CC BY
33
УДК 539.3
Е.Е. Кузнецов, канд. физ.-мат. наук, доц., (4872) 35-14-82, екс_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ),
И.Н. Матченко, д-р физ.-мат. наук, проф., (4872) 35-14-82, екс_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ),
Н.М. Матченко, д-р физ.-мат. наук, пр°ф., (4872) 35-14-82, екс_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ)
СЖАТИЕ ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОГО ОРТОТРОПНОГО СЛОЯ
Путем использования аффинных преобразований координат, компонент вектора скорости, компонент тензора напряжения и компонент тензора скорости деформации получено решение задачи о сжатии ортотропного идеально пластического слоя, подчиняющегося квадратичному условию пластичности.
Ключевые слова: напряжения, ортотропия, кваддатичное условие пластичности, скорости пластических деформации, аффинные преобразования.
1. Квадратичное условие пластичности ортотропного материала.
Жесткопластический ортотропный материал отнесем к декартовой системе координат х, у, г совпадающей с осями ортотропии.
В качестве условия пластичности рассмотрим квадратичную функ-
где <зх , ..., <5ху - компоненты: тензора напряжений, Лц, ..., Лее - экспериментально определяемые константы, характеризующие пластические свойства материла.
Параметры: анизотропии Лц, ..., Лее связаны: с величинами сопротивления материала пластическому деформированию следующими соотношениями:
где asx, asz, - величины сопротивления материала пластическому де-
формированию при растяжении в главных осях ортотропии; isxy, xsyz, xsxz - величины сопротивления материма пластическому деформированию
цию [5]
(1)
(2)
при сдвиге по отношению к главным осям ортотропии; <Э2$(ху),
а2^(уг), а2хг) - величины: сопротивления материала пластическому де-
формированию при двухосном растяжении в соответствующих плоскостях ортотропии.
В отличие от известного условия пластичности Мизеса-Хилла [4] соотношение (1) учитывает чувствительность ортотропного материала к гидростатическому давлению.
Принимая функцию (1) в качестве пластического потенциала, получим закон пластического течения
ех = МЛ11ах _ Л12ау _ Л13аг ) ; ехг = ХЛ44®хг ;
еу = МЛ22®у ~ Л12®х ~ Л23®г ); еуг = ХЛ55®уг ;
ег = МЛ33аг ~ Л13ах _ Л23ау ); еху = =уЛвв<^ху,
где ех, ., еху - компонента тензора скорости деформации; X - множитель
Лагранжа.
Присоединяя сюда уравнения равно веси
У* +йс^ = о (ху_), (3)
ох Уу ог
и соотношения между компонентами тензора скорости деформации ех,
...,еху и компонентами вектора скорости перемещения их,Ыу ,иг
=УХу_ . Уих
х л ’ ^^ху /V л
Ух ' Ух Уу
получим замкнутую систему уравнений теории пластичности идеально связной ортотропной среды1. Символ (хуг) означает, что остальные уравнения получаются круговой перестановкой.
Решене задачи о сжатии ортотропного слоя плетами с использованием приведенной системы: уравнений отсутствует. Известно решение этой задач для несжимаемого материла [1]. Однако условие несжимаемости накладывает три ограничени на параметры: пластической анизотропии:
Л11 _ Л12 _ Л13 = 0 , Л22 _ Л12 ~Л23 = 0, Л33 _ Л13 _ Л23 = 0 . (5)
Условия совместности механических характеристик (5) требует вы:-полнени следующих зависимостей между пределами пластического сопротивления
^2^(ху) = ssz, ^2^(уг) = ssx, ^2^(гх) = ssy, (в)
т.е. предел текучести при двухосном растяжении в плоскости ортотропии вдоль главньк осей равен пределу текучести при одноосном растяжении вдоль оси перпендикулярной этой плоскости. Такое ограничение характе-
ристик пластическом анизотропии является весьма искусственным, поскольку в равенства (6) входят характеристики, корреляция между которыми экс пери ментально не установлена.
Покажем, что использование аффинного моделирования [2] позволяет получить решение задачи о сжатии ортотропного идеально пластичного слоя только при одном условии совместности характеристик пластической анизотропии.
2. Аффинное моделирование ортотропного материала.
