Геометрическая дисперсия сферически расходящегося звукового пучка Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2GG8, 4

А. М. Гаврилов

Технологический институт Южного Федерального университета в г. Таганроге 347928 Ростовская обл., Таганрог, ГСП-17 А, Некрасовский пер., 44 e-mail: gavr_am@mail.ru

В приближении квазиоптики для звукового пучка с узким угловым спектром, создаваемого в однородной бездисперсионной среде сферически выпуклым излучателем с равномерным распределением амплитуды, рассмотрены особенности совместного влияния дифракции и геометрической расходимости волны на пространственную динамику дисперсионного параметра и фазового инварианта трехчастотной волны.

Ключевые слова: геометрическая дисперсия, кривизна фазового фронта, волновые пучки, дифракция, геометрическая расходимость, зоны Френеля.

ВВЕДЕНИЕ

Под геометрической дисперсией волновых пучков понимается частотная зависимость фазовой скорости монохроматической волны, распространяющейся в виде пространственно локализованного волнового возмущения в однородной бездисперсионной среде [1, 2]. Не будучи связанной с физическими свойствами среды наличием неоднородностей или внешних границ, ее проявление в рассматриваемом случае обусловлено дифракцией и зависит исключительно от исходных геометрических характеристик волны, излучаемой источником ограниченных размеров.

В отличие от оптики, где из-за большой разницы между поперечным размером пучка и длиной волны (частота колебаний ш/2п«1015 Гц) дифракционные процессы проявляются на больших расстояниях и во многих задачах их можно не принимать во внимание, в акустике из-за использования существенно меньших частот (< 107 Гц) это соотношение не столь велико. Такое положение сохраняется, несмотря на имеющееся различие в значениях скорости электромагнитных и акустических волн. Поэтому в звуковых пучках дисперсионные проявления дифракции начинают проявляться практически сразу в процессе распространения волны, что делает необходимым учет их влияния с малых удалений от излучателя даже на высоких (для акустики) частотах.

Геометрическая дисперсия сферически расходящегося звукового пучка

Получена 22.02.2008, опубликована 12.03.2008

1. ОСОБЕННОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ДИСПЕРСИИ ПУЧКОВ

Часто при обсуждении геометрической дисперсии пучков возникает вопрос о правомерности и целесообразности увязывания понятий дифракции и дисперсии волн, поскольку существуют исторически сложившиеся и формально несвязанные между собой представления об этих процессах. В связи с этим отметим, что наблюдаемые в природе волновые процессы обязаны своим многообразием весьма ограниченному числу факторов [1, 3]. Среди них выделим, с одной стороны, внутренние свойства среды (дисперсия, диссипация, нелинейность), а с другой — геометрические характеристики самой волны: пространственная локализация возмущения, начальная форма фазового фронта, распределение амплитуды вдоль фронта. Обычно дисперсионные свойства безграничной среды связывают с существующим понятием физической дисперсии [1], она обусловлена наличием временных и пространственных масштабов, отражающих внутренние процессы, время протекания или пространственная протяженность которых соизмеримы с периодом или длиной волны. Временная и пространственная нелокальность между внешним воздействием и реакцией среды обязаны своим проявлением разного рода релаксационным процессам и наличию у среды внутренней микроструктуры.

В общем случае проявление частотной дисперсии скорости не ограничивается внутренними процессами в среде [1]. Характерные параметры с размерностью длины и времени, определяющие особенности распространения волн, могут быть связаны с геометрическими характеристиками волны и пространственными условиями ее распространения. Наглядным примером служит геометрическая дисперсия волн в волноводах [1, 4], где в качестве характерного масштаба выступает размер поперечного сечения волновода. Сюда может быть отнесена и дисперсия при распространении неодномерной волны, ограниченной в пространстве в виде дифрагирующего пучка, соответствующим параметром которого является волновой размер излучателя.

Формальным подтверждением правомерности представлять результаты проявления дифракционных процессов в терминах дисперсии является взаимосвязь между дифракционным набегом фазы фэ(г, ш) монохроматической волны в пучке и величиной

ее фазовой скорости о( ш), следующая из двух способов записи ее полной фазы

9( ш) = ш( - 2Со ) + Фэ(,ш) ;

9(2, ш) = ш[ - 2/0(2, ш)] .

После дифференцирования по координате получаем

-59(2,ш)/& = ш/с0 -Зфэ(ш)/&;

ш (1)

дг ’ с(г, ш)

1 г дс(г, ш)

с(г, ш) дг

с

(2, ш)

Приближенное равенство во втором выражении (1) выполняется при малых изменениях скорости, о( ш)>> г до(ш)/&, что справедливо для дифракционных процессов. Приравняв правые части обоих выражений (1), получаем

с( ш) =--------------------г = с0

ш) =----------------д—(-\

1 - .дФд( ш)

1 + £о __дфэ(£1^

ш дг

= со + Ас( ш), (2)

ш дг

где о0 — скорость плоской волны; Ас << о0; Ао^, ш) — дисперсионная добавка к

фазовой скорости. Зависимость фазовой скорости неодномерной волны (2) от расстояния является одной из особенностей геометрической дисперсии в пучке. Это отличает рассматриваемый случай от одномерных волноводов (мелкое море, стержни, пластины и др.), дисперсионные свойства которых неизменны вдоль направления распространения волны. Поэтому существующие подходы к исследованию дисперсии, использующие абсолютные и относительные измерения скорости, здесь оказываются неприменимы, что требует разработки специальных методов ее регистрации [2, 5-7].

