CC BY
21
УДК 534.6
ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКОВОГО ИМПУЛЬСА С МОНОХРОМАТИЧЕСКИМ ЗАПОЛНЕНИЕМ В ДИССИПАТИВНОЙ СРЕДЕ
© 2013 г. А.М. Гаврилов, Д.Е. Кудрявцева
Гаврилов Александр Максимович - доктор физикоматематических наук, доцент, заведующий кафедрой физики, Таганрогский технологический институт Южного федерального университета, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, ГСП-17а, Ростовская область, 347928, e-mail: gavr_am@mail.ru. Кудрявцева Дарья Евгеньевна - студентка, Таганрогский технологический институт Южного федерального университета, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, ГСП-17а, Ростовская область, 347928, e-mail: kudriashka-siu2006@rambler.ru.
Gavrilov Alexander Maksimovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Аssociate Professor, Head of the Department of Physics, Taganrog Institute of Technology of the Southern Federal University, Nekrasovsky St., 44, Taganrog, GSP-17A, Rostov Region, 347928, e-mail: gavr_am@mail.ru. Kudryavtseva Darya Evgenyevna - Student, Taganrog Institute of Technology of the Southern Federal University, Nekrasovsky St., 44, Taganrog, GSP-17A, Rostov Region, 347928, e-mail: kudriashka-siu2006@rambler.ru.
В рамках поиска путей построения новых методик и методов измерений дисперсии ультразвука подробно рассмотрено решение задачи распространения плосковолнового пакета с гауссовой огибающей и монохроматическим заполнением в диссипативной среде. Прослежены характерные изменения параметров волны, проведена их количественная оценка для импульсов различной длительности, промоделированы эволюционные изменения формы волнового пакета.
Ключевые слова: волновой пакет, огибающая, внутриимпульсное заполнение, коэффициент затухания, эффективная частота, компоненты спектра, диссипативное расплывание импульса.
Within search of ways of creation of new techniques and methods of measurements of dispersion of ultrasound the solution of a problem of distribution of a plane wave package with Gaussian envelope and monochromatic filling in the dissipative environment is in detail considered. Characteristic changes ofparameters of a wave are tracked, the quantitative assessment for impulses of various duration, simulate evolutionary changes of a form of a wave package is carried out them.
Keywords: wave packet, envelope, inter-pulse filling, attenuation constant, effective frequency, spectrum component, dissipative pulse bleed.
При физических исследованиях различных материалов и сред широко используются импульсные ультразвуковые методы. Среди наиболее известных задач отметим измерения скорости и затухания акустических волн [1-4], неразрушающий контроль, исследование напряженного состояния твердых материалов и др. Важно иметь в виду, что сигналы в виде высокочастотных радиоимпульсов не являются монохроматическими. Это необходимо учитывать в результатах измерений и диагностики, поскольку при использовании теоретических моделей для монохроматических волн всегда следует ожидать различия между расчетными и экспериментальными результатами. Важно знать источники и характер таких различий, представлять, как они связаны с параметрами сигнала и исследуемой среды.
Учет погрешностей, обусловленных импульсным характером ультразвуковой волны, представляет принципиальный интерес для последующей разработки методик и аппаратуры прецизионных ультразвуковых измерений. Это, в частности, затрагивает такие актуальные направления, как исследование дисперсии скорости ультразвука в различных материалах [5-7], изучение дисперсионных проявлений дифракции волновых пучков, нелинейных волновых процессов и др.
Рассмотрим часто встречаемую на практике задачу распространения в диссипативной среде волнового пакета с монохроматическим заполнением. Для уп-
рощения аналитических выражений и получения точных решений ограничимся одномерным случаем (плоская волна) для волнового пакета с гауссовой огибающей. Начальное возмущение на границе среды (поверхности излучателя) представим в виде
u(z = 0,t) = u0(t) = Aq ■ exp(-12//q -im0tj, (1)
где A0 - начальное значение пикового значения огибающей входного импульса; to - длительность радиоимпульса по уровню 1/ а«0,368; Oq - средняя
частота в спектре сигнала; i = 4—1; z - координата распространения волны. Форма волнового пакета с различными значениями Oq/q на входе среды показана на рис. 1.
