CC BY
26
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 143-153 Механика
УДК 539.375
Об уравнениях предельного состояния идеально связных анизотропных сред при пространственном чистом сдвиге
Е. Е. Кузнецов, И. Н. Матченко, Н. М. Матченко
Аннотация. В трехмерном векторном пространстве главных напряжений рассмотрены плоскости кратности главных
напряжений. Показано что плоскости кратности являются плоскостями сингулярности напряженного состояния. Рассмотрено условие пластичности анизотропных материалов, пластические свойства которых не чувствительны к воздействию гидростатического давления. Пересечение поверхности пластичности с плоскостями сингулярности образует ребра полной пластичности. Для ребер полной пластичности выписаны уравнения пространственной задачи.
Ключевые слова: анизотропия, условие пластичности, полная пластичность, уравнения гиперболического типа.
1. Жесткопластический материал отнесем к лабораторной системе декартовых координат Хг (г = 1,2,3). Напряженное состояние элемента сплошной среды характеризуется тензором напряжения а^ или главными напряжениями аг и триэдром главных направлений.
В трехмерном пространстве главных напряжений аг вектор напряжения определяется как сумма векторов главных напряжений
Е = <71 +<72 + аз. (1.1)
Наряду с неупорядоченными главными напряжениями аг введем ранжированные (упорядоченные) главные напряжения а[, а3, а3. Условие ранжирования примем в виде неравенства а[ ^ а3 ^ а3. Растягивающее напряжение считается положительным.
Если в трехмерном векторном пространстве главных напряжений через ось гидростатического давления и ось главных напряжений провести три плоскости, то векторное пространство разделится на шесть равных секторов. Эти плоскости являются плоскостями кратности главных напряжений. Условие кратности главных напряжений проявляется в виде сингулярности
а2 = а[ или а2 = а3- (1-2)
Таким образом, на плоскостях кратности промежуточное главное напряжение равно минимальному или максимальному ранжированному напряжению.
Для плоскостей кратности характерна еще одна особенность. На площадках экстремальных касательных напряжений между касательными напряжениями
Т13 = 0.5(а1 - а3), Т32 = 0.5(а3 - а2), Т21 = 0.5(а2 - а[) (1.3)
существуют зависимости:
при а2 = а3 Т21 = —T13, Т32 = 0;
при а2 = а[ Т21 = 0, Т32 = — Т13,
то есть на плоскостях кратности главных напряжений одно из экстремальных касательных напряжений равно нулю, а два другие равны по модулю.
Вместо трех ранжированных главных напряжений а3 можно использовать их инварианты [1, 2]
7 =3к + 722 + а3), Ттах =2(а! — а3), ^ = 2а2 /К 73 , (1.4)
3 2 1 — 3 где а — среднее напряжение, гтах — максимальное касательное напряжение, — параметр Лоде [3]. Параметр Лоде изменяется в диапазоне — 1 ^ ^ 1.
При одноосном сжатии = 1, а при одноосном растяжении = —1.
Ранжированные главные напряжения связаны с инвариантами (1.4) соотношениями
3 Л 1 А 3 2 3 ( 1 Ч
а1 — а + I 1 з I ттах) а2 — а + 3 Ттах) а3 — а I 1+з ) Ттах-
(1.5)
Ось гидростатического давления делит каждую из плоскостей кратности на две полуплоскости. Напряженное состояние, соответствующее полуплоскостям, характеризуется тем, что параметр вида напряженного состояния принимает на них крайние значения = ±1.
