Научная статья на тему 'Обратимость линейных отношений, порожденных интегральным уравнением с операторными мерами'

Обратимость линейных отношений, порожденных интегральным уравнением с операторными мерами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
94
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / ОПЕРАТОРНАЯ МЕРА / ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО / ЛИНЕЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ / СПЕКТР / КВАЗИПРОИЗВОДНАЯ / ИМПУЛЬСНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ / INTEGRAL EQUATION / OPERATOR MEASURE / HILBERT SPACE / LINEAR RELATION / SPECTRUM / QUASIDERIVATIVE / IMPULSE ACTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Брук Владислав Моисеевич

На ограниченном замкнутом интервале рассматривается интегральное уравнение с операторными мерами в бесконечномерном случае. В терминах граничных значений устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых линейные отношения \(S\), порожденные этим интегральным уравнением, обладают свойствами: \(S\) замкнуто; \(S\) обратимо; ядро \(S\) конечномерно; \(S\) имеет замкнутую область значений;\(S\) непрерывно обратимо и другими. Результаты применяются к системе интегральных уравнений, переходящей в квазидифференциальное уравнение в случае абсолютно непрерывных мер, и к интегральному уравнению с многозначным импульсным воздействием.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Invertibility of linear relations generated by integral equation with operator measures

We investigate linear relations generated by an integral equation with operator measures on a segment in the infinite-dimensional case. In terms of boundary values, we obtain necessary and sufficient conditions We consider integral equation with operator measures on a bounded closed interval in the infinite-dimensional case. In terms of boundary values, we obtain necessary and sufficient conditions under which these relations \(S\) possess the properties: \(S\) is closed relation; \(S\) is invertible relation; the kernel of \(S\) is finite-dimensional; the range of \(S\) is closed; \(S\) is continuously invertible relation and others. The results are applied to a system of integral equations becoming a quasidifferential equation whenever the operator measures are absolutely continuous as well as to an integral equation with multi-valued impulse action.

Текст научной работы на тему «Обратимость линейных отношений, порожденных интегральным уравнением с операторными мерами»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 50-62.

УДК 517.98

ОБРАТИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ С ОПЕРАТОРНЫМИ МЕРАМИ

В.М. БРУК

Аннотация. На ограниченном замкнутом интервале рассматривается интегральное уравнение с операторными мерами в бесконечномерном случае. В терминах граничных значений устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых линейные отношения 5, порожденные этим интегральным уравнением, обладают свойствами: 5 замкнуто; 5 обратимо; ядро 5 конечномерно; 5 имеет замкнутую область значений; 5 непрерывно обратимо и другими. Результаты применяются к системе интегральных уравнений, переходящей в квазидифференциальное уравнение в случае абсолютно непрерывных мер, и к интегральному уравнению с многозначным импульсным воздействием.

Ключевые слова: интегральное уравнение, операторная мера, гильбертово пространство, линейное отношение, спектр, квазипроизводная, импульсное воздействие.

Интегральные уравнения с операторными мерами являются достаточно общими. Например, они охватывают интегро-дифференциальные уравнения с интегралами Стилтье-са [1], дифференциальные уравнения, коэффициенты которых - обобщенные функции [2] (способ сведения интегрального уравнения к уравнению из [2] приводится в [3]).

В данной работе на отрезке [а, Ь] рассматривается интегральное уравнение

операторные меры, определенные на борелевских множествах А С [а,Ь] и принимающие значения в множестве линейных ограниченных операторов, действующих в сепарабельном гильбертовом пространстве H, причем мера m неотрицательна (эти меры продолжены на отрезок [a0,b0] D (ao,bo) D [а,Ь\ способом, указанным ниже); J - оператор в H со свойствами: J * = J, J2 = Е (Е - тождественный оператор), у0 G H ; у - неизвестная функция, f G H = L2(H,dm; a,b) (H определено ниже). Предполагается, что меры p, m имеют ограниченную вариацию на [а,Ь].

Отметим, что случай бесконечномерного H существенно отличается от конечномерного. Это объясняется тем фактом, что достаточно сложно устроено пространство H = L2(H, dm; a, b). Элементы этого пространства - необязательно функции со значениями в H.

V.M. Bruk, Invertibility of linear relations generated by intégral équation with operator measures.

© Брук В.М. 2014.

Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00378).

Поступила 15 мая 2014 г.

Mathematics Subject Classification: 47A06, 47A10, 34B27

1. Введение

(1)

где f* обозначает L t), если t0 < t; — L t ), если t0 > t; и 0, если t0 = t. Здесь p, m

Уравнение (1) вместе с граничными условиями порождает, вообще говоря, не линейные операторы, а линейные отношения (многозначные операторы). Если граничные условия нулевые, то соответствующее отношение называется минимальным, а при отсутствии граничных условий - максимальным. Всякое линейное отношение, являющееся сужением максимального отношения L и расширением минимального L0, может быть определено с помощью некоторого линейного отношения в, входящего в граничные условия, причем взаимно однозначным является соответствие между такими отношениями в и определяемыми ими отношениями Lq , L0 С Lq С L. В связи с этим возникает задача: выделить граничные условия (т.е. отношения в), которые определяют отношения Lq с некоторыми наперед заданными свойствами.

В данной работе рассматриваются свойства (называемые состояниями) из работ [4], [5] и устанавливается, что отношение Lq тогда и только тогда обладает соответствующим свойством, когда то же свойство имеет отношение в. Среди этих свойств такие, как обратимость, непрерывная обратимость, фредгольмовость и другие. Доказательства основаны на утверждениях об абстрактных пространствах граничных значений из работ [6], [7].

В качестве приложения рассматривается система интегральных уравнений, переходящая в случае абсолютно непрерывных мер в квазидифференциальное уравнение с квазипроизводными в смысле работ [8], [9]. В последнем разделе изучается интегральное уравнение с импульсным воздействием. Подобные уравнения описывают поведение развивающихся во времени процессов, подверженных кратковременным возмущениям. Математическая модель таких процессов имеется, например, в монографии [10, гл.1, п. 1, с. 5]. В данной работе импульсное воздействие задается линейным отношением, т.е. воздействие является многозначным. В статье [11] рассматривались дифференциальные операторы, порожденные сильно непрерывным семейством эволюционных операторов в банаховом пространстве, и установлены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовости таких дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями. Метод (с незначительными изменениями) из данной работы применим к операторам, рассмотренным в [11].

