CC BY
28
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 50-62.
УДК 517.98
ОБРАТИМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ С ОПЕРАТОРНЫМИ МЕРАМИ
В.М. БРУК
Аннотация. На ограниченном замкнутом интервале рассматривается интегральное уравнение с операторными мерами в бесконечномерном случае. В терминах граничных значений устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых линейные отношения 5, порожденные этим интегральным уравнением, обладают свойствами: 5 замкнуто; 5 обратимо; ядро 5 конечномерно; 5 имеет замкнутую область значений; 5 непрерывно обратимо и другими. Результаты применяются к системе интегральных уравнений, переходящей в квазидифференциальное уравнение в случае абсолютно непрерывных мер, и к интегральному уравнению с многозначным импульсным воздействием.
Ключевые слова: интегральное уравнение, операторная мера, гильбертово пространство, линейное отношение, спектр, квазипроизводная, импульсное воздействие.
Интегральные уравнения с операторными мерами являются достаточно общими. Например, они охватывают интегро-дифференциальные уравнения с интегралами Стилтье-са [1], дифференциальные уравнения, коэффициенты которых - обобщенные функции [2] (способ сведения интегрального уравнения к уравнению из [2] приводится в [3]).
В данной работе на отрезке [а, Ь] рассматривается интегральное уравнение
операторные меры, определенные на борелевских множествах А С [а,Ь] и принимающие значения в множестве линейных ограниченных операторов, действующих в сепарабельном гильбертовом пространстве H, причем мера m неотрицательна (эти меры продолжены на отрезок [a0,b0] D (ao,bo) D [а,Ь\ способом, указанным ниже); J - оператор в H со свойствами: J * = J, J2 = Е (Е - тождественный оператор), у0 G H ; у - неизвестная функция, f G H = L2(H,dm; a,b) (H определено ниже). Предполагается, что меры p, m имеют ограниченную вариацию на [а,Ь].
Отметим, что случай бесконечномерного H существенно отличается от конечномерного. Это объясняется тем фактом, что достаточно сложно устроено пространство H = L2(H, dm; a, b). Элементы этого пространства - необязательно функции со значениями в H.
V.M. Bruk, Invertibility of linear relations generated by intégral équation with operator measures.
© Брук В.М. 2014.
Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00378).
Поступила 15 мая 2014 г.
Mathematics Subject Classification: 47A06, 47A10, 34B27
1. Введение
(1)
где f* обозначает L t), если t0 < t; — L t ), если t0 > t; и 0, если t0 = t. Здесь p, m
Уравнение (1) вместе с граничными условиями порождает, вообще говоря, не линейные операторы, а линейные отношения (многозначные операторы). Если граничные условия нулевые, то соответствующее отношение называется минимальным, а при отсутствии граничных условий - максимальным. Всякое линейное отношение, являющееся сужением максимального отношения L и расширением минимального L0, может быть определено с помощью некоторого линейного отношения в, входящего в граничные условия, причем взаимно однозначным является соответствие между такими отношениями в и определяемыми ими отношениями Lq , L0 С Lq С L. В связи с этим возникает задача: выделить граничные условия (т.е. отношения в), которые определяют отношения Lq с некоторыми наперед заданными свойствами.
В данной работе рассматриваются свойства (называемые состояниями) из работ [4], [5] и устанавливается, что отношение Lq тогда и только тогда обладает соответствующим свойством, когда то же свойство имеет отношение в. Среди этих свойств такие, как обратимость, непрерывная обратимость, фредгольмовость и другие. Доказательства основаны на утверждениях об абстрактных пространствах граничных значений из работ [6], [7].
В качестве приложения рассматривается система интегральных уравнений, переходящая в случае абсолютно непрерывных мер в квазидифференциальное уравнение с квазипроизводными в смысле работ [8], [9]. В последнем разделе изучается интегральное уравнение с импульсным воздействием. Подобные уравнения описывают поведение развивающихся во времени процессов, подверженных кратковременным возмущениям. Математическая модель таких процессов имеется, например, в монографии [10, гл.1, п. 1, с. 5]. В данной работе импульсное воздействие задается линейным отношением, т.е. воздействие является многозначным. В статье [11] рассматривались дифференциальные операторы, порожденные сильно непрерывным семейством эволюционных операторов в банаховом пространстве, и установлены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости и фредгольмовости таких дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями. Метод (с незначительными изменениями) из данной работы применим к операторам, рассмотренным в [11].