Главные ранжированные напряжения на полуплоскостях кратности вычисляются по формулам
2 4
при = 1 а1 = а2 = а + з Ттах, а3 = а— 3 Ттах; (1.6)
4 2
при = -1 а[ = а + 3Ттах, 02 = = а — 3Ттах- (1.7)
Величина промежуточного главного напряжения определяется из условия равенства нулю определителя матрицы
/ а11 — а2 а 12 а13 \
а 12 022 — а2 023 . (1.8)
V а13 а23 а33 — а2 /
Поскольку главное напряжение а£ является кратным, то ранг матрицы (1.5) равен единице, и все ее миноры равны нулю [4]:
з з ___ 2 ^ ^ _ 2 ^ ^ _ 2 . (л п\
а11а22 = а12, а22а33 = а23, а11а33 = а13; (1-9)
7И723 — СГ12СГ13, Сг22сг13 — СТ12<723) 7l 3712 — СЛЗ^З, (1-10)
_ * r 3 r 3 r
где 7n — (711 - 0-2, ^22 — 722 - ^2, (733 = 733 - ^2•
В соотношениях (1.9) и (1.10) независимыми являются любые два из трех соотношений. Исключая из зависимостей (1.10) промежуточное главное напряжение , получим два квазилинейных условия совместности компонент тензора напряжения
711723 — 712713 — 722713 — 712 723 — 733712 — 713723- (1-11)
Условия (1.11) приводят к сингулярности девиаторных функций на
полуплоскостях кратности промежуточного главного напряжения.
Компоненты тензора напряжений 7j в лабораторной системе координат Xi связаны с компонентами ранжированных главных напряжений соотношениями
3
7ij — Y1 7Г , (1-12)
s=1
где rij — направляющие косинусы триэдра главных направлений. Девять направляющих косинусов связаны уравнениями ортогональности
rifc rfcj — ^ij) rfcirjfc — ^ij) (1-13)
где 5ij — символ Кронекера.
Подставляя зависимости (1.6) в соотношения (1.13), получим
22
711 — q + 91Гц - <?2Г31, 712 — 91Г11Г12 - <?2Г31 Г32,
722 — q + q1r22 - q2r22, 723 — 91^2^3 - 92Г32Г33, (1-14)
22
033 = 9 + 91^3 — 92^33, 013 = 91Г11Г13 — 92Г31Г33,
где 9 = а + 2^<гттах) 91 = (1 )ттах) 92 = (1 + )ттах.
На полуплоскостях сингулярности соотношения (1.14) принимают вид
а*7 = а^у + 2(^г^'/3 г«гг«7 )^«ттах (3 = 3, 1), (1-15)
где ^ = 8гдп(^ст). Символ ^ является маркером полуплоскости сингулярности.
Из (1.15) видно, что если на полуплоскости сингулярности параметр вида напряженного состояния равен единице, то характерным напряжением является минимальное ранжированное главное напряжение а^. А если на полуплоскости сингулярности параметр вида напряженного состояния равен минус единице, то характерным напряжением является максимальное ранжированное главное напряжение а^.
В соотношениях (1.15) из шести компонент тензора напряжения независимыми являются только четыре.
Несложно убедится, что при подстановке выражений (1.15) в условия совместности компонент тензора напряжения (1.19), (1.10) и (1.11) последние удовлетворяются тождественно.
Таким образом, сингулярность трехмерного векторного пространства главных напряжений является его топологическим свойством и не зависит ни от класса симметрии деформируемого твердого тела, ни его механических свойств.
2. Рассмотрим класс анизотропных материалов, пластические свойства которых не чувствительны к воздействию гидростатического давления. Для такого анизотропного жесткопластического материал условию пластичности общего вида можно записать в форме
ттах = /(^стI )• (2-1)
В качестве примера можно предположить, что предельная поверхность описывается обобщенной квадратичной функцией Мизеса
к12 (а11 — а22)2 + к23 (а22 — а33)2 + к13 ( а 11 — а33)2 + 2[к14( а 11 — а33) + к24( а22 — —а33) + к45а13 + к46а 12] а23 + 2[к15(а 11 — а33) + к25( а22 — а33) + к56а 12] а13 +
+2[к16( а 11 — а33) + к26 (а22 — а33)] а 12 + к44а23 + к55а23 + к66а22 = 11 (2-2)
где (тст) (£,п = 1, •••, 6) — механические характеристики
пластической анизотропии, зависящие от параметра вида напряженного состояния .
