К построению теории идеальной пластичности квазинесжимаемых ортотропных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

И.Н.Матченко К ПОСТРОЕНИЮ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ КВАЗИНЕСЖИМАЕМЫХ ОРТОТРОПНЫХ СРЕД

The affine spaces are introduced by means of affine coordinate transformations, displacement velocity vector components, stress tensor components and strain rate. The theorem of multitudeness of such spaces is proved. Hypothesis on plastic flow quasi-noncompressibility and condition of normalization of transfigu rating tensor components allow among the innumerable sets of affine spaces single out the ones in which the plastic flow will be uncompressed. Correlations for plane strain are obtained.

1. Квадратичное условие пластичности

Жесткопластический ортотропный материал отнесем к декартовой системе координат х, y, z, совпадающей с осями ортотропии.

Для ортотропного материала условие пластичности запишем в виде квадратичной функции компонент тензора напряжения:

А11с2 + А22сI + А33с2 - 2(А12СхCy + А13схсz +

+ А23сy Сz - А44с2х - А55с2z - А66с^ 1 (1А)

где сх, ..., сху — компоненты тензора напряжений, А11,...,А66 — экспериментально определяемые константы, характеризующие пластические свойства.

Параметры анизотропии А11,...,А66 связаны с величинами сопротивления материала пластическому деформированию следующими соотношениями:

. = 1 . = 1 . = 1 . = 1

А11 = 2 , А22 = 2 , А33 = 2 , A44 = 2 ,

С sх С sy С sz Т szх

1 1 „ „ 1 1 1

A55 = ~ , A66 = ~ , 2 А12 = ~ + "

55 2 ’ 66 2 ’ 12 2 ' 2 2 ^syz Tsхy Csy сsх с2,

1 1 1 1 1

2 Л13 ——г----------------I г-г-, 2 Л23 —— -Ъ - .

13 —2 2 2 ’ 23 2 2 2

авх ахг а2х(гх) аву ахг °2$(у2)

где ахх, а^, а^ — величины сопротивления материала пластическому деформированию при растяжении в главных осях ортотропии; т хху, т ^, т ^х — величины сопротивления материала пластическому деформированию при сдвиге по отношению к главным осям ортотропии; а2х (ху),а2х( у2 ),а2х (гх) — величины сопротивления материала пластическому деформированию при двухосном растяжении в соответствующих плоскостях ортотропии.

В отличие от известного условия пластичности Мизеса [1] соотношение (1.1) учитывает чувствительность ортотропного материала к гидростатическому давлению.

Принимая функцию (1.1) в качестве пластического потенциала, получим закон пластического течения

ех — ^(Л11ах - Л12ау - Л13а2 ) , вХЕ — ^Л44аХ2 , еу — МЛ22ау - Л12ах - Л23а2 ) , еу2 — ^Л55ау2 ,

— ^(Л33а2 - Л13ах - Л23ау ) , еху — ^A66аху ,

где ех,..., еху — компоненты тензора пластической деформации. Присоединяя сюда уравнения равновесия

дО х + д° ХУ + до хг _ 0

дх ду дг ’

до ху до у до

^ ^ ^ = 0,

дх ду дг

до хг + дОуг + до г _ 0

дх ду дг

и соотношения между компонентами тензора скоростей деформаций и вектора скорости перемещений

_ дих _ диу _ диг

х дх ’ у ду ’ г дг ’

диу дих диг диу диг дих

2ехУ _— +—-, 2еуг _—- + —-, 2ехг _—- + —-, дх ду ду дг дх дг

где их, иу, иг — компоненты вектора скорости пластической деформации, получим замкнутую систему уравнений теории пластичности ортотропной среды.

Использование приведенной системы уравнений для решения конкретных задач наталкивается на значительные трудности, поэтому предложены различные упрощения исходного условия пластичности, заключающиеся в формулировке условий совместности характеристик пластической анизотропии. Например, условия пластичности Мизеса — Хилла [2] и Толоконникова — Матченко содержат по три условия совместности характеристик пластичности.

Рассмотрим вариант построения уравнений теории идеальной пластичности орто-тропных сред, содержащий только одно условие совместности.