Близкая по своей постановке задача описана в [2] применительно к оценке точности измерений скорости и затухания. Нас интересуют физические особенности наблюдаемых изменений волнового пакета, их количественные оценки и детальная методология решения, что необходимо при рассмотрении в рамках единого подхода особенностей распространения более сложных сигналов в средах с диссипацией и дисперсией. Поэтому основное внимание уделим подробному изложению решения и анализу физических закономерностей.
Спектральная плотность начального возмущения (1) имеет вид
Рис. 1. Форма волнового пакета с различными значениями ro0t0
F(z = 0,ш) = — j u^it) ■ exp(rat) dt = 2 я ~
A 7
= т° j exP
2 n_^
t2
—-+ і(ш-ш0У t0
dt.
(2)
Полученный интеграл (2) является табличным [8] следующего вида:
j exp(-at2 + bt) dt = J— exp a
b2
4a
v J
(3)
С учетом (3) выражение для спектра исходного сигнала принимает вид
F (z = 0, ш) = Aotoexp 2 V я
(ш -ш0)210) 4
Полуширина спектра исходного импульса по уровню 1/а равна
|ш -ш) = 2/1о .
Для нахождения формы одномерного волнового пакета малой амплитуды на расстоянии z от входа в диссипативную среду воспользуемся одномерным волновым уравнением с диссипативным членом
d2u
ТГ -
OZ «
д2и
b
д3 и
dt2 С)2Р0 dtdz2
= 0,
(4)
решение которого ищется в виде плоской гармонической волны
u(z, t) = A ■ exp(—іш t + ikz). (5)
Здесь диссипативный коэффициент b считается независящим от частоты b = Е + 4ц/3 + %(1/ « — 1/ер), где "л и Е - сдвиговая и объемная вязкость; % - коэффициент теплопроводности, учитывающий изменение энтропии и перенос тепла.
Подстановкой (5) в (4) получим дисперсионное уравнение
( . , \
к = -
1
П -J1 -ішЬ/соР0
Приближенный переход реализуется при условии слабой диссипации iob/с0р0 << 1.
„2„
ш
«0
1+
ішЬ
2с0р0
7
7
ш
Полученное дисперсионное соотношение перепишем в виде
к « ш/п■ (і + mb/2с0Р0)= к' + ік". (6)
Действительная часть волнового числа (к”) характеризует зависимость фазовой скорости волны от частоты п(ш), а мнимая часть (к”) отражает зависимость коэффициента затухания волны от частоты а(ш):
п(ш) = ш/к'(ш) ; а(ш) = o2b/2с0р0 . (7)
В нашем случае рассмотрим наиболее важный для практики случай квадратичной зависимости от частоты коэффициента затухания
а(ш) =а0 ■ (ш/ш0)2 , (8)
где а0 - коэффициент затухания непрерывной гармонической волны с частотой ®0 . Рассматриваемая зависимость а(ш) характерна для подавляющего большинства материалов и естественных сред. Будем считать, что дисперсия скорости звука в среде отсутствует:
п = «0 =ш/к' =ш/к0 = const. (9)
С учетом (6) - (9) выражение (5) перепишется в виде плоской гармонической волны, амплитуда которой экспоненциально уменьшается с расстоянием
u(z, t, ш) = A(z = 0, ш) ■ exp(- іш t + ік "z - Cz) =
(
2 \
exp^ot + ік00z). (10)
= A(0,ш) ■ exp -а0 ш
V шо
Для возмущений малой амплитуды среду распространения считаем линейной, где спектральные компоненты волнового пакета распространяются независимо друг от друга, поэтому поведение импульса в диссипативной среде представим суперпозицией гармонических волн с начальной амплитудой A(z = 0,ш) = F(z = 0,ш):
u(z,t) = j F(z = 0,ш)exp[-а(ш)z]exp(-iшt + ік0z)dш = _ A0t0
-7
7
j exP
2yfn -, x exp(-rat + ік0 z)dш.
(ш -ш0)21(2
( 2 ^
ш
exp -а 0 z —
V ш0J
(11)
4
Воспользуемся временной переменной в сопровождающей системе координат т = t - z/cq , после чего приведем выражение (11) к виду
u(z,t) = Ао'0 х
2трк
" (
х J exp
а° z t.
ю0
2 + 4
(
2
ю +
2
юо'о
2
22
юо'о
4
(12)
da.
