Общие соотношения теории течения анизотропных пластических тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374; 519.6

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

М.А. Артемов, С.Н. Пупыкин, А.П. Якубенко

Для анизотропного жесткопластического тела предложено условие, аналогичное условию полной пластичности для изотропного тела, позволяющее получить систему трех уравнений относительно следа тензора напряжений и двух компонент девиатора тензора напряжений. Показано, что равенство нулю суммы производных функции текучести по главным компонентам тензора напряжений не эквивалентно независимости функции текучести от гидростатического давления. Для анизотропного жесткопластического тела получен аналог условия несжимаемости. Приведен вид диссипативной функции для разных моделей анизотропных пластических тел

Ключевые слова: анизотропия, теория течения, пластический материал

В математической теории пластических анизотропных тел можно выделить направления, связанные с построением гладких и кусочногладких функций текучести. Простейшие подходы в этом направлении развивались по аналогии с уже известными вариантами теории пластичности изотропных тел. Так, хорошо известно условие пластичности Мизеса [1, 2], являющееся

обобщением условия пластичности Губера-Мизеса (постоянства интенсивности касательных напряжений) и условие Ху-Мэрина [3], обобщающее условие пластичности Треска (максимального касательного напряжения) на анизотропные тела.

В настоящей работе, являющейся продолжением работ [4, 5], рассматривается подход, при котором условие текучести материала записывается в виде / (р) = 0, где р=4 А: у

(Ру = Ауктакт) — тензор второй валентности, у

4 *

— тензор напряжении, А — тензор четвертои валентности, характеризующий начальную анизотропию пластических свойств материала.

Соотношения между компонентами симметричного тензора второй валентности, являющиеся следствием равенства двух его собственных значений

Обозначим через 1,т,п, и р1, р2, р3 —

собственные векторы и собственные значения симметричного тензора второй валентности р

соответственно. Диадное разложение тензора р в базисе 1,т,п

р = р11 ® 1 + р2 т ® т + р3п ® п

можно преобразовать к виду

р = р1Е + (р2 - р1)т ® т + (р3 - р1)п ® п , (1)

где Е — единичный тензор второй валентности. Введем тензор

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 46-32-85 Пупыкин Сергей Николаевич — ВГУ, соискатель, тел. (4732) 208-337

Якубенко Андрей Павлович — ВГУ, преподаватель, тел. (4732) 208-337

ч = р - ріЕ - (р2 - Рі)т ® т . Из равенств (1), (2) следует, что тензор

(2)

ч = (Рз -Рі)п® П, ґг(ч) = Рз -Рі. (3)

В базисе 1, т, п матрица тензора ч имеет вид

(0 0 0'ї

(ч) = (Рз - Рі)

000 V0 0 1

(4)

Матрица компонент тензора ч в любом базисе будет вырожденной, ее ранг равен единице и все миноры второго порядка равны нулю [6]. Тензор второй валентности, матрица компонент которого является вырожденной, будем называть также вырожденным.

Компоненты тензора п ® п выражаются через две координаты вектора п , например, п1, п2, поскольку для единичного вектора п выполняется равенство п12 + п2 + п3 = 1.

Из (з) следует, что компоненты тензора ч определяются по формуле Хі] = (Р3 - Р1 )піп], а поскольку

піп] = УУ<Іпїп2 > г'> І = 1,2,3= Уі] = ^і8п(піп] ) ,

то компоненты тензора ч будут связаны аналогичными соотношениями

X] = ]ХпХ]} ,і = ид К] = ^8п((Рз - Р1 )піп]). (5) Из формул

Хі = (Рз - Р1)п2

і = 1,2,з

следует, что под корнем в правой части равенства (5) всегда будет стоять неотрицательная величина.

Если возвести обе части равенства (5) в квадрат, то получим равенство

Ху = ХиХц, I = 1,2,3 ,

которое, если принять во внимание (3), будет

выполняться тождественно.

Введем тензор

2 1 2 2 р = ч - К(ч)ч + (ч) - К(ч ))Е .

Можно отметить, что свертка

р • ч = det(ч)E .