2. Теорема о множественности представлений ортотропного материала в аффинных пространствах

Теорема 1. Аффинные преобразования координат, скоростей перемещений, скоростей деформаций и напряжений позволяют для жесткопластического ортотропного материала, подчиняющегося квадратичному условию пластичности, получить бесчисленное множество изоморфных модифицированных пространств, в которых ортотропные материалы отличаются друг от друга только коэффициентами пластической анизотропии.

Доказательство. Введем аффинные преобразования

координат:

Е, _ Ах, п _ Ву, £ _ Сг; (2.1)

скоростей перемещений:

и^ _ их / А, ип _ иу /В, и(. _ иг /С; (2.2)

напряжений:

_ А2ох, оп _ В2оу, _ С2ог,

°§П _ АВоху , °Г|? _ ВСоуг , _ АСогх ;

скоростей деформаций:

е^ _ ех / А2, еп _ Єу /В2, е? _ Єг /С2;

(2.3)

(2.4)

еху !ЛВ, еу2 !ВС, е2х !ЛС,

где Л, В, С — пока неизвестные компоненты преобразующего тензора.

Несложно видеть, что преобразования (2.1)-(2.4) переводят ортотропный материал из физического пространства в аффинное, сохраняя класс симметрии. Основные уравнения при этом принимают следующий вид: условие пластичности:

В11а^ + В22ап + В33°г; - 2(В12+ В13а^°г; +

+ В23°л°С - В44°а - В55сл£ - В66°2л ) = 1 (2.5)

где

В11 = Л11 / А , В22 = Л22 / В , В33 = Л33

/ С4

В12 = Л12/А2В2, В23 = Л23 /В2С2, В31 = Л31/С2А2,

В44 = Л44/ А2С2, В55 = Л23/ В 2С2,

Вбб = Л31 / Л2 В 2;

уравнения равновесия:

д5

дс

+ -

5п

дс

5п

дп

дс

дп

дсп

дп

дс

дС

дс

п£

п£

соотношения Коши:

еп =■

д5

ды^

дып

дп

д ы^

"дГ

дп

2е5п ='

дС

дс^

"дГ

дып

д5

= 0,

= 0,

= 0;

ды

дп

дыг дып

2епг = — + — п? дп дС

2е?5 =■

+ -

д5 д С

ассоциированный закон пластического течения:

1с5 — В12 сп — В,3сг ), е

е5 = ^(В11с5 В12 сп В13сг; ) ,

еп = МВ22сп — В12с5 — В23с^ ) ,

ег; = ^(В33с^ В13с5 В23сп) , е5п = ^66с5п.

^ = ^В44с^5 ,

п? = ^В55сп?,

(2.6)

Уравнения теории идеальной пластичности ортотропного материала в аффинных пространствах по написанию совпадают с аналогичными уравнениями физического пространства.

Обратим внимание, что преобразования (2.1)-(2.4) переводят анизотропный материал в аффинные пространства таким образом, что диссипация механической энергии в физическом и аффинных пространствах тождественна:

О = с ХеХ + с уеу + с 2е2 + 2(с хуеху + с у2еу2 + с 2Хв2Х ) =

= с5 е5 + спеп + с? ег; + 2(с5пе5п + сп? еп? + с?5 е?5 ).

Таким образом, ортотропному материалу (1.1) в физическом пространстве сопоставлен в аффинных пространствах жесткопластический анизотропный материал (2.5).

Поскольку компоненты преобразующего тензора Л, В и С выбираются произвольно, то исходному материалу (1.1) можно сопоставить бесчисленное множество материалов

(2.5).

3. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения ортотропного материала

Введем понятие квазинесжимаемости. Ортотропный материал, пластическое течение которого обладает свойством несжимаемости в одном из аффинных пространств, будем называть квазинесжимаемым.

Теорема 2. Если пластические характеристики ортотропного материала удовлетворяют ограничению

Л11Л22 Л33 2 Л12 Л23 Л13 Л13 Л22 Л23 Л11 Л12 Л33 = 0,

(3.1)

то это условие выделяет аффинные пространства, в которых этот материал будет квазине-

+

5

сжимаемым:

+ еп + е- = 0.