Рассмотрение дисперсионных свойств пучков представляет интерес для ряда областей применения ультразвука. Отметим безуспешные попытки измерения физической дисперсии в чистой воде и эмульсиях с использованием высокочувствительного модуляционного метода [8]. Наиболее вероятной причиной, помешавшей получению результатов, следует признать присутствие неучтенной геометрической дисперсии, вклад которой при проведении измерений в ближней области пучка многократно превышает величину физической дисперсии [2]. Достаточно было перенести измерения дисперсии на тонкую проволоку, где из-за малости поперечного размера дифракционный механизм дисперсии отсутствует, чтобы модуляционный метод дал положительные результаты [9, 10].

Подобная ситуация проявилась в измерениях нелинейной дисперсии, обусловленной фазозависимыми нелинейными процессами в трехчастотном волновом пакете [11]. Проведенное в режиме малого сигнала исследование геометрической дисперсии пучка [12] позволило определить область пространства, где ее влияние не сказывается на результатах измерений, и разделить вклады двух физически разных явлений. Как и при исследовании эмульсий, величина геометрической дисперсии из-за дифракции пучка превышает нелинейную дисперсию более чем на порядок. Поэтому неучет ее может оказаться причиной неверных результатов измерения нелинейной составляющей.

Дисперсионное проявление дифракции представляет самостоятельный интерес для многочисленных теоретических и экспериментальных исследований нелинейной акустики ограниченных пучков, поскольку связано с ее влиянием на протекание нелинейных процессов [13-15]. Совместное действие дифракции и нелинейности сопровождается явлениями, не свойственными одномерным волнам (асимметрия искажений временного профиля первоначально гармонической волны, эффекты самовоздействия, включающие самофокусировку, самолокализацию, дефокусировку волн и др.). Сочетание нелинейности и геометрической дисперсии создает физические предпосылки для формирования в традиционно бездисперсионной акустике известных в оптике локализованных и компактных структур (солитон, компактон), в основе которых лежит баланс этих эффектов.

Наблюдаемый в последнее время всплеск интереса к использованию искусственно создаваемой [16, 17] и естественной дисперсии (волноводы) [18, 19] связан с задачей временной компрессии длинных импульсов с целью увеличения их амплитуды и укорочения длительности. Ее решение востребовано в областях, где необходимо получить большую амплитуду зондирующего импульса, исключив негативное проявление нелинейного затухания, в измерительных и диагностических системах высокого пространственного разрешения. В отличие от оптики в акустических задачах редко удается воспользоваться естественно существующей дисперсией, тогда как создание условий для ее проявления зачастую трудно выполнимо технически. В связи с этим встает вопрос об использовании геометрической дисперсии волновых пучков, что предполагает ее детальное исследование.

Многообразие применяемых на практике волновых пучков и возможных способов использования геометрической дисперсии выводит вопрос ее изучения за рамки какого-либо частного случая. Одновременно возникает необходимость рассмотрения задачи о доступных способах “управления” ее величиной и пространственным распределением. Для конкретной среды характер пространственной структуры пучка, а вместе с нею и дисперсионные проявления дифракции неодномерной волны, могут задаваться параметрами граничного условия (2 = 0) для исходного возмущения. К таким параметрам относятся конфигурация и размеры излучающей поверхности, частота гармонического возмущения, начальная форма фазового фронта и поперечное распределение амплитуды.

В работах [2, 20] экспериментально и теоретически исследуются дисперсионные свойства волны, ограниченной в пространстве в виде осесимметричных пучков с гауссовым, полиномиальным и равномерным начальным распределением амплитуды. На примере дисперсионного параметра и фазового инварианта трехчастотной волны в рамках квазиоптического (малоуглового) приближения прослежены характерные особенности проявления геометрической дисперсии для плоских излучателей круглой формы. К таковым относятся локализация дисперсии в пределах области дифракции Френеля, сильная зависимость ее пространственной структуры от амплитудного распределения вдоль излучающей поверхности, наличие пространственных осцилляций дисперсионного параметра, сопровождающихся резкими изменениями его величины и знака, что получило подтверждение в эксперименте [2].

Наряду с амплитудным распределением исходного возмущения другим доступным способом влиять на величину и пространственную структуру дисперсии является использование такого фактора, как начальная форма фазового фронта. Наиболее просто такой подход реализуется посредством формирования сферически расходящейся (сходящейся) волны с ограниченной протяженностью фронта. Физической моделью рассматриваемой задачи может служить сферическая волна, прошедшая отверстие в непрозрачном экране, радиус кривизны фронта которой определяется расстоянием между точечным источником и экраном. На практике ограниченные волновые пучки с сферически расходящимся фазовым фронтом получают, используя сферически выпуклые излучатели или соответствующее фазовое распределение вдоль антенной

решетки. До настоящего времени интерес к ним был обусловлен необходимостью равномерного озвучивания большого объема среды и сокращения времени обзора пространства в задачах диагностики, обнаружения и слежения за быстро перемещающимися объектами, стабилизации акустического контакта с объектом наблюдения, в ультразвуковой технологии и др.