Компоненты тензора р являются алгебраическими дополнениями к соответствующим компонентам тензора ч. Поскольку матрица (4) тензора ч имеет ранг равный единице, то тензор р будет нулевым. Равенство нулю тензора р приводит к следующим соотношениям между компонентами тензора р :

(Ріі - Р1 - (Р2 - Р1 )ті ті )(Р]] - Р1 -

- (Р2 - Р1 )т]т] ) = (Рі] - (Р2 - Р1 )ті т] У (Ріі - Р1 - (Р2 - Р1 )ті ті )(Рк] - (Р2 - Р1)ткт] ) =

(6)

(7)

= (р,к - (р2 - р\ )тг тк )(рг] - (р 2 - р\ )тг т] X

где индексы г, ], к = 1,2,3 , г Ф ] Ф к . Можно заметить, что соотношения (6) непосредственно следуют из (5) и (2).

Если главные значения р\ и р2 равны, то равенства (6), (7) примут вид

(рп - р\ )(р]] - р\ ) = ру, (рп - р\ )рк] = рыру •

В частности, когда в точке тела имеет место

одноосное напряженное состояние

р = у =ст3п ® п = & (у )п ® п, (8)

из равенств (7) следует, что компоненты тензора напряжений связаны соотношениями

агга]] = , аггак] = акгаг] -

При выполнении равенства (8) у тензора напряжений число независимых компонент будет равно трем (например, диагональные), задав которые можно найти остальные (недиагональные) компоненты.

Если разделить обе части равенств (8) на 1г(у)

(считаем, что /г(у) Ф 0), то придем к тензору

у / /г (у) = п ® п, у которого число независимых компонент равно двум.

Соотношения между компонентами тензора напряжений, вытекающие из условия пластичности при равенстве двух собственных значений тензора преобразованных напряжений

Известно, что состояние идеального жесткопластического материала при условии полной пластичности является локально статически определимым [7]. Покажем, что при условии

4 .

равенства двух главных значений тензора р= А: у , который для определенности будем называть тензором преобразованных напряжений, независимо от выбора условия текучести / (р) = 0 напряженное

состояние пластического тела будет локально статически определимым.

Рассмотрим случай, когда функция текучести является гладкой. Выберем в качестве независимых инвариантов тензора р след тензора /г(р), след

квадрата девиатора тензора р — /г (ё2) и след куба

девиатора тензора р — ґг ^ ). Условие пластичности запишем в виде равенства

/ (ґг (р), ґг (а2), ґг (аз)) = 0. (9)

Если дополнить условие пластичности (9)

равенством двух главных значений тензора р,

например, Р1 = Р2, то будем иметь систему

уравнений, которую запишем в виде (рис.1)

17(ґг (рх Р1- Рз) = а (10)

[ Р1 = Р 2.

В пространстве главных значений тензора р условию (8) соответствует линия на поверхности текучести, лежащая в плоскости Р1 = Р2 (рис.1).

Рис.1.

При выполнении условия теоремы о неявной функции [8] будем полагать, что из первого уравнения (10) следует соотношение

р\ - р3 = &ОСр)).

Тогда, учитывая второе равенство в (10) из (1) следует, что тензор р примет вид

р = Р1Е - £П ® П .

(11)

Из (11) находим, что кратное главное значение тензора р будет вычисляться по формуле

Р1 = з(ґг (р)+я ^ поэтому тензор р можно представить в виде

р = ■“(ґг (р) + я )Е - ЯП ® п , а девиатор тензора р следующим образом: а = я (-І Е - п ® п) .

Тензор ч, определяемый равенством (2), при выполнении условия (10) будет иметь вид 1

ч = р - з (ґг(р) + Я)Е ,

а, учитывая (з), Поскольку

ч = ® П .

и

р - 3 /г (р)Е = ё, то приходим к формуле

ч = 3 &Е - ё = gn ® п. (12)

Из (12) следует, что тензор 1 &Е - ё является

вырожденным, а ранг его матрицы равен единице. Тензор п ® п имеет две независимые компоненты,

следовательно, тензор — Е - ё / & также будет иметь

две независимые компоненты.

Если воспользоваться равенством (5) и учесть, что недиагональные компоненты (см. (12))

Хг] = Лг] , ^, ] = 1,2,3 г Ф ] ,

то получим следующие соотношения между компонентами девиатора тензора р :

(1з)

как

Здесь і, ] = 1,2,3, і ф ], К] = яіяп^у). Так

диагональные компоненты девиатора тензора связаны соотношением ё11 + ё22 + ёзз = 0, то из равенств (1з) следует, что все недиагональные компоненты ё] (і ф ]) тензора а выражаются через

две диагональные компоненты того же тензора, например, ё11, ё 22 и функцию я (ґг(р)):

ё12 = К12Л\(ё11 - 3 8)(ё 22 - 3 8 ),

Л32 =К32Л|(ЛП + Л22 + 3&)(:^& - Л22 ),

Л 33 =—(Л\\ + Л 22).