Интеграл является табличным типа (3), поэтому (12) перепишем в виде
u(z, t) =
А
■\j 1 + 4an z/ю2'2
■ exp
f ■ 2C2\
-a°)z - іЮ)Т-т jtо
1 + 4ao z/ra)t(2 j
V
*-oz юо'о
Конечное выражение для волнового пакета в диссипативной среде
u( z, т) =
Ао
•\/l + 4ao z/a'2t0
exp
( ■ 2L2\
-a° z - іют-т jt і
Jo 1
'o
1 + 4ao zl ю0'о j
. (13)
Физический смысл полученного решения (13) сводится к тому, что из-за частотной зависимости коэффициента затухания в исследуемой среде а(ю) Фурье-компоненты в спектре волнового пакета при распространении в диссипативной среде ослабляются в разной степени. В результате появляются искажения формы волнового пакета, которые можно оценить по
X
IT
X
изменению его параметров. Рассмотрим каждый из параметров радиоимпульса.
Оперируя понятием огибающей максимумов высокочастотного заполнения [9], оценим пространственное изменение наибольшего (пикового) ее значения. Своего наибольшего значения огибающая достигает в момент времени т = 0 или t = z/cо . С учетом этого из решения (13) для пикового значения огибающей получаем
А( z) =
А)
(
V1 + 4ao zl ю0'о
■ exp
-а° z
1 + 4аоz/®2'о j
(14)
В отличие от монохроматической волны (10), в качестве которой выступает каждая из Фурье-компонент спектра волнового пакета, убывание пикового значения огибающей с расстоянием происходит по закону, качественно отличающемуся от экспоненциального. На поведение зависимости A(z) оказывают влияние одно-
временно два множителя: первый стоит в знаменателе, а второй - экспонента. Значимость вкладов каждого из множителей проиллюстрирована на рис. 2. Если исключить из (14) экспоненту, то получаемые зависимости А(z) будут иметь вид, показанный на рис. 2а. Наблюдаемые здесь изменения пикового значения огибающей сравнительно невелики.
;а/Ао ехр(- щг) - 'ючки
1, Wo/o = 2л 2, 01,-Ja = 4jt 3. Шціо — бтг 4. = 1 Ojt і. Шо(« = 20л:
1
7^ і2
3,4,5 г— і і”""1 ВІ
0 1 2 3
а б в
Рис. 2. Пространственные изменения пикового значения огибающей волнового пакета с учетом разных множителей
в выражении (14)
Результаты расчета А( z) в случае, когда учтен вклад только экспоненциального множителя, показаны на рис. 2б. В пределах тех же расстояний диапазон изменения максимальной амплитуды высокочастотного заполнения радиоимпульса здесь существенно больше. Именно экспоненциальный множитель определяет характер изменений пикового значения огибающей, это видно из сравнения с кривыми на рис. 2в, где учтены вклады обоих множителей. Здесь видно, что характер изменений функции А(z) при Ю('о - 4л практически не отличается от случая «классического» экспоненциального затухания с коэффициентом а° .
Диапазоны изменений величины ю°'о = 2л'о/TQ и нормированного расстояния a(z = z//g выбраны с учетом того, что в практике ультразвуковых исследований [2] параметры излучаемых радиоимпульсов, исследуемых сред и используемые расстояния по порядку величин соответствуют Ю('о = 10...100 и a(z = 1...5.
В ряде практических случаев множителем в знаменателе (14) можно пренебречь, поскольку выполняется неравенство 4a(z/ю2'2 << 1. В этом случае пространственное изменение пикового значения огибающей можно приближенно описать экспонентой
A(z) « Ад ■ exp
1 + 4а0z/ roQtQ у
= Ад ■ exp[- ay(z') ■ z].
Важно иметь в виду, что так называемый эффективный коэффициент затухания ау(z) в показателе экспоненты также является функцией расстояния:
— а« z
0
ау( z)
а0
1 + 4а о z f
Постоянство коэффициента затухания каждой из спектральных компонент волнового пакета при наличии его зависимости от частоты приводит к пространственному изменению эффективного коэффициента
затухания пикового значения огибающей. При этом эффективный коэффициент затухания зависит не только от проходимого волной расстояния, но и от длительности импульса, нормированной на период высокочастотного заполнения Юд^о = То. Зави-
симости эффективного коэффициента затухания волнового пакета от расстояния, рассчитанные для разных значений rogto , показаны на рис. 3а. Чем меньше величина tg/Tg , тем сильнее изменения коэффициента затухания ау(z).