С целью выяснения роли начальной кривизны фазового фронта в [21] проведен теоретический анализ дисперсионных свойств сферически расходящегося гауссового пучка с различным соотношением параметров, характеризующих дифракцию и расходимость волны. В рамках решения параболического уравнения дифракции прослежены особенности совместного проявления этих процессов, качественно различающиеся для малых и больших значений кривизны излучателя. Однако, в акустике гауссов пучок интересен лишь в качестве физической модели исследуемого процесса, которая может быть описана простыми аналитическими выражениями. На практике, как правило, используют излучатели с равномерным возбуждением, что обусловлено рядом причин, включая простоту технической реализации.

В связи с этим, целью данной работы является рассмотрение дисперсионных свойств осесимметричных пучков, создаваемых в однородной бездисперсионной среде сферически выпуклыми излучателями с равномерным распределением амплитуды и различной кривизной поверхности, сравнение их с ранее рассмотренным случаем плоского излучателя в аналогичных условиях [20].

2. ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ ПОДХОД К РАССМОТРЕНИЮ ДИСПЕРСИИ ПУЧКА

В основу анализа дисперсионных характеристик сферически расходящегося ультразвукового пучка с узким угловым спектром положим решение параболического уравнения дифракции [1] и принципы, лежащие в основе модуляционного метода измерения дисперсии В. А. Зверева [9, 10]. В осесимметричном пучке с равномерным возбуждением вдоль поверхности излучателя выражение для комплексной амплитуды монохроматической волны, нормированной на начальную величину возмущения А0 ( 2 = 0 ), в произвольной точке пространства имеет вид [22]:

где г и 2 — поперечная и продольная (осевая) координаты поля; Я0 и 2а — радиус

области дифракции Френеля (ближней области); 5 0 — начальная кривизна волнового

фронта ( гп = 0 ), отнесенная к дифракционной длине пучка.

Для узкополосного сигнала (ш0 >> О), спектр которого (Аш~0) сосредоточен в окрестности частоты ш = ш 0, локальное поведение закона дисперсии может быть представлено в виде ряда [1]:

(3)

кривизны и размер апертуры излучателя; к = ш/с0 ; 1д = ка2 /2 — протяженность

к (ш) = к (ш0) + ((/Лю)Ш0 (о - ш0) + 0,5(^ 2к/ da2 ^ (ш - ш0 )2 +..., (5)

где к(ш0) = ш0/сФ ; сФ — фазовая скорость волны с частотой ш0; (к^ш) = сг —

групповая скорость волнового пакета; (ё2 к dш2 )ш0 = О —

дисперсионный параметр, характеризующий частотную зависимость групповой скорости. Первые два члена (5) соответствуют линейному приближению функции к(ш) и описывают неискаженное распространение волнового пакета с групповой скоростью с . Дисперсионные искажения, проявляющиеся в изменении формы огибающей

волнового пакета и фазовой модуляции его высокочастотного заполнения, учитываются квадратичным и последующими членами. При рассмотрении распространения узкополосных сигналов (ш 0 >> О) достаточно воспользоваться

вторым приближением теории дисперсии, т. е. третьим слагаемым.

Дисперсионный параметр О найдем посредством регистрации нарушений фазового синхронизма между Фурье-компонентами многочастотной волны. Наиболее просто это реализуется в рамках модуляционного метода измерения дисперсии [9, 10] при использовании трехчастотной волны с симметричным спектром (ш0, шнв = ш0 + О):

р( Г, 2) = Р (г, 2)с08[ш 0X - к02 + ф0 (г, 2) + Ф0 ] +

+ Рн (г, 2)с°8[ш[ - [н2 + фн (г, 2) + Фн0 ] + Рв (г, 2)с0§[швХ - кв2 + фв (г, 2) + фв0 ] = (6)

= Р(, Г, 2)с°б[ш 0X - к02 + ф(, Г, 2) + ф0 ],

где Р0 (г, 2), Рн (г, 2), Рв (г, 2) и ф0 (г, 2), фн (г, 2), фв (г, 2) - дифракционные изменения

амплитуд и фаз гармоник; ф0, ф н 0, фв0 — начальные ( 2 = 0) фазы компонент; Р(х) и ф() описывают амплитудную и фазовую модуляцию [2]. Тогда

О(ш0,г, 2) = = -2 2 )-в0 =-2 ДРСг^ , Г_^

dш м • рад

где в0 = [фн0 +фв0 )/2 -ф0 ] — начальное ( 2 = 0) значение фазового инварианта (ФИ) трехчастотного сигнала; в(г, 2) = [(фн (г, 2) + фв (г, 2))/2 - ф0 (г, 2)] — ФИ в произвольной точке наблюдения. Для нахождения пространственного распределения дисперсионного параметра достаточно определить дифракционный набег (расстройку) ФИ Лв(г, 2). Дисперсионные искажения отсутствуют (О = 0), если в процессе распространения между гармониками (шн , ш0, шв ) сохраняется фазовый синхронизм, т.е. Лв(г,2) = 0. В бездисперсионных средах эта ситуация возможна только у одномерных волн.