Используя формулы (12), можно получать различные соотношения между компонентами тензора р . Например, из (12) следует, что

Хк] = (рй -—/г(р) -3я)рк] - рырц = ° (14)

з

з

где г, ] = 1,2,3, гФ ] .

Из равенства (12) можно получить также следующие соотношения:

р и -(/г(р) + &)/3 р]

Ра -(ґг(р) + 8)/з

Рті пі • . • . • і л л

=--------= —, і ф ] ф т, і,],т = 1,2,з.

В случае, когда ребро поверхности

пластичности, определяемое системой

171 (ґг(р), ґг (а2), ґг(а3)) = 0,

172 (ґг (р), ґг (а2), ґг (аз)) = 0,

лежит в плоскости р :(1 ® 1 -т®т) = 0, все приведенные соотношения остаются без изменения.

В частном случае, когда рассматривается условие полной пластичности для изотропного идеально-пластического несжимаемого тела [2, 9, 10]

<71 - аз = ак, а = ^г8п(^1 - 73),

а-1 - 72 = 0

(16)

то формулы (9) принимают вид

аг, = %■,/ (°гг - 3 /Г(у ) - — ак\а ]} - 3 1г(у ) - |ак), ^

и } = 1,2,3, гф К] = ).

Эти соотношения можно представить в виде

стг7 = (стп -1 /г (у) - — ак)(&ц -1 /г(у)-—ак),

у ,, 3 3 п 3 3 (18)

г, ] = 1,2,3, г Ф ], К] = ^(ст,]-).

Из трех соотношений (17) или (18) независимыми являются два.

Если перейти к базису из собственных векторов тензора напряжений, то соотношения (18) примут вид

(2ст\ -ст2 -ст3 -ак)(2ст2 -ст— -ст3 -ак) = 0,

(2ст3 -Ст\ -ст2 -ак)(2ст\ -ст2 -ст3 -ак) = 0, (19)

(2ст3 -Ст\ -ст2 -ак)(2ст2 -ст— -ст3 -ак) = 0.

Можно заметить, что соотношения (19) отличаются

от условия пластичности (16).

Итак, если равны два главных значения симметричного тензора второй валентности р , то при выполнении условия

/ (/г (р), /г(ё2), /г(ё3)) = 0

можно получить соотношения, позволяющие выразить его недиагональные компоненты через две диагональные компоненты и след тензора.

Статически определимая пространственная задача для анизотропного идеальнопластического тела

Рассмотрим случай, когда равенство р=4А:у ,

4 а

где А — симметричный тензор четвертой валентности, можно разрешить относительно тензора напряжений

у=4 В:р,

где 4 В — тензор четвертой валентности,

4 4 4 4

определяемый из равенства В: А= I, I — единичный тензор четвертой валентности [11]. Поскольку

Рт] п]

у=4 В: (3 ґг (р)Е + ф, (20)

заменяя тензор напряжений в уравнении равновесия выражением, стоящим в правой части равенства (20), получим уравнение

У-(4В: (3ґг(р)Е + а)) = 0. (21)

Пусть заданы граничные условия в напряжениях

у • н = Рп ,

где н — вектор нормали к границе тела. Учитывая равенство (20), граничные условия в напряжениях будут иметь вид

(4В: (1 ґг(р)Е + а))• н = рп. (22)

Если условие пластичности определяется системой (15), то, как показано выше, все компоненты тензора р выражаются через три

величины, например, ґг(р), ё11 и ё22, тогда в координатной форме из уравнений (21) получаем систему трех уравнений относительно трех величин ґг(р) , ё11 и ё22 . (используется декартова

ортогональная система координат)

3

£ ]'г(р) +

к, ]=1 к

+ ВШ11ё11 + ВЫ22ё22 - Вкі33 (ё11 + ё22 ) +

+ 2ВкЛ2К12^(ё11 -38)(ё22 -38) +

+ 2Вкі13К3^(38 - ё11)(ё11 + ё22 + 38) +

+ 2В/а23К32^(ё11 + ё22 + 38Х38 - ё22 ) ) = 0.

