CC BY
78Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org
2008, 3
А. М. Гаврилов
Технологический институт Южного Федерального университета в г. Таганроге 347928 Ростовская обл., Таганрог, ГСП-17 А, пер. Некрасовский 44 e-mail: [email protected]
Особенности поля сферически выпуклого излучателя
Получена 10.01.2008, опубликована 24.01.2008
Проведено сравнение двух подходов к описанию высокочастотных звуковых пучков, излучаемых сферически выпуклыми излучателями с равномерным распределением амплитуды, в основу которых положены интеграл Рэлея и параболическое уравнение дифракции. В рамках полученных решений на примере амплитудно-фазовой структуры поля и пространственной динамики кривизны фазового фронта прослежены особенности, обусловленные совместным влиянием дифракции и геометрической расходимости волны.
Ключевые слова: дифракция, геометрическая расходимость, фазовый фронт, характеристика направленности, фазовый центр, зоны Френеля.
ВВЕДЕНИЕ
Строгое решение волнового уравнения для задачи о звуковом поле осесимметричного излучателя, представляющего собой часть сферы, совершающей пульсирующие колебания и располагающейся в сферическом экране, приведено в [1], где записано в виде бесконечных рядов по полиномам Лежандра. Полученное выражение из-за своей сложности не поддается анализу и используется лишь в численных расчетах для ограниченного интервала величины kR0 (kR0 < 30), где
k = ш/c0, R0 — волновое число и радиус кривизны излучателя [2]. Для больших kR0,
встречаемых в ряде практических задач (медицинская диагностика, неразрушающий контроль, гидроакустика и др.) расчет поля становится проблематичным из-за необходимости учета большого числа членов ряда и расчета каждого из них с высокой точностью.
При рассмотрении высокочастотных звуковых полей (kR0 >> 1) можно получить
сравнительно простые по своему виду аналитические выражения, обеспечивающие достаточную для практики точность, используя приближение Кирхгофа [3-5] и параболическое уравнение дифракции [6]. Такие решения благодаря наглядности физической интерпретации представляют интерес в ряде задач, включая исследование нелинейного взаимодействия волн [7, 8], геометрической дисперсии пучков [9], нелинейной дисперсии [10, 11] и др.
Как известно [1, 6], используя интегральные методы рассмотрения задачи излучения, поле источника произвольной формы может быть записано с помощью интеграла Гельмгольца-Кирхгофа, который позволяет выразить амплитуду волны через распределения нормальной скорости колебания частиц и акустическое давление, заданных на излучающей поверхности. Данное решение справедливо при условии, что длина волны значительно меньше линейных размеров излучающей поверхности.
В частном случае плоского излучателя интеграл Гельмгольца-Кирхгофа сводится к двум интегралам, зависящим от распределения нормальной компоненты колебательной скорости или звукового давления. Первый из них, известный как интеграл Рэлея [12], отражает принцип Гюйгенса-Френеля для протяженных плоских излучателей в жестком бесконечном экране. Результирующее поле является суперпозицией вкладов вторичных точечных источников, распределенных по излучающей поверхности £. Амплитуда элементарных волн пропорциональна нормальной компоненте колебательной скорости Уп = (ду/дп)3 в соответствующих точках. При этом потенциал
для произвольной точки поля, удаленной от центра излучателя на расстояние I, записывается в виде
Если излучаемые плоским источником полусферические элементарные волны распространяются, не изменяя своей формы, и поэтому интеграл Рэлея дает точное решение, то для неплоских излучателей появляется погрешность, обусловленная дифракцией этих волн на искривленной поверхности. Роль дифракционных эффектов усиливается по мере роста кривизны излучающей поверхности, что на примере фокусирующего излучателя проявляется в уменьшении относительно 180° угла раскрытия фазового фронта элементарных волн, приводя к переотражениям их от вогнутой поверхности [13, 14]. Для выпуклого излучателя, напротив, из-за дифракции на искривленной поверхности угол раскрытия фазового фронта элементарных волн в процессе их распространения растет, превышая 180°.
В большинстве практических задач, использующих вогнутые и выпуклые излучатели, радиус кривизны (R0) и апертура (а ) рабочей поверхности много больше длины волны:
kR0 >> 1; ка >> 1. (3)
Для условий (3) поправки на дифракцию элементарных волн не оказывают существенного влияния на расчет полей неплоских излучателей, что подтверждается сравнением с результатами анализа точного решения [2] для выпуклого излучателя, а также многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями вогнутых излучателей [13-17].
(1)
Для звукового давления гармонической волны выражение (1) принимает вид
(2)
Целью данной работы является сравнение двух подходов к рассмотрению высокочастотных пучков сферически выпуклых излучателей с равномерным распределением амплитуды, использующих интеграл Рэлея и параболическое уравнение дифракции, проведение на их основе анализа особенностей поля, обусловленных совместным влиянием дифракции и геометрической расходимости волны.