Отметим, что линейные отношения впервые были использованы для описания в терминах граничных условий расширений дифференциальных операторов в статье [12].

2. Вспомогательные утверждения

Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и нормой ||-||. Рассмотрим функцию А ^Р(Д), определенную на борелевских множествах А С [а, Ь] и принимающую значения в множестве ограниченных линейных операторов, действующих в Н. Функция Р называется операторной мерой на [а, Ь] (см., например, [13, гл. 5, п. 1, с. 324]), если Р равна нулю на пустом множестве, и для любых непересекающихся борелевских множеств Ап справедливо равенство

(го \ го

U М = Е Р(Д»)

п=1 / п= 1

с рядом, сходящимся в слабой операторной топологии. Через Va(P) обозначим

Уд(Р) = р(Д) = sup £ ||Р(А,)|| ,

3

где sup распространяется на конечные суммы непересекающихся борелевских множеств А j С А. Число Va(P) называется вариацией меры Р на борелевском множестве А.

Пусть мера Р имеет ограниченную вариацию на [а,Ь]. Тогда для р-почти всех £ Е [а,Ь] существует такая операторная функция £ ^ Ф(£) со значениями в множестве линейных ограниченных операторов в Н, ||Ф(£)|| = 1, что для любого борелевского множества А С [а,Ъ]

справедливо равенство

Р(Д) = / Ф(С)ф. (2)

JA

Функция Ф определяется однозначно с точностью до значений на множестве нулевой р-меры. Интеграл (2) сходится в смысле обычной нормы операторов ([13, гл.5, теор. 1.2, с. 325]). Из (2) следует, что измеримые по Борелю ограниченные функции со значениями в Н интегрируемы по мере Р.

Далее всякую меру Р, имеющую ограниченную вариацию, продолжаем на некоторый отрезок [ао,Ьо] Э (ао,Ьо) Э [а, Ь], полагая Р(Д) = 0 для всех борелевских множеств Д С [а0,Ь0]\[а, Ь].

На множестве ступенчатых на отрезке [ао,Ьо] функций, принимающих значения в Н, введем квазискалярное произведение

г Ьо

(x, У)т = ((dm)x(t), у(г)).

^ «о

Отождествляя с нулем функции у, для которых (у, у)т = 0, и производя пополнение, получим гильбертово пространство, обозначаемое Н = L2(Н, ¿ш; а, Ь). Элементы Н - это классы функций, отождествленных между собой по норме ||у||т = (у, у)™.2. Чтобы не усложнять терминологию, класс функций с представителем у обозначаем тем же символом и пишем у Е Н. Равенства между функциями из Н понимаются как равенства соответствующих классов эквивалентности. Описание пространства Н имеется в [14] (см. также библиографию там).

Пространство Н и рассматриваемые ниже линейные отношения не изменятся, если мы заменим интервал (ао, Ь0) на (а'0, Ь'0), где точки а'0, Ь'0 вводятся также, как точки а0, Ь0, т.е. [а0, Ь'0] Э (а0, Ь'0) Э [а, Ь] и р(Д) = ш(Д) = 0 для всех борелевских множеств Д С

[а '0,Ь о]\[а, 6].

Рассмотрим уравнения

У(^ = Уо-г.1 (¿р)у(в) - гX.1 ((!т)у(в) — г.1 (^ш)/( 5 ), (3)

о Ьо Л Ьо Л ¿о

г(1) = г0 — г.1 (¿р*)г(з) — гЛ . / (¿ш)г(з) — %.1 (¿ш)д(з), (4)

О ¿о " ^о " ¿о

где уо, ^о Е Н, /,д Е Н, X Е С, ¿, ¿о Е [ао, Ьо]. Отметим, что уравнение (1) получается из (3) при X = 0.

Из [3], [14] вытекает, что для любых у0, го Е Н, ¡,д Е Н, X Е С уравнения (3), (4) имеют единственные решения. Эти решения непрерывны слева и уо = у(^), ?о = ^(¿о). Через Ш(Ь, X), и(Ь, Л) обозначим операторные решения уравнений

Ш(г, X)xo = х — М ((Ър)\¥(в, X)xo — IX. (¿ш)\¥(в, X)xo,

Jtо ^

и(Ь^Хо = Х0 — г. / (йр*)и(з, X)Xo — 2X7 / (йш)и(з,X)Xo,

и 4о о1о

где х,Х0 Е Н. Из [3], [14] следует, что и*(г, 1\).]Ш(г, X) = ., Ш(г, \)Ш*(г, X) = . и функции X ^ Ш (Ь, X), X ^ и (Ь ^) голоморфны при всех X Е С при каждом фиксированном Ь Е [ао,Ьо]. Повторяя доказательство аналогичных утверждений из [3], [14], получим следующее утверждение.

Лемма 1. Функции у, г тогда и только тогда являются решением уравнений (3), (4) соответственно, когда у, г имеют вид

r-t

Т* I

y(t) = W Mb - W (t,X)iJ U*(s,X)(dm)f (s), (5)

Jt0

rt

Г* /

z(t) = U(t,X)zo - и(t,\)iJ W*(s,X)(dm)g(s).