Отметим, что линейные отношения впервые были использованы для описания в терминах граничных условий расширений дифференциальных операторов в статье [12].
2. Вспомогательные утверждения
Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и нормой ||-||. Рассмотрим функцию А ^Р(Д), определенную на борелевских множествах А С [а, Ь] и принимающую значения в множестве ограниченных линейных операторов, действующих в Н. Функция Р называется операторной мерой на [а, Ь] (см., например, [13, гл. 5, п. 1, с. 324]), если Р равна нулю на пустом множестве, и для любых непересекающихся борелевских множеств Ап справедливо равенство
(го \ го
U М = Е Р(Д»)
п=1 / п= 1
с рядом, сходящимся в слабой операторной топологии. Через Va(P) обозначим
Уд(Р) = р(Д) = sup £ ||Р(А,)|| ,
3
где sup распространяется на конечные суммы непересекающихся борелевских множеств А j С А. Число Va(P) называется вариацией меры Р на борелевском множестве А.
Пусть мера Р имеет ограниченную вариацию на [а,Ь]. Тогда для р-почти всех £ Е [а,Ь] существует такая операторная функция £ ^ Ф(£) со значениями в множестве линейных ограниченных операторов в Н, ||Ф(£)|| = 1, что для любого борелевского множества А С [а,Ъ]
справедливо равенство
Р(Д) = / Ф(С)ф. (2)
JA
Функция Ф определяется однозначно с точностью до значений на множестве нулевой р-меры. Интеграл (2) сходится в смысле обычной нормы операторов ([13, гл.5, теор. 1.2, с. 325]). Из (2) следует, что измеримые по Борелю ограниченные функции со значениями в Н интегрируемы по мере Р.
Далее всякую меру Р, имеющую ограниченную вариацию, продолжаем на некоторый отрезок [ао,Ьо] Э (ао,Ьо) Э [а, Ь], полагая Р(Д) = 0 для всех борелевских множеств Д С [а0,Ь0]\[а, Ь].
На множестве ступенчатых на отрезке [ао,Ьо] функций, принимающих значения в Н, введем квазискалярное произведение
г Ьо
(x, У)т = ((dm)x(t), у(г)).
^ «о
Отождествляя с нулем функции у, для которых (у, у)т = 0, и производя пополнение, получим гильбертово пространство, обозначаемое Н = L2(Н, ¿ш; а, Ь). Элементы Н - это классы функций, отождествленных между собой по норме ||у||т = (у, у)™.2. Чтобы не усложнять терминологию, класс функций с представителем у обозначаем тем же символом и пишем у Е Н. Равенства между функциями из Н понимаются как равенства соответствующих классов эквивалентности. Описание пространства Н имеется в [14] (см. также библиографию там).
Пространство Н и рассматриваемые ниже линейные отношения не изменятся, если мы заменим интервал (ао, Ь0) на (а'0, Ь'0), где точки а'0, Ь'0 вводятся также, как точки а0, Ь0, т.е. [а0, Ь'0] Э (а0, Ь'0) Э [а, Ь] и р(Д) = ш(Д) = 0 для всех борелевских множеств Д С
[а '0,Ь о]\[а, 6].
Рассмотрим уравнения
У(^ = Уо-г.1 (¿р)у(в) - гX.1 ((!т)у(в) — г.1 (^ш)/( 5 ), (3)
о Ьо Л Ьо Л ¿о
г(1) = г0 — г.1 (¿р*)г(з) — гЛ . / (¿ш)г(з) — %.1 (¿ш)д(з), (4)
О ¿о " ^о " ¿о
где уо, ^о Е Н, /,д Е Н, X Е С, ¿, ¿о Е [ао, Ьо]. Отметим, что уравнение (1) получается из (3) при X = 0.