1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА РЭЛЕЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОЛЯ СФЕРИЧЕСКИ ВЫПУКЛОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ
Для рассмотрения особенностей поля высокочастотных осесимметричных излучателей с сферически выпуклой рабочей поверхностью интерес представляет вывод с использованием интеграла Рэлея точных аналитических решений на оси пучка и дальней области, аналогичных известным решениям для плоского круглого поршня. В качестве элемента площади йъ примем площадь узкого шарового пояса СС1 В1 В йъ = 2^0 dh, (4)
где йк — высота шарового слоя, рис. 1. Учитывая осевую симметрию задачи, расстояние I от произвольной точки С на поверхности сегмента сферы до точки наблюдения А, находящейся на акустической оси Qz (или 0z1 ), запишется в виде
I = ^и2 + ( - R0 + к)2 = -у/д - R0 )2 + 2hz , (5)
где u = BC/2 = yjR0 - (0 - h)2 = -yj2R0h - h2 ; h0 — высота рабочего участка
сферического излучателя. Для равномерного распределения амплитуды интеграл (2) берется точно. После подстановки значений ds и l для комплексной амплитуды давления получаем
P(z) = irap 0 Vn | jexp - iky](z - R0 )2 + 2hz jyj(z - R0 )2 + 2hz j>2nR0 dh =
2П 0 j _______________________________________ ^ , (6)
= P0R0 exp[- ik(z - R0)] jl - exp - ikГд/( - R0 )2 + 2z\ - (z - R0)
где P0 = p0c0vn — амплитуда звукового давления на поверхности излучателя. Если воспользоваться координатой z1, отсчитываемой от поверхности излучателя (z1 = z - R0) и расстоянием от точки наблюдения до края излучателя L, тогда выражение (6) примет вид
p(z) = IPo exP(- ikzi V(l + ZJRo)] (l - exP[- ik(l - zi)]), (7)
который с точностью до знака перед zjR0 в знаменателе совпадает с решением О’Нейла [17], полученным с использованием интеграла Рэлея для сферически вогнутого фокусирующего излучателя. Здесь обозначены:
L = (zi + ho)2 + a 2; a 2 = R0 - (Ro - ho)2 = 2Ro ho - ho2; exp(- ikz1) — пространственный набег фазы, который при рассмотрении комплексной амплитуды можно опустить; а — радиус излучателя. Точное решение интеграла Рэлея
для звукового давления на оси плоского поршня [12] имеет вид
Р() = Р0 ехр(-){1 - ехр[- ¡к(Ь - )], (8)
поэтому все три случая: вогнутого, выпуклого и плоского излучателей — могут быть записаны одним выражением:
Р(2) = { - ехр[- к (Ь - *,)]}.
Здесь q = -1 и q = 1 соответствуют выпуклой и вогнутой поверхности, при Я0 ^ да полученное решение принимает вид, соответствующий плоскому излучателю (8).
(9)
Рис. 1.
Схема нахождения осевого распределения амплитуды волны в поле сферически выпуклого излучателя
В выражении (7) для разности хода бокового ( Ь ) и центрального ( ОА ) лучей
Ь - *1 = *1 V1 + 2( + *>/*1))/*1 -1
при условии >> Н0 и >> Я0 справедливо равенство (Ь - ) « Н0. Следовательно, в
дальней области поля амплитуда волны на оси полностью определяется величиной
К/Ь:
р( )=
Р 2 Р
0 [1 - ехр(- ¡кк0) = 0
1 + *11 *
1 + г1І *0
БІЙ
С п И0
ехр
(10)
На фиксированном расстоянии от излучателя модуль давления принимает нулевое или максимальные значения соответственно при к0/X = (0, 1,2,...) и к0/X = (1/2, 3/2,...).
Выражение для модуля амплитуды, совпадающее с (10), приведено в [2].
Влияние дифракции и геометрической расходимости на характеристики поля рассмотрим, записав (7) в безразмерных переменных и параметрах, связывающих между собой величины, определяющие эти процессы:
zn = 1 д= 2zllка2; 50 = 1д/^ = ка2/2^; А = Ч2; рп = plpo, (11)
здесь 1д = ка2 /2 — длина области дифракции Френеля; 5 0 — кривизна излучателя, нормированная на 1д. Осевое распределение для нормированной амплитуды принимает вид
0
Pn(A8о) = [l - exP(- 2w)](l + ô0z„) = 2sin(w)- exp[/(V2 - w)], (12)
где
w = A2 zn
Jl + 2[ + 8 о Zn )/( о z n )2 ]l -.JÏ-CA
2 '-1
Действительная амплитуда и фаза соответственно равны
\Pn(A80} = 2 |sin(w)/(1 + 80zn); (13)
фэ (zn, A, 8 0 )=V 2 - w + n [l - sign(sin w)]=rc [3/2 - sign(sin w)\-w. (14)
Единичная функция в выражении (14)
sign(x) = {0, X<0;
{l, x > 0
учитывает смену знака функции x = sin(w) при ее переходе через нулевое значение. Параметры h0/X и 80, определяющие в (10) и (12) влияние кривизны излучателя, связаны соотношением
к/^ =1-V1 -(0/a)2 aVп80, (15)
которое для A >>80 можно переписать:
hjX =8 0/2л. (16)
Следовательно, при 80 =(0, 2п, 4п,...) и 80 = (п, 3п,...) модуль амплитуды на
акустической оси в дальней области поля соответственно равен нулю или достигает максимума. При конечных значениях 80 и zn условие A >> 80 соответствует квазиоптическому приближению ( A >> 1) и сводит решение (12) к виду
Pn (zn, 80 ) = [ - exp(- i (1 + 80zn Vzn )]/(1 + 80zn ) . (17)
Для нахождения пространственного распределения амплитуды гармонической волны в дальней области поля интеграл Рэлея запишем в обозначениях рис. 2. Точка O начала прямоугольной системы координат xyz совмещена с вершиной сегмента сферической поверхности излучателя. Точку наблюдения, где отыскивается поле, полагаем лежащей в плоскости xOz на достаточно большом расстоянии l, чтобы линии l и l1, проведенные из точки наблюдения к разным точкам сегмента, можно было считать параллельными.
Линии l и l1 идут под углом 9 к оси z в двух параллельных плоскостях xOz и ABCD, рис. 2-а. В силу осевой симметрии задачи поле во всех точках, расположенных под углом 9 к оси z на расстоянии l , будет одинаковым. Проведем через ось Oy плоскость, перпендикулярную радиус-вектору l. Она пересечет линию l1, проведенную из точки наблюдения к некоторой точке С на поверхности сегмента на таком же расстоянии l, что и начало координат в точке O. Здесь
l1 = l + Al = l + DC .