В координатной форме левая часть равенства (22) будет также выражаться через величины ґг (р),

ё11, ё22 и координаты тензора 4 В .

Рассмотрим случай, когда

4 А: Е = 0 . (23)

При выполнении (22) тензор р будет девиатором.

Действительно, учитывая равенство (22), имеем

Е: р = Е:4 А:у = 0 .

Если тензор 4 А удовлетворяет условию (22), то будет выполняться равенство

4А:4Б=4А ,

где 4 Б = 41 -1Е ® Е .

3

Введем тензор четвертой валентности

4 А + аЕ ® Е,

где а — числовой коэффициент. Если существует тензор четвертой валентности 4В , такой что

(4 А + аЕ ® Е) :4 В =41,

то можно выразить девиатор тензора напряжений через девиатор тензора р 1:

8 =4 В :а, (24)

где 8 = у - ґг (у )/3. Учитывая равенство (24)

уравнение равновесия можно представить в виде

V • (3 ґг (у )Е+4 В :ф = 0 . (25)

Выше было показано, что при выполнении условия текучести и равенстве двух главных значений тензора р его девиатор а имеет не более двух независимых компонент. В координатной форме три уравнения (25) будут выражаться через три величины: ґг(у) и две компоненты, например, ё11 , ё22. Граничные уравнения в напряжениях (22) в рассматриваемом случае примут вид

(3ґг(у)Е+4В :ф • н = рп .

В случае, когда 4 А — изотропный тензор четвертой валентности, то есть 4 А = аЕ ® Е +р4Б (а, в — скалярные величины), соотношения теории течения анизотропного пластического тела, приведенные выше, переходят в аналогичные соотношения для изотропного пластического тела [2, 9, 17].

Свойства функции текучести

Рассмотрим изотропное идеально пластическое тело, когда р = у . Если функции текучести не зависит от гидростатического давления, то также будет выполняться равенство (рассматривается область гладкости функции текучести)

7: Е = 0. (26)

ду

Действительно, выбирая в качестве аргументов функции текучести полиномиальные инварианты

7(у) = 7(ґг(у),ґг(82),ґг(83)) ,

будем иметь

7 = 7е + 2-^-8 + 3-7-82 : 4Б . (27)

ду дґг(у) дґг(8 ) дґг(8з)

1 При рассмотрении ортотропного тела, когда оси декартовой системы координат ориентированы по осям симметрии тела, в работе [12] предложены иные соотношения связи компонент девиатора тензора напряжений и компонент тензора преобразованных напряжений (в работе [12] используется термин обобщенные напряжения). Если использовать матричную

форму записи тензоров 4 А и 4 В [11], то матрица для

тензора 4 В будет псевдообратной матрице для

тензора 4 А . Предложенный в настоящей работе алгоритм построения псевдообратных матриц отличен от алгоритма, изложенного в [1з].

Последние два слагаемых в правой части (27) определяют девиатор некоторого тензора, поэтому

д/-: Е = 3- д~

ду

дґг (у)

Однако, из условия (26), вообще говоря, не следует независимость функции текучести от гидростатического давления, то есть условие (26) не эквивалентно условию

дґг(у)

= 0.

(28)

Данный факт наглядно продемонстрирован на рис.2, когда равенство (28) выполняется только в точках поверхности пластичности, для которых ґг (у) = 0. Для анизотропного пластического тела, когда р=4А:у ,

если пластический потенциал не зависит от следа тензора р

7 (р)

дґг (р)

= 0

получается, что

7(а) :4 Б : 4 А .

ду

за

(29)

(30)

Рис.2. Пунктирной линией изображено множество точек поверхности пластичности, симметричной относительно девиаторной плоскости, для которых выполняется равенство Е: д/ / ду = 0.

Поскольку в рассматриваемом случае тензор д/ / дё не является скалярным или нулевым тензором, то

д/

тензор —: В — девиатор. Поэтому, если свертка дё

по двум индексам тензоров 4 А и Е 4 А : Е Ф 0 ,

то из (30) в общем случае следует, что

7

ду

: Е ф 0 .

7: Е = 0,

Однако при этом будет выполняться равенство

7

Эр

7(а) д7 .4,

(з1)

поскольку тензор

Зр за

является девиатором.

Отметим, что аналогично случаю изотропного материала, из условия (29) следует равенство (31), обратное не всегда имеет место.