JtQ

3. Максимальное и минимальное отношения

Пусть Bi, B2 - банаховы пространства. Под линейным отношением T понимается любое линейное многообразие T С B1 х B2. Терминологию по линейным отношениям можно найти, например, в [4], [5]. Далее используются следующие обозначения: {•, •} - упорядоченная пара; ker T - множество элементов х Е B1 таких, что {х, 0} Е T; KerT - множество упорядоченных пар вида {х, 0} Е T; 'D(T) - область определения T, т.е. множество элементов х Е B1, для каждого из которых существует элемент х' Е B2 такой, что пара {х, х} Е T; fö(T) - область значений T, т.е. множество элементов х' Е B2, для каждого из которых существует элемент х Е B1 такой, что пара {х,х'} Е T; T-1 - отношение, обратное к T, т.е отношение, состоящее из пар {х1 ,х}, где {х,х'} Е T. Отношение T называется сюръективным, если fö(T) = B2; обратимым или инъективным, если ker T = {0} (т.е. отношение T-i является оператором); непрерывно обратимым, если оно замкнуто, обратимо и сюръективно (т.е. T-1 является ограниченным всюду определенным оператором). Суммой отношений T1, T2 С B1 х B2 называется отношение T1 + T2, состоящее из всех пар вида {х,х1 +х2}, где х Е V(T]) nP(T2), {х,х\} Е T1, {х,х2} Е T2. Произведением отношений T С B1 х B2, S С B2 х B3 называется отношение ST, состоящее из пар {х1,х3} Е B1 х B3, для каждой из которых существует такой элемент х2, что {х1}х2} Е T, {х2,х3} Е S.

Далее (T) обозначает резольвентное множество замкнутого отношения T, т.е. множество точек А Е C, для которых отношение (T — ХЕ)-1 является ограниченным всюду определенным оператором; ac(T) (ar (T)) - непрерывный (остаточный) спектр отношения T, т.е. множество таких точек А Е C, что отношение (T—ХЕ)-1 является плотно определенным и неограниченным (неплотно определенным) оператором; ap(T) - точечный спектр отношения T, т.е. множество точек АЕ C, для которых отношение (T — ХЕ)-1 не является оператором. Линейные операторы считаются линейными отношениями, поэтому запись {х1 ,х2}е T используется и для оператора T. Поскольку все рассматриваемые отношения являются линейными, слово "линейное" часто будет опускаться.

Пусть L' - отношение, состоящее из пар {у, f} Е H х H, для каждой из которых существует пара {у, /}, отождествленная в H х H с {у, f} и удовлетворяющая уравнению (1). Через L обозначим замыкание L' и назовем L максимальным отношением, порожденным интегральным уравнением (1). Отношение L, вообще говоря, не будет оператором, так как может случиться, что функция у отождествлена с нулем в H, а f отлична от нуля. Минимальное отношение L0 определим как сужение L' на множество функций у таких, что у(а0) = у(Ьо) = 0, где у - решение (1).

Замечание 1. Определение точек а0, Ь0 и равенства р(Д) = ш(Д) = 0, выполняющиеся для всех борелевских множеств Д С [а0, 60]\[а, Ь], влекут у(а0)= lim y(t), у(b0)= lim y(t).

t^a-0 t^b+0

Максимальное и минимальное отношения не изменятся, если мы заменим интервал ( а0, Ь0) на (а0, Ъ'0), где точки а0, Ъ'0 определяются так же, как а0, Ь0, а меры р, ш продолжаются на интервал (а0, Ь'0) так же, как на (а0, Ь0). Поэтому минимальное отношение L0 может быть определено как сужение L' на множество функций у, финитных на (а0, Ь0), где у -решение (1).

Обозначим через Q0 (через <5о) множество элементов х Е Н, для которых при ^ Е С функция Ь — Ш(£,^)х (£— и(£,^)х соответственно) отождествлена с нулем в Н- Положим Q = Н 0 Q0 и <5 = Н 0 С^0- Множества Q0, С^0 (и, следовательно, Q, О не зависят от замены точки ^ другой точкой Л Е С- Это вытекает из следующих равенств, получаемых из (5), (6),

ш (г ,л)с=ш (г, о)с - лш (г, 0)и I и * (в, 0)(^ш)ж (в ,Л) с, (7)

Л]

Ш (г, 0)с=Ш (г ,Л)с + ЛШ (г ,Л)г.1 [ и * (в ,Л)( йш)Ш (в, 0) с, СЕН. (8)

Ло

Соответствующие равенства для и(£, Л), и(£, 0) получаются из (7), (8) заменой Ш на и и и на Ш -

На линейных многообразиях Q и 0) введем нормы равенствами

/ рЪо \ 1/2

||с||_ ((¿ш)Ш(з ,^)с,Ш(з ,м)с)) Е С, с Е Q, (9)

/ РЪо \ 1/2

ЦсЦ_ = ^ (((¿ш)и(^)с,и(^)с)^ ,V Е С, с Е(5. (10)

Из формулы (2), в которой мера Р заменена на ш, получим / рЬо \ 1/2

М_ = (Ъ(8)Ш(8,1л)с,Ш(8ф)с)ё,р) ^ -У 114 , 0, CЕQ. (11)

Через Q_, Q_ обозначим пополнение Q, Q по нормам (9), (10) соответственно. Из (7), (8) следует, что замена ^ на Л Е С в (9) (или в (10)) приводит к тому же множеству Q_ (С^_ соответственно) с эквивалентной нормой. Из (11) и аналогичного неравенства для нормы (10) вытекает, что пространства Q_, Q_ можно рассматривать как пространства с негативной нормой относительно Q [13, гл. 1, п. 1, с. 45]. Через Q+, Q+ обозначим соответствующие пространства с позитивной нормой- Из определения пространств с позитивной и негативной нормами, следует, что Q+ С Q, С Q.

Предположим, что последовательности {сп} и {сп} (сп ЕQ,cn Е О сходятся соответственно в Q_ и Q_ к с0 ЕQ_ и с0 ЕQ_. Тогда последовательности {Ш(-,Л)сп}, {и(^Л)^} фундаментальны в Н и поэтому сходятся в Н к некоторым элементам из Н. Через Ш(■, Л)с0 и и(■,Л)с0 обозначим эти элементы, а через №(Л), Ы(Л) - операторы с — Ш(^Л)с и с —У и0,Л)с, соответственно, где cЕQ_, с ЕQ_- Операторы №(Л) : Q_— Н, Ы(Л) : ()_— Н непрерывны, взаимно однозначны и их области значений замкнуты. Поэтому сопряженные операторы №*( Л), Ы*( Л) непрерывно отображают Н на Q+, Q+ соответственно. Для всех х Е Q, / Е Н имеем

(/, Ю ( Л)х)т = [Ь\((1ш) ¡( 3 ),Ш (з ,Л)х) = Г(Ш *(8 ,Л)^ш)/(в),х) = (М *(Л)/,х).

