Научная статья на тему 'Изучение влияния линейных размеров наноплиты на значения модулей Юнга и жесткостей'

Изучение влияния линейных размеров наноплиты на значения модулей Юнга и жесткостей Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
209
40
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
NBI-technologies
Область наук
Ключевые слова
ГРАФЕН / МОДУЛЬ ЮНГА / УРАВНЕНИЕ ПРОГИБА / ЗАКОН ГУКА / РАЗМЕРНЫЙ ЭФФЕКТ / МЕТОД ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ АТОМНЫХ ОРБИТАЛЕЙ / YOUNG'S MODULUS / HOOKE'S LAW / GRAPHENE / STIFFNESS EQUATION OF THE DEFLECTION / SIZE EFFECT / METHOD OF LINEAR COMBINATION OF ATOMIC ORBITALS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Глухова Ольга Евгеньевна, Вецель Сергей Сергеевич

Экспериментально уже установлено, что модуль Юнга графена в 5 раз больше модуля Юнга стали. В настоящее время изучаются другие упругие характеристики графена, в частности жесткости, функция прогиба и др. Целью данной работы является определение жесткостей и построение уравнения прогиба нагруженной равносторонней графеновой однослойной нанопластинки размером ~32 нм при помощи метода линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) в рамках теории упругости тонких плит, а также определение размерного эффекта для упругих характеристик.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Глухова Ольга Евгеньевна, Вецель Сергей Сергеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Experimentally found that the Young's modulus of graphene to 5 times more of Young's modulus of steel. Currently exploring other elastic properties of graphene, in particular the stiffness, Poisson's ratio, a function of deflection, etc. The purpose of this study is to determine the stiffness and the construction of the equation of deflection loaded equilateral-layer graphene plate size ~32 nm by the method of linear combination of atomic orbitals (LCAO) using elasticity theory of thin plates, and determination of the size effect for the elastic characteristics.

Текст научной работы на тему «Изучение влияния линейных размеров наноплиты на значения модулей Юнга и жесткостей»

© Глухова О.Е., Вецель С.С., 2011

УДК 539.2.21 ББК 30.6

ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ НАНОПЛИТЫ НА ЗНАЧЕНИЯ МОДУЛЕЙ ЮНГА И ЖЕСТКОСТЕЙ

О.Е. Глухова, С.С. Вецель

Экспериментально уже установлено, что модуль Юнга графена в 5 раз больше модуля Юнга стали. В настоящее время изучаются другие упругие характеристики графена, в частности жесткости, функция прогиба и др. Целью данной работы является определение жесткостей и построение уравнения прогиба нагруженной равносторонней графеновой однослойной нанопластинки размером ~32 нм при помощи метода линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) в рамках теории упругости тонких плит, а также определение размерного эффекта для упругих характеристик.

Ключевые слова: графен, модуль Юнга, уравнение прогиба, закон Гука, размерный эффект, метод линейной комбинации атомных орбиталей.

1. Математическая модель изгиба тонких плит

Под пластинкой будем понимать упругое и ограниченное двумя параллельными плоскостями тело. Отнесем пластинку к системе координат, которую выберем следующим образом: плоскость XY совместим со срединной плоскостью, а ось г перпендикулярно. Пластинка, которая работает на изгиб, называется плитой. В случае с графеновым листом под двумя параллельными плоскостями понимаются виртуальные плоскости, ограничивающие монослой графена в пределах межслойного расстояния в графите 0,34 нм. Срединной плоскостью ХТ примем плоскость, проходящую через центры атомов. Таким образом, задача об изгибе графена (наноплиты) может, в рамках указанного приближения, рассматриваться как трехмерная задача теории упругости.

Теория равновесия плиты, защемленной по краям, построена на двух предположениях: 1) прямолинейные отрезки, которые в неде-формированном состоянии пластинки были нор-

мальны к ее плоской срединной поверхности, при изгибе остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности (гипотеза прямых нормалей) и не изменяют своей длины; 2) нормальное напряжение oz в сечениях, параллельных срединной плоскости, есть величина малая по сравнению с напряжениями в поперечных сечениях - о

о оу (первая тройка напряжений).

Уравнения равновесия плиты записываются в виде:

'дох дТф дх^ _ _

Эх Эу dz

I дау дту2_ л

| Эх Эу dz

£1*2+ Зту2 | дог _ Q ь Эх Эу dz

где ох, оу - главные напряжения;

т - касательное напряжение.

Уравнения закона Гука [2]:

■е* = а11 °х + а12 + а13 °z + a 16 T bxy

ЕУ = а12 °х + а22 + а23 °z + а2Ь T Lxy

а13 °х + а23 °у~^~а33 öz + a36 ^xy

Yyz = а44 Т Lyz + а45 T-xz

Yxz Tyz + азв 7-XZ

II : а16 ах + а2 6 öy + азе , ez + a66 T

Здесь а11, а12, ..., а66 - упругие постоянные (коэффициенты деформации); еу - относительная деформация вдоль главной диагонали гексагональной решетки графена; ех -относительная деформация вдоль меньшей диагонали, перпендикулярной главной диагонали гексагональной решетки графена; уху - относительный сдвиг.

