Статистика фотоотсчетов гауссовского излучения, со статистически связанными модами поляризации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.41+654.91

СТАТИСТИКА ФОТООТСЧЕТОВ ГАУССОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, СО СТАТИСТИЧЕСКИ СВЯЗАННЫМИ МОДАМИ ПОЛЯРИЗАЦИИ

А.С. Мазманишвили

Сумской государственный университет, г. Сумы, Украина, e-mail: [email protected]

Аннотация. Вычислена характеристическая функция распределения вероятностей фотоотсчетов квантового неполяризованного гауссового оптического излучения со статистически связанными модами поляризации, который описывается нормальным гауссовским процессом.

Ключевые слова: квантовое оптическое излучение, процесс Орнштейна-Уленбека, моды поляризации.

1. Постановка задачи. Излучение оптических лазеров часто моделируется узкополосным гауссовским процессом [1, 2]. При возбуждении таким излучением одномодового световода (СВ) с круговым поперечным сечением и осесимметричным распределением показателя преломления в нем распространяются в направлении оси две фундаментальные моды ИЕц, электрические поля которых ортогонально поляризованы вдоль главных осей х и у (ИЕ^1 — ИЕу1 моды). Если при введении в одномодовый СВ начальное состояние излучения обладало свойствами линейно-поляризованного излучения, то это свойство не сохраняется уже на достаточно коротких расстояниях и, таким образом, излучение оптического лазера становится эллиптически поляризованным.

Появление двух мод с ортогональными поляризациями обусловлено наличием нерегулярно-стей в волокне (тепловых, акустических и механических возмущений вдоль волокна, изгибов, технологических дефектов и прочее) [2]. При этом даже весьма малые возмущения значимо «связывают» моды, способствуя перекачке энергии из одной компоненты поляризации в другую. Очевидно, что статистическая связь между поляризационными модами определяется погонной плотностью перечисленных возмущений (нерегулярностей).

При наблюдении оптического излучения на выходе одномодового СВ с помощью фотодетектора регистрируются отсчеты, т.е. электрические импульсы на временном интервале наблюдения [1, 3, 4].

Представляет интерес нахождение статистики фотоотсчетов выходного излучения с учетом статистической связи поляризационными компонентами, обусловленными нерегулярностями вдоль СВ. Если располагать функцией корреляции между поляризационными компонентами излучения, связанной с плотностью нерегулярностей в волокне, то по статистике фотоотсчетов можно найти количественные характеристики таких нерегулярностей вдоль СВ и, следовательно, выработать требования к качеству выпускаемых оптических кабелей и установить допуски на их параметры при прокладке.

2. Статистически независимые моды поляризации. Известное решение [4, 5] задачи о статистике фотоотсчетов неполяризованного гауссового излучения получено для случая,

когда обе компоненты поляризации статистически независимы. Рассмотрим случай произвольной статистической связи между поляризационными компонентами в предположении, что статистическая связь между ними определяется воздействием неоднородностей СВ.

Пусть ап(Ь) - комплексная амплитуда [5,6] компонентов (п = 1, 2) поляризации излучения. В рамках модели гауссовского излучения с лоренцевским контуром линии с шириной V примем, что каждый из компонентов является нормальным марковским процессом [2, 7], при этом корреляционная матрица интенсивностей Б = (а(£) ® а*(£)) равна

5 =

(у\ р* \/о -А

Р\/(У\(У2 (72 )

(1)

где ап = (|ап(£)|2) - интенсивности поляризационных компонент, р -коэффициент корреляции (0 ^ |р| ^ 1) между компонентами поляризации, (.) - знак нахождения математического ожидания.

Для одномодового (однокомпонентного) гауссовского излучения с интенсивностью а\ известно выражение, описывающее производящую функцию (ПФ) числа фотоотсчетов

ф1(А,а1) = (ехр(—АО1))

(2)

где А - производящий параметр, О1 - энергия оптического поля, запасенная в компоненте поляризации с ортом ё*1,

т

О1 = J dí | ё1а1 (¿) |2

(3)

Произвоящая функция ^(А, СТ1) для гауссовского излучения с лоренцевским контуром линии с шириной V имеет следующий вид [3, 5, 6]

^^ ехр ^Т)

(г1 + V )2 ехр (г1Т) — (г1 — V )2 ехр (—г1Т)

(4)

При этом г\ = VV2 + 2\иа\ и Т - длительность интервала наблюдения. Выражение для другой компоненты имеет аналогичный вид

^2(А,^2) = (ехр (—АО2)) =

4vr2 exp(vT)

(Г2 + V)2 ехр (Г2Т) — (г2 — V)2 ехр (—Г2Т) '

(5)

т

где 0,2 = J М \ё-2а2{Щ2 с ортом ё*2, г-2 = У^2 + 2Хиа2 ■ о

С помощью ПФ ^1(А,ст1) и ^2(А,ст2) можно извлечь информацию о распределении амплитуд вероятностей {Р(т)} регистрации т фотоотсчетов одной (первой) из компонент

От

РЛт) = (^-ехр(-П1) х т!

(6)

и аналогично для второй моды поляризации.

Распределение амплитуд вероятностей (6) является взвешенным распределением Пуассона, оно может быть получено из ПФ ^(А, ^1) с помощью многократного дифференцирования

Р1(т) =

(—1)" д"

т!

^А"

(7)

А=1

С целью избежать нахождения производных высоких порядков можно воспользоваться интегральным представлением Коши для аналитических функций

'<*> = 2й/г^ <8)

с контуром интегрирования, охватывающим точку г.

