CC BY
12
В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2000 р. Вип.№10
УДК 5 17.9+ 513.8
Холькин А.М "
СВЯЗЬ СПЕКТРАЛЬНЫХ и осцилляционных свойств ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Осцилляционная теорема Штурма в соответствующем виде переносится на дифференциальные уравнения произвольного порядка с операторными коэффициентами. Получено обобщение теорем перемежаемости и сравнения, теорем о мультипликативной структуре позитивных дифференциальных операторов.
Настоящая работа носит обзорный характер и написана на основании работ опубликованных совместно с Рофе-Бекетовым Ф. С. [1 - 3]
Спектральный анализ дифференциальных операторов является одной из важнейших областей современной математической физики, а также играет существенную роль в физических вопросах: одними из основных математических проблем, возникающих в любой квантово-механической модели, являются исследования различных самосопряженных расширений и оценка местоположения и кратности точечных спектров, для установления которой эффективным средством оказывается использование связей между осцилляционными и спектральными свойствами дифференциальных операторов. Классические теоремы осцилляции и сравнения Штурма сыграли сзчцественную роль в развитии многих областей математики, среди которых важное место занимает задача о локализации спектра сингулярного оператора.
Для обыкновенных дифференциальных операторов и их конечных систем теоремы типа Штурма и различные их обобщения, связанные со спектральной теорией и теорией расширений, рассмотрены в ряде известных монографий [4 - б] по спектральной теории дифференциальных операторов, где приведена обширная библиография.
Для дифференциальных уравнений произвольного четного порядка с операторнозначны-ми коэффициентами на конечном и бесконечном интервалах в работе приводятся теоремы типа Штурма: осцилляционные, сравнения и перемежаемости, а также факторизационные теоремы, обобщающие на рассматриваемый случай теорему Фробениуса и теорему М. Г. Крейна - Хайн-ца - Реллиха. "Скалярные" формулировки и доказательства этих теорем, основанные на понятии детерминанта и компактности конечномерной сферы, неприменимы в бесконечномерном случае. В качестве приложения факторизационных теорем получено обобщение критерия ос-цилляторности Этджена - Павловски (2-й порядок) на уравнения любого четного порядка с операторнозначными коэффициентами. Установлен аналог осцилляционной теоремы для дискретных уравнений любого четного или нечетного порядка. Отметим, что полученные для бесконечных систем результаты, будучи примененными к конечным системам или к скалярным задачам, оказываются не менее, а иногда и более точными, чем известные для этих случаев. Некоторые результаты оказываются новыми даже в скалярном и других специальных случаях.
1. Пусть Н- сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением {■ , ■) и нормой | ■ |. Обозначим Н(а , Ь) =1^{Н;(а;Ь);\¥(х)с1х} гильбертово пространство вектор -функций у(х) со значениями в Н, скалярным произведением
ь
< у, т. >- | (\¥(х)у(х), г(х))<1х, -ао^асЬ^оо
а
и соответствующей нормой | М |, где ^У(х)=\У*(х) »0, \У(х) еС(В(Н); (а, Ъ))
1 и ТУ. канд. физ. - мат, наук, проф.
Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка r> 1 с операторными коэффициентами из В(Н)
Z ikík[y] = >-W(x)y! хе(а,Ъ). (I)
k=0
где Í2] ~ О }р/х)1)J: р] (х) - р} (х);
£2j+¡ - ~DJ {Dqj(x)+qj* (х) Dj Dj,
2 dx
коэффициент при старшей производной (pn (х) при r=2n или Re qn(x) при r=2n+I) имеет ограниченный обратный во всем Н при хе (a,b); р, (х), qj.} (х) е CJ(B(H); (a,b))> включая а и b, если они конечны.
Всюду ниже предполагается, что для минимального оператора L, порожденного выражением i wivl-W-1 (х) i [у] в гильбертовом пространстве Н(а; р), существуют самосопряженные распадающиеся граничные условия на любом интервале (а; р) с (a; Ь), а поэтому г • dim Н = оо или четно. Для полуограниченного оператора L такие условия существуют всегда (например, отвечающие его расширению по Фридрихсу LF). По поводу распадающихся условий для операторов любого порядка на конечном интервале см. [7]. Для задачи на бесконечном интервале (а; оо), а> —х в абсолютно неопределенном случае распадающиеся граничные условия построены в [8].
Пусть в точке а > -оо задано самосопряженное краевое условие
Uafy] - О (2)
Если а > -ос, то
Uа [у]: = cos А -у "(а) - sin А (а) - 0, (3)
где Va (а), у" (а) е Н определяется в соответствии с [7], А=А*е В( Н ). Например, при г = 2п
/ (X) = col {у (X), у' fx), ..., fx)}. f (x) - col if1'11, н\
где уи - квазипроизводные операции (1).
