наборов (г1,... , ) и (л\, . .., Л)
ЬЛ (гъ---Л-1; лъ-.-Лк-О = (27)
= Ь(г1-1, • • • , г1; ,71-1, • • • , ^1) ■ (дуЕ)г;_1 Л_1 ■ • • • ■ (дуЕХк+ик+1 •
Ік+і,---,іг-і ^к+і.....^’г—і
Из разложения минора (к + 1)-го порядка матрицы Е4 по минорам к-го порядка следует тождество
^ Ь(*Ь • • • , 4+1; ^1, • • • , Л^+1)Ег3 ^ = 0 , к = 0, 1,...,/ — 2 ,
поскольку минор более высокого порядка равен нулю, гапкЕ4 = d — / + 1. В терминах матриц (П26), (П27) последнее тождество принимает вид
і(і>Е(А,,|у) = 0, і<2>(гі; Л)Е(А,,|у) = 0
(28)
І(1 1>(гі,...,гі-2; ^...,іі-2)Е(А„|у) = 0.
Учтём, что из (П25) следует
Яр (£(1><9уЕ) = 0 . (29)
Теперь применим к системам (П28) и (П29) доказанную в этом приложении Лемму. На основании её утверждения следует, что Ь(1> = 0. Это равенство можно переписать в виде Яр(Ь(2>(г1, іі)5уЕ (А, | у)) = 0. Далее, повторно применяя указанную Лемму, получаем ^(2>(*1,Іі) = 0. Продолжив этот рекуррентный процесс спуска, прийдем к равенству
^ч—і,л—і (гі,...,гг-2; і'і,...,і'г-2) = £(гь ..., гг_і; Іі, - - -, ,7г-і) = 0 . (30)
Это равенство означает, что гапкЕ(Ап|у) < d — /. Таким образом, мы пришли к требуемому противоречию, которое указывает, что условия (П17) и (П18) несовместны на открытом подмножестве Z. Это доказывает совпадение величин к, и к,. I
Литература
1. Christopeit R., Helmes K. Limited risk control of the Ornstein-Uhlenbeck process // Math. Operationsforsch. und Statist. - Ser. Optimiz. - 1980. - 11,4. - P.605-616.
2. Саймон Б. Модель P(^)2 эвклидовой квантовой теории поля. / Б. Саймон. - М.: Наука, 1978. - 358 с.
3. Пугачёв В.Н., Синицын И.Н. Стохастические динамические системы. / В.Н.Пугачёв.
- М.: Наука, 1985. - 560 с.
4. Lavenda B.H., Compiani M. The Physical Implications of Two Forms of Stochastic Calculi // Lettere al Nuovo Cimento. - 1983. - 38,9. - P.345-352.
5. Smyth J., Moss P., McClintak P.V.E., Clarckson D. Ito versus Stratonovich revisited. // Physical Letters. - 1983. - 97,3. - P.95-98.
6. Дуб Дж. Вероятностные процессы. / Дж.Дуб. - М.: Издательство иностранной литературы, 1965. - 605 с.
7. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. / И.М.Глазман. - М.: Наука, 1969. - 476 с.
8. Лоэв М. Теория вероятностей. / М.Лоэв. - М.: Издательство иностранной литературы, 1962. - 719 с.
9. Slepian D. Fluctuation of random noise power // Bell Systems Technical Journal. - 1958.
- p.95-98.
10. Лэкс М. Флуктуации и когерентные явления. / М.Лэкс. - М.: Мир, 1974. - 299 с.
11. Гантмахер М. Теория матриц. / М.Гантмахер. - М.: Наука, 1974. - 280 с.
12. Беллман Р. Введение в теорию матриц. / Р.Беллман. - М.: Наука, 1969. - 368 с.
THE EXPONENTIAL EXPANSION OF THE PROBABILITY DISTRIBUTION OF QUADRATIC FUNCTIONAL VALUES ON ORNSTEIN-UHLENBECK PROCESS TRAJECTORIES Yu.P. Virchenko,1 A.S. Mazmanishvili2)
^ Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: virchObsu.edu.ru
2) Sumy State University,
Rimsky-Korsakov Str., 2, Sumy, 40007, Ukraine, e-mail: mazmanishvili@gmail.com
The problem of the probability distribution density p(e) evaluation connected with random values of the quadratic functional on multidimensional Ornstein-Uhlenbeck process trajectories in Cd is studied. The representation of the distribution density in the form of the expansion on exponential functions exp(-Ane), n € N is obtained, where |An; n € N} is the eigenvalue spectrum of the correlation operatior connected with the process. It is generated by the density p(e) reprtesentation in the form of the infinite convolution sequence of exponential distributions.
Keywords: Ornstein-Uhlenbeck process, correlation operator, quadratic functional, the Hadamard expansion, exponential expansion.