При пересечении предельной поверхности с полуплоскостями сингулярности образуются ребра полной пластичности
тгпах = / (гУ )|Мст = 1 = / (г3^) = /31 аГ = аГ (2-3)
или
тгпах = / (гУ )|Мст=-1 = / (г^) = /11 аГГ = аГ • (2-4)
Терминологию «полная пластичность» ввели Т.Карман и А.Хаар [5].
На ребре полной пластичности, в силу специфики полуплоскостей сингулярности, предельное состояние достигается на двух площадках экстремальных касательных напряжений одновременно.
Таким образом, каждое из ребер полной пластичности проявляются в виде пересечения двух плоскостей
а1 — а3 = 2/(г3.?) = 2/31 аГ — аГ = 2/(г3.?) = 2/3 (2.5)
или
а1 — а3 =2/(г1? )=2/11 а1 — а2 =2/(г1? )=2/1. (2-6)
Вид функций /1 и /3 устанавливается экспериментально при значениях параметра вида напряженного состояния = 1 и = —1 соответственно.
Пусть для условия пластичности (2.2) экспериментально определены механические характеристики анизотропии пластических свойств
4, = (^)|Мст = 1 и (^)|Мст=-1.
Тогда будем иметь
2/6 = {к12 (г22 — г21)2 + k2з(r33 — + к13(г23 — ^1)2 + 2[к14(г21 —
4(г 22 — г23) + к45Г11Г13 + к46г11г1 2 ]г12г13 + 2[к —
+^5^2 — г^3) + к56Г11Г12 ]г11Г13 + 2[к?6(^1 — г з 3) + к26(г 52 — 1Г12 +
+к44^2 & + *55^1^3 + к6 6r31r3J 1/2 (« = 11 3). (2.7)
На примере ортотропного материала рассмотрим возможности экспериментального определения механических характеристик к^. Для ортотропного материала условие пластичности (2.2) принимает вид
к12(^ст)(011 — 022)2 + к23(^ст)(а 22 — 033)2 + *13^ )(а 11 — 033)2 +
+к44 (^ст) а^ + к55(^ст) а23 + к66(^ст) а^ = 1. (2.8)
Если для ортотропного материала провести эксперименты на одноосное растяжение и сжатие образцов, вырезанных вдоль главных осей анизотропии и под углом п/4 к осям анизотропии в трех плоскостях симметрии, то можно найти
1 1 1 1 1 1
2к1 2 = _^ + 2-------2“ , 2к23 = _^ + 2----,
а«у а зг а«у а зг
2к 23 = -2Г + 2 2^, к44 = “2 ^ , (2-9)
2 2 2 2 2
^бу '-'бух х
к 2 = Л__________L к2 = —______________—
к55 = 2 2 , к66 = 2 2 ,
2 2 2 2
2Х X 2у ^2Жу ^2.2
где а2 Ж, а2у, а2 х — пределы пластичности при одноосном растяжении или сжатии вдоль главных осей анизотропии; а2ху, а2ух, а2хх — пределы пластичности при одноосном растяжении или сжатии образцов вырезанных в плоскостях симметрии под углом п/4 к главным осям анизотропии. При одноосном растяжении используется индекс в = 1, а при одноосном сжатии используется индекс в = 3.
Для ортотропного материала на ребрах полной пластичности имеем
2/1 = {к 62(г 22 — ^а)2 + k2з(r3з — ^У2 + к 2 3(г23 —
+к44г 22^3 + к55г21г 23 + к6 6r31r32} —1/2 . (2-10)
На ребрах пластичности условия совместности компонент тензора напряжения (1.9) и (1.10) принимают вид
(2 а11 — а22 — а33 — 2^2/2)(2 а22 — а11 — а33 — 2^2/2) = 9 а22,
(2 а22 — а33 — а11 — 2^2/2)(2 а33 — а11 — а22 — 2^2/2) = 9а33, (2.11)
(2 а11 — а22 — а33 — 2^2/2)(2 а33 — а11 — а22 — 2^2/2) = 9а23
или
(2а 11 — а22 — а33 — 2^2/2) а23 = 3 а12а13,
(2 а22 — а11 — а33 — 2^2/2) а13 = 3 а12а23, (2.12)
(2 а33 — ац — а 22 — 2£б/б) 012 = 3а 13023.