Введем аффинные преобразования:
- координат
£ = ах, ц = Ьу, с,= С2; (7)
- компонент вектора скорости перемещения
и£=их / а,и^ = Ыу / Ь, п£=пг / с ; (8)
(9)
- компонент тензора напряжений
Ту = а ах, Тц — Ъ & у, т(- = с <з г, ТТц = аЪаху , = Ъсауг,
ху^ = аса хг;
- компонент тензора скорости деформации
ех еу ег еху еуг ехг
88 = 02, = Ъ2, 8С = С2,8 = ~аъ, 8 = ~ЪС,= -ос. (10)
где а, Ъ, с - пока неизвестные компоненты аффинных преобразований.
Несложно видеть, что преобразования (7) - (10) переводят орто-тропный материал из физического пространства в аффинные, сохраняя класс симметрии, пи этом основные уравнения принимает вид: уравнения равновесия (3) -
уЧ + уп.+уК=0 хпС); (11)
УУ Уц УС V }
соотношения Коши (4) -
Уи У Уиц УиУ , ч
8^=ф28(п=^.^(хч1:;); (12)
УУ УУ Уц
условие пластичности (5) -В11т1 + В22 хг\ + В33Х\
-2\В\2Х£ХЦ +В\зХ£Х^ +в23^лтС _В44^гіС _В55Ч2С — В66тг\^!=1
ассоциированный закон пластического течения -
4 = — В12Ч — В13Ч ! 4С = ^В44^г)(^ ;
ЧГ|
= =\в22Ч — В12\ — В23чС; ЧС = ^В55ЧС ;
где
B
11
An,
4 ’
c
B
22
A22 b 4
B
A
33
33
B12
A
12
с
22 c b
B
A
23
23
22 b с
B = A13 ■ B = A44 ■ B = A55 ■ B = A66
B13 = о о ; B44 = о о ; B55 = о о ; B66 =
22 c с
22 b с
22 c с
22 c с
Обратим внимание, что преобразования (7) - (10) вводят аффинное моделирование ортотропного материала в аффинных пространствах. Причем преобразования вводятся так, что диссипация механической энергии при пластическом деформировании в физическом пространстве и аффинных пространствах тождественна:
^ = ахех + ауеу + а гег + 2(ахуеху + аугеуг + а гхегх )=
= Ту8у + Хц8ц +Т(^8^ +2 + +ТУС)88С,).
Поскольку компоненты аффинного преобразования выбираются произвольно, то исходному материалу с параметрами анизотропии Лц, ...,
Абб сопоставлено бесчисленное множество аффинно-подобных материалов с параметрами анизотропии Вц , ., Вбб.
3. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения ортотропного материала.
Примем гипотезу о квазинесжимаемости пластического течения в аффинном пространстве [3]
8у + 8ц + 8С= 0 .
Тогда из (13) еле дет
B11 _B1-
B13 - 0; B--
B
1-
B-3 - 0; B33
B
13 “^-3
Boo — 0.
(14)
В уравнениях (14) перейдем к параметрам пластической анизотропии физического пространства:
12
A
13
0
A12 A
+ ■
22
A
23
0;
A13 A'
23
■
A
33
0.
(15)
c b с c b с c b с
Система уравнений (15) является однородной относительно не из
вестных c нулю:
-2
и-2 „ -2
b и с
поэтому ее определитель должен быть равным
A11 — A12 -A13
- A12 A22 - A23 = 0 •
- A13 - a23 a33
Отсюда следует уравнение совместности характеристик пластической анизотропии:
Л11Л22Л33 _2Л12Л13Л23 ~ Л11Л23 ~Л22Л13 ~Л33Л12 = 0 . (16)
Для выделения аффинных пространств, в которых материал будет квазинесждмаемым, возникает необходимость нахождения значений параметров аффинных преобразований а, Ь и с.
Зададимся значением одной из компонент а, Ь или с например
1/с = к тогда из первых двух уравнений (15) найдем
а = ±к
Л12 Л23 ~ Л13 Л22 . ь = ±к
Л13Л12 ~Л11 Л23
2 ■ (17)
Л11Л22 ~Л12
V Л11Л22 ~ Л122 К
В силу положительной определености пластического потенциал
22 (7) должны соблюдаться неравенства, Л11Л22 ~ Л12 > 0, Л22Л33 ~ Л23 > 0 .
Отсюда следует, что компоненты а и Ь преобразующего тензора являются действительными числами.
Поскольку введение значения компоненты с преобразующего тензора произвольно, то условия (17) выполняется в бесчисленном множестве аффинных пространств, в которых пластическое течение ортотропного материла будет квазинесждмаемым.