На основании второго предположения теории Кирхгофа в уравнениях закона Гука а^ можно положить равными нулю и рассматривать два первых и шестое уравнения представленной выше системы:

Е* = а п о-* + а12 ау + а16 Т

£У = а12 Ох + а22 аУ + а26 т ху

II £ а36 О* + а2& аУ + а66 Т

Эту систему можно рассматривать как систему трех алгебраических уравнений относительно а , а , х . Решая ее, получим:

х’ у7 Ху ? ^

°х = (а22 аЬ6 ~ а2ба2б) £х +

+ (а26 °16 — а12аб6 ) £у +

&9А Л.С1п

"Ка12а26 а1ба22 ) Удгу-

Аналогичные уравнения получаются для а ,х . Если ввести обозначения

у Ху

Яда Л

22 и66

26а26

,)

Са2

Д

<х і ¿г а і

(В., называются приведенными коэффициентами деформации), то для напряжений можно записать:

— ВцЕх + В ± 2 Еу

= В12 ¿х +В22 Еу &26 Еу

'16

В 16 Уху В26 Уху $66 Уху

Введем новые постоянные:

СГВЧ=1,2, 6).

Постоянные Я . называются жесткостя-

У

ми: D11 и D22 - жесткости изгиба относитель-

но осей OY и ОХ соответственно; Я, - жест’ 66

кость кручения; h - толщина пластинки.

В итоге основное дифференциальное уравнение теории изгиба тонких анизотропных плит имеет вид:

+ 2(И 12 + 2Б66)

+ 40

3 »■ Эх2Эу2 Э4№

+

(1)

26

+ С22 ТТ =СЛХ’У)’

где

Эхдуа “ Эу*

q(x, у) - действующая на плиту нагрузка;

Ж = Щх, у) - функция прогиба пластинки.

Графен имеет два различных модуля Юнга в направлении осей Ох и Оу, а значит его можно считать ортотропным материалом. Ортотроп-ный материал - такой материал, у которого в каждой точке имеется три плоскости упругой симметрии. Пусть три плоскости упругой симметрии совпадают с координатными плоскостями, тогда а16 = а26 = 0. Упростим основное дифференциальное уравнение теории изгиба тонких плит (1). Введем технические константы:

а22 = 1/Е2, а12_ ' ¿Г абб _ 1^’

где

Е1 - модуль Юнга вдоль оси ОХ,

Е2 - модуль Юнга вдоль оси ОУ

2А и

ЕГ£2Р1

и1, и2 - коэффициенты Пуассона вдоль осей Ох, Оу соответственно;

G - модуль Юнга второго рода:

Е

о =

2(1

Выразим приведенные коэффициенты деформации и жесткости через модули упругости:

^ 11~а22Ка11а22 ~ а12^) —

= £"1/(1 — ^^2), ®22=^г/(1 — ^1^2)’

®12= 1^1 £2/(1 — =

= ^£:/(1-ад),в:б =

=В26=0, ^бб=1/аба= б1,

и

12(1 -А±ва)

Діб — ^26 — 0.

03 - 012 + 2066 — т9201+20к —19^2+2Ок.

Уравнение для функции прогиба Ж для ортотропного материала принимает вид:

В1^-^ + 2В3 ~~ + Дт~~~ =^/(х, V). (2) 1 а^* 3 Эд^Эу2 2 эу > у >

2. Размерный эффект

В нашей работе мы также рассмотрели влияние размерного эффекта на значения модулей Юнга Ех и Еу и жесткостей ^1, D2, D3 (рис. 1-5). В ходе исследования мы постепенно увеличивали линейные размеры образцов, таким образом было проведено 60 отдельных экспериментов. В результате получены экспериментальные данные, которые позволили вычислить значения соответствующих модулей Юнга и жесткостей, которые являются коэффициентами при частных производных в уравнении (2).

Рис. 1. Размерный эффект для модуля Юнга Е (линейные размеры приведены в ангстремах, значения модуля Юнга - в ТПа)

Рис. 2. Размерный эффект для модуля Юнга Еу (линейные размеры приведены в ангстремах, значения модуля Юнга - в ТПа)

4,61

Рис. 3. Размерный эффект для изгибной жесткости Я (линейные размеры приведены в ангстремах, значения жесткости - в ТПа*м3)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 4. Размерный эффект для изгибной жесткости Б2 (линейные размеры приведены в ангстремах,

значения жесткости - в ТПа*м3)

4,61 7,06 9,52 12,00 17,18 22,19

Рис. 5. Размерный эффект для крутильной жесткости В3 (линейные размеры приведены в ангстремах,

значения жесткости - в ТПа*м3)

3. Квантовая модель графена: метод линейной комбинации атомных орбиталей

Метод ЛКАО (или метод сильной связи) был ранее представлен в [1] и модифицирован для изучения стабильности углерод-

ных нанокластеров. В рамках данного метода полная энергия системы ионных ядер и валентных электронов записывается следующим образом:

ЕШ = ЕЬоМ + Егер + EvdW . (3)

В данном выражении ЕЬопа - энергия связи структуры, которая вычисляется как сумма энергий одночастичных заполненных состояний. Эти энергии находятся в результате решения уравнения Шредингера

H|шn > = е„|ш„ >,

(4)

где Н - одноэлектронный гамильтониан; в - энергия п-го одночастичного состояния.