Получим соотношения ассоциированного закона пластического течения. Принимая соотношения (2.11) и (2.12) в качестве пластического потенциала, запишем:
£11 = 2А1 ^1 — ^2 д/ ^ а23 — А2 ^1 + 2$ 2 д/ ^ а13 — А3 ^1 + 2^1 д/ ^ а12, 2£ 12 = — А1 Г3а23 + 2$2 д/ а13^ — А2 Г3а23 + 2$ 2 д/ а13^ + (2.13)
+а2
д f
(2<733 — <711 — <722 — 2^«/«) — 2^2 д 2 <712
д<712
где — компоненты тензора скорости пластической деформации. Здесь по в не суммировать. Частные производные от функции /2 по компонентам тензора напряжения вычисляются по формуле
д/2 _ _д/2 дг^ + _д/2 дг^ + д/2 дг23 дт,- дг21 дт,- дг22 д7у дг23 дт,- ■
Для вычисления производных дг2 г/да^ проведем преобразования условий совместности компонент тензора напряжений на ребрах полной пластичности и запишем соотношения (2.11) в виде
2а11 — а22 — а33 = 2$2/2 (3г21 — 1), (2.14)
а соотношениям (2.14) придадим форму
а22 — а23 = 4/3r31(1 — ^1^ (2.15)
Если исключить из соотношений (2.13) и (2.14) функцию /2, то можно записать
(2аи — а22 — 033)2 (3г^ — 1)
а2 — а2 Г2 (1 — Г2 V (2.16)
а12 а13 ' 21(1 ' 21)
Отсюда можно найти производные дгет/да^.
Соотношения (2.16) были получены Д.Д.Ивлевым [6] с использованием условия пластичности Треска. Заметим, что соотношения (2.16) не зависят ни от класса симметрии материала, ни от его механических свойств. Они являются следствием условий совместности компонент тензора напряжения на полуплоскостях сингулярности.
Из ассоциированного закона пластического течения (2.13) следует условие несжимаемости
£11 + £22 + £33 = 0. (2.17)
3. В деформируемом твердом теле компоненты тензора напряжения 7^ должны удовлетворять уравнениям равновесия
Ц _0- (3Л)
На ребрах полной пластичности соотношения (1.15) принимают вид
+ 2(^І7/3 г2гг2^')^2/2 (в _ 3, 1). (3-2)
Подставляя зависимости (3.2) в уравнения равновесия, запишем
^ д7 і ^ /о ^ д/2 , д/2 , д/2 0дг31
2 аХГ + (1/3 - гм) дТ - /Лгг*2 - /ЛЛ3 - 2/Л1 дт
1
-/•1-^ + - /.(,,^ + г^) (123), (3.3)
д/в _ д/в дгві | д/в дгв2 і д/в дгвз
дх; дгві дхі + дгв2 дх; + дгвз дх; .
Присоединяя к трем уравнениям (3.3) условие ортогональности
г21 + г?2 + г 23 _1, (3-4)
для каждого ребра полной пластичности получим систему четырех
уравнений с четырьмя неизвестными 7, г2г.
Следуя Д.Д.Ивлеву [6] можно установить, что для каждого из ребер полной пластичности системы уравнений (3.3) и (3.4) принадлежат к гиперболическому типу.
4. Диссипативная функция рассеивания механической энергии при
пластическом деформировании имеет вид
О _ . (4_1)
где 7"^ _ Ту — 7 — девиаторные компоненты тензора напряжений, —
компоненты тензора скорости пластической деформации.
Для ребер полной пластичности запишем
О2 _ —2/(г 21Є11 + ^£22 + г 23£33 + 2^2г23Є23 + 2^ 1^3£13 + 2г21г22Є12).