</ ао ^ ао

Аналогичное равенство выполняется для оператора Ы( Л). Отсюда, принимая во внимание, что Q, Q плотно вкладываются в Q_ и Q_ соответственно, получим

рЪо гЬо

™ *( Л)/= Ш *(з ,Л)(аш)/(8)} и *(Л)д= и *(з ,Л)( (¡ш)д(8). (12)

о ао </ ао

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 2. Операторы № * ( Л), Ы *( Л) непрерывно отображают Н на Q+, Q+ соответственно и имеют вид (12).

Следующая теорема и следствия доказываются аналогично соответствующим утверждениям из [3], [14], [15].

Теорема 1. Пара {у, /} Е Н х Н тогда и только тогда принадлежит отношению Ь — XE, когда существует пара {у, /}, отождествленная в Н х Н с {у, /}, для которой выполняется равенство (5), где уо Е / Е Н.

Следствие 1. Отношение Ь0 замкнуто.

Следствие 2. Область значений отношения Ьо — XE состоит из всех элементов / Е Н, для которых выполняется равенство

г Ьо

и *(Л)/= / и *(з ,Л)( (¡ш)/(8) = 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и ао

Следствие 3. Оператор ^( X) является непрерывным взаимно однозначным отображением на кег(Ь — XE).

4. Пространства граничных значений и состояния линЕйных отношений

Далее нам потребуется пространство граничных значений (ПГЗ) отношения Ь — XE. Пусть В1, В2, В\, В2 - банаховы пространства, Т С В1 х В2 - замкнутое линейное отношение, 8 :Т ^ В1 х В2 - линейный оператор, 8^ = Р^8, ] = 1, 2 (Р^ обозначает естественную проекцию на множество С^ в декартовом произведении С = С1 х С2). Четверка (В1,В2,5]^, 82) называется ПГЗ для отношения Т (см. [6], [7] и библиографию там), если 8 непрерывно отображает Т на В1 хВ2, и сужение на КегТ является взаимно однозначным отображением КегТ на В1. Определим оператор Ф<$ :В1^В2 и отношение Т0 равенствами Ф<5 = 82(811КегТ)—1, То = кег8. Отметим, что оператор Ф<$ ограничен. Из определения ПГЗ следует, что между отношениями Т со свойством То С Т С Т и отношениями 9 С В1 х В2 существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством 8Т = 9. В этом случае обозначаем Т = Т$. Подобные обозначения используются далее.

Пусть Б - линейное отношение, Б С В[ х В2, где В1, В'2 - банаховы пространства. Следующие условия взяты из [4], [5]: 1) Б замкнуто; 2) кег Б = {0}; 3) &шкегБ < то; 4) отношение Б корректно; 5) ^-(Б) = ^-(Б); 6) ^-(Б) - замкнутое подпространство в В'2 конечной коразмерности; 7) %(Б) = В2; 8) Б непрерывно обратимо.

Следуя [4], [5], будем говорить, что отношение Б находится в состоянии к, если оно удовлетворяет условию к). Условие 4) означает обратимость отношения Б и замкнутость области значений /К(Б) [5]. Отношение Б называется фредгольмовым, если оно удовлетворяет условиям 3), 6).

Теорема 2. Пусть %(Т) = В2. Отношение Те тогда и только тогда находится в состоянии к (1 ^к^8), когда в том же состоянии находится отношение 9 — Ф^.

Доказательство вытекает из следующей леммы, установленной в [7].

Лемма 3. Отношение Тв замкнуто тогда и только тогда, когда отношение 9 замкнуто. Пусть %(Т) = В2. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) область значений %(Тв) замкнута в том и только том случае, когда область значений %(9 — Ф^) замкнута;

2) а1ш В2/ВД) = а1шВ2/П(в — Ф&);

3) кег Те = &шкег(# — Ф^).

Построим пространство граничных значений для отношения Ь. Обозначим (ъ = Ш(Ьо, 0),((+. Оператор Ш(Ь0,0) взаимно однозначно отображает Н на Н. Используя последнее равенство, введем в ( норму пространства (+. Без ограничения общности можно считать, что ¿о = ао, Ш(ао, X) = Е.

Согласно теореме 1, пара {у, /} Е Н х Н тогда и только тогда принадлежит отношению Ь — ЛЕ, когда существует пара {у, /}, отождествленная в Н х Н с {у,/}, для которой выполняется равенство

у(1) = ш (I ,Л) сх + (13)

где сЛ Е Q-,

Рх(Ь) = —\У(Ь,Л)г.1 [ и*(в,\)((1т)/(з)(1з. (14)

и ао

Каждой паре {у, /}, представленной в виде (13) при Л = 0, поставим в соответствие пару граничных значений

У = 51{у, /} = сс^-,

У' = Ыу, Я = — Ж(Ь0, 0)3 [ °и*(8, 0)(dm)f(s)ds Е Qь.

и ао

Из (13), (14) следует, что если пары {у, /}, {у, /} Е Ь отождествлены между собой в Н х Н, то их граничные значения совпадают.

Отметим, что если Со Е Q (т.е. пара {у, /} Е Ь'), то

У = у(а0), У' = у(Ь0) — Ж(Ь0, 0)у(ао). (15)

Положим 8{у, /} = {У, У'}. Из теоремы 1, леммы 2 и следствия 3 вытекает, что четверка Qb, 5\, 62) является ПГЗ для отношения Ь; при этом кег8 = Ьо. Как и выше, Ь$ - такое линейное отношение, что Ьо С Ь С Ь и 5Ь$ = 9 С Q- х Qъ.

