CC BY
67
Прикладные задачи
^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн
Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 1-2, 2005 УДК548; 537.611.46
КОМПРЕССИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ В ЛИНЕЙНОЙ ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ
А.А. Галишников, А.В. Кожевников, Ю.А. Филимонов
В рамках подхода, основанного на втором приближении теории дисперсии, рассмотрено изменение ширины радиоимпульса на полувысоте в процессе его распространения в линейной диспергирующей среде. Для входных импульсов по форме близких к прямоугольным показано, что в отсутствие начальной фазовой модуляции ширина импульса меняется с расстоянием немонотонно и достигает 50-60% от первоначальной на длине компрессии, составляющей примерно 0.44 от дисперсионной длины. Показано, что указанная компрессия вызвана частотной модуляцией, наведенной на плоской части огибающей за счет дисперсионного возмущения фронтов. Представлены результаты эксперимента по изучению компрессии немодулированных прямоугольных радиоимпульсов поверхностных магнитостатических волн в пленке железоиттриевого граната, которые хорошо согласуются с расчетами.
Введение
Одним из интересных эффектов, наблюдающимся при распространении импульсов в диспергирующих средах, является их сжатие. В линейной диспергирующей среде, характеризуемой коэффициентом дисперсии ß = д2ю/дк2, (ю - частота, к - волновое число), наиболее эффективно сжимаются радиоимпульсы с модуляцией фазы 9 по квадратичному закону 9 = (ю — at)t, если скорость изменения частоты а выбрана таким образом, что в головной части импульса содержатся спектральные компоненты с меньшим значением скорости распространения, чем в хвостовой части [1-4]. Для компрессии импульса в средах с аномальной дисперсией ß < 0 необходимо, чтобы вблизи фронта импульса располагались высокочастотные спектральные компоненты (а > 0), а при ß > 0 необходимо обеспечить рост частоты
спектральных компонент от фронта к срезу импульса (а < 0). При условии |3а < 0 входной импульс длительностью То сначала сжимается, достигая минимальной длительности на некотором расстоянии Ьс, называемом длиной компрессии, а затем расширяется. Можно определить относительную длительность Ш(х) = Т(х)/То. Отметим, что если входной импульс имеет форму отличную от гауссовой, то величина Ш(х) будет существенно зависеть от способа определения длительности импульса: по полувысоте, по уровню 1/е или с использованием среднеквадратичной длительности импульса Тск (х) [5,6]
т2ск(х) =<г2 > - <г (1)
+те +те
где <гп >= е-1 / гп \Л(х,г)\2 <И, п = 1,2,..., е = / \Л(х,г)\2 <И, Л(х,г) -без— те —те
размерная комплексная огибающая импульса. Такая чувствительность длительности импульса с формой отличной от гауссовой к способу определения обусловлена изменением формы огибающей \Л(х,Ь)\ таких импульсов в процессе распространения1. При этом может оказаться, что значения Ш (х), определенные по уровню 1/2 (Ш1/2(х)) и через среднеквадратичные длительности (Шск (х)), будут качественно различаться.
Поскольку для Тск (х) в большинстве случаев можно получить аналитическое выражение, эту величину удобно использовать для оценки скорости передачи информации в волоконно-оптических линиях связи. Например, для немодулированного по частоте супергауссова импульса N-го порядка вида
Л (х = 0,г) = Ло ехр — (2£/То)2^] (2)
изменение среднеквадратичной длительности импульса с расстоянием х при N ^ 1 можно записать в виде [2]
1/2
Wck(x) = {l + г2N (х/ьв)2} , (3)
где Ьв = Т^Уд /8 \в\ - дисперсионная длина, на которой гауссов импульс N = 1) становится шире в у/2 раз. Из (3) можно видеть, что при N ^ 1, то есть с приближением формы импульса (2) к прямоугольной, среднеквадратичная длительность импульса монотонно увеличивается с ростом х, причем значительно быстрее, чем для гауссова импульса.
Однако в экспериментах по исследованию распространения импульсов в дисперсионных средах о сжатии или расплывании импульса судят, как правило, путем сравнения длительностей входного и выходного импульсов, измеренных на полувысоте [7,8]. Цель данной работы показать, что характер зависимости Ш1/2(х) для супергауссовых импульсов N > 2) принципиально отличается от (3), а именно: в
1В случае гауссова импульса форма огибающей во втором приближении теории дисперсии при распространении сохраняется.
отсутствие начальной фазовой модуляции может наблюдаться сжатие импульсов и образование минимума зависимости (х). Механизм указанного сжатия идентичен механизму компрессии фазово-модулированных импульсов. Однако, в отличие от импульсов с начальной фазовой модуляцией, в данном случае модуляция обусловлена дисперсионным возмущением фронтов импульса. При этом входные импульсы с формой близкой к прямоугольной уменьшают свою ширину почти в два раза на длине компрессии Ьс & 0.44Ьр.
