CC BY
40Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org
2012, 4
А. М. Гаврилов, А. Д. Курситыс
Технологический институт Южного федерального университета в г. Таганроге 347928, Россия, Ростовская область, г. Таганрог ГСП-17а, пер. Некрасовский, 44 e-mail: [email protected]
Рассмотрена задача распространения плосковолнового гауссового пакета с частотно-модулированным по линейному закону высокочастотным заполнением в диссипативной среде. Прослежены характерные изменения параметров волны, проведена их количественная оценка для импульсов различной длительности и базы, промоделированы эволюционные изменения формы волнового пакета. Показаны возможные подходы к определению коэффициента затухания по результатам измерений в одной точке пространства.
Ключевые слова: волновой пакет, огибающая, внутриимпульсное заполнение, коэффициент затухания, эффективная частота, компоненты спектра, частотная модуляция.
ВВЕДЕНИЕ
Для исследования физических свойств различных объектов, материалов и природных сред широкое распространение получили импульсные ультразвуковые методы. При их использовании важно учитывать то обстоятельство, что сигналы в виде высокочастотных радиоимпульсов не являются монохроматическими. В связи с этим не стоит ожидать точного совпадения данных импульсных измерений с результатами расчета по теоретическим моделям для монохроматических волн. Появление различий вполне прогнозируемо и может рассматриваться как систематическая погрешность, поэтому встает вопрос о характере этих различий, их связи с параметрами сигнала и исследуемой среды.
Рассмотрение особенностей распространения ультразвуковой волны в форме импульса с высокочастотным заполнением представляет особый интерес для разработки новых и совершенствования существующих методик и аппаратуры прецизионных ультразвуковых измерений. Эта задача затрагивает актуальные научные и практические направления деятельности, среди которых исследование дисперсии скорости звука в разных материалах и средах [1, 2], изучение дисперсионных проявлений дифракции волновых пучков и нелинейных волновых процессов [3, 4], диагностика состояния [5, 6] и др.
Распространение гауссового волнового пакета с высокочастотным ЛЧМ заполнением в диссипативной среде
Получена 11.09.2012, опубликована 24.09.2012
Возможности импульсного метода ультразвуковых исследований не ограничиваются применением радиоимпульсов с монохроматическим заполнением [7, 8]. Значительные перспективы для получения дополнительной информации и повышения точности измерений представляют радиоимпульсы с внутриимпульсной угловой (фазовой или частотной) модуляцией [9, 10]. Одним из наиболее интересных для практики является применение волновых пакетов в виде радиоимпульсов с высокочастотным ЛЧМ (линейно частотно-модулированным) заполнением.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим пространственную эволюцию плосковолнового пакета с гауссовой огибающей и высокочастотным ЛЧМ заполнением в диссипативной среде без дисперсии. Сигнал на входе в среду (граничное условие) представим в виде
u (г = 0, t) = и0 ^) = A0 • ехр
----~(1 + ІШ о 8 о tо ) — І&01
(1)
где ш0 - средняя частота спектра начального возмущения; 80 - начальная (г = 0) скорость изменения частоты; t0 - длительность радиоимпульса по уровню 1/е; ш080^ -
база ЛЧМ сигнала [9]. Здесь мгновенная частота заполнения изменяется по линейному закону
ш^ ) = ш0(1 — 8 ^),
уменьшаясь к концу импульса при 80 > 0. В качестве примера на рис. 1 показаны гауссовы радиоимпульсы с монохроматическим и ЛЧМ заполнением.
2
0
а) б)
Рис. 1. Гауссовы радиоимпульсы с высокочастотным монохроматическим (а)
и ЛЧМ (б) заполнением
Спектр входного сигнала (1) описывается выражением
1 ад
F(z = 0, ш) = — I u0 (t) • exp(iQ t) dt =
A0 f I exp
-----2 (1 — ІШо 5 ot 0) + І(ш — Шо )t
t
I ft
(2)
dt.