Соотношения нормального закона пластического течения

Запишем условие пластичности в виде равенства

/(р) = 0, р=4А:у .

Связь между тензором пластических скоростей деформаций и тензором напряжений определим, используя нормальный закон пластического течения (ассоциированный закон пластического течения):

еР = ЛЬ : 4 А,

ду

(з2)

где И =

7 (р) др

Если рассматривается ребро поверхности пластичности, определяемое системой (10), то тензор скоростей пластических деформаций

определяется из обобщенного закона пластического течения

еР = (Я7 + Я2 д2): 4 А .

(33)

др др

В том случае, когда условие (10) можно представить в виде

[р :(1 ® 1 - п ® п) - & (/г (р)) = 0,

[р : (т ® т - п ® п) - & (/г (р)) = 0,

из равенства (33) следует, что

е р =1\(1 ® 1 - п ® п - & 'Е) +

+ Л,2(т ® т - п ® п - &'Е).

След тензора скоростей пластических деформаций, согласно (34), имеет вид

(34)

(35)

/г (ер) = -3&'(Л +^2).

Поскольку из (12) следует, что

п ® п=—е - а / &,

3

то, учитывая равенство (35) и исключая тензор п®п из (34), приходим к следующей записи нормального закона пластического течения:

а

Д

ґг (е Р )

е р + (---Е(— + &'))-= ?—1 ® 1 + Л2т ® т ,

& 3 3&' из которого следует векторное уравнение

(ер + (ё / & - Е(1/3 + &))/г(ер )/3&) • п = 0 .

Рассмотрим условие пластичности

анизотропного материала

тах{| (ег ® ег -е ,■ ® е ,■): р |} = 1, г (36)

г = 1 +3, ] = гmod3 +1.

Здесь ег, е] — собственные векторы тензора р .

Поверхность пластичности (36) можно рассматривать как аппроксимацию поверхности пластичности Мизеса для несжимаемого анизотропного пластического тела, задаваемой уравнением

ґг (е Р) = Е: е Р = 0.

(38)

р:р = у: А:у = 1

(37)

где 4 А=4 Ат :4А.

А:Е=0.

Взаимное расположение поверхностей, определяемых уравнениями (36) и (37), вполне аналогично взаимному расположению в пространстве напряжений поверхностей пластичности для изотропных тел, определяемых условием пластичности Треска и Мизеса.

Отметим, что тензор алгебраических дополнений ч к тензору преобразованных напряжений р при условии полной пластичности

является ноль тензором, следовательно, он соосен любому тензору. Соотношения, вытекающие из условия соосности тензора пластических деформаций и тензора алгебраических дополнений

ч, не эквивалентны соотношениям нормального закона пластического течения. Из соотношений соосности тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций, вообще говоря, не следует, что диссипативная функция

неотрицательная величина [5, 18]. Соотношения (14), выражающие компоненты тензора ч через компоненты тензора р , не являются иной формой записи условий пластичности (10).

Аналог условия несжимаемости для анизотропных пластических материалов

Имеющиеся экспериментальные данные показывают, что для анизотропных материалов условие несжимаемости пластических деформаций (равенство нулю первого инварианта тензора пластических деформаций) не выполняется [14, 15]. В работе [16], в рамках теории пластического течения идеально жесткопластических ортотропных материалов при рассмотрении квадратичных условий текучести, было введено понятие квазинесжимаемости, которое определяет равенство нулю первого инварианта образа тензора скорости пластической деформаций относительно некоторого специального автоморфизма.

Под пластической несжимаемостью понимают равенство нулю первого инварианта тензора скоростей пластических деформаций2

Для жесткопластического тела деформации е = ер . Для малых упругопластических деформаций можно считать, что тензор деформаций определяется суммой пластических и упругих деформаций. Полагая независимость упругих и пластических деформаций, представляя тензор деформаций в виде разложения

При использовании нормального закона пластического течения равенство (38) следует из предположения, что для изотропного идеально пластического тела пластический потенциал зависит только от девиатора тензора напряжений

ер = / = )/. 4В.

ду д«

Если принять, что условие (38) должно выполняется для любого напряженного состояния,

удовлетворяющего условию текучести вида / (1т(у ),1т(8 2),1х(8 3)) = 0, то при использовании нормального закона пластического течения функция / не должна зависеть от гидростатического давления

Е :еР =Я

7

дг(у)

= 0.