Доказательство. Из (2.6) и (3.2) следует:

В11 = В12 + В1

Уравнения (3.3) запишем в физическом пространстве:

13, В22 “ В12 + В23 , В33 “ В13 + В23 .

А„/ А2 - А12/ в 2 - А13/ С2 = 0,

- А12 / А2 + А22 / В2 - А23 / С2 = 0,

- А13 / А2 - А23 / В2 + А33 / С2 = 0.

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Система уравнений (3.4) является однородной относительно неизвестных 1/А2, 1/В2 и 1/С2, поэтому ее определитель равен нулю:

А11 - А12 - А13

- А12 А22 - А23 = 0

- А13 - А23 3 3

Отсюда следует (3.1).

Условие (3.1), выраженное через величины сопротивления ортотропного материала пластическому деформированию, можно записать в такой форме:

4

а 2 а 2 а 2

^ях^яу^яг

1

1

1

2

а2я(ху)

1

1

а"2 + а"2""

^ СГ ^ Є7

1

(

1

1

а 2 + а 2

у а яу а яг

1

2

а 2я(гх)

а

(

2

2я( Уг) 1

11

а 2 + а 2

у ЯХ яу

2

2я(ху)

Л

2

2

2я(гх)

(

11

а 2 + а 2

у а яу а яг

2

2я(уг)

а

■ = 0.

Для перехода в пространства, в которых материал будет квазинесжимаемым, возникает необходимость нахождения значений А, В и С.

Зададимся значением одной из компонент, например 1/ С2 = К, тогда из первых двух уравнений (3.4) найдем

А = ± К

( а А - А А Л12

а12 а23 а13 а22

А11А22 - А12 у

В = ± К

( а А - А А Л1/2

А13 а12 а11а23

А11А22 - А12 у

Поскольку в силу положительной определенности пластического потенциала (2.1) должны соблюдаться неравенства А11 А22 А12 > 0, А22 А33 А23 > 0, А11А33 А13 > 0, то

следует, что компоненты А и В преобразующего тензора являются действительными числами.

Подставляя (3.3) в условие пластичности (2.5) получим:

В12(а? - ап )2 + В13(а? - а? )2 + В23(ап - а? )2 + 2(В44а^^ + В55а ^ + В66а 2п ) = 1 (3.5)

Ассоциированный закон пластического течения теперь записывается в виде

е

^ = ЦВ12(а^ - ал ) + В13(а? - а? )], е^ = ЛВ44, 'л = ЦВ23(аг| - а? ) + В12(ап - а? )], ел? = ^В55ап? ,

(3.6)

е(. = ЦВ13(а^ а^ ) + В23(а^ ап ), е5п = ^В66 а£г| .

Из (3.5) как частные случаи при равенствах В12 = В13 = В23 = 1 получим условие пла-

х

X

2

1

1

X

а

2

1

1

1

1

1

а

а

стичности Толоконникова — Матченко, при этом а = (А33 /Ап)1/4, Ь = (А33 /А22)1/4, с = 1, а при равенствах А = В = С = 1 — условие пластичности Мизеса — Хилла.

Подчеркнем, что введение гипотезы о квазинесжимаемости накладывает только одно ограничение на пластические характеристики ортотропного материала, тогда как модификации Мизеса — Хилла и Толоконникова — Матченко накладывают по три ограничения. Следовательно, гипотеза о квзинесжимаемости является менее жесткой, чем гипотеза о несжимаемости в физическом пространстве. Отсюда также вытекает, что гипотеза о несжимаемости пластического течения в физическом пространстве является частным случаем гипотезы о квазинесжимаемости.