В общем случае дифракционная расстройка фазового инварианта Лв в (7) находится из (3) через значения аргумента комплексной амплитуды на частотах шн , ш0 и шв :

ЛР(п , 2п0 ) = 0,5[[ Рпн (п , 2п0 ) + аГВ Рпв (гп, 2п0 )] - аГВ ]0 (г„, 2п0 ) (8)

с учетом частотного параметра Ф = ш0/О в безразмерных величинах 2п и 50 (4):

(7)

ш = ш

о •

§ 0(0) § 0;

ш = ш

н •

2„н = 2„оФ/(Ф -1); §о н = §о (Ф - 1)/Ф;

^ = ^„о Ф/(Ф +1); §о в =§о (Ф + 1)/Ф ,

(9)

где гп0 = г/180 = 2г/к0а2; к0 = ш0/с0 . С учетом (9) выражения Рп0, РпН и Рп1

запишутся

Р„о (т„, 2„о ) =----------ехР - -^1 |

2„о V 2„о У о

ехр

- ІУ„

(1 + § о 2„о )

-„о

J о

С 2т т ^

„о „

V z„о У

т„о ат„о;

р (т 2 )= 2І^Ф ^ ехр

ГпН\Гп^„о) ^ СХР

2 Ф

Іт„ (Ф-1)

2 Ф

х Jо (2т„от„ (Ф - 0/2„оФ)т„о)т„о ;

р (т 2 )= 2І(Ф+1 ехр 'rnBVnэZn0/ ^ еХР

2 Ф

„о

- Іт„2 (Ф +1)

2Ф

„о

ехр

I ехр

- гт.

(1 + § о 2„о )(ф- 1)

„о

2Ф

„о

(10)

- Іт 2

„о

(1 + § о 2„о )(ф + 1)

2Ф

„о

Х ^0 (п0Гп (Ф + 1)/2п0Ф)Гп0)гп0 •

Для нахождения дисперсионного параметра пучка на частоте ш0 необходимо в выражении (8) с учетом (10) взять предел при Ф да:

А> ( , 2п0 )Ш0 =®21а 0 В(Гп, гП0 )И0 =-(2/ гП0 )11т[ф 2 АР(Г, гп0,ф)], (рад). (П)

Очевидно, что выполнение условия Ф да приведет к тому, что расстройка фазового инварианта (8) будет равна нулю во всех точках поля. При конечных значениях частотного параметра выражение (11) позволяет найти усредненную в полосе частот измерительного сигнала ( Аш = 20 ) величину дисперсионного параметра в окрестности

частоты ш 0.

3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОВОГО ИНВАРИАНТА И ДИСПЕРСИОННОГО ПАРАМЕТРА В БЛИЖНЕЙ ОБЛАСТИ ПОЛЯ

Результаты расчета поперечного распределения дифракционной расстройки фазового инварианта трехчастотной волны Ар(гп) вблизи излучателя (гп0 = 0,1) для Ф = 10 показаны на рис. 1. Влияние кривизны излучателя, величина которой изменялась в интервале 5 0 = (0...9), наиболее сильно проявляется в приосевой области. Отметим, что на оси пучка Ар может принимать одно из трех возможных значений: 0 и ± П2. Данная особенность свойственна пучкам, создаваемым излучателями с равномерным распределением амплитуды вне зависимости от значения их кривизны. Обусловлено это равенством вкладов, вносимых в формируемое на оси поле соседними зонами Френеля [20], рис. 2-а.

Вне оси зависимость Ар(гп) является непрерывной осциллирующей функцией,

размах которой при 50 > 0 спадает по мере приближения к краям пучка. С увеличением расстояния 1п общий характер изменений поперечного распределения ФИ качественно

2„ 2„0 ;

2

X

X

повторяет пространственную динамику этого параметра в поле поршневого излучателя (50 = 0), рис. 2-б. Основной тенденцией этих изменений является постепенное смещение осцилляций на периферию пучка в процессе распространения волны.

90 Г л

а) б)

Рис. 1. Поперечные распределения расстройки ФИ вблизи излучателя

а) б)

Рис. 2. Осевые и поперечные распределения ФИ в ближней области поля

Свойственная круглому поршню [20] ступенчатая форма осевого распределения Ар сохраняется при изменении кривизны излучающей поверхности в широких пределах, рис. 2-а. Вместе с этим рост 50 сопровождается изменениями осевого распределения ФИ в ближней области поля, приводя к удалению от излучателя имеющихся на нем ступенчатых участков. Координаты биполярных разрывов между ступенчатыми участками функции Ар(гп = 0,1п0) равны

2п0 = V( П-50 ), О = 1 2, .) (12)

и совпадают с положением разрывов на осевых распределениях главного значения

фазы волны с частотой ш0 [22]. Точкам с координатами (12) соответствует четное

число фазовых зон на излучателе, вклады которых на оси взаимно компенсируются, приводя к формированию здесь локальных участков поля с нулевой амплитудой.

Поперечные распределения дисперсионного параметра, соответствующие

приведенным выше зависимостям фазового инварианта, показаны на рис. 3. По мере удаления от излучателя на общем виде зависимостей Вп (гп) и их поведении

прослеживаются те же качественные изменения, что и на аналогичных распределениях ФИ. Нарушение фазового синхронизма между Фурье-гармониками трехчастотного сигнала, порождаемое геометрической дисперсией, приводит к появлению конечных значений расстройки ФИ, знак которой противоположен знаку дисперсионного параметра. Различие в знаках Бп и Ар непосредственно следует из соотношений (7) и

(11). Пространственная неоднородность дисперсионных свойств препятствует накоплению фазовых искажений трехчастотной волной в ближней области пучка. В результате искажения «вытесняются» из приосевой области на периферию пучка, где дисперсионный параметр имеет большие абсолютные значения.