Фундаментальным решением (ф, р.) задачи (1), (2) называем решение уравнения (1) У(хЯ) еВ(Н,Н), где Н - какое-либо гильбертово пространство, если \)V he Н, )
у - Y(x,Á)h £ Н (а, £) и удовлетворяет условию (2); 2) любое решение уеН(а, £,) задачи (1). (2) представимо в виде y(x,/í)= Y(x,X) h; 3) при некотором, а потому и при любом, х самосопряженный оператор
Му(хД)= 'i Y(k)*(xtX)-Y(k)(x,X)»0 k=0
Условия 2), 3) определения означают полноту и линейную независимость определяемой ф. р. У(х,Х) системы решений задач (1), (2).
Обозначим Ц минимальный относительно точки £е(а,Ь) оператор в Н(а, £), порожденный выражением i'. w[y] и условием (2); сге(Ц) - его предельный спектр.
ЛеммаL Для задачи(1),(2) существует фундаментальное решение У(х,Я)еВ(Н, Н) при ~ Г
dim Н =— dimН <оси he С \ <Je(L¡) (<xe(L¿) не зависит от £ а при а >-<юпусто). 2
Ф. р. У(х,Л.) может быть построено аналитическим по X в некоторой окрестности множества R \ ae(L?) в комплексной плоскости.
Замечание 1. Если а > -ос,то ф.р. задачи (1), (3) можно построить как решение уравнения (1) с данными Коши.
Г (а, X) = cos А •К, Т(а, Л) = sin А -К.
Решение Y(x,X)eB( Н ,Н) уравнения (1) при XeR называем самосогласованным, если при некотором £е(а,Ь)?а поэтому7 и при любом, существует самосопряженное краевое условие |у] =0, которому при х=с, удовлетворяет у =Yh при всех heH.
Доказано, что при XeR \ ае(Ц) всякое ф.р. У(хД) задачи (1), (2) является самосогласованным и nul УЛ(хД) = def УА(хД), где defY : = nul YA\ а при XeR\a(LxF) оператор YA(x,X) -фредгольмов, т.е. нётеров с нулевым индексом.
2. Всюду в п.2 предполагаем, что минимальный относительно конца b < ос оператор Lh является полуограниченным снизу, г=2п.
Лемма 2 Io. Собственные значения X¡ (Ç) < Х2 (£)<... < inf cre(L0^) самосопряженного оператора ¿¡е(а, Ь), порожденного задачей (I), (2) и ул(%) = О (L°*= Ь[), непрерывно и строго монотонно убывают по Ç и
Ш Чл (LFb)<inf<Te(lFb) при Ç Д
2°. infa(Lù$ /sup {infer, (L°¿}<cc при Ç ^a. При a>-œ предел равен ос. ts(a,b)
3°. Нижняя грань предельного спектра infcre (L°e) непрерывна и не возрастает по Ç, а при а > —ао строго монотонна.
Обозначим L самосопряженное расширение оператора Lb. (При Ь<ос оно порождается условием cosB-y (b)+smB yA(b) = О, В=В еВ^Н11)). N(X), N(X,¡u), количество собственных значений XK(L ) < X (соответственно A,K(L ) е(Х,ц)) с учетом их кратностей v (А.к). N1" (X) - то же для Хк (LbF)).
Теорема 1. При Я < Яе= infcre (L)
N(X)-р< У nulYA(x, Я) = Nf(X)<N(X) , (4)
XG(a,b)
где р = Def {L ID(lfb) Ç\D(L )}. Если Я не является собственным значением Lb, то вместо р в (4) можно взять min {р, Def Lb - v (Я)} /при b«x>p= rnk cos В, DefLb = n-dim H).
Если Xe(LF*}>Xe(LFb) при Ç(a, b), в частности, если а > —оо, то (4) верно и при Я == Xe(L),
P<JQ
Отметим, что в случае двух сингулярных концов последнее утверждение ново и для скалярного уравнения Штурма-Лиувилля.
Замечание 2. Если а> -оо и при некотором XeR существует ф.р. Y(x, X) задачи (1), (2) такое, что оператор Ул(х, X) фредгольмов при всех хе (а, Ь), то X < Хе (LFb).
Следствие 1. Если Xk> для LFb, то У nulYA(x; X) - k-1, а если v (A,k)= n-dim Н<
xs(a,b)
< <x,b< ao, то и для L .