Согласно рис. 2-б получаем
А/ = u j sin 9 + h cos 9 = u • cos a • sin 9 + (r 0 - -¡Jr 02 - u2 )cos 9 , (18)
где u1 = 5C = u cos a ; h = 001 = (r0 - ^R02 - u2 ); u = O1C , рис. 2-в. Площадь элемента ds в окрестности точки C равна
ds = CC1 • CC2 = R0u • d9-da = R0u/-^R02 - u2 )• duda, (19)
где ф = arcsin(w/R0); d9 = du/JR
,2 2 ?0 - u
Рис. 2. Геометрия задачи при нахождении звукового давления в дальнем поле сферически выпуклого излучателя
Oí
S а » /\С|
У / / 9 Д/
Фо —ч / / / // / А/
С /у
в)
Учитывая, что /1 >> А/, в знаменателе (2) можно без существенной потери точности считать /1 = /, а экспоненту, показатель которой характеризует пространственный набег фазы, удобно записать ехр(- ¡к/1) = ехр(- ¡к/) • ехр(- ¡кА/).
Тогда с учетом пределов интегрирования по и и а интеграл Рэлея запишется:
P(l, 0) =
/Юр 0 vn
2п
2nl R0udu/-^R
exp(- ikl) J RoU—— I exp(- ikÁl)-da
VR
22 -o - U
ІЮР 0 vn
2nl
ex
22 0 - U
exp[- [([ [R - и2 )cos 0] Jexp(- iku sin 0 cosa) da.
(20)
0
0
X
0
0
Используя интегральное соотношение для функции Бесселя нулевого порядка
2п
I exp(- ix cos у d dy = 2n J0 (x),
для (20) получаем
P(, 0) = /Юр°Vn R exp(- ikl) I
exp[- ik R0 - ^R02 - и2 )cos 0
VR
2 2 0 - u
J0 (ku sin 0) ddu .
(21)
Перепишем (21) в безразмерном виде, воспользовавшись обозначениями (11):
P, (In, 0) = 2 exp(- 2/A2 In )d
J0 (2Aun sin 0)
V1 -(n 8 JA)2
exp
.2 A2
-/-
1-
1-
f un 8
n0
cos 0
undun, (22)
здесь Іп = І/Ід = 2і/ка2; ми = . Изменение амплитуды с расстоянием отражено
множителем 1/1п и происходит по тому же закону, как в сферической волне.
Пространственный набег фазы описывается показателем экспоненты ехр(- 2іЛ2Іп) и
аналогичен плоской волне. Третий множитель в виде интеграла характеризует угловую зависимость поля, т.е. характеристику направленности (ХН) излучателя:
D0,8 0 ) =
P, (0)
P. (0)
= 2 J J0 (2Aunsin 0) exp
0 V1 -(un8 0/A)2
-/-
.2 A2
80
1-
1-
fun8
n0
cos 0
■undun. (23)
Согласно (23) вид ХН определяется волновым размером (А) и кривизной (8 0) излучающей поверхности. Для пучков, удовлетворяющих условию А >> 80 (или R0 >> а ), выражение для ХН сводится к виду
D(0,80) = 2 J J0(2Aun sin0)-exp[-/80u2n cos0]undun.
(24)
Принимая во внимание, что для узких пучков основная часть ХН сосредоточена в области малых углов 9 , можно воспользоваться приближенным равенством cos 9 « 1. В результате принятых допущений получаем выражение
1
D( 80 ) = 2 IJ0 (2Aun sin 0) exp(- i80un2 )undun .
(25)
В частном случае 80 = 0 из (25) следует формула для ХН круглого поршня [2, 6, 12]: D(q) = 2 J1 (ka sin 9) ka sin 9.
2
8
0
2
n
2. РЕШЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИ РАСХОДЯЩЕГОСЯ ПУЧКА
Выражение, описывающее поле сферически выпуклого излучателя, следует из общего решения параболического уравнения дифракции [6]. Для осесимметричного пучка оно может быть записано в форме зависимости безразмерной амплитуды давления от нормированных поперечной ( гп = г/а ) и продольной ( гп) координат [19]:
Рп (гп , ^п ) = — ехр - — I |Рп (Гп0 , ^п = °)ехр
ГГ,
2 Л
п0
Ґ 2Г г ^
п п0
'п у
(26)
где Рп (, г
п0, = 0) — граничное условие, определяющее распределение амплитуды и
фазы на излучающей апертуре. Пределы интегрирования отражают размеры апертуры, ось г совпадает с акустической осью излучателя, рис. 1. Нормировки переменных и параметров в (26) и последующих выражениях соответствуют (11). Вне зависимости от формы излучателя (вогнутый, плоский или выпуклый) граничное условие удобно задавать на плоскости г = 0 произведением функции /(г, г = 0), отражающей распределение амплитуды, и экспоненты, показатель которой характеризует начальную форму волнового фронта.
Рис. 3.
Замена сферического фазового фронта (сплошная линия) параболическим (пунктир)
г
п
п
п
Наличие у излучателя кривизны отнесем на появление в произвольной точке Т с координатами (, г = 0) отставания фазы относительно центральной точки 0(0,0), обусловленного пространственным набегом Д1 из-за несовпадения излучающей поверхности и плоскости задания граничного условия, рис. 3. Для сферически выпуклого излучателя начальный радиус кривизны (г = 0) фазового фронта волны равен Р0, поэтому
Д1 (г) = СТ = ЗТ - ЗС = Я0 -д/я02 - г2 , (27)
откуда для Р0 >> а следует выражение
Д1 (г ) = г 2М. (28)
Переход от точного значения Д1 к приближенной записи (28) соответствует замене
сферической поверхности параболоидом. В пучках, где выполняется условие Я0 >> а,
эта замена не приводит к существенной ошибке. В плоскости г = 0 поперечное распределение фазы с учетом (27) и (28) имеет вид
ДФ( г = 0) = ф(0,0)-ф(г,0) = -М1 () = -(2Л 7 50) 1 -л11 -(5 0/ Л)2 ; (29)
Дф(г, г = 0) = - кг2/2Я0 = -гп250. (30)
Плоскому излучателю (Я0 = да ) в выражении (29) соответствует 5 0 = 0, поэтому для
плоского, сферического выпуклого и вогнутого излучателей уместна единая форма записи граничных условий:
р(г = 0) = р0/(г^[^фМ^р{)1 (гч)- 1 -71 -(г/р0)2 }; (31)
p(г, г = 0) = Р0 /(г )exp(iqkг 72Р0 ^ (32)
где ч = (-1), ч = 1 и Я0 ^ да соответствуют выпуклому, вогнутому и плоскому излучателю (9). Выражения (31) и (32) в безразмерной записи:
рп(, г„ = 0) = /(гп7ч50) 1 -д/1 -(л57Л)2 }; (33)
рп (гп, гп = 0) = / ( Ф 0). (34)
Запись граничного условия в виде (34) ранее использовалась при рассмотрении дифракции сфокусированных и дефокусированных гауссовых пучков [6, 8].