Рис. 3. Поперечные распределения дисперсионного параметра

4. ОСЕВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОВОГО ИНВАРИАНТА И ДИСПЕРСИОННОГО ПАРАМЕТРА

Решение (3) для оси пучка (гп = 0 ) принимает простой вид рп І0,2п) = (V( + 502п ))[ - [(- (( + 50 2п )/2п )],

откуда для действительной амплитуды и фазы получаем следующие выражения:

\Рп I0, *п Ш = ((*п )• И К1 + 5 0 *п V2*п № + 5 0 *п V2*п ];

Ф,

>(0, 2п )=-

1 +5 0 2п 2і„

0п

3

Sin

1 + 5 0 2п

V 2^п у

■ = ФЭ1 I0, 2п Ш+ФЭ 2 I0, 2п ).

(13)

(14)

Первое слагаемое в (14) фЭ1 (, 2п) описывает дифракционный набег фазы вдоль оси,

тогда как второе фэ2 (0,1п), содержащее ступенчатую единичную функцию, отражает

интерференцию вкладов зон Френеля. С учетом двух механизмов формирования фазовой структуры поля расстройка фазового инварианта (8) запишется в виде суммы

АР(0, гп0 ) = Ар1 I0, гп0 ) + АР2 I0, гп0 ), (15)

где при любых значениях частотного параметра Ф справедливо равенство

АР, (0,) = -]1

I1 +5 0 2п0 )(Ф- 1)+ (1 + 5 0 2п0 )(ф + 1)

1 + 5| = 0. (16)

2 2п0

(17)

Выражение (15) с учетом (16) принимает вид АР(0, *п0 Ь АР 2 I0, 2п0 )= -п {0,5[®1§п[®1п((1 + 3 0 ^0 )(ф- 1)/2*п0 Ф)] +

+ ( + 5 0 ^0 Хф + 1)22п0 ф) - ((1 + 5 0 2п0 V22п0 ))]}.

Осевые распределения расстройки фазового инварианта, рассчитанные для разных значений кривизны излучателя, приведены на рис. 2-а и рис. 4. Среди особенностей функции Ар(0,2п0) следует отметить повторяемость основных ее закономерностей для

ряда значений 5 0, отличающихся между собой на 2п. В качестве примера показаны

два семейства осевых зависимостей ФИ, соответствующих 50 = (0, 2п, 4п) и

50 = (п, 3п), рис. 4. Кривые в каждом из этих семейств отличаются лишь шириной

ступенчатых участков, которая пропорциональна кривизне излучателя. Наблюдаемое совпадение координат биполярных разрывов между ступенчатыми участками у разных кривых следует из поведения осевых распределений главного значения фазы монохроматической волны (14). Ранее [22] было показано, что для отмеченных случаев зависимости фэ(0,2п) практически не отличаются между собой.

а) б)

Рис. 4. Осевые распределения фазового инварианта для 50 = п1, (I = 0, 1, 2,...)

Характерной особенностью осевых распределений Лр(0, гп0) при 50 = (2п, 4п,...) является появление в дальней области поля (гп0 > 1) конечного значения расстройки ФИ Лр = -тс/2. Столь значительные фазовые искажения способны существенно повлиять на вид модуляции [2] излучаемого волнового пакета, например, изменить амплитудную модуляцию на фазовую или наоборот. Если у плоского излучателя за пределами ближней области Лр = 0, т.е. модулированная волна восстанавливает свою

исходную фазовую структуру, то здесь искажения в виде Лр = — я/ 2 сохраняются и на больших расстояниях, несмотря на завершение дифракционных процессов. Формально данную ситуацию можно объяснить помещением в бесконечность координаты наиболее удаленного от излучателя биполярного разрыва функции Лр(0, гп0), как это

следует из (12). В качестве иллюстрации этого процесса на рис. 5 показаны осевые распределения расстройки ФИ для нескольких значений кривизны в окрестности

50 = 2п. Отмеченная особенность осевого распределения Лр(0,гп0) при 50 = (2п, 4п,...)

обусловлена специфической структурой поля, формируемой четным числом зон Френеля [22].

Рис. 5. Динамика осевых распределений фазового инварианта вблизи 5 0 = 2п

Влияние частотного параметра на рассматриваемые зависимости видно на примере кривых 2 и 3, рис. 5-б. Поскольку увеличение Ф равносильно сужению спектра трехчастотной волны и выравниванию волновых размеров пучка, из-за ослабления различий дифракционных процессов для каждой из частот (шя, ш0, шв) в пределе Ф ^ да ширина ступенчатых участков стремится к нулю, т.е. ЛР ^ 0 на всей оси.

Для случаев 50 = (2п, 4п,...) рост Ф сопровождается смещением координаты наиболее удаленного отрицательного скачка Лр в область больших іп0. В случае волнового пакета с непрерывным спектром, локализованным в окрестности ш 0, процесс формирования фазовой структуры оказывается распределенным в

пространстве. При его распространении расстройка Лр = — п/2 появляется вначале у наиболее удаленных от средней частоты ш0 симметрично расположенных Фурье-компонент ш н и ш в, а по мере продвижения волны этот процесс охватывает более близкие к ш 0 пары спектральных компонент.

При произвольном значении Ф дисперсионный параметр на оси пучка с учетом (17) описывается выражением

D,, (0,:„o ) = -—AP, (0,z„o ) = ^

1

n0

n0

sign

Sin

I1 +б0Zn0 )(Ф- 1)

2 Zno Ф

(18)

+ ^п[( + 5 0 ^0 )(Ф + 1)2гп0 Ф) - ^[(эш((1 + 5 0 ?п0 V2гп0 ))]} .