Понятно, что для наблюдения компрессии немодулированных по частоте импульсов помимо их прямоугольности необходимо, чтобы длина пробега импульса 5 была не меньше длины компрессии 5 > Ьс & 0.44Ьр. Такое условие может выполняться, в частности, для СВЧ-импульсов магнитостатических волн (МСВ) в пленках железоиттриевого граната (ЖИГ). Действительно, в экспериментах с МСВ расстояние 5 между входным и выходным микрополосками составляет, как правило, 5 & 0.3 — 1.0 см. С другой стороны, при длительности импульса МСВ Т0 & 10 — 50 нс, групповой скорости МСВ Уд & (3 — 10) • 106 см/с и коэффициенте дисперсии в & (0.5 — 5) • 104 см 2/с, которые типичны, например, для экспериментов по наблюдению солитонов огибающей в пленках ЖИГ толщиной й & 5 — 15 мкм, дисперсионная длина составляет Ьр & 0.1 — 10 см. В данной работе мы покажем на примере распространения прямоугольных импульсов поверхностных магнитостати-ческих волн (ПМСВ) в пленке ЖИГ, что при расстоянии между антеннами равном длине компрессии (5 & Ьс & 0.44Ьр) выходной импульс по уровню 1/2 имеет ширину почти в два раза меньше, чем входной импульс.
Отметим, что задача о прохождении прямоугольных радиоимпульсов в линии задержки на основе МСВ, с точки зрения создания устройств обработки импульсных СВЧ-сигналов, является актуальной. Ранее такая задача аналитически рассматривалась в работе [9]. Однако возможность компрессии прямоугольных импульсов МСВ в этой работе не обсуждалась.
1. Компрессия прямоугольных импульсов в линейной диспергирующей среде
Рассмотрим распространение супергауссовых импульсов вида (2), бегущих вдоль оси х в линейной диспергирующей среде. Считаем, что волновой пакет характеризуется узким спектром
Аю ^ ю, (4а)
Ак < к.
(4б)
Тогда, во втором приближении теории дисперсии, эволюция входного импульса Ао (Ь) в системе координат (х, т = Ь — х/Уд) описывается уравнением [1]
А(х,т) =
\/—2лгух
Ао (п)ехр
— ^ (т — п)2 2ух 1 и
йп,
(5)
1
где у = —в/У'3 = д2к/ди>2. Рассмотрим основные моменты эволюции супергауссова импульса вида (2), взяв для определенности N = 2. При этом для облегчения анализа будем сравнивать основные моменты его эволюции с поведением частотно-модулированного гауссова импульса вида
А (х = 0, Ь) = Ао ехр [—(4/Т02 + аг)^2] . (6)
Как известно [1], импульс (6) достигает минимальной длительности
2То
Т N =1 = т шт
л/16 + (ат02)2
на длине компрессии
Ь
N =1
4аТ02
Ьв.
(7)
(8)
Рис. 1. Зависимости пиковой амплитуды А (сплошная линия) и длительности выходного импульса Ш (штриховая) от координаты х, см для супергауссова импульса N = 2 (кривые 1) и модулированного по частоте гауссова импульса (кривые 2). Пунктиром показаны выбранные точки для анализа фазы. Значения параметров принимались равными: у = 1 с^м, Уд = 1 см/^ Ао = 1, То = 2 с, а =1 с"2
16 + (ат02)2
На рис. 1 представлены зависимости пиковой амплитуды Ашах и относительной ширины Ш по уровню 1/2 импульсов от координаты х, полученные из (5), (6) при значениях параметров у = 1 с ^м, Уд = 1 см/^ А0 = 1, Т0 = 2 с, а = 1 с-2. Видно, что зависимости Ашах(х) и Ш (х) для импульсов вида (2) и (6) качественно совпадают. Гауссов частотно-модулированный импульс в точке х3" = 0.25 cм, отвечающей длине компрессии (8) (при выбранных параметрах Ьв = 0.5 cм), достигает максимального сжатия и имеет ширину То/(7).
Длине компрессии Ь!=2 супергауссова импульса порядка N = 2 в рассматриваемом случае отвечает координата х3' = 0.22 cм. При этом относительная ширина и пиковая амплитуда им-~ 1.1, соответственно. Отметим, что
пульса составляют величины Ш ~ 0.84 и Аша; отношение координат хз компрессии импульсов дает для длины компрессии супер-
гауссова импульса Ь/! 2 выражение
тN=2 ^ Ьс ~
• х3* - 0.44 • Ьв.
2
х
(9)
Для того чтобы разобраться в механизме компрессии супергауссова импульса, сопоставим поведение фазы 9 импульсов (2) и (6) от времени т на четырех характерных, с точки зрения эволюции импульсов, расстояниях х1, г = 1,..., 4.