При равномерном распределении амплитуды [1, при гп < 1;
I0, при гп > 1
по поверхности выпуклого излучателя из выражения (26) с учетом (33) и (34) следует
2І
Рп (гп , гп )=— ^
Ґ • 2 V
ІГп
V гп у 0
ІГ„
1 2 А 1п 1 +
(
5 Г
0 п0
1 -
1 -
( г 5
Л'
Х ^0 (2гпгп7гп УпС^п0 =
= (2^гп ^(т (п7гп )} exp[- (0 /гп ^ + 5 0 гп )]0 (2гпгп7гп )гп0^п0 .
0
Вдоль оси пучка комплексная амплитуда давления описывается выражением:
(35)
Рп I0, гп ) = — eXP
(
І 2 А
2 V
И
exp■
- І
Г,
2
п0
2 А2
5 0 V
1-
(г 5
п0 0
((гп)exp(-І2А750){е^і-І хІгп -(2АV50V1 -(7А)2Х
' Гп0 ЙГп0
(36)
1
1 + 5 0
1 - exP
- і(1 +50гп )
2sin[(l + 50гп V2^п ]
1 + 5 0
exp
Ґ
2
\
2 г..
V~ ^‘“п у_
Приближенное выражение в (36) получено при условии Л >>50 и полностью совпадает с аналогичным решением интеграла Рэлея (17).
г
п
п
2
5
0
3. АНАЛИЗ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ СТРУКТУРЫ ПОЛЯ
Согласие решений параболического уравнения и интеграла Рэлея можно видеть на
рис. 4-а и рис. 4-б. Здесь же точками отмечены результаты расчета по приближенным выражениям (36) и (17), из которых для действительной амплитуды и фазы на оси получаем:
распределением амплитуды, кривые (1, 3) и (2, 4) на рис. 4-б. Согласно (37) амплитуда волны в ближней области поля ( гп < 1) принимает нулевое значение, а дифракционный
размахом 180° между +90° и -90°. Следует отметить, что в пучке плоского (5 0 = 0) поршня аналогичные особенности для амплитуды и фазы проявляются на тех же расстояниях, что и для выпуклого излучателя с 50 = 2пп [12]. Наиболее удаленная
имеем гп ^ да.
Наряду с отмеченными общими закономерностями поведения осевых распределений амплитуды и фазы плоского и выпуклого излучателей между ними имеются и существенные различия. В частности, это касается координат максимумов амплитуды и точек прохождения через ноль главного значения фазы, что соответствует принятию дифракционным набегом фазы фа1 (0,гп) значений пп в точках
примере рассчитанных согласно (36) и (12) зависимостей |Рп (гп = 0, гп) и фа (гп = 0, гп),
(37)
Фа(0, гп ) = V2 - (1 + 5 0 гп )/2 гп + - ^пИп((1 + 5 0 гп V2 гп )])
= П(3/2 - ^[ы^1 + 50гп )2гп )]}- (1 + 50гп V2гп .
(38)
Согласно (38) общая величина фазового набега на оси пучка фа(0, гп) является суммой непрерывной функции фа (0,гп), отражающей дифракционные процессы, и ступенчатой функции фа 2 (0,гп), описывающей интерференцию зон Френеля, рис. 4-в:
набег фазы фа1 (0,гп) равен (1 - 2п )/2 в точках на оси, координаты которых равны гп = V (2пп-5 0), п = 1,2,...
Здесь же осевая зависимость главного значения фазы фа(0, гп) претерпевает разрывы
точка, где Рп = 0 , имеет координату
соответственно
гп = V[ + 1)-5 0], п = 1,2,...
Если для плоского поршня координаты максимумов амплитуды и нулей фазы совпадают, то у выпуклого излучателя это условие не выполняется, что можно видеть на примере последнего максимума |Рп (0, гп) и наиболее удаленного нуля функции
ф9(Я гп X рис. 4-г.
в) г)
Рис. 4. Осевые распределения амплитуды и фазы при разных значениях кривизны
сферически выпуклого излучателя
Важной характеристикой сферически расходящегося пучка является зависимость амплитуды волны на акустической оси от кривизны излучателя, рис. 5. Приведенная к единичному расстоянию амплитуда волны |Рп (0, гп)- гп осциллирует по мере роста 50, поочередно принимая нулевые и максимальные значения, положение которых относительно оси 50 фиксируется с увеличением расстояния, кривая 3. Такое
поведение является следствием алгебраического суммирования вкладов зон Френеля. Вклады соседних зон противофазны, поэтому давление зависит от того, какое их число
укладывается на сферической поверхности излучателя. При четном числе зон амплитуда на оси равна нулю, а при нечетном она максимальна. В сферически расходящемся гауссовом пучке [18] аналогичная зависимость не содержит осцилляций из-за доминирования центральной зоны Френеля.