Осевые распределения Бп, рассчитанные для Ф = 10 и разных значений кривизны излучателя 50, показаны на рис. 6. Зависимости Бп (0, гп0) имеют форму ступенчатых функций с огибающей вида Бп ~ 1/гп0 . В местах биполярных разрывов соблюдаются те же особенности, которые отмечались на осевых распределениях Лр для значений кривизны 5 0, разнесенных на 2П. За пределами ближней области поля (2п0 > 1) при 50 Ф 2п1 величина Бп равна нулю (рис. 6-а), либо монотонно убывает с расстоянием при 50 = 2 тс/ (кривые 2 и 3 на рис. 6-б).

а) б)

Рис. 6. Осевые распределения дисперсионного параметра для 50 = тс/, I = (0, 1, 2,...)

2

При нахождении осевого распределения дисперсионного параметра на частоте ш 0 взятие предела от (18) при Ф да приводит к неопределенности типа (0-да). Раскрытие ее предполагает дифференцирование ступенчатой функции, для чего воспользуемся соотношением [3] ё/ёх{sign[/(х)]} = 5[/(х)]- /'х (х), где 5(х) — функция Дирака. В результате получаем

О ( _ ) пФ° + 5о2по)

Оп (0,2п0 ) =--------------Т~2--------

42 „(Л

8,

( ( БІЙ

V V

(1 + 8 о 2п0 )(Ф- :)

2 2п0 Ф

11

- СОБ

у у

( + 8 0 2п0 )(Ф- :)

2 2п0 Ф

(19)

- 5 2 (мп^1 + 5 0 гп0 )(ф +1)2 гп0 ф))- садЦ1 + 5 0 гп0 )(ф +1)/ 2 гп0 Ф]],

Из-за сохраняющейся в (19) неопределенности (0-да) повторное использование правила Лопиталя сделаем после несложных преобразований:

Оп (гп , 2п0 )=-

п

4 2„

(81 -82)• ФСОБ

(

0 п0

22 і

V п0 у

СОБ

1 + 8 0 2п0

V 2 2п0Ф у

+

(8: +8 2 ^ 8 ) .

+ —------11 + 8 0 2п0 )п

2 2п0

Г 1 + 8 0 2п0 ^ ®Іп((1 + 802п0 V22п0Ф)

2 2 V п0 у (1 + 802п0 )/22п0Ф _

(20)

С учетом накладываемого условия Ф да в (20) можно провести очевидные замены:

( ( БІЙ

V V

(1 + 802,0 )Ф- 1)11

2 2п0 Ф

1 + 02 б1п

уу V

(1 + 802п0 )(Ф + 1)11

22п0 Ф

БІп( + 802п0 )/22п0Ф)

I1 + 802п0 )/22п0Ф

= 1;

СОБ

1 + 8 0 2п0

1

V 2 2п0Ф у

= 28

Ф ^ да

= 1.

( (1 +802п0 ^

БІЙ -

V V

2 г

п0 уу

(21)

Принимая во внимание (21), выражение (20) можно переписать:

! 1 '5 - 1 ' 1 5 - ( (1 + 5 ^ 2п0 ^ . (1 + 5 _

А,(0, 2.0/=^-П

п 0

81 -8 2 1/ Ф

СОБ

1 + 8 0 2п 0 V 2 2п0 у

+•

1 + 802п0 8

БІЙ

V V

Б1П

п0 уу

V 2 2п0 у

(22)

Здесь от частотного параметра зависит лишь множитель (5Х -52)/(1/ф), к которому применим правило Лопиталя, используя правила дифференцирования 5 -функции:

5\(х)=- 5(х Vх; 5* [/(х)]=-/' х (х )5[/(х ^ I(х) •

В результате из (22) получаем простое выражение

Вп I0, -п0 )=-(У2-п20 )- [х/Б1п (х)] ' 5[б1п (х)] где х = (1 + 5 0-п0 ^2—п0 , (23)

которое можно преобразовать, используя представление 5 -функции от сложного аргумента в виде ряда [3]

51 (х)] = Е 8( - хк ))/'х (хк Х, (24)

где хк — корни уравнения /(х) = 0. Здесь /(х) = /—0 ) = б1п[(1 + 50-п0 )/2-п0 ] • Корни

найдем из уравнения (1 + 50-п0)/2-п0 = кп, где к = 0, 1, 2,...:

2 п 0к = У(2пк-5 0 ), к = ^ Ъ 2,~. (25)

Производная /'х (хк ) в выражении (24) равна

й

-БШ

1 +8 0 2п 0

V 2 2п0 у

п0к

СОБ

1 + 8 0 2п0к 2 2 у

V п0к у

22

п0к

После подстановки (24) - (26) в выражение (23) получаем

пк

Оп (°, 2п0 ) = -ПЕ • ( ?) • 8(2п0 - 2п0к ) = -ПЕ

пк

Б1П

(пк )

Б1П

(пк )

•8

1

2п0 -

2пк - 8

(26)

(27)

0 у

8

1

1

2

2

п0к

к

к

Согласно (27) дисперсионный параметр на оси пучка равен нулю везде, исключая точки с координатами 2п0к, где функция не определена. Разрывы в этих точках являются устранимыми, поскольку функция Вп (0, іп 0) вокруг них определена и равна нулю. Как и в

случае круглого поршня, при Ф да дисперсионный параметр на оси сферически выпуклого излучателя с равномерным распределением амплитуды равен нулю.