Для сопряжения физического и аффинного пространств необходимо выбрать параметр сопряжения этих пространств.
При решении задачи о сжатии ортотропного слоя удобно назначить параметр аффинного преобразования с = 1. В этом случае масштаб в направлении осей г и С при аффинных преобразованиях одинаков.
С учетом (15) в условие пластичности (12) записывается в виде
В12 (ч-'Сц)2 +В13 (ч-^)2 +
( 2 2 2 ) (18)
+ 2\В44 тцС +В55 ТУС +В66 тУц/ 1
Из (18) видно, что квазинесжимаемый материал нeчyвcтвлтeлeн к воздействию аффинного гидростатического давления:
^0 = (х ^^Ь ^ ^ г )/3
Ассоциированный закон пластического деформирования теперь записывается в виде
8У = ^|_В12(У ~ ^ц)“*“ В13 (У _ 8цС = ^В44хцС .
8ц = ^|^23- К ) + В12- Ц )]. 8УС = ^В55^УС .
8с = ^[В13 ХУ )_*~ В23 _ 8Уц =^В66хУц. (19)
Соотношения (3.7) и (3.9) можно лед ставить в виде
В12(а2^х ~Ь2Оу) + В13(а2ах-с^)2 +В23(ь2Оу-с^)2 + (20)
+ '2(Л44<31уг + Л55°2Хг + Л66аху )= 1;
Из (20) как частных случаях при значениях В12 ==В\3 =В23 =1 получаем модифицированное условие пластичности Толоконникова - Мат-ченко [3], а пи соотношениях а = Ь =1 - модифицированное условие пластичности Мизеса-Хдлла [4].
Подчеркнем, что введение гипотезы о квазинесждмаемости накладывает только одно ограничение (16) на пластические характеристики ор-тотропного материла, в то время как модификации Мизеса-Хилла и Толоконникова -Матченко накладывают по три ограничения.
Следовательно, гипотеза о квзинесжимаемости материла в аффинном пространстве является менее жесткой, чем гипотеза о несжимаемости в физическом пространстве. Отсюда также следует, что гипотеза о несжимаемости пластического течения в физическом пространстве является частным случаем гипотезы о квазинесжимаемости.
4. Сжатие и дельно пластичного ортотропного слоя. Рассмотрим слой из жесткопастического материла толщиной 2Ь . Оси ху декртовой системы координат расположим в срединной плоскости слоя, ось г направим ортогон ль но средней плоскости. Уравнение срединного слоя запишем в виде
В аффинном пространстве оси хЬ также расположены в срединной плоскости, а ось г совпадает с осью г по направлению и масштабу.
В аффинном пространстве введем предположение о кинематике пластического течени я:
Соотношения (21) - (23) определяют кинематику пластического деформирования питы.
г <Ь , г = ±Ь , иг = тг,
«У =pУ + q*Г + иУ(С), Uг=p*У+qг + uГ[(С), ис=тС,
(21)
где р, q*, р*, q, т - константы.
Подставляя (21) в (11), получим
*
8у = р , 8ц = q, 8с = т, 28Уц = р* + q, 28цС = йыц /йС,
(22)
Из условия квазинесждмаемости (14) и (22) еле дет
р + q + т = 0.
(23)
Подставляя (22) в соотношения ассоциированного закона пластического течения (19), запишем
В12 (У-тц)+ В13 (У ~ ■ТС )= р / Х .
В23 -к)+в12 ^^у^/
В13(кС _ТУ)+ В23( -'Тг)= тк/^ (24)
Знаком штрих обозначена девиаторна часть нормльных аффин-
I I I
ных напряжений ту = ту -10, К =К _ К, ТС = ТС ~ т0.
Разреша (24) относительно напряжений, имеем
■ = бу/ 3^б; бу = 2 рВ23 - qBlз - тВ12. Хг=Qг/3XQ.
<2ц = 2 рВ13 ~ qB23 ~ mB12,
хС=6с/3^6 К =6с/3Я6 ; 0С=2рВ12 ~В23 -тВ13. (25)
0 = В12В13 ~ В12В23 ~ В13В23 .