В частности, для скалярного уравнения второго порядка YA (х, X) - Y (х, X) следствие 1 содержит в себе классическую осцилляционную теорему Штурма и ее обобщения на случай невещественных коэффициентов,, а также на случай бесконечного интервала.
Замечание 3. Теорема 1 содержит в себе при г - 2, dim H<oo,-ao < а< Ъ< х, cosA = cosB- О, теорему Морса об индексе.
Операции Í fy] (1) сопоставим форму ^ д[у,у] -интеграл Дирихле по интервалу Д.
Теорема 2. Пусть -ос < а < b < ао, Y¡(х), Y2(x) ф.р. задачи вида (1), (3), £(kr)[Yk] - 0, к 2, сА=Акв(3); inf ъ(Ьт°ь)>0, WK(x) =1 г=2п,
£0)(.ь}[у,у]< í(2)ta,b}[y,y] e в (5)
для равных нулю в окрестности точки b вектор - функций. Тогда, если rnkfY/'Y^ - Y2A*Y¡ vj -= т<оо или, что эквивалентно тк {sinA2 • cosAj - cosA2 ■ sinA¡} ~ m<ao, то при любом ßç(a, b]
£ nul Y]A (x)> X nul Y2a (x) - m (6)
xe(a,ß] хе(а,р]
Условие (5) обеспечено, в частности, если при / = 0, 1, ... , п
Ра)/х) <р(2}/х), q(J)/x) - qW/x), хф, b). (7)
Если £ Î то суммировать в (6) можно по хе [a; ß] с; [а, Ь]. Если dim Н<ос, то суммировать в (6) можно по хе [a; ß] и при условии (7), если заменить m на п ■ dim H:
X nul Yf (x)> £ nul Г/ (x)- n -dim H xe[ra;P] xe[a;P]
Следствие 2, Если t (i:i= £то при любом [ct;p] с (a, b)
| £ nul Y;A (x) - £ nul Г/ (x) ! < m (9)
xe[a:fV]
и если £ nul Y}A(x) > m+1, то отрезок [a; p] содержит, по крайней мере, одну точку, где xefa;fî]
nul Y2 (x)> 1.
В частности, при dim Н< ос имеем m < п ■ dim H и поэтому из теоремы 2 вытекают теоремы сравнения и перемежаемости Хайнца - Реллиха в уточненном виде.
Факторизационная теорема Фробениуса [5, с.214] допускает следующее обобщение на случай конечных и бесконечных систем дифференциальных уравнений.
Теорема 3. Пусть со(х) еВ(Н",Н) - какое - нибудь самосогласованное решение уравнения (I) при к - 0. г - 2п (дефинитность р„(х) и полуограниченность операции £ здесь не требуется). Тогда в каждой точке хе(а, Ь), где существует ((0Л)А(х) еВ(Н"). операция I (I) допускает мульпликативное представление
Ы " M Рп(х)мМ, (Ю)
где М[у] = - oJn) (х) ■ (oj'Y (x) у\
fi-r - операция, формально сопряженная к ¿и в L? {H ; (а, Ъ): dxj. При этом M [со] = 0. ^[{Он;Он; 1Н} (offA / - ft Обобщением теоремы М. Г. Крейна - Хайнца - Реллиха[5, п°. 44] является
Теорема 4. Пусть рп (х)» 0, г=2п. Тогда неотрицательность минимального оператора L эквивалентна любому из двух следующих условий:
1Представимость операции £ (1) в виде (10), где ju[y] = у(п) + Sn_i (х) у(п'!) +S0 (х)у, a <x<b, Sk(x)eCn(a, b), k=0; J;... ,n-l.
2°. Существование co(x), удовлетворяющего условиям теоремы 3 при всех хе(а, h), включая обратимость of(x).
Замечание 4. Если рассматриваемый дифференциальный оператор положительно определен, то он допускает факторизацию и в замыкании (а,Ь) и там же (оУ е В (Нп). Если -ао < а < < b < да. то верно и обратное утверждение.
Следствие 3. Если для некоторой нетривиальной вектор - функции h(x) е С2п (а;Ь).
р
h(k)(a) = h(k)(p) - 0, к—0,1, ... , п-1 ; а < a < р < b, J (£ [h],h) dx<0, (в частности, если для a и р -
a
сопряженные точки), то для любого самосогласованного решения со,/ [сз] = 0, найдется точка хе[а;р], где соА(х) не имеет ограниченного обратного во всем Н". Если неравенство строгое, то такая точка найдется в (оцр).
(При dim Н< ос и г=4 отсюда следует результат [9] и к тому же при меньших ограничениях).