Рис. 2. Зависимости фазы 0, рад от безразмерного времени т для супергауссова импульса N = 2 (сплошная линия) и модулированного по частоте гауссова импульса (штриховая) в выбранных точках (пунктир на рис. 1): а - х\ =0 (точка входа); б - Х2 = 0.15 см; в - = 0.22 см для супергауссова импульса и хз" = 0.25 см для гауссова - точка максимального сжатия; г - Х4 = 0.5 см
На рис. 2, а приведены импульсы на входе. У супергауссова импульса частотной модуляции нет, у гауссова - модуляция соответствует по знаку его компрессии.
На участке до точки компрессии, где по мере распространения амплитуда обоих импульсов растет, а ширина уменьшается, супергауссов импульс приобретает модуляцию. Причем характер модуляции на вершине супергауссова импульса оказывается идентичен случаю частотно-модулированного гауссова импульса (рис. 2, б).
Точка хз отвечает максимальному сжатию импульсов (рис. 2, в). При этом у
гауссова импульса модуляция пропадает, а у супергауссова - участок фазы, приводя-
^ 2 щий к компрессии, также становится плоским2.
По мере дальнейшего распространения фаза импульсов приобретает модуляцию, соответствующую расплыванию: амплитуда падает, ширина увеличивается (рис. 2, г).
Таким образом, компрессия супергауссова импульса вызвана частотной модуляцией, которая наводится на плоской части импульса в первые моменты его эволюции в диспергирующей среде. Чтобы объяснить такое поведение фазы супергауссова импульса, обратимся к эволюционному уравнению для огибающей, которое во втором приближении теории дисперсии и в координатах (х, т) имеет вид [1]
дА г д2 А
дх = — 2 У • (10)
Как видно, изменение амплитуды огибающей в пространстве определяется второй производной по времени, стоящей в правой части уравнения (10). Поскольку в начале эволюции д2А/дт2 ^ 0 на вершине входного импульса (2), то некоторое время амплитуда и, что более важно, фаза остаются практически неизменными. В это время
2Для супергауссова импульса координата хз = 0.22 см с точностью не хуже 5% отвечает максимуму амплитуды и минимуму ширины импульса по уровню 1/2.
фронт и срез импульса эволюционируют независимо. При этом из-за их дисперсионного расплывания на центральную часть импульса «наползают» с фронта медленные гармоники, а со среза импульса - быстрые. Из-за требования непрерывности фаза импульса в его центральной части приобретает модуляцию, соответствующую компрессии импульса (см. рис. 2, б).
Численно было рассмотрено распространение супергауссовых и трапециевидных импульсов. Оказалось, что уменьшение ширины на полувысоте трапециевидного импульса возможно при условии, что длительность как фронта, так и среза не превышает длительности плоской вершины. Расчеты для су-
пергауссовых импульсов N = 2 ... 20 N = 20 практически отвечает предельному случаю N — ж и переходу к прямоугольному импульсу) показали, что по уровню 1/2 эти импульсы демонстрируют сжатие. На рис. 3 показаны зависимости пиковой амплитуды и относительной ширины импульса (2) от N. Видно, что с ростом N максимальная пиковая амплитуда вырастает от 114% для N = 2 до 134% для N — ж, минимальная ширина при этом меняется в пределах от 77% до 56% от ширины входного импульса.
Следует отметить, что величина пиковой амплитуды импульса в точке компрессии не зависит от коэффициента дисперсии у и длительности входного импульса То. Действительно, заменой переменных х — ж/у, * — То можно перейти к беспараметрической записи уравнения (10) и граничного условия к нему (2). В свою очередь, это означает, что длина компрессии, характеризующая пространственный масштаб и связанный с ним через групповую скорость временной масштаб системы, определяется дисперсией у и длительностью То, а от формы импульса зависит постольку, поскольку от формы зависит ширина спектра импульса. Однако зависимость эта слабая, и в приближении ширины спектра импульса Аю ~ 1/То ею можно пренебречь. Для супергауссовых импульсов положение точки компрессии с точностью не хуже 5% оставалось неизменным для любых N.
2. Длина компрессии прямоугольных импульсов
Получим аналитическое выражение для компрессионной длины. Поскольку компрессионная длина слабо зависит от формы импульса, возьмем прямоугольный импульс
Г Л, * < То, А (х = 0,*) = ^ (11)
[ 0, *> То.