Рис. 5. Зависимости амплитуды на оси, приведенной к единичному расстоянию, от кривизны излучателя
1 10 100 1000
Рис. 6. Осевые распределения амплитуды волны при различных значениях кривизны излучателя
В дальней области поля ( zn >> 1) осевые значения амплитуды и дифракционного набега фазы стремятся к значениям
P(0,\ = dlz„) [sin(50/2)/(5„/2)]; (40)
Фя (0, zn )=(п-8„ V2' (41)
Согласно (40) для значений 8„ = 2пп амплитуда волны на расстояниях zn > 10
практически равна нулю. Подобная ситуация невозможна для плоского поршня, поскольку давление на его оси в дальней области поля определяется исключительно первой зоной Френеля. Для излучателя в виде сферического сегмента количество «фазовых» зон N определяется кривизной его поверхности: N = 50/п. Поэтому
нулевые значения амплитуды здесь могут достигаться как в ближней ( zn < 1), так и в дальней ( zn > 1) зонах дифракции. В отличие от гауссового сферически расходящегося пучка [18], где при увеличении кривизны излучающей поверхности выполняется условие фд ^ 0, абсолютное значение дифракционного набега фазы излучателя с равномерным распределением амплитуды (41) в дальней области поля растет пропорционально 5 0, рис. 4-в.
В окрестности значений 50 = 2пп структуре поля (37) присущи характерные особенности. Для сравнения на рис. 6 в двойном логарифмическом масштабе кривой 1 показана зависимость \Р„ (0. Zn) плоского поршня, наклон которой в области zn >1
составляет -20 дБ на декаду изменения расстояния, что соответствует поведению амплитуды в сферически расходящейся волне. Зависимости 2 и 3 соответствуют осевым распределениям амплитуды при 80 = п и 80 = 3п, которые на расстояниях 2п > 10 практически повторяют поведение кривой 1. В случае 8 0 = 2пп наклон кривых 4 и 5 равен -40 дБ/дек . Заметим, что небольшим расстройкам 80 относительно 2пп соответствуют существенные изменения формы кривых, которые качественно различны в зависимости от знака приращения Д80 = (± 0,1; ±0,4). Так, при Д80 > 0
зависимости 6 и 8 принимают наклон и форму, аналогичные кривой 1. При Д80 < 0 на кривых 7 и 9 появляется минимум с нулевой амплитудой, положение которого смещается в сторону излучателя по мере роста |Д8 0|. Уменьшение кривизны приводит
к тому, что уже при 8 0 < 5 этот минимум оказывается в пределах ближней зоны излучателя (2п < 1), рис. 7-а. Из наблюдаемых изменений |Рп (0, гп) следует, что аномально большой наклон кривых 4 и 5 при 8 0 ^ 2пп является следствием удаления координаты последнего минимума в бесконечность.
Все этапы трансформации осевого распределения амплитуды, показанные на рис. 6 и рис. 7-а, повторяются при изменении 80 в пределах любого интервала, равного 2п. Периодичность повторения основных элементов структуры поля видна на примере четырех зависимостей |Рп (0,2п), рассчитанных для 80 = (2п - 1)п, рис. 7-б. Отличия
состоят в скорости убывания огибающей осцилляций, которая согласно (37) описывается функцией 1/(1 + 802п). При этом осевые распределения фазы фа(0,2п) для рассматриваемых случаев практически совпадают, рис. 4-б.
2
ІЛД- 'I
2
/('-,)= I ч=- 1
0
0.1
10
О
а)
б)
Рис. 7. Динамика осевого распределения амплитуды в зависимости от кривизны поверхности выпуклого излучателя
Для нахождения углового распределения комплексной амплитуды гармонической волны в дальней области поля нет необходимости, как в случае интеграла Рэлея, заново рассматривать задачу с привлечением упрощающего допущения о параллельности приходящих лучей. Достаточно воспользоваться общим решением (35), где следует перейти от линейной координаты гп к угловому аргументу 9 , используя соотношение
гп = Лгп 9, и учесть дополнительный набег фазы бокового луча относительно
центрального:
Дф = кД2 = к (л/ г2 + г2 - г) = 2гпЛ2 -1). (42)
Для слаборасходящихся пучков, поле которых сконцентрировано в пределах небольших углов ( г << г ), соотношение (42) может быть записано в виде Дф(9, гп ) = гпЛ^2 9 . (43)
Замена координат сводится к формальной процедуре посредством записи
Рп ( гп) = Рп (гп ^ 9 гп )ехр[/Дф(9, гп)] ,
в результате получаем
Рп I9, гп ) = (2Ап )ехр|/Л2гп (2л/1 + 9 - 2 - 9) Х
(44)
xjexp{-te/ zn) 1 + 2А2 z„ (j -y¡ 1 -(rn0 5 о/ A)2 0 r20 j J 0 ( A tg 0)-rnO drn0.
С учетом допущений (43) и R0 >> a выражение (44) упрощается:
Pn ( zn ) = — jexP
<7 *
Zn 0
ir2
n0
(l + 5 0Zn )
J0 (2rn0 A tg 0)rn0drn0- (45)
Для нахождения характеристики направленности наложим условие 2п ^ да на координату точки наблюдения, тогда
2i 1
Pn ( Zn ) = — í exp(- ib 0rn20 ) J0 (2rn0 A tg 0) rn0drn00 . (46)
*7 *
Zn 0
(47)
Окончательное выражение для ХН имеет вид
D( 50 J = Р^ = 2 í exp(- i50гПо) J0 (2Аг«01§ 0Ноdrn0.
Pn i0,5 0J 0
Выражения (44) - (47) справедливы для малых углов 0, поскольку получены в рамках квазиоптического приближения. Поэтому без существенной потери точности можно воспользоваться заменой tg 0 « sin 0 , для углов 0 < 150 ошибка не превысит 1%. С учетом этой замены выражения (46) и (47) практически совпадают с ранее полученными решениями интеграла Рэлея (24) и (25) для амплитуды в дальней области поля и ХН.