Пусть пара {у, /} Е Ь. Тогда {у, f — Лу} Е Ь — ЛЕ. Положим $(Л){у, f — Лу} = 5{у, /} и (Л) = Ру6(Л), где Р\, Р2 - естественные проекции Q- х Qь на Q-, Qb соответственно. Ясно, что 5 = ^(0).

Оператор 8 непрерывно отображает Ь на Q- х Qb, а оператор, ставящий в соответствие каждой паре {у, /} Е Ь пару {у, / — Лу} Е Ь — ЛЕ, непрерывно и взаимно однозначно отображает Ь на Ь — ЛЕ. Поэтому оператор 5(Л) непрерывно отображает Ь — ЛЕ на Q-х Qb. Из (7), (8) следует, что сужение ^1(Л) на Кег(Ь—ЛЕ) взаимно однозначно отображает Кег(Ь — ЛЕ) на Q-. Таким образом, четверка <^(Л), #2(Л)) при любом Л Е С является ПГЗ для отношения Ь — ЛЕ. Оператор Ф<$(л) = ¿>2(Л)(^1(Л)|кег(ь-ле})-1 имеет вид

г Ьо

Фг(л) = —ЛЖ(Ь0,0)3 и*(в, 0)(dm)W(в, Л^в.

ао

Если Со Е Q, то

Фг (л) С 0 = ( Ж (Ьо, Л) — Ж (Ьо, 0))со. (16)

Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 3. Отношение Ьв — ЛЕ тогда и только тогда находится в состоянии к, когда в том же состоянии находится отношение 9 — Ф^(л).

Следствие 4. Пусть отношение 9 замкнуто. Для принадлежности точки Л точечному спектру ар(Ьд) отношения Ьв необходимо и достаточно, чтобы кег(0 — Ф^(л)) = {0}. Точка Л принадлежит остаточному спектру аг(Тв) (непрерывному спектру ас(Ьв) ) тогда и только тогда, когда отношение (9 — Ф¿(л))-1 является неплотно определенным (плотно определенным и неограниченным) оператором. Точка Л принадлежит резольвентному множеству р(Ье) в том и только том случае, когда (9 — Ф^(л))-1 является ограниченным всюду определенным оператором.

В заключение этого раздела рассмотрим такие интегральные уравнения, которые в случае абсолютной непрерывности операторных мер переходят в квазидифференциальные уравнения.

Пусть Н - конечномерное гильбертово пространство. Рассмотрим на отрезке [ а, Ь] систему, состоящую из г ^ 2 уравнений,

3 + 1

и^-х^) = щ-х(+ ^ / (dpjík)ик-1(в), э = 1,...,г — 1,

г рь /-г г-г

и._1(*)=и-_1(*о)^ / (Срг,к)ик-1(з) + Лг-г / (¿тх)ио(з)

+ г-г (Сш^Д в ), (17)

к=1 •'¿О •'¿О

где pjík, ш1 - операторные меры на [а, Ь], значения которых - линейные операторы в Н, причем мера ш1 неотрицательна; / €Ь2(Н, йшх; а, Ь); Л € С; и = и0, и1г..,иг-1 - неизвестные функции. Предполагается, что меры р^ удовлетворяют условиям: (а) р^ = 0 при к>з +1; (Ь) существуют такие операторные функции с нормами |||| € Ь1(а, Ъ),

что р^-+1(Д) = /д Р],]+1 (¿)сЙ для любого борелевского множества Д (т.е. меры абсо-

лютно непрерывны) и операторы имеют обратные для всех Ь € [ а, Ь].

Сведем систему (17) к уравнению первого порядка. Обозначим р = г3Р, где Р - матрица порядка г с элементами р^, 3 = гг+1Л, Л - матрица, на побочной диагонали которой последовательно (сверху вниз) стоят — Е,Е,..., (-1)ГЕ, остальные элементы равны нулю, ш - матрица порядка г, у которой на пересечении первой строки и первого столбца стоит ш1, остальные элементы равны нулю. Кроме того, положим и = со1(и0,..., иг-1), £ = со1(0,..., 0) (столбец длины г). В столбце £ вместо нулей могут находиться произвольные функции. С использованием введенных обозначений система (17) запишется в виде (3), где у = и, Н = Нг:

м(£) = м(¿0) — г3 (Ср)м(з) — (Сш)и(з) — и / (Сш)/(з). (18)

«/ ¿0 ^ ¿0 " to

Функции ии (к = 0, ...,г — 1), являющиеся решением системы (17), назовем квазипроизводными функции и = и0 и обозначим ик = и[й]. Из (17) получим для всех а0 ^ Ь ^ Ь0, 3 = 1,...,г — 1

пг з пг

/ Ш+1( « )из( = Щ-1^) — Щ-1(и) — ^ / (ср^)ик-1(8).

•'¿о к=1

Левая (и, следовательно, правая) часть последнего равенства является абсолютно непрерывной функцией. Поэтому при j = 1,..., г — 1

исо=р-]+1(г)Сь (1)—и——ср^к)ик-1(в^. (19)

Равенство (19) выполняется на отрезке [а, Ь]. Из (19) следует, что квазипроизводные Uj однозначно определяются функцией и = и0. Функцию и назовем решением (17), если система функций и является решением (18).

Пусть , Л) - операторное решение (17) при / = 0, ¿0 = а0, удовлетворяющее условию 1](«0, Л) = 5^Е (- символ Кронекера, з,т = 1,..., г); Ш(£, Л) - матрица с элементами Жп-1](£, Л). Тогда функция Ь^Ш(Ь, Л) является решением уравнения (18) при / = 0.

Пространства Н = Ь2(Н,дш;а, Ь) и Ь2(Н, Сш1;а, Ь) совпадают. Всякая функция вида со1(0, у2,..., уг-1) со значениями в Н = Нг отождествлена в Н с нулем. В конечномерном случае Q- = Q. Максимальное и минимальное отношения, порожденные системой (17), определяются следующим образом.