0 4 8 12 16 20 .V
Рис. 3. Зависимость максимальной пиковой амплитуды Ашах и минимальной длительности Wшin% супергауссова импульса от его степени N
В этом случае интеграл (5) можно получить в аналитическом виде
А (х>т) = ^Т
ег/1 _ ег/Г (1 + *)(т " Го)
2^/уХ
Воспользуемся далее тем, что в точке максимального сжатия импульса амплитуда импульса достигает максимума. Положим т = То/2, что соответствует середине импульса и где естественно ожидать образование максимума. Для нахождения экстремума продифференцируем по х и приравняем полученное выражение нулю. После преобразования можно получить уравнение
ч а) ч!)+ч ® -(^
(13)
где С (х) и Б (х) - интегралы Френеля, определяемые как
С (х) = У сов (П¿2) <И, Б (х) = J вт (П¿2) <И,
(14)
Т 2
X = То.
ух
(15)
Уравнение (12) разрешить в явном виде относительно X нельзя, однако нам достаточно численного решения
х
х
X = 18.37951658985 ... и 18.4. (16)
Это решение не является единственным, оно выбрано исходя из предположения, что, несмотря на сложное поведение импульса и образования множества локальных максимумов в процессе эволюции, после точки компрессии импульс монотонно расплывается, то есть решение (16) соответствует максимально удаленному от входа экстремуму. Такое предположение подтверждается при графическом анализе зависимости (12). Из (15), (16) получаем компрессионную длину
ь - Т2 = Т° ^ (17)
Ь и 184М = 1М|3|. (17)
С учетом выражения для дисперсионной длины выражение (17) с точностью не хуже 2% перейдет в (9). Подставляя (16) в (12) можно получить максимальное пиковое значение амплитуды огибающей для прямоугольного входного импульса
Атах = 1.34Ао. (18)
3. Экспериментальное исследование компрессии прямоугольных импульсов ПМСВ в пленках ЖИГ
Экспериментально исследовалось прохождение импульсов ПМСВ через макет линии задержки, образованный входным и выходным преобразователями, расположенными на поверхности пленки ЖИГ. Расстояние 5 между преобразователями могло меняться в диапазоне 5 ~ 0.4... 1.2 см. Использовалась пленка ЖИГ с параметрами: толщина I = 19 мкм, намагниченность насыщения 4лМо = 1750 Гс, ширина линии ферромагнитного резонанса АН = 0.35 Э. Макет помещался во внешнее намагничивающее поле, которое менялось в пределах Н = 654-730 Э и было направленно вдоль микрополосковых преобразователей.
Подаваемые на входной преобразователь СВЧ-импульсы получались путем модуляции непрерывного сигнала с помощью скоростного рт-диодного переключателя. Частота несущей /г = 4100 МГц, мощность сигнала Ро = 10 мВт. Длительности фронта Тф и среза Тс импульса не превышали Тф < 5 нс и Тс < 2 нс, соответственно, что позволяло уже при длительности импульсов Т0 по полувысоте более 7 нс получать импульсы с плоским участком на вершине. С выхода макета сигнал через усилитель и детекторную головку поступал на один из входов осциллографа. Для наблюдения огибающей входного импульса сигнал с ответвителя детектировался и подавался на второй вход осциллографа.
3.1. Методика эксперимента. Методика эксперимента по обнаружению компрессии немодулированных импульсов основывалась на использовании, с одной стороны, связи длины компрессии импульса Ьс (17) с длительностью входного импульса То и дисперсионными характеристиками среды в и Уд, а с другой - на ожидаемом росте амплитуды импульса в точке компрессии (18). Действительно, при фиксированных величинах расстояния между микрополосками 5, магнитного поля Н и частоте генератора /г равенство длин компрессии импульса Ьс и расстояния 5 будет достигаться при некотором значении То = Т§(5): Ьс(Т§) = 5. При условии ЬС(Ц) = 5 следует ожидать, что длительность То выходного импульса по уровню 1/2 и относительная длительность импульса Ш будут минимальны3, а пиковая амплитуда импульса Атах максимальна.
Понятно, что при условии Ьс ^ 5 (реализуется уже при То > 3Т§(5)) влияние компрессии импульса будет слабым и длительность выходного импульса Т будет близка к длительности входного импульса Т . При этом значения Атах будут стремиться к некоторому стационарному значению А*, отвечающему уровню выходного сигнала в непрерывном режиме возбуждения ПМСВ.
С другой стороны, при То < Т0с(5) длина компрессии окажется меньше расстояния между преобразователями (Ьс < 5), и за счет эффектов дисперсионного
3Длительность немодулированного гауссова импульса на длине пробега Я также немонотонно зависит от Т0, достигая минимальной длительности Ттп = 2(|у| Я)1/2 при условии Я = Ьп, чему отвечает длительность входного импульса Т0 = (2 |у| Я)1/2 [1]. При этом Ттт > Т0.
расплывания следует ожидать как уширения импульса относительно входного, так и падения его пиковой амплитуды относительно случая Го = Т^ (5).