Из [3], [14] вытекает, что для любых у0, го Е Н, ¡,д Е Н, X Е С уравнения (3), (4) имеют единственные решения. Эти решения непрерывны слева и уо = у(^), ?о = ^(¿о). Через Ш(Ь, X), и(Ь, Л) обозначим операторные решения уравнений
Ш(г, X)xo = х — М ((Ър)\¥(в, X)xo — IX. (¿ш)\¥(в, X)xo,
Jtо ^
и(Ь^Хо = Х0 — г. / (йр*)и(з, X)Xo — 2X7 / (йш)и(з,X)Xo,
и 4о о1о
где х,Х0 Е Н. Из [3], [14] следует, что и*(г, 1\).]Ш(г, X) = ., Ш(г, \)Ш*(г, X) = . и функции X ^ Ш (Ь, X), X ^ и (Ь ^) голоморфны при всех X Е С при каждом фиксированном Ь Е [ао,Ьо]. Повторяя доказательство аналогичных утверждений из [3], [14], получим следующее утверждение.
Лемма 1. Функции у, г тогда и только тогда являются решением уравнений (3), (4) соответственно, когда у, г имеют вид
r-t
Т* I
y(t) = W Mb - W (t,X)iJ U*(s,X)(dm)f (s), (5)
Jt0
rt
Г* /
z(t) = U(t,X)zo - и(t,\)iJ W*(s,X)(dm)g(s).
JtQ
3. Максимальное и минимальное отношения
Пусть Bi, B2 - банаховы пространства. Под линейным отношением T понимается любое линейное многообразие T С B1 х B2. Терминологию по линейным отношениям можно найти, например, в [4], [5]. Далее используются следующие обозначения: {•, •} - упорядоченная пара; ker T - множество элементов х Е B1 таких, что {х, 0} Е T; KerT - множество упорядоченных пар вида {х, 0} Е T; 'D(T) - область определения T, т.е. множество элементов х Е B1, для каждого из которых существует элемент х' Е B2 такой, что пара {х, х} Е T; fö(T) - область значений T, т.е. множество элементов х' Е B2, для каждого из которых существует элемент х Е B1 такой, что пара {х,х'} Е T; T-1 - отношение, обратное к T, т.е отношение, состоящее из пар {х1 ,х}, где {х,х'} Е T. Отношение T называется сюръективным, если fö(T) = B2; обратимым или инъективным, если ker T = {0} (т.е. отношение T-i является оператором); непрерывно обратимым, если оно замкнуто, обратимо и сюръективно (т.е. T-1 является ограниченным всюду определенным оператором). Суммой отношений T1, T2 С B1 х B2 называется отношение T1 + T2, состоящее из всех пар вида {х,х1 +х2}, где х Е V(T]) nP(T2), {х,х\} Е T1, {х,х2} Е T2. Произведением отношений T С B1 х B2, S С B2 х B3 называется отношение ST, состоящее из пар {х1,х3} Е B1 х B3, для каждой из которых существует такой элемент х2, что {х1}х2} Е T, {х2,х3} Е S.
Далее (T) обозначает резольвентное множество замкнутого отношения T, т.е. множество точек А Е C, для которых отношение (T — ХЕ)-1 является ограниченным всюду определенным оператором; ac(T) (ar (T)) - непрерывный (остаточный) спектр отношения T, т.е. множество таких точек А Е C, что отношение (T—ХЕ)-1 является плотно определенным и неограниченным (неплотно определенным) оператором; ap(T) - точечный спектр отношения T, т.е. множество точек АЕ C, для которых отношение (T — ХЕ)-1 не является оператором. Линейные операторы считаются линейными отношениями, поэтому запись {х1 ,х2}е T используется и для оператора T. Поскольку все рассматриваемые отношения являются линейными, слово "линейное" часто будет опускаться.
Пусть L' - отношение, состоящее из пар {у, f} Е H х H, для каждой из которых существует пара {у, /}, отождествленная в H х H с {у, f} и удовлетворяющая уравнению (1). Через L обозначим замыкание L' и назовем L максимальным отношением, порожденным интегральным уравнением (1). Отношение L, вообще говоря, не будет оператором, так как может случиться, что функция у отождествлена с нулем в H, а f отлична от нуля. Минимальное отношение L0 определим как сужение L' на множество функций у таких, что у(а0) = у(Ьо) = 0, где у - решение (1).
Замечание 1. Определение точек а0, Ь0 и равенства р(Д) = ш(Д) = 0, выполняющиеся для всех борелевских множеств Д С [а0, 60]\[а, Ь], влекут у(а0)= lim y(t), у(b0)= lim y(t).
t^a-0 t^b+0
Максимальное и минимальное отношения не изменятся, если мы заменим интервал ( а0, Ь0) на (а0, Ъ'0), где точки а0, Ъ'0 определяются так же, как а0, Ь0, а меры р, ш продолжаются на интервал (а0, Ь'0) так же, как на (а0, Ь0). Поэтому минимальное отношение L0 может быть определено как сужение L' на множество функций у, финитных на (а0, Ь0), где у -решение (1).