Волновые функции | уп ) могут быть аппроксимированы линейной комбинацией атомных орбиталей (ЛКАО)

|пп )=Е С«1 Ф/б), (5)

где К а} - ортогональный базисный

набор;

I - индекс квантового числа;

а - обозначает ионы.

Матричные элементы в уравнении (4) были вычислены после подбора подходящих данных, полученных из эксперимента.

Терм Еер в уравнении (3) - феноменологическая энергия, которая представляет собой отталкивательный потенциал. Эта энергия может быть представлена в виде суммы парных потенциалов

Екр =1^ У, (6)

б,в) б

парный потенциал между атомами а и р. Этот потенциал описывает взаимодействие между связанными и несвязанными атомами [1]:

где

V -

гер

V = V0

гер цу

1.54

ар

х ехр<{ 2.796

'ар

2.32

1.54

232

(7)

где

1 и, - орбитальные моменты волновой функции, у представляет тип связи (а ог л). Значения пара-

V!:

метров V0 = 3.969;

5р<3 ’

С = -4.344; V0 = 5.457;

рра ’

Vй =-1.938 еУ [1].

ррл L J

4. Результаты

Вычислены значения модуля Юнга, модуля Юнга второго рода для графена и рассчитаны жесткости. Результаты приведены в таблице 1. Для сравнения: модуль сдвига для алмаза составляет 478 ГПа, а модуль Юнга для стали 210 ГПа. Для образцов графена микронных размеров были получены значения модуля Юнга 1,0 ± 0,1 ТПа [3]. Это достаточно хорошо согласуется с полученными здесь результатами: с увеличением размеров образца модуль Юнга будет увеличиваться, стремясь к определенному значению (по аналогии с углеродными нанотрубками [1]).

Таким образом, зная жесткости и приведенные коэффициенты деформации В., для графена (табл. 2), мы можем записать систему для определения главных и касательных напряжений, а также и уравнение для функции прогиба Ж(х, у). Следовательно, зная коэффициенты уравнения для функции прогиба, можно решать задачу изгиба гра-феновой наноплиты.

Таблица 1

Значения модуля Юнга первого и второго рода, коэффициентов Пуассона

2.796

х

+

Модуль Юнга Ех (Яі). ТПа Модуль Юнга Еу(Ег), ТПа Коэффициент Пуассона Коэффициент Пуассона Уг Модуль сдвига Сд., ТПа Модуль сдвига С , ТПа

0,852 0,671 0,92 0,062 0,39 0,32

Таблица 2

Значения приведенных коэффициентов деформации и жесткостей

В11 В22 В12 В66 Й1, ТПа * м3 В2, ТПа * м3 Б3, ТПа * м3

0,8568 0,6749 0,0620 0,3902 2,806 * 10-30 2,211 * 10-30 2,243 * 10-30

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глухова, О. Е. Теоретическое изучение зависимостей модулей Юнга и кручения тонких однослойных углеродных нанотрубок «zig-zag» и «arm-chain> от геометрических параметров» / О. Е. Глухова, О. А. Терентьев // Физика твердого тела. -2006. - Т. 48, вып. 7. - С. 1329-1335.

2. Лехницкий, С. Г Анизотропные пластинки / С. Г. Лехницкий. - М. : Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1957. - 463 с.

3. Changgu, Lee. Measurement of the Elastic Properties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene / Changgu Lee, Xiaoding Wei, Jeffrey W. Kysar, James Hone // Science. - 2008, 18 July. -Vol. 321. - P. 385-388.

STUDY THE INFLUENCE OF THE LINEAR DIMENSIONS OF NANOPLATE ON THE VALUES OF YOUNG’S MODULUS AND HARDNESS

O.E. Glukhova, S.S.Vetsel

Experimentally found that the Young’s modulus of graphene to 5 times more of Young’s modulus of steel. Currently exploring other elastic properties of graphene, in particular the stiffness, Poisson’s ratio, a function of deflection, etc. The purpose of this study is to determine the stiffness and the construction of the equation of deflection loaded equilateral-layer graphene plate size ~32 nm by the method of linear combination of atomic orbitals (LCAO) using elasticity theory of thin plates, and determination of the size effect for the elastic characteristics.

Key words: graphene, Young’s modulus, stiffness equation of the deflection, Hooke’s law, size effect, method of linear combination of atomic orbitals.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.