С учетом сказанного, рассмотрим поведение относительной длительности Ш 1 ^ и пиковой амплитуды Атах, нормированной на амплитуду сигнала А*, выходного импульса с изменением Т0 в исследуемом макете при величине магнитного поля Н = 721 Э и расстоянии между преобразователями 5 =11 мм (рис. 4). На вставке показаны серии осциллограмм для огибающих входного и выходного импульсов для различных То. Точками отмечены значения, соответствующие огибающим на вставке. Можно видеть, что по мере уменьшения длительности входного импульса амплитуда выходного импульса растет, а его длительность по уровню 1/2 уменьшается. При значении Т0 = Т£ « 18 нс длительность выходного импульса составляет Т « 11.5 нс, что соответствует Ш « 64%. При этом пиковая амплитуда импульса вырастает в 1.1 раза относительно уровня сигнала А*. При длительности входных импульсов Т0 < Т£ « 18 нс ширина выходных импульсов по уровню 1/2 резко возрастает, а пиковая амплитуда убывает. Отметим, что именно такое поведение характерно для гауссова импульса по мере уменьшения его длительности [1]. В целом, зависимости Ш(Т0) и Атах (Т0) на рис. 4 показывают, что поведение импульса ПМСВ отвечает представлениям о сжатии супергауссовых импульсов (см. рис. 1).
О 10 20 30 40 50 Г0, не
Рис. 4. Экспериментальные зависимости нормированной пиковой амплитуды и длительности выходного импульса от длительности Т0, не входного импульса. Горизонтальный пунктир -уровень сигнала, соответствующий непрерывному режиму возбуждения волны, вертикальный -точка компрессии. На вставке серия огибающих входного (слева) и выходного (справа) импульсов при То, соответствующих точкам на графике. Стрелкой показана точка компрессии
3.2. Исследование связи длины компрессии и дисперсии волны. Покажем теперь, что значение длительности импульса Т0 = Т£(5), отвечающее компрессии импульса по уровню 1/2 на расстоянии 5, удовлетворительно описывается выражением (17). Коэффициент дисперсионного расплывания р и групповая скорость Уд могут быть получены из результатов измерений закона дисперсии или непосредственно из дисперсионного уравнения для ПМСВ, которое имеет вид [10]
2
ш2 = ш2н + Шн+ (1 - ехр(-2Ы)), (19)
где шн = д • Н, шт = д • 4пМ0, д - гиромагнитное отношение для электрона.
Закон дисперсии ПМСВ при некотором значении поля ш = ш(к,Н) определялся с помощью фазочастотной характеристики макета линии задержки по стандартной методике [11]. При этом набег ДФ фазы ПМСВ е частотой ш = 2л/ на длине пробега 5 связан с волновым числом к ПМСВ соотношением к = ДФ/5.
На рис. 5 точками показаны результаты измерений законов дисперсии ПМСВ при значениях поля Н\ = 654 Э и Н2 = 721 Э. Результаты измерений зависимостей ш = ш(к,Н) хорошо согласуются с решениями дисперсионного уравнения (19), если при расчетах ввести поправку к полю 6Н, которая для значений полей Н\ и Н2 составила ЬН\ « 49 Э и 6Н2 ~ 58 Э, соответственно. Необходимость введения поправок к экспериментальным значениям магнитных полей Н* = Н + 6Н следует связать, прежде всего, с влиянием магнитной анизотропии пленок ЖИГ, которая в уравнении (19) не учитывается.
Следует, однако, отметить, что в тех случаях, когда частоте /Г = 4.1 ГГц отвечает возбуждение длинноволновых ПМСВ, не удается получить хорошего совпадения измеренного и рассчитанного законов дисперсии ш = ш(к,Н) только за счет поправок к магнитному полю (см. результаты для поля Н2 = 721 Э на рис. 5). Причину этого расхождения мы видим в отличии реального макета линии задержки от модели изолированной и безграничной ферритовой пленки, заложенной в (19).
На рис. 6 показаны результаты расчетов групповой скорости Уд и коэффициента дисперсии в на выбранной частоте возбуждения ПМСВ /Г = 4.1 ГГц при изменении подмагничивающего поля Н. Значения Уд и в получались дифференцированием как уравнения Дэймона - Эшбаха (19) при подстановке значения полей Н* = Н + 6Н, так и непосредственно из экспериментальных кривых4 ш(к) (треугольники и кружки на рис. 6, соответственно). Экспериментальные и рассчитанные зависимости Уд и в совпадали с точностью не хуже 50%. Причем значения групповой скорости с точностью 5% совпадали со значениями Уд, измеренными по задержке импульса (см. звездочки на рис. 6).