Амплитудные и фазовые ХН сферически выпуклого излучателя, рассчитанные с использованием (47), показаны на рис. 8. Для сравнения кривой 1 показаны характеристики круглого поршня (50 = 0). В приведенных зависимостях |D(0)
амплитуда нормирована на величину Рп (0 = 0,5 0 = 0). Увеличение 5 0 в пределах от
Zn
нуля до 2п сопровождается вырождением основного лепестка амплитудной ХН и формированием на его месте минимума с нулевой амплитудой, рис. 8-а. Наблюдаемые здесь изменения являются следствием интерференции и последующей взаимной компенсации вкладов первых двух зон Френеля в направлении оси. Примечательно, что благодаря кривизне излучающей поверхности влияние второй фазовой зоны на формирование приосевой области дальнего поля не прекращается с ростом расстояния, как это имеет место у плоского поршня.
Угловые зависимости амплитуды и фазы для условий 80 = 2пп и 80 = (п - 1), объединяющих случаи размещения на поверхности излучателя четного и нечетного числа зон Френеля, приведены на рис. 8(-д,-е) и рис. 8(-в,-г). На прослеживается
повторяющаяся с ростом п (п = 1, 2,...) закономерность формирования минимумов и максимумов амплитуды на оси пучка (9 = 0), что соответствует таким же экстремумам на зависимости |Рп (8 0) • 2п, рис. 5. Уменьшение нормированной амплитуды в приосевой
области при увеличении п обусловлено перераспределением излучаемой мощности в более широком угловом секторе пространства и постепенной утратой направленности из-за усиления роли геометрической расходимости в сравнении с дифракционными процессами.
Вид фазовых ХН для 80 ^ 0 на рис. 8(-б,-г,-д) свидетельствует о том, что
геометрический центр излучателя (точка О на рис. 2-а) не является его фазовым центром, если таковой существует. Кривой 1 в виде ступенчатой функции для сравнения показана зависимость фа(9) плоского поршня, у которого фазовый центр
существует и совпадает с началом системы координат г0г. Ответ на вопрос о существовании фазового центра у выпуклого излучателя можно найти, воспользовавшись процедурой отыскания его координаты.
Допуская существование фазового центра, поместим его в силу симметрии задачи на оси пучка. Для определенности положим, что он расположен слева от точки О на расстоянии Q, рис. 3. Согласно определению фазового центра [2] угловая зависимость фазы относительно искомой точки на фиксированном расстоянии должна отсутствовать. В исходном выражении (35), записанном относительно линейной поперечной координаты Рп(п, гп), для перехода к угловой переменной учтем удаленность фазового центра относительно начала координат на величину Q и разность хода между центральным и боковым (идущим под углом 9 к оси Ог ) лучами:
Ь = 4( + г)2 + г2 -( + г) = гV+ г), где (г, г) - координаты точки наблюдения.
в)
г)
д) е)
Рис. 8. Амплитудные и фазовые характеристики направленности при разных значениях кривизны излучателя
Приближенное равенство справедливо в приосевой области, где г/ ( + 2) << 1, здесь дополнительный набег фазы бокового луча равен
кД = гп2/ (п + гп X (48)
где Qn = Q/lд = 2Q/ka2 . Угловую зависимость фазы волны можно записать через ее поперечное распределение и значение кД из (48):
Фд( 2п , 3 0 )=[фд(Гп = 0, гп, 3 о )-Фд(гп, гп, 3 о)]-кД =
(49)
= [ Рп (гп = 0, гп, 3 0)-аг8 Рп (гп, гп, 3 0 )]-3 о ]1 ]/Р0 +3 о гп ) ,
где ^ = Q|(3 0 ). В отличие от гауссового пучка [18] при равномерном распределении амплитуды найти аналитическое решение для аг§ Рп (гп, гп, 30) не удается, поэтому зависимость ^^0 = / (3 0) рассчитывается численно из условия, что
Фд( 2п ,3 0 )= 0.
Анализ (49), проведенный в широком диапазоне значений 3 0, показал, что добиться равенства фд(, гп, 30 ) = 0 в пределах хотя бы основного лепестка амплитудной ХН невозможно. Это свидетельствует, что при 3 0 * 0 фазовый центр у сферически выпуклого излучателя отсутствует. Для ограниченной части фронта в центре пучка это равенство выполняется всегда, за исключением 30 = 2пп . При 3 0 * 2пп фронт волны в приосевой области имеет сферическую форму, его радиус кривизны, нормированный на радиус излучающей поверхности Я0, существенно зависит от 30, рис. 9. Значения
30, при которых кривая пересекает горизонтальную ось (30 = 0, 30 « 3п, 30 « 5п и т.д.), соответствуют расположению фазового центра для центральной части пучка в начале координат, точка О на рис. 3. При 30 = 2пп, когда функция Q/R0 = /(30) испытывает бесконечный разрыв, волна становится квазиплоской. Изменение знака Q на разрыве отражает смену формы у приосевого участка фронта: от выпуклого ( 30 < 2пп ) к плоскому ( 30 = 2пп ) и далее к вогнутому ( 30 > 2пп ).
0 л 2л Зл 4л
Рис. 9. Зависимость координаты фазового центра для приосевой части волнового фронта от кривизны излучателя
0,5 1 1.5 2
Рис. 10. Годограф осевого распределения комплексной амплитуды волны
Как и в случае плоского излучателя, годограф осевого распределения комплексной амплитуды сферически расходящегося пучка лежит в правой полуплоскости, рис. 10. Он представляет собой закручивающуюся против хода часовой стрелки спираль, полюс которой смещается вдоль действительной оси из точки с координатами (1.0) в точку
(0; 0) по мере роста расстояния гп. Все витки проходят через общую точку (0; 0),
которая одновременно является асимптотической точкой спирали. На малых расстояниях ( гп < 0,001) кривая имеет вид окружности единичного радиуса с центром
(1; 0) и совпадает по виду с годографом плоского поршня [19], который при гп = 0 имеет существенно особую точку (36). Величина 3 0 влияет на скорость закручивания
спирали годографа. Осевые распределения амплитуды и фазы на рис. 4 взаимосвязаны с изменением длины и наклона вектора, построенного из начала координат комплексной плоскости к выбранной точке годографа.