Обозначим через Q0 (через <5о) множество элементов х Е Н, для которых при ^ Е С функция Ь — Ш(£,^)х (£— и(£,^)х соответственно) отождествлена с нулем в Н- Положим Q = Н 0 Q0 и <5 = Н 0 С^0- Множества Q0, С^0 (и, следовательно, Q, О не зависят от замены точки ^ другой точкой Л Е С- Это вытекает из следующих равенств, получаемых из (5), (6),
ш (г ,л)с=ш (г, о)с - лш (г, 0)и I и * (в, 0)(^ш)ж (в ,Л) с, (7)
Л]
Ш (г, 0)с=Ш (г ,Л)с + ЛШ (г ,Л)г.1 [ и * (в ,Л)( йш)Ш (в, 0) с, СЕН. (8)
Ло
Соответствующие равенства для и(£, Л), и(£, 0) получаются из (7), (8) заменой Ш на и и и на Ш -
На линейных многообразиях Q и 0) введем нормы равенствами
/ рЪо \ 1/2
||с||_ ((¿ш)Ш(з ,^)с,Ш(з ,м)с)) Е С, с Е Q, (9)
/ РЪо \ 1/2
ЦсЦ_ = ^ (((¿ш)и(^)с,и(^)с)^ ,V Е С, с Е(5. (10)
Из формулы (2), в которой мера Р заменена на ш, получим / рЬо \ 1/2
М_ = (Ъ(8)Ш(8,1л)с,Ш(8ф)с)ё,р) ^ -У 114 , 0, CЕQ. (11)
Через Q_, Q_ обозначим пополнение Q, Q по нормам (9), (10) соответственно. Из (7), (8) следует, что замена ^ на Л Е С в (9) (или в (10)) приводит к тому же множеству Q_ (С^_ соответственно) с эквивалентной нормой. Из (11) и аналогичного неравенства для нормы (10) вытекает, что пространства Q_, Q_ можно рассматривать как пространства с негативной нормой относительно Q [13, гл. 1, п. 1, с. 45]. Через Q+, Q+ обозначим соответствующие пространства с позитивной нормой- Из определения пространств с позитивной и негативной нормами, следует, что Q+ С Q, С Q.
Предположим, что последовательности {сп} и {сп} (сп ЕQ,cn Е О сходятся соответственно в Q_ и Q_ к с0 ЕQ_ и с0 ЕQ_. Тогда последовательности {Ш(-,Л)сп}, {и(^Л)^} фундаментальны в Н и поэтому сходятся в Н к некоторым элементам из Н. Через Ш(■, Л)с0 и и(■,Л)с0 обозначим эти элементы, а через №(Л), Ы(Л) - операторы с — Ш(^Л)с и с —У и0,Л)с, соответственно, где cЕQ_, с ЕQ_- Операторы №(Л) : Q_— Н, Ы(Л) : ()_— Н непрерывны, взаимно однозначны и их области значений замкнуты. Поэтому сопряженные операторы №*( Л), Ы*( Л) непрерывно отображают Н на Q+, Q+ соответственно. Для всех х Е Q, / Е Н имеем
(/, Ю ( Л)х)т = [Ь\((1ш) ¡( 3 ),Ш (з ,Л)х) = Г(Ш *(8 ,Л)^ш)/(в),х) = (М *(Л)/,х).
</ ао ^ ао
Аналогичное равенство выполняется для оператора Ы( Л). Отсюда, принимая во внимание, что Q, Q плотно вкладываются в Q_ и Q_ соответственно, получим
рЪо гЬо
™ *( Л)/= Ш *(з ,Л)(аш)/(8)} и *(Л)д= и *(з ,Л)( (¡ш)д(8). (12)
о ао </ ао
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма 2. Операторы № * ( Л), Ы *( Л) непрерывно отображают Н на Q+, Q+ соответственно и имеют вид (12).
Следующая теорема и следствия доказываются аналогично соответствующим утверждениям из [3], [14], [15].