На рис. 7, а и 7, б показаны измеренные и рассчитанные с помощью (17) зависимости длины компрессии Ьс от длительности входного импульса То при значениях магнитного поля Н\ = 654 Э и Н2 = 721 Э. Для построения экспериментальных зависимостей Ьс (То) использовалась методика обнаружения эффекта компрессии, изложенная выше. При этом расстояние S между преобразователями менялось с шагом 6$ « 1 мм от S = 4 мм до S = 12 мм. Значения Т0 = ТС (S), при которых достигалось условие Ьс (ТС) = $ и наблюдалась компрессия импульса, затем подставлялись в (17) для расчета Ьс. Экспериментальная зависимость Ьс(ТС) обозначена на рис. 7 квадратиками, соединенными сплошной линией. Треугольники и кружки соответствуют значениям, полученным по формуле (17) с использованием коэффициентов в и Уд, обозначенных на рис. 6 треугольниками и кружками, соответственно.
Рис. 5. Измеренные (кружки) и рассчитанные по уравнению Дэймона - Эшбаха (19) (сплошные линии) дисперсионные зависимости для использованной пленки ЖИГ при разных значениях намагничивающего поля
При дифференцировании зависимости аппроксимировались квадратичными параболами.
Рис. 6. Зависимости групповой скорости и дисперсионного коэффициента от намагничивающего поля, полученные дифференцированием измеренных дисперсионных зависимостей (кружки) и уравнения Дэймона - Эшбаха (19) с учетом поправок к полю (треугольники). Звездочками указаны значения групповой скорости, измеренные по задержке импульса
15 20 25 30 Т0, не б 9 12 15 не
Рис. 7. Зависимости компрессионной длины от длительности входного импульса, измеренные экспериментально (квадратики) и полученные по формуле (17) (кружки и треугольники) с использованием коэффициентов, приведенных на рис. 6. Н1 = 654 Э ( а) и Н2 = 721 Э (б)
Рассмотрим теперь влияние величины поля Н на длительность входных импульсов Тс(Н), отвечающих при некотором заданном расстоянии $ между антеннами достижению условия компрессии выходного импульса Ьс(Т§) = Б. На рис. 8 для расстояния Б = 10 мм квадратами, соединенными сплошной линией, показана экспериментальная зависимость Т§(Н). Кружки и треугольники отвечают зависимостям Тс(Н), рассчитанным по (17) при подстановке Ьс = Б = 10 мм и значений в и Уд, обозначенных на рис. 6 треугольниками и кружками, соответственно.
Из рис. 7, 8 можно видеть, что экспериментальные и рассчитанные зависимости Ьс(То) и Тс(Н) совпадают с точностью не хуже 50%. Наибольшее расхождение наблюдается при параметрах эксперимента, отвечающих компрессии входных импульсов малой длительности То. Понятно, что одна из причин указанного расхождения связана с отклонением формы импульса при малых То от прямоугольной из-за
Рис. 8. Зависимости длительности входного импульса от намагничивающего поля, измеренные экспериментально (квадратики) и полученные по формуле (17) (кружки и треугольники) с использованием коэффициентов, приведенных на рис. 6, при расстоянии между преобразователями 5 = 10 мм
конечной длительности фронта Тф и среза Тс импульса. Другая причина заключается в широком пространственном спектре импульсовПМСВ при малых То. Действительно, импульс То = 10 нс имеет ширину спектра А/ ^ 1/Т0 = 100 МГц. При поле Н2 =721 Э для рассмотренной пленки ширина спектра волновых чисел составит Ак и 47 см-1 при волновом числе несущей к = 70 см-1. Как видно, ширина пространственного спектра сравнима с волновым числом в рабочей точке, что приводит к нарушению условия (4б), определяющего применимость использованного подхода. Следствием этого становится неоднородность Уд и в по спектру импульса.
Отметим, что в эксперименте спектр импульса может сужаться за счет неравномерности по частоте как эффективности возбуждения ПМСВ микрополосковым преобразователем, так и потерь ПМСВ в линии задержки - эффект фильтрации [12]. Этот эффект также может давать вклад в расхождение результатов эксперимента с расчетом.
3.3. Оценка влияния нелинейных эффектов на результаты эксперимента. Отметим, что помимо дисперсионных эффектов на распространение импульсов МСВ в пленках ЖИГ значительное влияние могут оказывать нелинейные явления, связанные с процессами трех- и четырехмагнонного взаимодействия [13,14]. Для выбранных частоты возбуждения ПМСВ /Г = 4.1 ГГц и диапазона полей под-магничивания Н = 654 ^ 730 Э процессы трехмагнонного распада в пленках ЖИГ запрещены законами сохранения и наиболее вероятными оказываются процессы че-тырехмагнонного взаимодействия. Причем последние могут быть связаны как с эффектами параметрического возбуждения спиновых волн, так и с эффектами самовоздействия ПМСВ.
