CC BY
50
УДК 539
СООТНОШЕНИЯ ИЗОТРОПИИ И АССОЦИИРОВАННЫЙ ЗАКОН ТЕЧЕНИЯ М.А. Артемов, Н.С. Потапов
Для изотропного тела рассматриваются следствия ассоциированного закона пластического течения и условия соосности тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций
Ключевые слова: пластический материал, определяющие уравнения, ассоциированный закон течения
В математической теории пластичности используются разные предположения при построении определяющих уравнений.
В настоящей работе рассматриваются некоторые следствия ассоциированного закона пластического течения для кусочно-линейных условий пластичности и условия соосности тензора напряжений и скоростей пластических деформаций.
Пусть у и е — симметричные тензоры второй валентности. Если тензоры у и е являются соосными, то есть собственные векторы одного тензора являются собственными векторами второго, то будет выполняться равенство
у-е = е-у . (1)
Действительно, если обозначить через 1, т, п собственные векторы тензоров у и е, то
у - е = ^1^11 ® 1 + сг2е2т ® т + с^^п ® п = е - у .
В координатной форме (1) имеет вид
у щ е Ч] = е,дУ ; . (2)
Из шести равенств (2) три выполняются тождественно, когда I = ] . В ортонормированном базисе е1; е2, е3 равенства (2) в развернутом виде при /' ф ] записываются следующим образом:
0^11^12 + °12е22 +а13е32 =
= е11а12 +е12°22 +г13°32>
°21^13 +°22^23 +°23^33 = (3)
= е21°13 +е22°23 + г23°33>
°31г11 +°32^21 +°33^31 =
= е31°11 +Б32°21 +^33°31.
Условия (3) были приведены в работе [1] как условия совпадения главных осей тензора напряжений и тензора скоростей пластических деформаций.
Представляя теноры у и е в виде суммы шаровой и девиаторной составляющих
у = 3 Г (у )Е + 8, е = 1 /т(е)Е + d,
Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат.
наук, профессор, тел. (473) 246-32-85
Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (473)
220-83-37
где Е — единичный тензор второй валентности, получаем равенство
8 - (I = (I - 8 , (4)
которое равносильно равенству (1).
Отметим, что частным случаем соосных тензоров являются пропорциональные тензоры
( = Л8, (5)
которые также будут удовлетворять условию (4). Обратное утверждение в общем случае не имеет
места. То есть, если тензор 8 - ( симметричен, то
выполняется равенство (4), но равенство (5) при этом может не выполняться. В качестве примера рассмотрим два соосных взаимно ортогональных девиатора (8 : ( = 0):
( = ё (21 ® 1 - т ® т - п ® п),
(6)
8 = 5(п ® п - т ® т).
Тензоры 8 , ( и 8 - ( лежат в девиаторной гиперплоскости шестимерного линейного пространства, которое образуют симметричные тензоры второй валентности (рис.).
Несложно заметить, что тензоры (6) сосны, но не пропорциональны и равенство (5) не выполняться.
В работе [2] было показано, что если свертка 8 - ( двух симметричных тензоров 8 и ( — симметричный тензор, то тензоры 8 и ( будут соосными. Используя этот факт, рассмотрим вопрос о связи условий соосности тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций для изотропных тел и соотношений ассоциированного закона пластического течения. Для этого рассмотрим функцию пластичности общего вида 23
/к (1г (у),(8 ),{г (8 )). Здесь у тензор напряжений, 8 — девиатор тензора напряжений. Согласно ассоциированному закону пластического течения тензор скоростей пластических деформаций
ер = ЛЪ, Л> 0 , (7)
где И = _д/^E + 2 д/к2 8 + 3 д/к3 82:4 D. д/г(у) д/г(82) д/г(83)
Здесь 4D — изотропный тензор четвертой валентности, который при свертке по двум парам индексов с тензором второй валентности выделяет девиатор-ную составляющую тензора.
Рассмотрим некоторые следствия ассоциированного закона пластического течения.
Из ассоциированного закона течения, согласно определению производной изотропной скалярной функции по тензору [3] следует, что для изотропного идеально пластического тела тензор скоростей деформаций будет сосен тензору напряжений, следовательно, будет выполняться равенство
ер - у = у - ер .
Равенство (7) определяет пропорциональность тензоров ер и Ъ.
Из определения степени тензора [3] следует, что тензоры 8 и 82:4 D сосны. Единичный тенор Е сосен любому симметричному тензору. Таким образом, тензор ер будет соосен тензорам 8 , 82:4 D , Ъ,
Е . Следовательно, при выполнении ассоциированного закона пластического течения (7) будут также выполняться равенства
еР - 8 = 8 - еР , (8)
ер - И = И - ер, (9)
ер -(82:4D) = (82:4D) -ер . (10)
Выполнение равенства (8) влечет за собой выполнение соотношений (9) и (10).
Можно заметить, что равенство (8) не эквивалентно ассоциированному закону пластического течения (7). Равенство (8) будет выполняться для любого пластического потенциала для изотропных идеально пластических тел, но, вообще говоря, из равенства (8) не следует пропорциональность вида
(7).
Полагать, что (8) есть форма записи ассоциированного закона течения — равносильно следующему предположению: независимо от вида пластического потенциала ассоциированный закон приводит к одним и тем же соотношениям между напря-
жениями и скоростями пластических деформаций вида (8).
В качестве примера рассмотрим трехосное однородное напряженное состояние. Направление осей координат выберем вдоль собственных векторов тензора напряжений. Для изотропного идеально пластического тела согласно ассоциированному закону течения будем иметь соотношения
рр рр рР
—11 = р22 = ——33— = Л> 0. (11)
д/ / до11 д/ / до22 д/ / до33
Несложно проверить, что в рассматриваемом случае соотношения соосности тензоров у и ер будут выполняться тождественно. То есть соотношения соосности не приводят к каким-либо связям между компонентами тензора напряжений и скоростей пластических деформаций, как это следует из ассоциированного закона течения (11).
В заключении отметим, что условие (2) допускает любой знак диссипативной функции, поэтому, как отмечалось в работе [4], математические модели тел, включающие в себя соотношения (3), необходимо дополнять условием неотрицательности диссипативной функции.
Литература
1. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. — Т.1. / А.Ю. Ишлинский. — М.: Наука, 1986.-----407 с.
2. Радаев Ю.Н. О соотношениях перестановочности Иш-линского в математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2007. — №6(56). — С. 102-113.
3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1980.-----512 с.
4. Артемов М.А. К теории пластичности анизотропных материалов / М. А. Артемов // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летиюсо дня рождения А.Ю. Ишлин-ского. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - С. 100-104.
5. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластично-
сти / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.---704 с.
6. Артемов М.А. Следствия нормального закона пластического течения / М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко // Вестник: Вестник Воронежского государственного технического университета. — Том 5, №9, 2009. — С. 145-147.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет
ISOTROPIC RELATIONS AND THE ASSOCIATED FLOW LAW M.A. Artemov, N.S. Potapov
The article considers the consequence of the associated plastic flow law and coaxiality conditions of stresses tensors and plastic strain rate for an isotropic body
Key words: plastic material, determining equations, associated flow law