Максимальное отношение Ь - это множество пар {и, /} ЕН х Н, для каждой из которых существует пара {и, /}, отождествленная в Н х Н с {и, /} и удовлетворяющая системе (17) при Л = 0. Минимальное отношение Ь0 - это сужение Ь на множество функций и таких, что и(ао) = и(Ь0) = 0, где и - решение (17).

Граничные значения определяются по формулам (15)

У = 8\{и, /} = и(ао), У = $2{и, /} = и(Ьо) - Ш(Ьо, 0)м(ао).

Тогда Фй(Л) = Ш(Ьо,Л) -Ш(Ьо, 0).

Для системы интегральных уравнений (17) справедливо утверждение, аналогичное теореме 3. Отметим, что в конечномерном случае условия 1), 3), 5), 6) выполняются автоматически.

Замечание 3. Пусть все меры pj,k абсолютно непрерывны, т.е. pj,к (А) = /д (¿)сЙ, IIРз,к(¿)|| Е Ь1(а, Ь), и ш^А) = ^(А)Е, где ^ - обычная мера Лебега на [а, Ь], т.е. ^([а,[)) = [ - а, а,[ Е К, а < [ (как и выше, полагаем р(А) = 0 для всякого боре-левского множества А такого, что [а, Ь] П А = 0). Тогда и1^ являются квазипроизводными в смысле [8], [9]. При этом и^ = 1-г/, где

иМ = (и!"-1])' - ^Трг,к№к-1]. к=1

5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

В этом разделе Н - сепарабельное гильбертово пространство и ш(А) = ^(А)Е, где ^ - обычная мера Лебега на [а, Ь]. В этом случае отношение Ь (и, следовательно, Ь0) является оператором, Q- = Q+ = Н. Граничные значения определяются равенствами (15), а оператор Ф^( л) - равенством (16). Кроме того, при любом т Е [а0, Ь0] оператор {у, /} ^ у(т) непрерывно отображает Ь на Н. Поэтому граничные значения можно определить формулами У = у(а0),У' = у(Ь0). Тогда Ф^(л) = Ш(Ь0,Л). Таким образом, в теореме 3 и следствии 4 в качестве Ф^(л) может быть взят оператор, определенный равенством (16), или оператор Ш(Ь0, Л) (в зависимости от выбора ПГЗ).

Отметим, что в статье [16] другим способом получены утверждения, аналогичные теореме 3 и следствию 4, для дифференциального оператора, порожденного сильно непрерывным семейством эволюционных операторов Ы(Ь, в) в банаховом пространстве. Эти утверждения из [16] могут быть установлены методом (незначительно измененным), используемым в данной работе, с учетом теоремы 2, верной для банаховых пространств (при этом в качестве оператора Ф^(л) = Ш(Ь0, Л) берется еЛ(ь-а")1А(Ь, а)).

Переходим к рассмотрению уравнения (1) с многозначным импульсным воздействием, предполагая, что в (1) ш(А) = ^(А)Е, ¿0 = а0.

Зафиксируем некоторую точку 1 Е [ а, ]. Возможное изменение решения в точке 1 определим следующим образом. Положим

у (г) = ш (г, 0) с1 - ш (г, 0)^ / и *(в, 0)/(^, а0 ^ г ^ и, (20)

и ао

у(г) = ш(г, 0)ш-1(г 1,0)- ш(г, 0)1,1! и*(в, 0)/(в)^, и <г ^ Ьо. (21)

Jt1

где $ Е Н, с1, с2 Е Н, и 1, 0) = Иш Ш(Ь, 0). Функция у, вообще говоря, имеет разрыв в

г^г 1+о

точке ¿1, обусловленный тем, что элемент с2 Е Н выбирается произвольно. Отметим, что

С1 = y(a1о), С2 = Ит уЦ).

^ Ь1 +о

Определим оператор С следующим образом. Считаем, что область определения Т>(С) оператора С состоит из функций у, имеющих вид (20), (21), и полагаем Су = /. Оператор С замкнут.

В определении ПГЗ возьмем В1 = В2 = Н х Н и определим граничные значения равенствами

Ъ{у, П = У = [у(«0), у+(11)}, ъ{у, /} = У' = {у(11), у(Ъ0)},

где у+И 1) = Иш у И). Из леммы 2 и следствия 3, непрерывной обратимости оператора ¿^¿1+0

Ш(£, 0): Н ^ Н следует, что четверка (НхН,НхН, гу1, гу2) является ПГЗ для оператора С. Положим гу{у,/} = [У, У'}.

Оператор Ф7 задается равенством

ф7({С1,С2}) = {Ш(I1, 0)С1,Ш(&0, 0)Ш-1(1 1, 0)С2}, {С1,С2} €Н х Н. (22)

Здесь учтено, что функция Ь^Ш(£, 0) непрерывна слева. В данном случае минимальный оператор С0 определяется как сужение оператора С на множество функций у € Т>(С), для которых у((ю) = у(60) = У^ 1) = у+(Ь 1) = 0.

Пусть 9 - линейное отношение, 9 С ( Н х Н) х (Н х Н), Се - такой оператор, что С0 С Се С С и ^Се = 9. Для оператора Се справедливы утверждения, аналогичные теореме 3 и следствию 4.

Рассмотрим важный частный случай, когда отношение определяется двумя отношениями 912 и 921, состоящими соответственно из пар граничных значений в точке разрыва ¿1 и пар граничных значений на концах а0, Ь0. Обозначим через Н1, Н2 первый и второй экземпляры пространства Н в декартовом произведении Н х Н и предположим, что отношение 9 С ( Н1 х Н2) х (Н1 х Н2) состоит из пар вида

{со1(ж1 ,Х2), Со1(ж12,Ж21)}, (23)

где {х2, х12} € 912 С Н2хН1, {х1,х21} € 921 С Н1хН2 (здесь и далее пару {г1, г2} € Н1 х Н2 удобно обозначать как столбец со1(г1, г2), чтобы проследить аналогию с операторами, задаваемыми матрицами). Таким образом, область определения оператора Се состоит из функций у вида (20), (21), удовлетворяющих граничным условиям

{у(«0), у(М} € 021, {у +(* 1), 1)} € 012.