Теоремы факторизации дают возможность установить для уравнений четного порядка 2п достаточный критерий осциллярности, которой в случае уравнений второго порядка с опера-торнозначными коэффициентами обобщает относящуюся специально к этому случаю теорему Этджена и Павловски [10], так как допускает операторы, содержащие члены с первой производной.
Уравнение (1) порядка 2п с позитивным старшим коэффициентом называется осцилля-торным при X — 0 в окрестности х = ос, если оно не имеет самосогласованных решенийY(x, о)е g В (Hn, Н) таких, что существует (YA) 1 (х, о) е В(НЛ) при достаточно большом х. Пусть g -линейный позитивный фукционал на С* - алгебре В(Н), т.е. g(A*A ) > О при А € В(Н). Полагаем g( ]У р(х) Dk ) = I> g(p ( x ) ) Dk, где p(x) e B(H).
Теорема .5. Если скалярное уравнение g((i) [uj- 0 осцилляторио, то и операторное урае-нение(1) порядка 2п с позитивным старшим коэффициентом рп(х) »0 тоже осцилляторно при к- 0.
3. Не требуя ни полуограниченности минимального оператора Lb с L, ни четности порядка г дифференциального уравнения (1), предположим С"г - гладкость его коэффициентов. Обозначим M замкнутый минимальный дифференциальный оператор, порожденный в H (а, Ь) операцией f. w[ £ w[y]]. Поскольку операторы Ми( L )2 совпадают на С0°°, то M ç ( L у, т.е. ( L )' является некоторым самосопряженным расширением M положительного симметрического оператора М. Обозначим Мь - сужение оператора M требованием минимальности относительно Ъ, р = Def {M 1 D( M ) Л D <MF„)).
Пусть Y(x,?i) - ф.р. задачи (1), (2). Положим
Y(xAn) = { У(хД); Y(x,n)>: Н2^ H, Уд(хД,ц) - coliY^Oa^W'1 Теорема 6. Пусть (a; ß) - лакуна в предельном спектре L , a<X<ß<ß. Тогда N(A,M)-p< X пиП?(хЛм) <N(bfj)
хе(а.Ь)
причем nul VVxJ.,j.iJ-~ nul Если vLb(X.) = vLb(|i) = 0, то в (11) вместо р можно взять
min{ р, Def Мь- v (À) - v ( /д)}.Если а > то теорема верна и при Х=а, ц.=р.
г
Замечание 5. Если Ь<оо, то 0< р=— dim H, Def Mb= г • dimH. (Из неравенства р > 0 видно.
что при b < оо расширение по Фридриху MtF не может быть получено как квадрат самосопряженного оператора L , т.е. оператора (МЬР)1,2 не является дифференциальным, хотя Мь > 0).
Перечень ссылок
1. Рофе - Бекетов Ф. С, Холъкин А. М. О связи между спектральными и осцилляционными свойствами матричной задачи Штурма - Лиувилля. //Матем. сб. -1977. - 102, № 3. - С. 410 - 424.
2. Рофе - Бекетов Ф. С, Холъкин А. М. Связь спектральных и осцилляционных свойств диф-ференциачьно - операторных уравнений произвольного порядка.//Докл. АН СССР. - 1981-261, №3 . - С.551 - 555.
3. Рофе - Бекетов Ф. С, Холъкин А. М. Связь спектральных и осцилляционных свойств дифференциально - операторных уравнений произвольного порядка // Теория функций, функциональный анатаз и их прил. - 1987. - Вып. 48. - С. 101 -111; - 1988. - Вып. 49. - С. 101 -111.
4. Левитан Б. М, СаргсянИ. С. Введение в спектральную теорию. - М: Наука, 1970. - 671 с.
5. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа. - М.: Физматгиз,
1963.-339 с.
6. Данфорд К, Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. - М: Мир, 1966. -
1063 с.
7. Рофе - Бекетов Ф. С. О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространстве вектор - функций // Теория функций, функциональный анализ и их прил -1969- Вып.8. - С. 3 - 24.
8. Холъкин А. М. Описание самосопряженных расширений дифференциальных операторов произвольного порядка на бесконечном интервале в абсолютно неопределенном случае // Теория функций, функциональный анализ и их прил. - 1985. - Вып.44. - С. 112 - 122.
9. Куке Л. М. Теоремы сравнения типа Штурма для систем обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка//Диф. уравнения. - 1974. -10, № 4. - С. 751 - 754.
10. Etqen G. J., Pawlowski J. /•'. A comparison theorem order differential systems// Pacif. J. Math. -
1977,- 72, № l.-P. 59 -69.
Холькин Александр Михайлович. Канд. физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики, окончил Харьковский государственный университет в 1970 году. Основные направления научных исследований - функциональный анализ, дифференциальные уравнения.
