CC BY
48
Раздел IV. Математическое моделирование физических
процессов
УДК 534.22
О.А. Савицкий, Т.А. Чистякова
СЖАТИЕ И ДЕКОМПРЕССИЯ ИМПУЛЬСОВ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С НИЗКОЧАСТОТНЫМИ ВОЛНАМИ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ В
ЗВУКОВЫХ ПУЧКАХ*
Приведены результаты теоретического анализа и математического моделирования явлений нелинейного сжатия (компрессии) и расплывания (декомпрессии) импульсных акустических сигналов в поле звукового пучка в квадратично-нелинейной среде без физической дисперсии. Подтвержден вывод работ [1,2] о возможности наблюдения эффектов компрессии и декомпрессии импульсов в квадратично-нелинейных средах. Показано, что явления компрессии (декомпрессии) может быть связано с нелинейным взаимодействием импульсного сигнала с мощной низкочастотной квазимонохроматической волной. Рассматриваются основные закономерности эффектов сжатия и расплывания импульсов в звуко-.
Компрессия; декомпрессия импульсов; звуковой пучок
O.A. Savitsky, T.A. Chistyakova
IMPULSE COMPRESSION AND DECOMPRESSION IN INTERACTION OF IMPULSE WITH LOW-FREQUENCY MODES OF FINITE AMPLITUDE
IN SOUND BEAMS.
The results of theoretical analysis and mathematical modeling of phenomena of nonlinear compression (compression) and spreading (decompression) of pulsed acoustic signals in the acoustic beam in a quadratically nonlinear medium without physical dispersion. Confirmed the conclusion of [1,2] about a possibility of observing the effects of compression and decompression of pulses in quadratically nonlinear media. Shown that the effects of compression (decompression) may be due to the nonlinear interaction of a pulsed signal with a powerful low-frequency quasi-monochromatic wave. The basic pattern of effects of compression and spreading of the pulse in the sound beam.
Impulse compression; impulse decompression; sound beam.
В работах [1,2] на основе уравнения Хохлова-Заболотской были получены модельные уравнения, для описания взаимодействия звуковых пучков волн с различающимися временными масштабами. В частности, были рассмотрены возможные сценарии развития нелинейных процессов при взаимодействии мощной низкочастотной (НЧ) квазигармонической волны V2 и высокочастотного радиоимпульса Vj малой амплитуды (рис. 1). В этом случае уравнение для поля Vj примет вид
* Работа выполнена в рамках проектов П458 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг., а также проекта РНПВШ 2.1.1/6584.
_э_
эв
4 Лу
(1)
ЭУ _ у Щ
дг 2 дв
где У2 является решением уравнения Хохлова-Заболотской [3,4].
Проведенный в [1,2] анализ показывает, что характер эволюции волны У1 бу^ , у2
.
Рис. 1. Начальные условия для различных сценариев эволюции импульсного сигнала
В случае временного совмещения импульса У1 с линейными участками профиля У2 (рис. 1 а, б) возможно наблюдение компрессии или декомпрессии импуль-, -, . (1) -сии к на начальном участке эволюции волнового возмущения, когда преобладающими являются нелинейные процессы
, /„ д1/2О(0) х V1
_ V дв ■ хр2) ' (2)
где ^2о(0) - начальная амплитуда низкочастотной волны конечной амплитуды на оси. Видно, что степень компрессии (декомпрессии) импульса V1 определяется крутизной нарастания переднего (заднего) фронта мощной низкочастотной волны ^, а также характерным пространственным масштабом накопления нелинейных искажений в этой волне - хр2. Величина компрессии (декомпрессии) растет с увеличением —т-— и уменьшением расстояния образования разрыва хр2 в волне V2.
до
Для нелинейных волновых процессов в квадратично-нелинейных средах без физической дисперсии характерно множественное рождение гармоник и волн
, -
ческих моделей затруднительно. Сказанное в полной мере относится и к тем нели, . вычислительный эксперимент становится альтернативой аналитическим методам описания сложных нелинейных процессов, мощным, а иногда и единственным инструментом их теоретического исследования.