Отметим, что отношение замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуты отношения 12 и 21 . Далее предполагаем замкнутость отношения .

Для сокращения записи обозначим ш1 = Ш(Ь1, 0), ш2 = Ш(Ь0, 0)\¥-1(Ь 1, 0). Пусть ш : Н1 х Н2 ^ Н1 х Н2 - оператор, определяемый равенством ш{х1,х2} = {ш1х1,ш2х2}, где х1 € Н1 = Н, х2 € Н2 = Н. Из (22), (23) следует, что отношение 9 — Ф7 состоит из пар вида

{со1(х1,Х2), со1( —Ш1Х1 +Х12,Х21 — Ш2Х2)}, (24)

где пары {Х2,Х12}€ 012, {Х1,Х21}€ 021.

Оператор ш непрерывно и взаимно однозначно отображает Н1 хН2 на Н1 хН2. Поэтому отношения 9 — Ф7 и £ = ш-1(0 — Ф7) одновременно находятся или нет в состоянии к (1 ^ к ^ 8). Обозначим <12 = ш-1012, <21 = ш-1021. Из (24) вытекает, что отношение ( состоит из пар вида

{со%ъ g2), со1(—91 + 9l2,921 — g2)}, (25)

где пары {92, 912} € <12, {ди 921} € <21.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Лемма 4. Справедливы следующие утверждения: а) &шкег< < то тогда и только тогда, когда &шкег(<12<21 — Е) < то и &шкег(<21<12 — Е) < то; б) &шкег< = 0 в том и только том случае, когда &шкег(<12<21 — Е) = 0 и &шкег(<21<12 — Е) = 0.

Доказательство. Пусть со1(<71, д2) Е кег (. Из (25) следует существование таких элементов 912,921 Е Н, что пары {912} Е (12, {91,921} Е (21 и ^ = #12, 92 = #21. Отсюда получаем, что {91,912} Е (12(21 и д1 Е кег((12(21 - Е). Аналогично получим {#21} Е (21(12 и 92 Е кег((21(12 - Е).

С другой стороны, если д1 Е кег((12(21 - Е), то существуют такие элементы д21 и д12, что пары {д 1, ^21} Е (21, {д21,912} Е (12 и #12 = #1. Отсюда и из (25) следует со1(# 1, #21) Е кег (. Аналогично получаем, что если д2 Е кег((21(12 -Е), то существует элемент д12 со свойством со1(д 12, д2) Е кег (. Из приведенных соотношений следуют все утверждения леммы. Лемма доказана.

Обозначим Zl = (12(21 - Е), ^2 = (21(12 - Е).

Лемма 5. Отношение ( сюръективно тогда и только тогда, когда сюръективны отношения (12(21 - Е и (21(12 - Е.

Доказательство. Пусть отношение ( сюръективно. Из (25) следует, что для любых ¿1, ¿2 Е Н найдутся такие пары {#2,912} Е (12, {91,921} Е (21, что -#1+#12 = #21 -92 = ¿2. Положим ¿2 = 0. Тогда 92 = #21. Поэтому {д 1, #12} Е (12(21 и ¿1 Е = (12(21 - Е). Отсюда в силу произвольности получаем Z1 = Н. Аналогично доказывается, что Z2 = (21(12 - Е) = Н. Таким образом, отношения (12(21 - Е, (21(12 - Е сюръективны.

Докажем обратное утверждение. Элемент г2 Е Z2 тогда и только тогда, когда найдется элемент д2 такой, что пара {д2, х2} Е (21(12-Е. Это равносильно существованию элементов <712, <721 со свойствами

912} Е (12, {9l2,921} Е (21, 921 - 92 = ¿2. (26)

Аналогично, элемент Е Z1 в том и только том случае, когда существуют элементы д1, (/12, д'21 со свойствами

{д 1, ¿1} Е (12(21 -Е, {9ъ Е (21, {921,9^12} Е (12, д'12 - = Ъ. (27)

Из (26), (27) получаем, что {92 + д'21,912 + ^12} Е (12, {д 12 + 91,921 + ^1} Е (21. Отсюда и из (25) следует {со1(# 12 + 91, #2 + ^1), со1(^2 - 91, #21 - 92)} Е (. Равенства (26), (27) влекут {со1(# 12 + 91, #2 + ^1), со1(^2)} Е (. Поэтому со1(¿2) Е^(().

Таким образом, если отношения (12(21 - Е и (21(12 - Е сюръективны, то сюръективно отношение . Лемма доказана.

Замечание 2. При доказательстве второй части леммы 5 фактически установлено следующее утверждение: если г1 Е Z1, х2 Е Z2, то со1(г1, г2) Е "&(().

Теорема 4. Оператор С непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимы отношения

Ш-1(£ 1, 0)012^+ (г 1, 0)Ш-1(Ьо, 0)021 - Е,

(г 1, 0)Ш-1(Ьо, 0)021Ш-1(£ 1, 0)012 -Е. (28)

Доказательство. Отношения (28) соответственно равны 12 21 - Е и 21 12 - Е. Выше установлено, что С, 0 - Ф7, ( одновременно находятся в состоянии к (1 ^ к ^ 8). Теперь требуемое утверждение следует из лемм 4, 5.

Лемма 6. Если область значений "&(() замкнута и имеет конечную коразмерность, то области значений Z1 = (12(21 - Е) и Z2 = (21(12 - Е) имеют конечную коразмерность. Если Z1, Z2 имеют конечную коразмерность, то тем же свойством обладает,

щ<).

Доказательство. Пусть ^(() замкнута и имеет конечномерную коразмерность. Тогда "&(() П ( Н х {0}) имеет конечную коразмерность. Пусть со1(г1, 0) Е "&(() П ( Н х {0}). Так

же как в доказательстве первой части леммы 5 получим z1 Е Z1. Отсюда следует, что Z1 имеет конечную коразмерность. Требуемое утверждение относительно Z2 доказывается аналогично.