4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ КРИВИЗНЫ ФАЗОВОГО ФРОНТА ВОЛНЫ
Одним из наиболее наглядных способов представления дифракции волн является использование графического изображения пространственной трансформации фазового фронта. Вместо рассмотрения непосредственно динамики формы волны, что дает лишь качественную характеристику процесса, обратимся к предложенному в [6] способу его количественного описания посредством анализа кривизны фронта. Для ее нахождения воспользуемся соотношением, связывающим разность фаз между плоской и сферической волной в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, а также поперечным распределением дифракционной фазы в дифрагирующем пучке
ДФд(п , гп , 3 0 )=Фд(гп = 0 гп , 3 0 )-Фд(гп , гп , 3 0 )= гп 3 . (50)
Здесь 3 = 1д/Я = ка2¡2Я — кривизна, нормированная на длину области дифракции Френеля; Я — радиус кривизны фронта волны. Приближенное равенство (50) справедливо для приосевой области пучка (г/г << 1), где сферический фронт можно заменить параболическим фронтом. В отличие от гауссовых пучков [18, 19] для сферически выпуклого излучателя с равномерным распределением амплитуды найти аналитическое решение для кривизны фазового фронта не удается. Поэтому расчет пространственных зависимостей кривизны проведен с использованием соотношения
(50), где фд(0, гп, 30) и фд (гп, 2п, 30) находятся как аргумент общего решения (35). На рис. 11 показаны осевые распределения кривизны фронта волны на расстояниях 2п > 0,06. Аналогично круглому поршню [19] при 30 < 2п в области дифракции
Френеля (гп < 1) зависимости 8(гп = 0,гп) имеют бесконечные разрывы, координаты
которых гп = 1/(2пл-30) соответствуют четному числу фазовых зон на поверхности
излучателя. Радиус кривизны фронта в этих точках оси устремляется к нулю: здесь волна скачком изменяет свою форму с выпуклой (3 > 0) на вогнутую ( 3 < 0).
а) б)
Рис. 11. Осевые распределения кривизны фронта волны ( 2п > 0,6) при разных 80
Напротив, в местах прохождения зависимостью 8(0,2п) нулевого значения форма участка фронта приосевой области пучка изменяется постепенно и в обратном порядке. В окрестности точек с координатами гп = 1/[(2п + 1)п-80 ] в волне формируется плоский участок фронта. Это положение соответствует нечетному числу фазовых зон. С продвижением вдоль 2п трансформация фронта вблизи оси многократно
повторяется, после чего на расстоянии 2п > 1 этот процесс вырождается в монотонное
уменьшение кривизны до нуля. Завершающий этап является отражением непрерывного роста радиуса сферически расходящейся волны после завершения дифракции.
Рост кривизны поверхности излучателя приводит к смещению координат разрывов функции 8(п = 0,2п) на более удаленные расстояния, рис. 11-а. Здесь соблюдается
закономерность, проявляющаяся на осевых распределениях дифракционного набега фазы, рис. 4-б. В подтверждение этого на рис. 11-б можно видеть, что общий вид зависимостей 8(п = 0,2п), рассчитанных для отличающихся между собой на 2п
значений 8 0, практически повторяется. Наблюдаются лишь незначительные количественные отличия в абсолютных значениях 8. Наибольших значений эти отличия достигают на границе области дифракции (2п < 1) между зависимостями, соответствующими 8 0 = 0 и 2п, рис. 12.
По мере того, как величина 8 0 приближается снизу к значениям 2пп, координата
наиболее удаленного от излучателя разрывного участка на осевой зависимости кривизны (кривые 4 и 5 на рис. 12) устремляется в бесконечность (кривая 3). Эта особенность связана с полной компенсацией вкладов фазовых зон и сопровождается появлением на оси пучка локального минимума с нулевой амплитудой, рис. 6. Незначительные расстройки величины 8 0 относительно 2пп сопровождаются достаточно большими изменениями координаты этого разрыва, что представляет
интерес в ряде практических задач (измерения, диагностика и др.). Для излучателя с заданной геометрией формы (а, Я0) местоположение такой точки можно
устанавливать или изменять, перестраивая частоту излучаемого гармонического сигнала. Аналогичная возможность формирования области с нулевой амплитудой в поле бегущей волны, ранее была реализована в нелинейных излучателях, работающих в режиме фазового запрета вторичных волн [20-22]. Заметим, что при 8 0 ^ 2пп появление подобных особенностей в дальней области поля ( ¿п > 1) принципиально
невозможно из-за доминирования расположенной по краю излучателя нечетной фазовой зоны, кривые 6 и 7.
Рис. 12. Осевые распределения кривизны фронта волны
Рис. 13. Зависимость кривизны фронта волны от величины 8 0
На рис. 13 приведены зависимости кривизны фронта волны от величины 80 для излучателей с равномерным (сплошная линия) и гауссовым (точки) распределением амплитуды. Из поведения функции 8(80) видно, что за пределами ближней области
дифракции ( zn > 1 ) амплитудное распределение и кривизна излучателя постепенно
утрачивают свое влияние по мере роста расстояния. Исключение составляют лишь небольшие участки в области изменения аргумента, прилегающие к значениям 80 = 2пп. За их пределами при условии 8 0 Zn >> 1 кривизна волнового фронта в приосевой области пучка описывается простым соотношением: 8 = 1/zn .