Из (8) вытекает удобная для численных расчетов формула, описывающая статистику фотоотсчетов поляризационной компоненты одномодового излучения

п

РЛт) = ¿У <51 (1 + е*, аг) #, (9)

—п

которая следует из (8) с помощью замены £ = ехр(г^). Аналогичную формула получается и для Р2(т).

3. Произвольная статистическая связь между модами поляризации. Для описания двухкомпонентного оптического излучения воспользуемся матричным аналогом интегральной формулы Коши. Тогда производящая функция $12(А) отсчетов неполяризованного излучения может быть записана в виде

$12(А) = ёе! (10)

с 2х2-матрицей Стокса излучения. В этом выражении контур интегрирования в в-плоскости должен охватывать полюса резольвенты (в — £)—1. Пользуясь известными методами [7], рассмотрим (10) в представлении, в котором матрица Стокса (1) диагональна, т.е.

S ^ Sdiag = (Sf s0J С")

с собственными числами матрицы S

Sl,2 = \ (Vi + <72) ± V(vi - fT2)2 + • (12)

При наличии статистической связи между модами поляризации |р| =0 собственные числа в1 и в2 будут определять формирование статистики фотоотсчетов.

Вычисляя, с учетом (11), матричные элементы в формуле (10) найдем, что

Qi2(A) = det

\

^ 0 ^ (1ф - 32) lQ^2(\s)J

Тогда получим окончательно для искомой производящей функции

$12(А) = $1(А,в1) $2(А,в2) . (14)

(13)

Выражение (14) описывает статистику фотоотсчетов неполяризованного излучения в случае наличия статистической связи между модами поляризации. Из него вытекает, что в случае

отсутствия статистической связи, когда |р| =0 и $1 = 01, §2 = 02, ПФ ^12(Л) есть простое произведение парциальных ПФ

$12(Л) = ^1(л,01) д2(л,02) = (15)

4^г1 ехр^Т) 4^г1 ехр^Т)

(г1 + V)2еГ1Т - (г1 - V)2е-г1т (г2 + ^)2егзт - (г2 - ^)2в-г2т '

отвечающих каждой из мод поляризации. При этом распределение Р12(т) представляет собой свертку парциальных распределений Р1(т) и Р2(т) со средними (ш)1 = 01Т и (т)2 = 02Т соответственно, вычисляемых согласно (4), (5) и (10). В другом предельном случае полной статистической связи, когда |р| = 1, статистика фотоотсчетов эффективно отвечает одной регистрируемой поляризационной моде с суммарной интенсивностью §1 = 01 + 02. При этом §2 = 0, что дает ^2(Л,02) = 1 и Р2(т = 0) = 1, т.е. во второй поляризационной компоненте с вероятностью, равной единице, имеет место только «отсчет» т = 0.

4. Анализ распределения вероятностей. В общем случае частичной статистической связи между модами поляризации, когда 0 ^ |р| ^ 1, ПФ ^12(Л) есть произведение ПФ ^1(Л, 01) и ^2(Л, 02), отвечающих каждой из мод поляризации, но с эффективными интен-сивностями §1 и §2, определяемыми согласно (12).

Распределение амплитуд вероятностей Р12(т) является взвешенным распределением Пуассона, оно может быть получено из ПФ ^12(Л):

( —1)т ят

ъм = >

. (16)

А=1

При этом распределение Р12 (т) фотоотсчетов является сверткой парциальных распределений Р1(т) и Р2(т) со средними (т)1 = «1Т и (т)2 = 82Т соответственно

те

Р12(т) = ^ Р1(п)Р2(т - п), т = 0, 1, 2,..., (17)

п=0

которые в случае |р| =0 отличаются от распределений амплитуд вероятностей Р1(т) и Р2(т) со средними (т)1 = 01Т и (т)2 = 02Т.

Первый момент распределения Р12(т) определяется формулой (т)12 = + 02)Т. Для дисперсии Д12 распределения числа фотоотсчетов найдем, следуя (15),

А12 = (т2)12 - {т)\2 = (т>12 + (<г? + а\ + 2^1СТ2|р|2) —-- . (18)

Поскольку при р = 0 имеем

2иТ - 1 + е~2уТ "4^2"

2 2vT - 1 + е-2^т 2 2vT - 1 + е-2^т , ч Д12 = Д1 + Д2 = охТ + а\-—2-+а2Т + а22-—2- , (19)

и дисперсия Д12 (19) есть сумма парциальных дисперсий Д1 и Д2, то в дисперсии Д12 (18) содержится слагаемое 0l02|р|2(2vT - 1 + е-2^т)/2v2, являющееся дополнительным и отвечающее статистической связи между модами поляризации. Статистическая связь между модами приводит к уширению в целом распределения амплитуд Р12(т) при неизменном его первом моменте.

Литература

1. Шереметьев А.Г. Статистическая теория лазерной связи / М.: Связь, 1974.

2. Шереметьев А.Г. Волоконный оптический гироскоп / М.: Радио и связь, 1987.

3. Мазманишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач / К.: Наукова думка, 1987.

4. Перина Я. Когерентность света / М.: Мир, 1974.

5. Лэкс М. Флуктуации и когерентные явления / М.: Мир, 1974.

6. Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика отсчетов //в сб. «Квантовая оптика и квантовая радиофизика» / М.: Мир, 1974.

7. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления / М.: Наука, 1984.

PHOTOCOUNTS STATISTICS OF NONPOLARIZED GAUSSIAN OPTICAL RADIATION

A.S. Mazmanishvili

Sumy State University, Sumy, Ukraine, e-mail: [email protected]

Abstract. Photocounts statistics of nonpolarized Gaussian optical radiation is analytically found in the case when statistical connection between polarization modes exists.

Key words: quantum optical radiation, Ornstein-Uhlenbeck's process, polarization modes.