в котором интеграл является табличным. После несложных преобразований (2) получаем
F (z = 0, ш) =
10
2л/Л ^1 — іш0 5
, „ 12 '0w0f0
exp
(ш— ш0)2102 4(1 — Іш0 5 0t 02)
Для нахождения формы одномерного волнового пакета малой амплитуды на расстоянии г от входа в диссипативную среду воспользуемся решением волнового уравнения с диссипативным членом [7], представленного для монохроматической волны с частотой ш в виде
и(г, ^, ш) = А(г = 0, ш) • ехр(-к "г) • ехр(—ш I + ¡кг) =
A(z = 0,ш)• exp[— а0(ш2/ш2)• z] • exp(—mt + ik0z).
= A( z = 0, ш
Здесь к = к" + ik" - комплексное волновое число, в общем случае учитывающее дисперсию скорости и диссипацию волны; к" - характеризует зависимость фазовой скорости волны от частоты с(ш); к" - учитывает зависимость коэффициента затухания волны от частоты а(ш). В нашем случае среда не обладает дисперсией скорости:
с = с0 =ш/к ’ = ш/к0 = const, (3)
а коэффициент затухания характеризуется квадратичной зависимостью от частоты:
, ч ш2Ъ а(ш) = Т1— = а 0 2С0Р 0
Чш0 J
(4)
где а0 - коэффициент затухания гармонической волны с частотой ш0 .
В линейной среде спектральные компоненты волнового пакета распространяются независимо друг от друга. Поэтому форма распространяющегося в диссипативной среде импульса определяется суммой гармонических волн, начальная амплитудой которых характеризуется спектральной плотностью начального сигнала
А(г = 0, ш) = ¥(г = 0, ш) . (5)
2
—ад
0
С учетом (3) - (5) получаем
ад
(г,і) = | ¥(г = 0,ш) • ехр[— а(ш)г] ехр(—iшt + Ік0г) ёш
и
-\/1^-/Ш080^с2
А0_________tо______
24к д/Т^—/ш080^с2
і
ехр
(ш — Ш0) 10 Ш .
--------------а 0 г—- — iшt + /к 0 г
2
Ш
0
ёШ =
ехр
22 Ш010
4(1 — ІШ0 8 оt 0)
(6)
і ехр
— Ш'
а0г
4(1 ІШ08оt0 ) Ш0
• +
+ Ш
2
Ш оt о
2(1 — ІШо 8 оt о2)
—І
' г ^ t----------
V Со У
ёШ
Перейдем в выражении (6) к сопровождающей системе координат т = і — г/с0 и воспользуемся значением табличного интеграла [11]
и (г, t) = А°
, ^ 12 '0^0'0
ехр
^2 + 2 Ш010
4(1 — /Шо 8 оt о2)
4пш2(1 — іш0 8 0і 02)
ш0 10 + 4а 0 г(1 — іш0 8 0t 0)
х ехр<; — Ш
^ 2Іт(1 ІШ08 0^ )] Шо(1 ІШо8 о іо)
4(1 — ІШо 8 оt о2)2
ш0t0 + 4а0г(1 — іш080t0 )
4а г
1 + -ОГГ (1 — ІШо 8 оt о2)
Шоt о
а о г — /тш0 —— (1 — іш0 8 0ід)
1 + —ото- (1 — ІШ08 0 tо2)
Шоt о
Конечное выражение принимает вид
и (г, т) =
Ао
V
1 + (1 — ІШ080t02)
ехр
„2^2
Шо?о
— а 0 г — /ш0т —-(1 — Іш080і02 )
1 + —ОГО- (1 — iШо8оtо2) Ш0?0
(7)
В частном случае сигнала с монохроматическим заполнением (8 0 = 0) получаем:
и (г, т, 8 0 = 0) =
^1 + 4а о г!ш^о2
• ехр
— а о г — ІШо т —т /1 о 1 + 4а о г/Шgt о
(8)
Решение (8) полностью совпадает с ранее полученным выражением для аналогичного случая в работе [7]. Общее решение (7) является точным и описывает распространение гауссового плосковолнового пакета с ЛЧМ заполнением в диссипативной среде.