Поперечные распределения кривизны фронта волны для разных 8 0 на расстояниях zn = 1 и zn = 10 приведены на рис. 14. Для сравнения отметим, что в гауссовом пучке равенство 8(rn ) = const выполняется при любых значениях 8 0 и на всех zn. Для
излучателя с равномерным распределением амплитуды это условие справедливо лишь в ограниченной области пространства. Оно выполняется только в окрестности оси пучка и на достаточно больших расстояниях, где дифракционные процессы можно
считать закончившимися (zn >> 1). Поперечный размер области, где 8(rn) = const,
определяется поперечными координатами, где зависимость фд(гп) для главного
значения дифракционного набега фазы испытывает разрыв. В качестве примера на рис. 14-б приведены кривые 1-3.
а) б)
Рис. 14. Поперечные распределения кривизны фронта волны для 2п = 1 и 2п = 10
Однако даже на больших расстояниях вблизи значений 80 = 2пп постоянство кривизны в центральной части поперечного сечения пучка оказывается невозможным (кривые 4-6), что согласуется с зависимостями 8(80) на рис. 13. В узком интервале
значений 80 форма волны в центральной части пучка претерпевает уже отмечавшиеся
сильные изменения (кривые 4-6 на рис. 14-б), которые сопровождаются трансформацией фронта с выпуклого на вогнутый и наоборот.
При совместном рассмотрении зависимостей 8(8 0) и 8(rn) несложно увидеть связывающую их закономерность. В области значений 80 и zn, где для функции 8(80) выполняется условие 8(80) = const, справедливо и равенство 8(rn) = const. Анализ показывает, что эта взаимосвязь выполняется как для 80 < 2п, так и при 2пп <8 0 < 2п(п +1).
ВЫВОДЫ
В работе сопоставлены решения, описывающие поле осесимметричных пучков сферически выпуклого излучателя с равномерным распределением амплитуды, полученных с использованием интеграла Рэлея и параболического уравнения дифракции. Показана идентичность полученных решений для слаборасходящихся высокочастотных пучков. На примере амплитудно-фазовой структуры поля и пространственной динамики фазового фронта прослежены особенности, обусловленные геометрической расходимостью. Дан сравнительный анализ с полем поршня и сферически расходящегося гауссового пучка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Морз Ф. Колебания и звук. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 496 с.
2. Смарышев М. Д. Направленность гидроакустических антенн. Л.: Судостроение, 1973. 280 с.
3. Белле Т. С. Расчет поля слабо выпуклого сферического излучателя в приближении Кирхгофа. // Акуст. журн., 1968, т. 14, № 3. С. 351 - 358.
4. Белле Т. С. Применение интегрального представления функции Макдональда для вычисления интеграла Кирхгофа при расчете поля слабовыпуклого сферического излучателя. // Акуст. журн., 1968, т. 14, № 4. С. 519 - 525.
5. Белле Т. С. Учет влияния краев сферического излучателя на излучаемое поле. // Акуст. журн., 1969, т. 15, № 3. С. 335 - 344.
6. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. М.: Наука. 1990. 432 с.
7. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982. 176 с.
8. Новиков Б. К., Руденко О. В., Тимошенко В. И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1981. 264 с.
9. Гаврилов А. М., Ситников Р. О. Измерение геометрической дисперсии в звуковом пучке. Акуст. журн., 2006, т. 52, № 5. С. 641 - 647.
10. Гаврилов А. М. Нелинейная дисперсия трехчастотного волнового пакета в бездисперсионной квадратично-нелинейной среде. Теория. Электронный журнал «Техническая акустика», <http://www.ta.org.ru> 2005, 28.
11. Гаврилов А. М., Ситников Р. О. Нелинейная дисперсия трехчастотного волнового пакета в бездисперсионной квадратично-нелинейной среде. Эксперимент. Электронный журнал «Техническая акустика», <http://www.ejta.org> 2005, 29.
12. Лепендин Л. Ф. Акустика. М.: Высшая школа, 1978. 448 с.
13. Катиньоль Д., Сапожников О. А. О применимости интеграла Рэлея к расчету поля вогнутого фокусирующего излучателя // Акуст. журн., 1999, т. 45, № 6. С. 816 -824.
14. Сапожников О. А., Синило Т. В. Акустическое поле вогнутой излучающей поверхности при учете дифракции на ней. // Акуст. журн., 2002, т. 48, № 6. С. 813 -821.
15. Сапожников О. А., Пищальников Ю. А., Морозов А. В, Восстановление распределения нормальной скорости на поверхности ультразвукового излучателя на основе измерения акустического давления вдоль контрольной поверхности. // Акуст. журн., 2003, т. 49, № 3. С. 416 - 424.
16. Каневский И. Н. Фокусирование звуковых и ультразвуковых волн. М.: Наука, 1977. 336 с.
17. O’Neil H. T. Theory of focusing radiators. // J. Acoust. Soc. Amer., 1949. V. 21. № 5. P. 516-526.
18. Гаврилов А. М. Геометрическая дисперсия в сферически расходящемся гауссовом пучке. Электронный журнал «Техническая акустика» <http://www.ejta.org> 2007, 23.
19. Гаврилов А. М. Геометрическая дисперсия в звуковых пучках, создаваемых плоскими излучателями. // Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. Труды научной школы проф. С. А. Рыбака. Троицк: Тровант, 2007, С. 86 - 102.
20. Гаврилов А. М. Теоретическая модель режима фазового запрета для волны суммарной частоты нелинейного акустического излучателя. // Акуст. журн., 2007, т. 53, № 5. С. 653 - 665.
21. Гаврилов А. М. Теоретическая модель режима фазового запрета для волны разностной частоты нелинейного излучателя звука. Электронный журнал «Техническая акустика» <http://www.ejta.org> 2006, 3.
22. Гаврилов А. М., Батрин А. К. Фазозависимые нелинейные процессы при взаимодействии волн с кратными частотами и использование их для диагностики акустических неоднородностей сред. // Акустика неоднородных сред. Ежегодник Российского акустического общества. Труды научной школы проф. С. А. Рыбака. -М.: Изд-во Тровант, 2005. C. 99 - 109.