е = е(е ,ер) « е(0,0) +

де(е , ер)

де е

: е +

де(е ,ер) р ______________ * і±ґ

:е

Рассмотрим соотношения ассоциированного закона пластического течения (32) для анизотропного тела. Если тензору 4 А можно поставить в соответствие такой тензор четвертой

валентности 4 В , что 4 В:4 А=41 , то из (32) будет следовать равенство

щ =211, щ = ер:4В . (39)

Из (39) следует, что тензор щ сосен тензору р и в трехмерном пространстве главных значений тензора р вектор щ на участках гладкости поверхности пластичности направлен по нормали к этой поверхности.

Если функция пластичности зависит только от девиатора тензора р , то тензор 1 будет

девиатором, следовательно, тензор скоростей пластических деформаций не может быть произвольным, а должен удовлетворять условию

1г(ер :4 В) = 0. (40)

Условие (40) аналогично условию несжимаемости 1х(е р) = 0 для идеального жесткопластического тела и оно показывает, что в векторном пространстве, образованном тензорами второй валентности, все допустимые векторы ер (удовлетворяющие условию (40)) лежат в плоскости перпендикулярной вектору К=4 В:Е. В пространстве главных значений тензора р поверхностью пластичности будет некоторая цилиндрическая поверхность, образующая которой, параллельна

гидростатической оси. В пространстве напряжений поверхность пластичности также будет цилиндрической, но с образующей, определяемой тензором К .

Рассмотрим случай, когда напряженное

в линейном приближении приходим к равенству

состояние в пластическом теле удовлетворяет условию

(al ® l + bm ® m + cn ® n) :p = 1, (41)

где a, b, c — const. Из ассоциированного с условием пластичности (41) закона пластического течения следует, что

&(е р :4 B) = A(a + b + c). (42)

При условии a + b + c = 0 в пространстве главных значений тензора p уравнение (41) определяет

плоскость, параллельную оси р1 = p2 = р3, а уравнение (42) принимает вид (40).

Если имеет место равенство

4

A : E = О

4

(43)

то компоненты тензора A будут связаны соотношениями3

(44)

и3

Aiiii + A ii22 + A ii33 = 0,

A ii22 + A 2222 + A 2233 = 0,

A ii33 + A 2233 + A 3333 = 0

A iii2 + A 22i2 + A 33i2 = 0,

A ii23 + A 2223 + A 3323 = 0,

A iii3 + A 22i3 + A ^33!3 = 0.

Учитывая соотношения (44), получаем что

р\\ = А\2(ст22 -0’\\) + А\3(ст33 -0’\\), р22 = А\2(о"\\ -а22) + А23(а33 - а22 ), р33 = А\3(о"\\ -СТ33) + А32(а22 -СТ33).

Таким образом, при выполнении условия (43) равенство р= А: у определяет связь между девиатором тензора р и девиатором тензора напряжений.

Из нормального закона пластического течения (32) следует, что

1г(ер) = ДЬ: 4 А : Е .

Поэтому выполнение равенств (43) приводит к условию несжимаемости скоростей пластических деформаций.

Диссипативная функция

Используя тот факт, что любой тензор второй валентности равен сумме шаровой и девиаторной составляющих, диссипативную функцию

Б = у : ер

можно представить в виде суммы двух слагаемых Б = 3 /г (у): /г (е р) + 8 : е р,

Для ортотропного тела все коэффициенты Ащ = 0 (г ф ] ), поэтому остаются только соотношения (44) [1,

15].

где е р = е р - 3 /г (е р )Е .

Первое слагаемое определяет диссипацию, связанную с изменением объема от действия гидростатического давления, второе — диссипацию при изменении формы (при неизменном объеме).

Для рассматриваемой модели анизотропного пластического материала, если существует такой тензор 4В , что имеет место равенство 4 А:4В=41, то диссипативную функцию можно представить в виде

Б = щ: р . (45)

Выделяя шаровую и девиаторную составляющую у тензоров щ и р, получим следующую формулу:

i

D = 9*Kp): tr(щр) + щр:4D :р .

Если функция пластичности не зависит от tr (p), то будет выполняться равенство (40), поэтому

D = щр :4 D : p .

В ряде случаев диссипативную функцию для анизотропного пластического тела можно явно выразить через тензор щ. Например, если выполняется условие пластичности Мизеса [1]

Р : Р = у : 4A : у = 1, 4A=4A : 4A ,

то, используя связь между тензором напряжений и тензором скоростей пластических деформаций, определяемую ассоциированным законом пластического течения, диссипативную функцию можно представить в виде

D = Vщ: щ, щ=4 B : е р .