В физическом пространстве условие пластичности (3.5) записывается в виде

В12(А20 х - В 2°у )2 + В23(В 2°у - С 2° е)2 + В13(А20 х -

- С2ог )2 + 2(В44А2С^ + В55В2С2о2„ + В66А2В2о2) = 1

или

В12(А20 х - В 2° у )2 + В23(В 2° у - С 2° е)2 + В23(В 2 О у - С 2 О 2)1 +

+ В13А Ох - С2О2)2 + 2(А44С22 + А55©^ + А66 О^ ) = 1

а ассоциированный закон пластического течения — в виде

= Ы2[Вп(А2о х - В2 о у) + В13(А2 О х - С2 о 2)],

еу = 1В 2[В23(В2 о у - С2 о 2) + В12(В2 о у - А2 о х)],

^2 = ^С 2[В13(В2 о у - А2 о х) + В23(С2 о 2 - В 2о у)],

е 2Х = ^А44О 2Х , ех2 = ^А55° у2 , еху = ^А66 О ху ■

4. Плоская деформация

Пусть при плоской деформации главные оси ортотропии 2 в физическом пространстве и £ в аффинном нормальны к плоскостям течения. В этом случае деформации вдоль

осей 2 и £ отсутствуют, т.е.

е2 = 0, = 0. (4.1)

Из ассоциированного закона пластического течения (3.6) найдем:

°г; = (В13°§ + В23Оп )/(В13 + В23).

Подставляя значение из (4.1) в условие текучести (3.5) и принимая во внимание, что для рассматриваемого случая = ол^ = 0, получим:

/(о? - ол)2 + 2В66О2п = 1, (4.2)

где / = (В13В23 + В13В12 + В23В12)/( В13 + В23).

Условие пластичности (4.2) представим в форме

(Ое - оп )2 2 2

—------— + О = т 2, (4.3)

4(1 - т)

где т =1 -в66//; т = 1^2В66.

Условие (4.3), записанное в аффинном пространстве, совпадает по форме с аналогичным двухпараметрическим условием Хилла. В физическом пространстве условие (4.3) содержит четыре параметра анизотропии.

Условию текучести (4.3) тождественно удовлетворим подстановкой

= о + тсоз2ф, оп = о - тсоз2ф, = тзт2ф, (4.4)

где т = T-у/(1 - m) /(1 - m sin2 2ф); а = о,5(о; + ап ).

Уравнения равновесия в аффинном пространстве в случае плоской задачи записываются в виде

да; да£п да£п дап

—^ + —^ = о, —^ п = о,

д; дп д; дп

Подставляя (4.4) в уравнения равновесия, получим:

да „ . „ дф дф і , дф . дф^І dт

-----2т sin2ф------+ 2т cos2ф--------+l cos2(»--+ sin2ф— і— = о,

д; д; дп V д| дпУ dф

да - . , дф дф і дф . дф) dт

-----+ 2sin2ф------+ 2cos2ф--------+1 cos2ф---sm2(»— і— = о.

дп дп д; V д; дп J dф

Эта система уравнений является гиперболической, а характеристики и соотношения между искомыми функциями о и ф вдоль характеристик a и р имеют вид

I ] = (і - m )tg2ф ±-\J 1 + (1 - m)2tg^,

V ^ J a, В

= (1 - m

4P . (4.5)

с/2T ± g(ф) = const, 2g(ф) = _msin2^cos2^ + e(0^Vm),

■y/l - m ^ш22ф

где sin2ф = sn(0^vm), причем sn(0,vm) — якобиан эллиптической функции с модулем

4ш, а £(0,Vm) — стандартный эллиптический интеграл второго рода:

2ф

e (0,vm)= JV1

- m ;sin;20d0.

о

Для определения и е и и п имеем уравнение связи напряжений и скоростей деформации. Из (4.3) получим

(1 - m )

и уравнение квазинесжимаемости

; ии п д дп

д дп

= (а; - -п )/2а;п (4.б)

5мс дип

^ + = 0. (4.7)

д; дп

Легко убедиться, что система уравнений (4.6), (4.7) является гиперболической и имеет характеристики, определяемые соотношениями (4.5), а вдоль характеристик имеют место следующие соотношения:

д.П - Кёф1 = 0 вдоль характеристики а,

&¥ - Шф1 = 0 вдоль характеристики в , где и,¥ — компоненты скорости, отнесенные к характеристикам; ф' — угол между первой характеристикой и осью .

1. Mises R. // Z. angew. Math. Und Mech. 1928.Bd. 8. №5. S.^l-^.

2. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 195б. 4о7 с.