і
0
0
х
2
і
0
х
— ад
і
0
х
2
2
0
0
2
0
0
В рамках проводимого анализа преобразуем полученное решение (7) в виду Л л/(1 + 4а о г/ш2 г о2) +14а о г5 „ / ш о
и( г, т) =
>/(1 + 4а о г/Ш^ о)2 + (4а о г8 о/ Шо)2
х ехр<!
— а0г — іш0т — (1 — іш080і0 ) • т
(1 + 4а о ^Ш0і0) + (4а о г8 о/ Шо)
І 2) • т V І 2 Г 1І
----72 [(1 + 4а о гІш2і о2) +І 4а ог8 о/ Шо ]
А0 ехр
2аге1§
(4а о г8 о/ Шо
; + 4аог/ш2іо2 у
^(1 + 4а 0 V ш2 і02)2 + (4а о г8 о/ Шо)
ехр
— а0г
V
У
(1 + 4а о ^Ш0І0) + (4а о г8 о/ Шо)
(9)
2
— ІШ0 т
1 + 4а о г
Ш 2 І 2
V Ш(Г0 У
8 т 2 — і 4а 2 г2 ^ — ^ •
Ш 0 і 02
1 + 4а 0 г
2. ПАРАМЕТРЫ РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА Полученное решение (9) представим в следующем виде:
и (г, т) = А( г) • ехр[/'ф1 (г) + ¡ф 2 (г)]
х ехр
— аЭ(г) • г — ІШЭ(г) ^т —+ ІШ0т2 -8Э(г)
і Э ( г )
Здесь использованы обозначения для пикового значения огибающей А(г), дополнительных набегов фаз ф1(г) и ф2(г), эффективных значений коэффициента затухания аЭ (г), средней частоты спектра шЭ (г), длительности импульса гЭ (г) и скорости изменения частоты 3Э (г), соответствующие расстоянию г :
Ао
А( г) =
^(1 + 4а о г/Ш22іо2)2 + (4ао г8о/ Шо)
, ч 1
Ф:( г) =
Ґ
4а о г8 о/ Шо
1 + 4а о гIШ0 іо у
Ф2(г)=
4аог 8о/Шо
(1 + 4а о г/ш2іо2)0 + (4ао г8о/ Шо)0
(10)
а Э ( г ) =
а
(1 + 4а о г/ШоІо) + (4ао г8о/ Шо)
1 +
4а г
Ш0І0
2
2
Ш0(1 + 4а0 г/ ш0^02)
(1 + 4асг/ш2^00)0 + (4а02§с1 ш0)0 ’
2(^) = 0 (1 + 4а0г/ШШ + (4а0А/Ш0)0 .
*Э (2) 10 Г - \ .
ш0,2 0 0 уМ 0<0 у
§Э(г)=
(1 + 4а0г/ш°0° + (4а0ш0)0 '
Все параметры (10) при условии 50 = 0 принимают вид ранее полученных решений [7] для параметров гауссового волнового пакета с монохроматическим заполнением:
Ґ
А( г ) =
д/1 + 4а 0 г/ш 0 і 00
• ехр
Л
1 + 4а 0 г/ш^,
Ф:( г) = Ф0( г) = 0;
§э (г) =0;
аэ(г) =
1 + 4а 0 г/ш0і 00
для т = 0;
Шэ (г) =
Ш0
1 + 4а0 г/ш^2
іэ ( г ) і0
1 + 4а 0г
,^0*0
Ш0і0
Анализ изменений волнового пакета (10) в процессе его распространения в диссипативной среде проведем, используя безразмерные параметры и переменные:
1) ю050^02 - начальное ( 2 = 0) значение базы ЛЧМ сигнала [9, 10];
2) ш0^0 = 2я(^0/Т0) - начальная (г = 0) длительность импульса, нормированная на длину периода высокочастотного колебания с частотой ш0;
3) а02 = г/130 - расстояние, нормированное на длину затухания волны, под которым понимается расстояние (130 = 1/а0), где амплитуда плоской волны с частотой ш0 уменьшается в е раз.