Для кусочно-линейных условий пластичности, когда напряженное состояние удовлетворяет равенству

а Р1 +«2 Р2 +«3 Рз = 1, (46)

согласно ассоциированному закону пластического течения (39)

СйР

тр = , Я=——, sign(ap) = sign(at). (47)

a

Учитывая соосность тензоров щ и p, формулу (45) можно представить в виде

D = юр pj + юр р2 + юр р3 .

Поэтому, принимая во внимание соотношения (46) и (47), диссипативная функция будет вычисляться по формуле

о

D=

Если тензор 4 А =а4В + /Е ® Е, то выражения для диссипативной функции, полученные выше, переходят в аналогичные выражения для диссипативной функции для изотропного пластического тела.

и

Литература

1. Mises R. Mechanik der plastischen Formanderung von Kristallen / R. Mises // Zeitschrift fur angewadte Mathematik und Mechanik.— 1928. — Bd. 8. — H. 3. — S. 161-185.

2. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 407 с.

3. Ху П. Анизотропные функции нагружения для сложных напряженных состояний в пластической области / П. Ху, Ж. Мэрин // Сб. пер. и обзоров иностр. период. Лит. Механика, 1956. — № 2. — С. —172-188.

4. Артемов М.А. Вариант теории пластического течения анизотропных материалов / М.А. Артемов, С. Н. Пупыкин, А. В. Рыжков // Вестник Воронежского госуниверситета. Сер. физ., матем. - 2002. - № 1. - С 69-73.

5. Артемов М.А. К теории пластичности анизотропных материалов / М. А. Артемов // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию А.Ю. Ишлинского. — М. : Физматлит, 2003. — С. 100-104.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1988. — 552 с.

7. Хаар А. К теории напряженных состояний в пластически сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности: Сб. статей. — М. : ИЛ, 1948. — С. 41-56.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. — М. : Наука, 1969. — Т.1. — 608 с.

9. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.

10. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. — М. : Машиностроение, 1975. — 400 с.

11. Дмитриенко Ю.И. Тензорное исчисление / Ю.И. Дмитриенко. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с.

12. Кузнецов Е. Е. Условие полной пластичности ортотропных сред / Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко, И.Н. Матченко // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию А.Ю. Ишлинского. — М. : Физматлит, 2003.

— С. 504-509.

13. Беклемишев В.Д. Дополнительные главы линейной алгебры / В.Д. Беклемишев. — М. : Наука, 1983. — 336 с.

14. Жуков А.М. Прочность и пластичность сплава Д16Т при сложном напряженном состоянии / А.М. Жуков. // Изв. АН СССР, ОТН, 1954. — № 6. С. 53-61.

15. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва / П. Бриджмен. — М.: ИЛ, 1955. — 444 с.

16. Матченко Н.М. Гипотеза квазинесжимаемости в теории идеальной пластичности ортотропного тела / Н.М. Матченко и др. // Сб. материалов международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии". Тула: ТулГУ, 2001. — С. 65-67.

17. Артемов М. А. Условие полной пластичности и ассоциированный закон деформирования / М. А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко // Вестник ВГТУ, 2009. — Том 5, №9. — С. 18-23.

18. Артемов М.А. Следствия нормального закона пластического течения / М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко // Вестник ВГТУ, 2009. — Том 5, №9.

— С. 145-147.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

GENERAL EXPRESSIONS OF THE PLASTIC FLOW THEORY FOR ANISOTROPIC PLASTIC BODIES

M.A. Artemov, S.N. Pupykin, A.P. Yakubenko

The system of three equations which depends on the trace of the stress tensor and the two components of the deviator stress tensor was obtained for anisotropic rigid-plastic body. For the anisotropic plastic body, whose properties do not depend on the hydrostatic pressure, the expressions between the components of fourth valence tensor which determines the body properties was found. Shown that zero sum of flow function derivatives by the stress tensor main components is not equivalent to independence of the flow function from hydrostatic pressure. Relations that are defined by the tensor components of the plastic deformations rate for compressible and incompressible anisotropic solid are obtained. Presentation of dissipative functions for different models supplied

Key words: anisotropy, flow theory, plastic material