Рис. 7. Осевые распределения Бп при Ф = 10 и Ф = 50

- 5 0 5 Гй

Рис. 8. Поперечные распределения фазового инварианта для 5 0 = пі и 2п0 = 10

Для кривизны 50 = 2пі (і = 1, 2,...) координата 2п0к согласно (25) устремляется в

бесконечность при і = к. Постепенное преобразование ступенчатых участков в точечные разрывы, расположенные на расстояниях іп0 = іп0к, показано на примере осевых распределений дисперсионного параметра с Ф = 10 и Ф = 50, рис. 7. При увеличении Ф одновременно с сокращением протяженности ступенчатых участков происходит рост абсолютных значений Бп.

5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОВОГО ИНВАРИАНТА И ДИСПЕРСИОННОГО ПАРАМЕТРА В ДАЛЬНЕЙ ОБЛАСТИ ПОЛЯ

На рис. 8 показаны поперечные распределения ФИ за пределами ближней области поля (2п0 = 10) для значений кривизны 50 = (2п, 4п) и 50 = (п, 3п), приводящих к

качественно отличающейся структуре поля. Так, для первой группы величин 50 в приосевой области пучка формируется минимум амплитуды волны, во втором случае наоборот, максимум [22]. Зависимости Лр(гп) у поршня (50 = 0) и выпуклого

излучателя с кривизной 50 = 2пі (і = 1, 2,...) совпадают за исключением участков,

прилегающих к разрывам в поперечных распределениях главного значения фазы монохроматической волны с частотой ш0, рис. 9-а. При этом вид поперечных распределений амплитуды и фазы у этих излучателей различен [20, 22].

В дальней области поля зависимость поперечного распределения ФИ от кривизны излучателя наиболее сильно выражена вблизи значений 5 0 = 2п/, что показано на примере 50 < 2п и 50 > 2п, рис. 9-б. Несмотря на то, что форма кривой Лр(гп) может под влиянием 5 0 меняться в широких пределах, на оси пучка (гп = 0) величина Лр принимает только одно из трех значений (±п/ 2; 0). Эта особенность отмечалась выше при анализе осевых распределений ФИ. В широком интервале значений кривизны, прилегающих к 5 0 = 0 и 5 0 =(2/ - 1), для ФИ справедливо равенство Лр(гп )= 0, кривые 1 и 7.

а) б)

Рис. 9. Поперечные распределения дифракционного набега фазы для 5 0 = п1 (а) и расстройки фазового инварианта при 50 ^ 2п и 50 ^ 2п (б)

При рассмотрении дальней области (2п >> 1) воспользуемся угловыми зависимостями параметров поля. Переход в (3) к угловой координате 9 произведем посредством преобразования тп/2п = А tg 9 :

Р *п ) = - |

<7 *

exp

п 0

- гг.

( +50гп )

п0

^0 (2Гп0 А tg Є)Гп0 ^п0 .

(28)

где А = ка/2 . При условии іп >> 1/50 из (28) следует 2І

О' 1

Рп ( 2п ) = — | eXp(- г50Гп0 ) )0 (2Гп0 А tg Є)Гп0^п0 .

*7 *

п0

Расчет расстройки фазового инварианта проведем с использованием выражения Ар(9, гп0, ф) = 0,5[arg [ ( ^п0 ) + arg рпв (9, гп0)]- arg рп0(9, гп0), (29)

где

2/

Рп0 ( 2п0 )= —- | eXp(- /5 0 Гп0 ) ) 0 (п0 A0tg 9Уп0 аГп0';

г ■*

п0 0

2

РпН I9, ^п0 ) = 2/(Фф ^ | еХР^- /5 0Гп0 30 ^2Г0 А0 tg 9^)Г„0 ^п0 ;

РпВ I9, ^п0 )= 2/^(Ф)(ф ^ .[еХР^- /5 0Гп0 фф+1^) 30 ^2Гп0 А0 ■фф+1 tg 9^п0^0,

здесь А0 = к0а/2 = ш0а/2с0 . Пространственное распределение дисперсионного параметра находим подстановкой (29) в выражение

О (9, *% 0, ф) = -(2/ г„„ ) АР(9, , ф).

На рис. 10 приведены угловые распределения ФИ и дисперсионного параметра, рассчитанные для А0 = 100 и Ф = 10. Зависимости Ар(9) сохраняют особенности поведения поперечных распределений ФИ на рис. 8 и рис. 9-б. Это видно на примере изменений формы кривой в приосевой области пучка для 50 ^ 2п и 50 > 2п, а также совпадения в пределах углов главного лепестка амплитудной ХН кривых 3 и 4, относящихся к 5 0 = 2п и 5 0 = 4п, рис. 10-а. Однако, с увеличением угла 9 различия у этих кривых нарастают.

Рис. 10. Угловые зависимости фазового инварианта и дисперсионного параметра

Динамика угловых распределений дисперсионного параметра при изменении кривизны вблизи 5 0 = 2п показана на рис. 10-б. Кривая 8 соответствует характеристике

направленности поршня рп (б)/Pn (о) с волновым параметром А0 = 100. Наиболее

значимые изменения Dn (9) в зависимости от 50 происходят в центральной части

пучка. По мере того, как значение 50 удаляется от 50 = 2nl, дисперсионный параметр

стремится к нулю для всех углов 9 , что имеет место в случае поршня ( 50 = 0) [20].