Представим выражения (10) через записанные выше безразмерные переменные и параметры, что позволяет существенно упростить последующий анализ пространственных изменений волнового пакета с ЛЧМ заполнением:
А( г ) =
Ґ \ 0 Ґ 0 \ ' . а0г ( . шп5піп
1 + 4—+
V
Ш 0 і 0 Ш^0 у
4а 0 г-
V
Ш 0 і 2 Ш^0 у
5
0
0г
0
0
0
4
4а 0г • 0 00
Ш0Ї0 1 + 4а0 г/ш^.
(11)
Ф2(г) = -4а2г! Ш°8°г"
^2,2
Ш0/0
1 +
4а0г
V Ґ
Ш 2/2 V м0 0
+
4а0г
Ш0§0І,
22
0^0'-0 Ш 2/2 Ш^0 у
1
а Э (г) = а с
1 4а 0 г
1+ ^7^ - 46 0т
V ш010
Л
у
1 + 4а 0 г Ш 2 / ^
V а)0*0 У
+
Г. Ш0 б 0/02 'ї
4а0г
0^0*0 Ш 2 / 2
Ш^0 у
для т = 0;
2
2
ШЭ (г) = Ш0
Г а г ^
1+4 7#
V М0‘0 у
1 +
4а 0 г
2
Ш 2 , 2 V Ш0*0 У
+
4аг Ш°60І0
22
Ш2,2
0 0 у
1 +
4а 0 г
Ш 2 , 2 V м0‘0 у
+
22
4а г Ш06оҐ0
2,2
V
Ш0 І 0
у
¡1 + 4а 0 г
Ш 2 . 2 ^0
+
(Ш0б0І2)2 ^
ш2і 2
0 0 у
1
бЭ (г) = б0
Г1 + ^ Ш2, 2 V М0‘0 у
+
4а0 г
22
Ш060/0 Ш2, 2
0 0 у
3. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА
На рис. 2 приведены пространственные зависимости нормированных величин пикового значения (рис. 2-а) и эффективного коэффициента затухания (рис. 2-а) волнового пакета. Значение эффективного коэффициента затухания в точке с координатой г рассчитано для момента времени т = 0 (или I = г/с0 ).
Точками на рис. 2-а показан случай «классического» затухания гармонической волны, где изменения амплитуды описывается соотношением
А( г) = АоехР(-аог). (12)
Видно, что увеличение длительности импульса, нормированной на период высокочастотного заполнения ш070, ведет к постепенному исчезновению различий в пространственных распределениях амплитуды монохроматической волны и пикового значения огибающей волнового пакета. Уже при значении ш0^0 = 6п характер затухания непрерывной волны и радиоимпульса слабо различим для широкого диапазона значений базы ЛЧМ сигнала, см. кривые 5-8 и представленную точками зависимость (12). Наиболее явно отмечаемые различия проявляются у коротких радиоимпульсов с большой базой, обладающих более широким спектром (кривые 2-4).
Тот факт, что при равных условиях амплитуда радиоимпульса ослабляется под действием диссипации медленнее, чем у монохроматической волны той же частоты, объясняется двумя взаимосвязанными процессами. С одной стороны ускоренное затухание высокочастотной части спектра радиоимпульса на фоне незначительного ослабления низкочастотной его части ведет к непрерывному снижению эффективной частоты шЭ(г) внутриимпульсного заполнения, как это показано на рис. 2-б. В свою очередь снижение частоты является предпосылкой для уменьшения эффективного коэффициента затухания аЭ (г), рис. 2-б.
1.2.1.4, си*А — 2гс
Он) 5(іМ(Г = 0; 2; 4; (і
і*Ь(г)/іио 5.("т.7.8, (М»= <ж = 0; 2: 4: 6 ^ ^
1 1
Дг)-ехр[- а-/?)-] і А; 1
* Шцґп = 2 тс: со<Л> = бтг:
\ 11бшо/іГ-0 5, бюгйг = 0
\ 2. ЙГ 1^г;/■ 11 = 2 6, бс?>пЛ:Г = -
\ 3 , = 4 7, йып/|Г = 4
— V 4, - 6 8, = 6
ЧЬЧ ехр(-а0і) - точки
4 ‘
ити ч— зу
■ 1
0 4 8 и*- и 4 У аи=
а) б)
Рис. 2. Пространственные изменения амплитуды (а) и эффективного коэффициента затухания (б) пикового значения огибающей волнового пакета
Отмеченная закономерность, демонстрирующая ослабление затухания волнового пакета в сравнении с монохроматической волной той же частоты, не является тривиальной. Так, например, любое расширение спектра в окрестности частоты ш0 влечет за
собою рост дополнительных потерь в его высокочастотной области. И лишь потому, что диссипативное «выедание» высокочастотной части спектра сопровождается снижением эффективной частоты внутриимпульсного заполнения, становится понятна причина замедления пространственного затухания пиковой амплитуды широкополосного волнового пакета.