Из (19) пи условии (14) получим выражения для касательных напряжений:
* *
(26)
р* + q* 1 йиу 1 ц
'Уц = 2ХВ66 , К С = 2ХВ55 йС ’ ТцС = 2АВ44 йС
Из уравнений (18), (25) и (26) вычислим множитель Лагранжа
1/р1 - 2В55т|с - 2В44тХс), (27)
где
р = В23 (В13 ~ тВ 12У + В13 (тВ12 ~ рВ23 )2 + В12 (рВ23 ~ 6/В13 )2 | (р* + ?*) (28)
02 2В66
Предположим, что
Ту с = ауС + су, ХцС = ацС+ сц, ау,су,ац,Сц-со«^. (29)
Тогда множитель Лагранжа I является функцией г.
Из (26) - (29) найдем
иу = 2В55{(ауС + су )йС, гц = 2В44{(ацС + сц )йС.
Используя значения компонент тензора-девиатора напряжений, уравнения равновесия запишем в виде
а +ау = 0, а + а 0, а +5ТС —0.
ау у ац ц аС аС
Отсюда
10 = -ауУ -ацц + С - тс , К = -ау У - ацц + С . (30)
Следовательно,
grads = ~ayi-aj , grad:t =_-ay - aj (cos фі + sin фj'), tgj =ah / ax, (31)
где і, j - единичные орты осей xh .
Из (31) видно, что плоскость (30) имеет скат по направлению вектора.
Нормальные напряжения Ty , :, s определяются с точностью до постоянной с.
Параметры ay и aj завися от контактных касательных усилий на
сдавливающих питах.
Введем вектор
f = Tyt +Trtj ’ f = f
= =/ Tyt + Tj
Множитель Лагранжа l может быть представлен в виде
п-1
где R2 = 2B55, S2 =2B44.
f_2 _2 ^
p і - Tyt + Trt
R2 S2
L V У
(32)
Из (33) еле дет
f <
42rs
(R 2 + S 2) + (R2-S2) cos2 ф
tgф =
Tit
Tst
(33)
Если приписать индекс плюс наверху компонентам вектора T на верхней стороне слоя при z = h, а индекс минус на нижней стороне слоя при z = -h, то можно записать
T = (- ayh + Суj + (- a^h + Су), T+ = (ayh + Су j + (a^h + cy)j.
Пусть касательное усилие T достигает предельного значения на верхней и нижней сторонах плиты:
+
f
Тогда
= K + при z = h, j =j +.
f~
K + =
K=
V2RS
= K при z = -h, j = j .
+ aJa + cr
; tgф+ = ^--------1
(r2 +S2)+(r2 -S2 )os2 ф+ ^ ayh + cy
л/2RS
R 2 + S 2 )+R
2 c2) 2=^
- S jcos ф
■ aJi + cj
- a h+ c
у
(34)
Разрешая (34) относительно постоянных ay, aj, cy и cj, найдем
a* = — * 2
K
+
K
1+tg2 ф+
1+ tg 2ф
V
% =
2
K
+
K
1 +tg 2ф+
1 + tg2 ф
Сц =
2
7^ + + 2 +
K tg ф
1+tg2 ф+
к++g 2ф+
1 +tg 2ф+
к tg 2 ф
1+tg 2ф
к tg2ф
1+tg 2ф
Константа C может быть определена из интегральных ограничений на величину равнодействующих усилий вдоль осей xh .
Переход из аффинного пространства в физическое пространство осуществляется посредством соотношений (7) - (10).
Если свойства пластической анизотропии таковы, что параметры аффинного преобразования удовлетворяют равенству a =b = 1, то выписанное здесь решение совпадает с анаогачным решением для материма, подчиняющегося условию пластичности Мизеса-Хилла [4].
Библиографический список
1. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.
2. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. К построению теории идеаьной пластичности ортотропных сред // Сборник статей. К 70-летию Д. Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. С. 177-183.
3. Матченко Н.М. Некоторые вопросы теории идеальной пластичности анизотропных сред: автореф. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула, 1975. 36 с.
4. Хил Р. Математическа теория пластичности / Р. Хилл. М.: ГИТТЛ, 1956. 407 с.
5. Mises R. Mechanic der plastischen Formagerung von Kristalen / R.Mises //-Z. angew. Math. Und Mech., 1928, 8, .№5, р. 161-185.
Y. Kuznetsov, I. Mattchenko, N. Mattchenko
Compression ideal-plastic orthotropic a layer.
The summary. Using affine transformations of coordinates, a component of a vector of speed, a component stress tensor a component тензора speeds of deformation, the decision of a task on compression orthotropic ideal-plastic layer, to a submitting square-law condition of plasticity is received.
Получено 05.08.09
1
1