Для анализа вклада указанных нелинейных эффектов в результаты эксперимента оценим амплитуду высокочастотной намагниченности ПМСВ |гапмсв |. Для этого воспользуемся связью |гапмсв| с мощностью волны Рпмсв, которую можно представить в виде [15]
Рп
= Ипмсв |2 Уд • 1 •
(20)
где ш - ширина пленки ЖИГ, которая составляла в нашем случае 4 мм. Учтем далее, что используемые в наших экспериментах микрополосковые преобразователи обеспечивали при параметрах эксперимента возбуждение ПМСВ с мощностью Рпмсв не более 20% от уровня падающей Ро = 10 мВт: Рпмсв < 2 мВт. Групповая скорость
ПМСВ в условиях экспериментов принимала значения Уд ~ (9 — 15) • 106 см/сек (см. рис. 5). Тогда из (20) получим, что амплитуда высокочастотной намагниченности ПМСВ в наших экспериментах не превышала величины |тпмсв| < 1-6 Гс.
Рассмотрим возможность параметрического возбуждения спиновых волн импульсами ПМСВ с амплитудой намагниченности |тпмсв| < 1-6 Гс и длительностью То ~ 10 - - - 60 нс. Для этого следует принять во внимание, что процесс параметрического возбуждения спиновых волн характеризуется конечным временем развития г* [16]
1т
|т;ь|
,2 \ 1/2
1/г* « (2пдАИкИ ^^ — Л , (21)
где т^ь пороговая амплитуда намагниченности, при которой оказывается возможным возбуждение параметрических спиновых волн (ПСВ) непрерывным сигналом ПМСВ, АИк - скорость релаксации ПСВ с волновым числом к. Очевидно, что возбуждение ПСВ импульсным сигналом возможно, если, во-первых, амплитуда намагниченности превышает порог
| тпмсв| > |т^ь| (22а)
и, во-вторых, длительность импульса превышает время г*
То>г*- (22б)
Пороговое значение mth можно оценить с помощью соотношения [16]
тьь = Ыох фИк ^/Г , (23)
V ¡и(¡и + ¡т)
где ¡и = ¡и + ¡т • Б • кпсв, Б = 3 • 10-11 см2 - обменная жесткость в ЖИГ. Если принять, что АНк ~ АН ~ 0-35 Э, кпсв ~ 105 см-1, то из (23) получим т^ь ~ 1-5 Гс и при амплитуде намагниченности в волне |тпмсв| ~ 1-6 Гс условие (22а) выполняется. С другой стороны, как нетрудно видеть из (21), данным величине порога и намагниченности в волне отвечает время развития параметрической неустойчивости г* ~ 430 нс. Понятно, что при длительности импульсов ПМСВ То ~ 10 - - - 60 нс условие (22б) не выполняется. Следовательно, при выбранных параметрах импульсов ПМСВ возбуждение ПСВ невозможно. Отметим, что подтверждение сказанному можно видеть в отсутствии характерного скола в хвостовой части импульса ПМСВ при максимальных длительностях То ~ 30 - - - 60 нс (см. рис. 4).
Процессы нелинейного самовоздействия ПМСВ в нашем случае также несущественны. Во-первых, ввиду нарушения для ПМСВ условия Лайтхилла на образование солитонов [17], они не могут приводить к наблюдаемому в эксперименте сжатию импульсов. Кроме того, связанный с такими процессами вклад в поведение комплексной амплитуды ПМСВ оказывается существенным на длине нелинейности [14]
К М2
Ьи = Ы.дМ 12 ^ 10 см. (24)
| X | | тпмсв |
где х w 1010 сек-1 коэффициент нелинейности для ПМСВ [17]. Полученное значение длины нелинейности на порядок превышает максимальное растояние между преобразователями в эксперименте. Ясно, что вкладом эффектов самовоздействия ПМСВ в результаты измерения также можно пренебречь.
Заключение
Таким образом, в рамках подхода, основанного на втором приближении теории дисперсии, рассмотрено изменение ширины супергауссовых и трапециевидных импульсов на половинной высоте в процессе их распространения в линейной диспергирующей среде. Показано, что в отсутствие начальной фазовой модуляции ширина таких импульсов по уровню 1/2 меняется с расстоянием немонотонно и может оказаться меньше ширины входного импульса на длине компрессии, составляющей примерно половину от дисперсионной длины (Lc ~ 0.44 • Ld). Показано, что указанная компрессия вызвана частотной модуляцией, которая на начальном этапе эволюции импульса наводится на плоской части огибающей за счет дисперсионного возмущения фронтов. Экспериментально показано, что указанный механизм компрессии реализуется при распространении импульсов поверхностных магнитостатических волн в пленках железоиттриевого граната. Последнее обстоятельство показывает, что рассмотренный эффект сжатия прямоугольных импульсов магнитостатических волн в пленках железоиттриевого граната следует учитывать как при разработке устройств по обработке импульсных сигналов СВЧ на основе эффектов распространения маг-нитостатических волн, так и при интерпретации результатов экспериментов по изучению солитонов огибающей импульсов магнитостатических волн.