Разработанный в «Научно-обр^овательном центре комплексных исследований и математического моделирования сложных природных и техногенных систем» программный комплекс по расчету полей волн конечной амплитуды позволил выполнить исследование нелинейных эффектов, существование которых было предсказано аналитическими методами в работах [1,2,3]. Основным модельным уравнением для разработки программного комплекса является уравнение Хохлова-
- ( ), -случай сред с диссипацией. В рамках выбранной модели внешними параметрами основного модельного уравнения являются Г - отношение характерных масштабов проявления нелинейных и диссипативных процессов, N - отношение характерных масштабов проявления нелинейных и дифракционных эффектов в звуковом пучке.
Исследование компрессии и декомпрессии высокочастотных импульсных сигналов при взаимодействии с низкочастотными возмущениями в звуковом пучке проводилось при следующих значениях параметров уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова, Г=0,001, N=0,2; 0,02 и параметров начальных данных на входе в нелинейную среду V02/ V01=50, V ^=12. Наибольший интерес представляет параксиальная область, поэтому анализировались волновые профили на оси аксиально-симметричного излучателя на расстояниях до хр2 (расстояние образо).
расстояние изменялось в пределах 0^1. Для удобства наблюдения высокочастотного импульса V1 малой амплитуды на фоне мощной низкочастотной волны V2 выполнялось два расчета для двух разных начальных условий У 1(0, г,в) = у(0, г,в) + У2 (0, г, кв) и У2(0, г,в) = У2 (0, г, кв). После выполнения расчетов производилось вычитание У 1(,г,в) _У2(,г,в). Такой прием позволяет легко отфильтровать интересующую нас высокочастотную компоненту поля от низкочастотной компоненты. Правомерность такой операции опирается на теоретически доказанный факт отсутствия влияния высокочастотной волны на характер распространения низкочастотной [1,2].
На рис. 2 (а-е) представлена динамика трансформации с расстоянием взаимодействующих в нелинейной среде радиоимпульса малой амплитуды и мощной низкочастотной волны. В целях удобства наблюдения малого сигнала V1, масштаб по оси ординат для V1 был увеличен в 50 раз (У02/ Vo1=50). Видно, что по мере нарастания крутизны переднего фронта НЧ-волны происходит уменьшение длительности радиоимпульса (компрессия) с одновременным изменением формы его оги-, . области формирования слабых разрывов в профиле (ъ=1), становится заметным также появление частотной модуляции в импульсе. Сформировавшийся при 7=1 участок разрывного профиля НЧ-волны приводит к резкому увеличению нелинейного поглощения совмещенного с ним участка радиоимпульса. Внутренняя часть импульса «съедается» (рис. 2,е) появившимся участком ударного фронта , .
Как следует из рис. 3, при N << 1 зависимость длительности импульса от расстояния монотонна и близка к линейной, причем при ъ = 1 импульс сжимается . -. 4. ,
сигнала вначале смещается в высокочастотную область, достигая максимума в области формирования слабых ударных волн. При ъ > 1 высокочастотная часть импульса поглощается на разрыве, а низкочастотные «хвосты» еще продолжают
,
.
. 2.
низкочастотной волной при N=0,002, Я=0 на различных расстояниях от источника звука: а - г=0; б - г=0,2; в - г=0,4; г -1=0,6; д -1=0,8,■ е - г=1,0
0.01к
Рис. 3. Зависимость длительности импульса У1 от расстояния до источника
звука при N=0,002, Я=0
Явление расплывания (декомпрессии) наблюдается, когда импульсный сигнал совмещается с задним фронтом низкочастотной волны У2. Остальные параметры модели при моделировании явления расплывания импульсного сигнала оста. . 5, - . , -
пульса с расстоянием, действительно, имеет место и, как следует из рис. 6, может достигать 2-2,5. В отличие от режима компрессии, форма импульса в рассматриваемом случае не меняется, оставаясь прямоугольной практически на всем протяжении анализируемого интервала дистанций. Монотонное увеличение длительно-У1
максимума спектральной плотности ю волны У1 (рис. 6 и 7).