(4.2)
Рассмотрим функционал
^2 _ — О2 — 7(е11 + е22 + е33) — А 2(г21 + г 22 + г«3 — 1)- (4-3)
Из экстремума функционала (4.3)
^ =0 (4-4)
получим
[г^П + Г 22£22 + Г 23£33 + 2(г21Г2 3£13 + Г 2 2Г2 3£23 + Г21Г2 2£12)] //д^1 + +2(г 21£11 + Г 2 2 £12 + Г 2 3£13)/2 = А2Г21,
[г^П + Г 22£22 + Г 23£33 + 2(г 21Г2 3£13 + Г 2 2Г33£2 3 + Г 21Г2 2£12)]д/2/дГ2 2 +
+2(г 21£12 + Г 2 2 £22 + Г23£13)/2 = А2Г22, (4.5)
[21£11 + Г 22£22 + ^£33 + 2(Г21Г2 3£13 + Г 2 2Г2 3£23 + Г 21Г2 2£12)]д/2/дГ2 3 +
+2(Г22£12 + Г 21 £13 + Г23£33)/2 = А2Г23.
Исключая из (4.5) параметр А2, получим уравнение
+ Г 22£22 + ^3 £33 + 2(Г2^£13 + Г22Г2 3£23 + Г 21^ 2 1 +
+2(Г21£ 11 + Г22£12 + Г23£13)/2 } = Г-21 {2(г 21£ 12 + Г 2 2£22 + Г23£13)/2 +
+ [Г 3l£l1 + Г 22£22 + Г2^ 23 + 2(г 21Г2 3£13 + Г 2 2Г2 3£23 + Г 21Г2 2£12)]д/2/дГ2 2} =
= Г —31{[г21£11 + Г 22£22 + ^£33 + 2(Г21 ^£13 + Г22Г2 3£23 + Г 21Г2 2£12)]д/2/дГ23 +
+2(Г2 2 £12 + Г 21£13 + Г23£33)/2 }. (4.6)
Компоненты тензора скоростей деформации £у связаны с компонентами вектора скорости перемещения щ соотношениями Коши
= (щад + %г)/2. (4.7)
Подставляя соотношения Коши в уравнения (4.6) и присоединяя условие несжимаемости (2.18)
^ = 0, (4.8)
получим три уравнения относительно трех неизвестных Uj.
Следуя Д.Д.Ивлеву [6], можно показать, что эти системы дифференциальных уравнений принадлежат к гиперболическому типу, а их характеристические многообразия совпадают с многообразиями для поля напряжений систем уравнений (3.3) и (3.4) соответственно.
Список литературы
1. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Об изоморфизме упругопластических свойств // Упругость и неупругость: матер. Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию А.А.Ильюшина. М.: Ленанд, 2006. С. 166-171.
2. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Формулировка условия предельного состояния изотропных сред в инвариантах собственных упругих состояний // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: сб. статей к 75-летию Е.И.Шемякина. М.: Физматлит, 2006. С. 369-375.
3. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов: сб. ст. // Теория пластичности. М.: Гост. издат. иностранной литературы, 1948. С. 168-205.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Гостехтеоретиздат, 1952. 335 с.
5. Хаар А., Карман А.К. Теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности: сб. пер. М.: ИЛ, 1948. С. 41-56.
6. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 234 с.
Кузнецов Евгений Евгеньевич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Матченко Илья Николаевич ([email protected]), д.ф.-м.н., доцент, кафедра городского строительства и архитектуры, Тульский государственный университет.
Матченко Николай Михайлович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
About the equations of a limiting condition of ideally coherent anisotropic environments at spatial simple shear
Y.Y. Kuznetsov, I.N. Mattchenko, N.M. Mattchenko
Abstract. In three-dimensional vector space of the main stress planes of frequency rate of the main stress are watch. It is shown that planes of frequency rate are of singular planes the intense condition. The condition of plasticity
of anisotropic materials which plastic properties are not sensitive to influence of hydrostatic pressure is considered. Crossing of a surface of plasticity with of singular planes forms edges of full plasticity. For edges of full plasticity the equations are written out.
Keywords: anisotropy, a condition of the plasticity, full plasticity, static definability, the hyperbolic differential equations.
Kuznetsov Yevgeniy ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.
Mattchenko Ilya ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, city construction and architecture, Tula State University.
Mattchenko Nikolay ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.
Поступила 15.08.2013