Специфика геометрической дисперсии выпуклого излучателя проявляется в возможности использования его кривизны для получения конечных значений дисперсионного параметра за пределами области дифракции Френеля. Небольшой

перестройкой кривизны относительно 5 0 = 2 тс/ достигается изменение абсолютного значения, а также смена знака дисперсионного параметра и формы его углового распределения. Быстрый рост абсолютных значений Оп при увеличении Ф происходит

на фоне усиливающейся локализации углового распределения в приосевой области. ВЫВОДЫ

На основе решения параболического уравнения дифракции рассмотрены дисперсионные свойства высокочастотных расходящихся пучков, создаваемых сферически выпуклыми излучателями с равномерным распределением амплитуды. Прослежено совместное влияние дифракции и геометрической расходимости на пространственные распределения дисперсионного параметра и расстройки фазового инварианта трехчастотной волны в ближней и дальней областях поля. Отмечены особые проявления геометрической дисперсии при значениях кривизны излучающей поверхности, кратной 2п. Показаны возможность и условия получения конечных значений дисперсионного параметра за пределами области дифракции. Установлена взаимосвязь между частотными соотношениями в спектре волнового пакета и пространственными распределениями дисперсионного параметра.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. М.: Наука. 1990.

2. Гаврилов А. М., Ситников Р. О. Измерение геометрической дисперсии в звуковом пучке. Акуст. журн., 2006, т. 52, № 5, с. 641-647.

3. Гурбатов С. Н.. Малахов А. Н., Саичев А. И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990. 216 с.

4. Ультразвук. Маленькая энциклопедия. Под ред. И. П. Голяминой. М.: Советская энциклопедия. 1979. 400 с.

5. Горская Н. В., Иванов А. Н. Курин В. В., Морозова Н. И., Салин Б. М. Фазовые соотношения при распространении тригармонической волны в маломодовых акустических волноводах. Акуст. журн., 1985, т. 31, № 6, с. 796-799.

6. Вакс В. Л., Шейнфельд И. В. Измеритель фазового инварианта. Патент РФ №2062474, 001Я 25/00. Опубл. 20.06.1996.

7. Чикин А. И., Шемагин В. А., Шейнфельд И. В. Способ измерения фазового инварианта тригармонического сигнала. Патент РФ № 1775680, 001Я 23/16. Опубл. 15.11.1992. Бюл. № 42.

8. Зверев В. А. Люди и события. Воспоминания. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2004. 86 с.

9. Зверев В. А. Модуляционный метод измерения дисперсии ультразвука. ДАН СССР, 1953, т. 91, № 4, с. 791-794.

10. Зверев В. А. Модуляционный метод измерения дисперсии ультразвука. Акуст. журн., 1956, т. 2, № 2, с. 142-145.

11. Гаврилов А. М., Ситников Р. О. Экспериментальное исследование нелинейной дисперсии трехчастотного волнового пакета методом фигур Лиссажу. Сборник

трудов XVIII сессии Российского акустического общества, т. 1. - М.: ГЕОС, 2006, с. 119-123.

12. Гаврилов А. М., Ситников Р. О. Метод и результаты измерений геометрической дисперсии в звуковых пучках. Сборник трудов XVIII сессии Российского акустического общества, т. 2. - М.: ГЕОС, 2006, с. 5-8.

13. Бахвалов Н. С., Жилейкин Я. М., Заболотская Е. А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука 1982. 174 с.

14. Андреев В. Г., Карабутов А. А., Руденко О. В. Экспериментальное исследование распространения нелинейных звуковых пучков в свободном пространстве. Акуст. журн., 1985, т. 31, № 4, с. 423-428.

15. Маков Ю. Н. Волноводное распространение звуковых пучков в нелинейной среде. Акуст. журн., 2000, т. 46, № 5, с. 680-684.

16. Пономарев А. Е., Смагин М. А., Булатицкий С. И., Сапожников О. А. Временное обращение волн в задачах компрессии импульсов и нестационарной акустической голографии. Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. М.: Тровант, 2005, с. 69-89.

17. Пономарев А. Е., Булатицкий С. И., Сапожников О. А. Компрессия и усиление ультразвукового импульса, отраженного от одномерной слоистой структуры. Акуст. журн., т. 53, № 2, 2007, с. 157-167.

18. Гостев В. С., Есипов И. Б., Попов О. Е., Воронин В. А., Тарасов С. П. Дисперсия сигнала параметрической антенны в мелком море. Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. М.: Тровант, 2006, с. 112-120.

19. Montaldo G., Roux P., Derode A., Negreira C., Fink M. Generation of very high-pressure pulse using time reversal in a solid waveguide: Application to lithotripsy. J. Acoust. Soc. Amer., 2001, v. 109, p. 2481.

20. Гаврилов А. М. Геометрическая дисперсия в звуковых пучках, создаваемых плоскими излучателями. //Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. Труды научной школы проф. С.А. Рыбака. Троицк: Тровант, 2007, вып.8, с. 86-102.

21. Гаврилов А. М. Геометрическая дисперсия в сферически расходящемся гауссовом пучке. Электронный журнал «Техническая акустика» <http://www.ejta.org> 2007, 23.

22. Гаврилов А. М. Особенности поля сферически выпуклого излучателя. Электронный журнал «Техническая акустика» <http://www.ejta.org> 2008, 3.