. 4. У1
источника звука при N=0,002, Я=0
Проведенный вычислительный эксперимент подтверждает возможность наблюдения явлений компрессии и декомпрессии импульсных сигналов при их взаимодействии с низкочастотной волной конечной амплитуды в квадратичнонелинейной среде без дисперсии в звуковых пучках. Выполненные исследования показывают, что наблюдаемые нелинейные явления имеют те же общие закономерности своего проявления, что и их линейные аналоги в средах без дисперсии.
, -ем амплитуды импульсного сигнала (усиление звука звуком), а декомпрессия, со-
- ( ).
г д е
Рис. 5. Наблюдение декомпрессии импульсного сигнала при взаимодействии с низкочастотной волной при N=0,002, Я=0 на различных расстояниях от источника звука: а - г=0; б - г=0.2; в - г=0,4; г - г=0,6; д - г=0,8; е - г=1,0
Рис. 6. Динамика декомпрессии импульсного сигнала при N=0,002, Я=0
Рис. 7. Изменение частоты максимума спектральной плотности мощности с расстоянием в режиме декомпрессии при N=0,002, Я=0
В то же время имеются и существенные отличия. Так, например, необходимым условием наблюдения явления компрессии импульсов в линейной среде с физической дисперсией является излучение достаточно сложного сигнала со специальным законом частотной модуляции, что затрудняет экспериментальное наблюдение такого эффекта. При этом самим процессом компрессии в линейной среде управлять достаточной сложно. Вместе с тем, наблюдать явление нелинейной компрессии можно на простых изначально узкополосных импульсных сигналах. Важной особенностью рассмотренных эффектов является возможность управления ими посредством изменения амплитуды низкочастотной волны.
Следует также отметить тот факт, что компрессия импульсов в линейной среде процесс обратимый и присутствует только в ограниченной пространствен,
их чередованием в пространстве, пока необходимая амплитудно-частотная структура сигнала не будет разрушена диссипативными или нелинейными процессами. Для явлений сжатия импульсов и их расплывания в квадратично-нелинейной среде характерна необратимость их пространственного поведения.
Рассмотренные выше эффекты имеют важное прикладное значение. Так, например, нелинейная компрессия может быть использована для повышения пространственной разрешающей способности акустических локационных приборов. А эффект управляемого изменения частоты максимума амплитудного спектра зондирующего импульса - для измерения частотных характеристик отражения зондируемых структур, или для разработки новых принципов акустической ,
структур будет содержаться в частоте рассеянного в обратном направлении сиг.
интерференционных искажений сигнала, характерных для традиционной акусти-.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский А.А., Теория разностных схем / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1983.
2. Сух иное А.И., Двумерные схемы расщеплен ия и некоторые их приложения. - М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.
3. . .
транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97).
- С. 75-82.
4. Сух иное А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко ЕМ. Численная реализация трехмерной модели
// -
тическое моделирование. - 2011. - T. 23, № 3. - С. 3-21.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор АТ. Захаров. Савицкий Олег Анатольевич
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347932, . , . 57/1, . 57.
Тел.: 88634371741, +79034354049.
Кафедра высшей математики; доцент; зам. директора НОЦ комплексных исследований и математического моделирования сложных природных и техногенных систем, с.н.с. ОКБ «Ритм» ЮФУ.
Чистякова Татьяна Алексеевна E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634371606.
Кафедра высшей математики, ассистент.
Savitsky Oleg Anatoljevich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
57/1, Lomonosov Street, Apr. 57, Taganrog, 347932, Russia.
Phone: +78634371741, +79034354049.
The Department of Higher Mathematics; Associate Professor; the Deputy Director REC Complex Research and Mathematical Modeling of the Complex Natural and Anthropogenic Systems; Senior Staff Scientist of the Design Office "RITM".
Chistyakova Tatyana Alexeevna
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371606.
The Department of Higher Mathematics, Assistant.