Пусть теперь Z1 и Z2 имеют конечную коразмерность Z\ Е Z1, z2 Е Z2. Из замечания 2 получим col(z1, z2) Е R«). Поэтому R«) имеет конечномерную коразмерность. Лемма доказана.

Теорема 5. Оператор Се фредгольмов тогда и только тогда, когда отношения (28) фредгольмовы.

Доказательство. Оператор Се и отношения в — Ф7, ( одновременно являются или нет фредгольмовыми. Пусть отношение ( фредгольмово. Тогда область значений R«) замкнута. Докажем замкнутость Zi = R(<12<21 — Е). Пусть z1,n Е Z\ и последовательность {z1,nj сходится к z. Из замечания 2 следует, что col(z1,n, 0)} Е R«). Замкнутость R«) влечет col(z, 0) Е R(<). Из доказательства первой части леммы 5 получим, что z Е Z1. Замкнутость Z2 = R( i2 2i — Е) устанавливается аналогично. Теперь фредгольмовость отношений (28) следует из лемм 4, 6.

Обратно, пусть отношения (28) фредгольмовы. Эти отношения соответственно равны С12<21 — Е и <21<12 — Е. Следовательно, Z1, Z2 замкнуты. Поэтому замкнуто множество Z1 х Z2. Оно имеет конечную коразмерность в Н х Н, так как по условию конечную коразмерность имеют Z1, Z2. Следовательно, существует такое линейное многообразие М С Н х Н, что dimM < то, (Z1 х Z2) П М = {0, 0} и Н х Н = (Z1 х Z2) + М. Из замечания 2 получаем Z1 х Z2 С R«). Поэтому R«) = (Z1 х Z2) + (М П R«)). Из [17, гл. 1, утв. 3.3, (с. 35, рус.)] вытекает замкнутость R«). Теперь применение лемм 4, 6 завершает доказательство теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С. А. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач // Успехи матем. наук. Т. 63, №1. 2008. С. 111-154. English transl.: Pokornyi Yu. V., Zvereva M.B., Shabrov S.A. Sturm-Liouville oscillation theory for impulsive problems // Russian Mathematics Surveys. V.63, №. 1. 2008. P. 109-153.

2. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки. T.66, №6. 1999, С. 897-912. English transl.: Savchuk A.M., Shkalikov A. A. Sturm-liouville operators with singular potentials // Math. Notes. V. 66, №. 6. 1999. P. 741-753.

3. Брук В. М. Об обратимых линейных отношениях, порожденных интегральным уравнением с неванлинновской мерой // Изв. ВУЗов. Математика. №2. 2013. С. 16-29. English transl.: Bruk V. M. Invertible linear relations generated by an integral equation with Nevanlinna measure // Russian Mathematics. V. 57, №. 2. P. 13-24.

4. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений // Изв. РАН. Сер. мат. Т. 73, №2. 2009. С. 3-68. English transl.: Baskakov A. G. Spectral analysis of differential operators with unbounded operator-valued coefficients, difference relations and semigroups of difference relations // Izvestiya: Mathematics. V. 73, №.2. 2009. P. 215-278.

5. Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // Успехи матем. наук. Т. 68, №1. 2013. С. 77-128. English transl.: Baskakov A. G. Analysis of linear differential equations by meAhods of the spectral theory of difference operators and linear relations // Russian Mathematical Surveys. V. 68, №.1. 2013. P. 69-116.

6. Брук В. М. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах // Функц. анализ. Ульяновск. №28. 1988. С. 17-22.

7. V. M. Bruk On linear relations generated by Nonnegative operator function and degenerate elliptic differential-operator expression // J. of Math. Physics, Analysis, Geometry. V. 5, №.2. 2009. P. 123-144.

8. Шин Д. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве // Матем. сборник. Т. 13, №1. 1943. С. 39-70.

9. A. Zettl Formally self-adjoint quasi-differential operators // Rocky Mountain J. Math. V. 5, №3. 1975. P. 453-474.

10. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Вища Школа. Киев. 1987. 288 с.

11. Диденко В. Б. О непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями // Изв. РАН. Сер. мат. Т. 77, №1. 2013. С. 5-22. English transl.: Didenko V. B. On the continuous invertibility and the Fredholm property of differential operators with multi-valued impulse effects // Izvestiya: Mathematics. V. 77, №1. 2013. P. 3-19.

12. Рофе-Бекетов Ф. С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций // Докл. Акад. Наук СССР. Т. 184, №5. 1969. С. 1034-1037. English transl.: Rofe-Beketov F.S. Selfadjoint extensions of differential operators in a space of vector functions // Soviet. Math. Dokl. V. 10, №. 1. 1969. P. 188-192.

13. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Наукова Думка, Киев, 1965. 798 с. English transl.: Berezanski Yu. M. Expansions in Eigenfunctions of Selfadjoint Operators. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968. 822 p.

14. V. M. Bruk On the characteristic operator of an integral equation with a nevanlinna measure in the infinite-dimensional case // J. of Math. Physics, Analysis, Geometry. V. 10, №. 2. 2014. P. 163-188.

15. Брук В. М. Об обратимых сужениях отношений, порожденных дифференциальным выражением и неотрицательной операторной функцией // Матем. заметки. Т. 82, №5. 2007. С. 652664. English transl.: Bruk V. M. On invertible restrictions of relations generated by a differential expression and by a Nonnegative operator function // Math. Notes. V. 82, №5. P. 583-595.

16. Диденко В. Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением // Матем. заметки. Т. 89, №2. 2011. С. 226-240. English transl.: Didenko V. B. On the spectral properties of differential operators with unbounded operator coefficients determined by a linear relation // Math. Notes. V. 89, №2. P. 224-237.

17. H. Schaefer Topological Vector Spaces. The Macmillan Company. New York; Collier-Macmillan Limited. London, 1966. 306p. (English); Рус. перевод: Х. Шефер, Топологические векторные пространства, Мир, М. 1971. 360 с.

Владислав Моисеевич Брук,

Саратовский государственный технический университет, ул. Политехническая, 77, 410054, г. Саратов, Россия E-mail: vladislavbruk@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.