На рис. 3 показаны пространственные изменения дополнительных набегов фаз в высокочастотном заполнении волнового пакета. Заметим, что конечные значения ф1 (г) и
ф2(г) возможны только для ЛЧМ сигналов, в случае гармонического заполнения (50 = 0) они равны нулю (кривые 1 и 5). Сдвиги фаз ф1(2) и ф2(г) могут рассматриваться как запаздывание во времени высокочастотного заполнения относительно скорости с0. Учитывая противоположные знаки ф1(г) и ф2(г), для некоторых случаев возможно достичь их взаимной компенсации.
Рис. 3. Пространственные изменения дополнительных набегов фаз в высокочастотном заполнении волнового пакета
Использование частотной модуляции гармонического заполнения (50 ^ 0 ) способно качественно изменить зависимость эффективной длительности волнового пакета от расстояния, рис. 4-а. Отмечаемые особенности свелись к образованию локального минимума в зависимостях tЭ (г) и появлению возможности сжатия радиоимпульса, характеризуемой неравенством tЭ (г) < t0. Эффект компрессии волнового пакета под влиянием диссипации реализуется на участке расстояний 0 < г < г1, где
г _ &ot0 §о^ — 1
4а 0 ю° § о +1
Очевидно, что условие г1 > 0 возможно только при значении базы сигнала ш080^ > 1.
Исследуя на экстремум функцию tЭ (г) в выражении (10), получаем для точки минимума соответственно величины гтЫ и tmin:
_ Ю0Ґ0 Ю050Ґ0 1 . . _
тіп л 0 с* 0 у 4 і 5 тіп і
4а о ю 0 50 Ґр4 +1
0 . Юо50Ґо Юо 5 0Ґ0 + 1
Наряду с изменением длительности волнового пакета в процессе его распространения происходит снижение скорости модуляции частоты внутриимпульсного заполнения, рис. 4-б. Ускоренное затухание высокочастотной части сигнала способствует постепенному вырождению частотной модуляции, быстрому уменьшению базы сигнала. Наиболее интенсивно этот процесс происходит в коротких волновых пакетах с большой базой.
О 4 ВО 4 8 а,г
а) б)
Рис. 4. Пространственные изменения эффективной длительности (а) и скорости изменения частоты (б) внутриимпульсного заполнения
На рис. 5 показаны изменения параметров, характеризующих эффект «диссипативной» компрессии волнового пакета, в зависимости от начальной базы ЛЧМ сигнала. На значения 2Х и 2т{п влияют одновременно оба основных параметра исходного импульса
ш050^2 и ю0^0. В то же время величина 1тЫ является функцией только базы ЛЧМ сигнала и не зависит от нормированной длительности импульса ш0^0. Согласно рис. 5-а, увеличивая ю050^ в пределах от единицы до десяти, можно более чем вдвое сократить длительность импульса. Наиболее сильно эта зависимость проявляется при малых значениях ю050^.
Диссипативный механизм компрессии волнового пакета обусловлен ускоренным ослаблением высокочастотной части радиоимпульса, что видно на временных диаграммах сигнала, рис. 6 - рис. 8. При этом рост пикового значения огибающей, как это происходит при компрессии импульса в диспергирующей среде, здесь невозможен. С увеличением расстояния, проходимого волной, наблюдается характерное смещение наиболее энергоемкой части импульса в сторону низкочастотной части исходного возмущения. В диспергирующих средах такое поведение возможно за счет увеличения групповой скорости волнового пакета. На самом же деле никакого смещения импульса во времени не происходит. Вместо этого в нашем случае под действием частотнозависимого затухания от ЛЧМ сигнала остается лишь его низкочастотная часть, которая при рассматриваемом законе модуляции (50 > 0) расположена правее центра исходного сигнала.