а
б
Рис. 3. Пространственные зависимости эффективного коэффициента затухания (а) и эффективной длительности
(б) волнового пакета
Примечательно, что эффективный коэффициент затухания волнового пакета оказался меньше, чем коэффициент затухания Фурье-компоненты спектра с первоначальной частотой заполнения Юд . Подобное изменение условий распространения волны может рассматриваться как своеобразное «просветление» среды. На самом же деле среда не изменяет своих свойств. Причина уменьшения эффективного коэффициента затухания связана с понижением частоты гармонического заполнения волнового пакета. Следует отметить, что заметного влияния на пространственное изменение пикового значения огибающей волнового пакета (рис. 2в) этот эффект не оказывает.
Согласно (13) эффективная частота высокочастотного заполнения импульса, соответствующая максимуму спектральной плотности, не остается постоянной. Она заметно снижается по мере увеличения проходимого волной распространения
ЮУ( z)
Юо
1 + 4ад z j O^jtg
Это изменение способно оказать существенное влияние на точность измерений фазовой скорости в методах, использующих фазовую компенсацию ультразвуковых импульсов. Характер изменений частоты в зависимости от расстояния показан на рис. 3а. В качестве примера на рис. 4 приведена форма волновых пакетов со значениями безразмерной длительности rogtg = 4я и
©gtg = 6я на трех расстояниях: аоZ = 0, 10 и 20. Хо-
рошо просматривается снижение частоты гармонического заполнения импульса.
Помимо снижения частоты заполнения волнового пакета, под влиянием диссипации изменяется и его длительность (рис. 3б)
tY(z) = t0^1 + 4а0z/roQt0 .
Эффективная длительность волнового пакета непрерывно нарастает с расстоянием, степень изменений зависит от пройденного расстояния и безразмерной длительности Ю0^ . Вместе с тем нормированная на период заполнения длительность волнового пакета не изменяется с ростом проходимого расстояния ffly(z) ■ ty(z) = ©0t0 = const.
Таким образом, распространяясь в диссипативной среде с частотно-зависимым коэффициентом затухания, волновой пакет сохранил монохроматический характер высокочастотного заполнения, на всех расстояниях от излучателя внутриимпульсная угловая модуляция отсутствует. Вместе с тем существенным изменениям подверглись такие параметры волнового пакета, как его длительность, частота гармонического заполнения и амплитуда. Из-за усиленного поглощения высокочастотной части спектра доля низкочастотной части спектра возрастает. В результате эффективная частота заполнения снижается, одновременно происходит расширение («расплывание») волнового пакета, характер которого никак не связан с влиянием дисперсии. Происходит так называемое «диссипативное расплывание» ультразвукового радиоимпульса.
а б
Рис. 4. Пространственные изменения формы волновых пакетов
Понимание перечисленных особенностей важно при дальнейшем рассмотрении более сложных сигналов в диссипативной и диспергирующей средах, а также при переходе от одномерного случая к волновым пучкам, где дополнительное влияние оказывает геометрическая дисперсия.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 14.А18.21.0-680.
Литература
1. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в
физике твердого тела. М., 1972. 308 с.
2. Меркулова В.М. О точности импульсного метода изме-
рения затухания и скорости ультразвука // Акуст. журн. 1966. Т. 12, № 4. С. 474-478.
3. Никитина Н.Е. Об одной составляющей погрешности
измерения фазовой скорости ультразвука импульсным методом // Дефектоскопия. 1989. № 8. С. 23 - 29.
4. Никитина Н.Е. Специфика прецизионного измерения
затухания и скорости ультразвука импульсным методом // Тр. Нижегород. акуст. науч. сессии. Н. Новгород, 2002. С. 261-263.
5. Никитина Н.Е. Акустоупругость. Опыт практического
применения. Н. Новгород, 2005. 208 с.
6. Применение ультразвука в медицине: Физические осно-
вы / под ред. К. Хилла. М., 1989. 568 с.
7. Никитина Н.Е. Измерение дисперсионного параметра
упругих волн импульсным методом // Акуст. журн. 1999. Т. 45, № 1. С. 105-109.
8. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегра-
лы и ряды. Элементарные функции. М., 1981. 800 с.
9. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы.
М., 1986. 512 с.
Поступила в редакцию
7 сентября 2012 г.