Работа поддержана грантами РФФИ № 04-02-17537, CRDF № REC-006, а также грантом Фонда содействия отечественной науке за 2005 год.
Библиографический список
1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1990.
2. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988.
3. Сухоруков А.П. Оптика сверхкоротких импульсов // Соросовский образовательный журнал. Физика. 1997.
4. Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // УФН. 1976. Т. 118, вып. 2. C. 339.
5. Agrawal G.P., Potasek M.J. Effect of frequency chirping on the performance of optical communication systems // Optics Letters. 1986. Vol. 11, №5. P. 318.
6. Anderson D., LisakM. Propagation characteristics of frequency-chirped super-Gaussian optical pulses // Optics Letters. 1986. Vol. 11, № 9. P. 569.
7. Iwashita K., Nakagawa K., Nakano Y., Suzuki Y. Chirp pulse transmission through a single-mode fibre//Electronics Lett. 1982. Vol. 18, № 20. P. 873.
8. Kalinikos B.A., Kovshikov N.G., Slavin A.N.Observation of dipole spin wave envelope solitons in ferromagnetics films // IEEE Trans. on magnetics. 1990. Vol. 26, №5. P. 1477.
9. Кудинов Е.В., Шабунин А.П. Прохождение сигналов в линии задержки на основе магнитостатических волн (МСВ) //Радиотехнические устройства. Киевск. политехн. ин-т, 1987. С.4.
10. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Наука, 1994.
11. Медведев В.В., Фетисов Ю.К. Вопросы кибернетики. Устройства и системы. М.: МИРЭА, 1983. С.171.
12. Костылев М.П., Ковшиков Н.Г. Возбуждение, формирование и распространение солитоноподобных импульсов спиновых волн в феромагнитных пленках (численный расчет и эксперимент) // ЖТФ. 2002. Т. 72, вып.11. C. 5.
13. Synogach V.T., Fetisov Yu.K., Mathieu Ch, Patton C.E. Ultra short magnetostatic surface wave pulse formation due to three magnon splitting // IEEE Intermag. Canada, Toronto 9-13 April 2000. Р. GC-06.
14. Filimonov Yu.A., Marcelli R., Nikitov S.A. Non-linear magnetostatic surface waves pulse propagation in ferrite-dielectric-metal structure // IEEE Trans. on magn. 2002, September. Vol. 38, №5. P. 3105.
15. Казаков Г.Т., Кожевников А.В., Филимонов Ю.А. Четырехмагнонный распад поверхностных магнитостатических волн в пленках железоиттриевого граната // ФТТ. 1998. Т. 39. C. 330.
16. Чиркин В.И., Шильников Ю.Р., Челищев Н.И. Время возбуждения спиновых волн для нелинейных процессов первого и второго порядков //ФТТ. 1968. Т. 10, вып.6. C. 1876.
17. Звездин А.К., Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостатических спиновых волн // ЖЭТФ. 1983. Т. 84, вып.2. C. 606.
Based on the parabolic differential equation solution behaviour of the pulse width at half-height in linear second order dispersion media was analyzed. It was shown that rectangular non-chirped pulse width varies non-monotonously with distance and reaches 50-60% initial width at compression length that is equal to 0.44 dispersive length. This compression was shown to be caused by dispersive pulse-edges perturbations that lead to frequency chirp on pulse top. The results of experiment with non-chirped rectangular surface magnetostatic wave pulses in yttrium iron garnet film are presented and are in qualitative agreement with the theoretical results.
Саратовский филиал Института радиотехники и электроники РАН
Поступила в редакцию 4.11.2004 После доработки 7.02.2005
RECTANGULAR PULSE COMPRESSION IN LINEAR DISPERSIVE MEDIA
A.A. Galishnikov, A.V. Kozhevnikov, Yu.A. Filimonov
Галишников Александр Александрович - родился в 1980 году в Саратове. Окончил факультет нелинейных процессов Саратовского государственного университета (1997). По окончании поступил в аспирантуру Института радиотехники и электроники РАН. Работает в Саратовском филиале того же института в должности младшего научного сотрудника. Область научных интересов - нелинейная динамика распределенных систем, магнитостатические волны в ферритовых планарных структурах.
Кожевников Александр Владимирович - 1962 года рождения, окончил физический факультет Саратовского государственного университета (1984). Научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники. Область научных интересов - физика твердого тела, нелинейная динамика распределенных систем, магнитостатические волны в ферритовых планарных структурах.
Филимонов Юрий Александрович - родился в 1955 году. Окончил Московский физико-технический институт (1979), кандидат физико-математических наук, директор Саратовского филиала ИРЭ РАН. Область научных интересов - волновые явления в магнитных пленках. E-mail:[email protected]