5<1Ыи2 I__________
0 1 4 8
а)
Рис. 5. Зависимости наименьшей длительности волнового пакета (а), координаты ее формирования (б) и размера области сжатия (в) от начальной базы ЛЧМ сигнала
в)
Динамика наблюдаемых изменений формы сигнала принимает противоположное направление в случае, когда мгновенная частота в исходном ЛЧМ сигнале увеличивается к концу импульса (50 < 0). Смена знака 50 приводит к тому, что максимум остающейся низкочастотной части сигнала оказывается смещенным влево вдоль оси времени (в направление излучателя) относительно центра аналогичного волнового пакета, распространяющегося в идеальной среде с такой же скоростью. Для плосковолнового пакета количественные показатели рассматриваемого процесса не зависят от знака скорости изменения частоты 50.
Для достаточно коротких импульсов (ю0^0 = 2п) зависимости (г) после достижения минимума начинают нарастать, в результате чего на расстояниях г > 2Х компрессия сменяется обратным процессом - расплыванием (декомпрессией) волнового пакета. Наглядно проследить оба этапа можно на рис. 6. На больших расстояниях (а02 > 30)
смещение максимума огибающей проявляется слабо, поскольку одновременно с декомпрессией происходит возвращение максимума к центру исходного возмущения
(t/t0 = 0). Для протяженных ЛЧМ радиоимпульсов этап декомпрессии может и не наступить по причине произошедшего затухания волны, что видно на рис. 8.
Рис. 6. Пространственная эволюция формы волнового пакета с параметрами
Шо§о^о — 4 и &0t0 — 2п
Рис. 7. Пространственная эволюция формы волнового пакета с параметрами
Шо§о^о — 4 и Шо^о — 4п
а) б)
Рис. 8. Пространственная эволюция формы волнового пакета с параметрами
ra050t0 = 4 и o0t0 = 6п
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Анализируя произошедшие изменения формы волнового пакета (см. рис. 6-8) на фиксированном расстоянии z = const, можно по результатам измерений в единственной точке измерить величину а0. Это является важным преимуществом в сравнении с
известными методами измерения коэффициента затухания, где сравниваются результаты измерений амплитуды гармонической волны на разных расстояниях от излучателя.
Помимо анализа формы волнового пакета с ЛЧМ заполнением, изменяющегося с расстоянием в диссипативной среде, коэффициент затухания на частоте ш0 удается однозначно определить по скорости изменения мгновенной частоты 5( z), измеренной на удалении z . Воспользуемся для этого выражением 5(z) в (11), в результате получаем:
®0^0
4 z(l + Q°8°t4)
V^0 J
(1 + «252t4)_юо50t4 -1
При этом параметры исходного сигнала (80, ш0^ и ш080^) считаются известными.
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. - М.: Мир, 1972. - 308 с.
2. Ультразвук. Маленькая энциклопедия. Под ред. И. П. Голяминой. - М.: Советская энциклопедия, 1979. - 400 с.
3. Гаврилов А. М. Фазозависимые процессы нелинейной акустики: модулированные волны. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. - 352 с.
4. Гаврилов А. М., Савицкий О. А. Фазозависимые взаимодействия акустических волн. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 362 с.
5. Никитина Н. Е. Акустоупругость. Опыт практического применения. - Ниж. Новгород: ТАЛАМ, 2005. - 208 с.
6. Применение ультразвука в медицине: Физические основы. / Под ред. Хилла. - М.: Мир, 1989. - 568 с.
7. Гаврилов А. М., Кудрявцева Д. Е. Особенности распространения ультразвукового импульса с монохроматическим заполнением в диссипативной среде. - Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2012, № 6.
8. Меркулова В. М. О точности импульсного метода измерения затухания и скорости ультразвука. - Акуст. журн., 1966, т. 12, № 4. С. 474 - 478.
9. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986. -512 с.
10. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1983. -536с.
11. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1981. - 800 с.