Теорема 1. Пара {у, /} Е Н х Н тогда и только тогда принадлежит отношению Ь — XE, когда существует пара {у, /}, отождествленная в Н х Н с {у, /}, для которой выполняется равенство (5), где уо Е / Е Н.
Следствие 1. Отношение Ь0 замкнуто.
Следствие 2. Область значений отношения Ьо — XE состоит из всех элементов / Е Н, для которых выполняется равенство
г Ьо
и *(Л)/= / и *(з ,Л)( (¡ш)/(8) = 0.
и ао
Следствие 3. Оператор ^( X) является непрерывным взаимно однозначным отображением на кег(Ь — XE).
4. Пространства граничных значений и состояния линЕйных отношений
Далее нам потребуется пространство граничных значений (ПГЗ) отношения Ь — XE. Пусть В1, В2, В\, В2 - банаховы пространства, Т С В1 х В2 - замкнутое линейное отношение, 8 :Т ^ В1 х В2 - линейный оператор, 8^ = Р^8, ] = 1, 2 (Р^ обозначает естественную проекцию на множество С^ в декартовом произведении С = С1 х С2). Четверка (В1,В2,5]^, 82) называется ПГЗ для отношения Т (см. [6], [7] и библиографию там), если 8 непрерывно отображает Т на В1 хВ2, и сужение на КегТ является взаимно однозначным отображением КегТ на В1. Определим оператор Ф<$ :В1^В2 и отношение Т0 равенствами Ф<5 = 82(811КегТ)—1, То = кег8. Отметим, что оператор Ф<$ ограничен. Из определения ПГЗ следует, что между отношениями Т со свойством То С Т С Т и отношениями 9 С В1 х В2 существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством 8Т = 9. В этом случае обозначаем Т = Т$. Подобные обозначения используются далее.
Пусть Б - линейное отношение, Б С В[ х В2, где В1, В'2 - банаховы пространства. Следующие условия взяты из [4], [5]: 1) Б замкнуто; 2) кег Б = {0}; 3) &шкегБ < то; 4) отношение Б корректно; 5) ^-(Б) = ^-(Б); 6) ^-(Б) - замкнутое подпространство в В'2 конечной коразмерности; 7) %(Б) = В2; 8) Б непрерывно обратимо.
Следуя [4], [5], будем говорить, что отношение Б находится в состоянии к, если оно удовлетворяет условию к). Условие 4) означает обратимость отношения Б и замкнутость области значений /К(Б) [5]. Отношение Б называется фредгольмовым, если оно удовлетворяет условиям 3), 6).
Теорема 2. Пусть %(Т) = В2. Отношение Те тогда и только тогда находится в состоянии к (1 ^к^8), когда в том же состоянии находится отношение 9 — Ф^.
Доказательство вытекает из следующей леммы, установленной в [7].
Лемма 3. Отношение Тв замкнуто тогда и только тогда, когда отношение 9 замкнуто. Пусть %(Т) = В2. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) область значений %(Тв) замкнута в том и только том случае, когда область значений %(9 — Ф^) замкнута;
2) а1ш В2/ВД) = а1шВ2/П(в — Ф&);
3) кег Те = &шкег(# — Ф^).
Построим пространство граничных значений для отношения Ь. Обозначим (ъ = Ш(Ьо, 0),((+. Оператор Ш(Ь0,0) взаимно однозначно отображает Н на Н. Используя последнее равенство, введем в ( норму пространства (+. Без ограничения общности можно считать, что ¿о = ао, Ш(ао, X) = Е.
Согласно теореме 1, пара {у, /} Е Н х Н тогда и только тогда принадлежит отношению Ь — ЛЕ, когда существует пара {у, /}, отождествленная в Н х Н с {у,/}, для которой выполняется равенство
у(1) = ш (I ,Л) сх + (13)
где сЛ Е Q-,
Рх(Ь) = —\У(Ь,Л)г.1 [ и*(в,\)((1т)/(з)(1з. (14)
и ао
Каждой паре {у, /}, представленной в виде (13) при Л = 0, поставим в соответствие пару граничных значений
У = 51{у, /} = сс^-,
У' = Ыу, Я = — Ж(Ь0, 0)3 [ °и*(8, 0)(dm)f(s)ds Е Qь.
и ао
Из (13), (14) следует, что если пары {у, /}, {у, /} Е Ь отождествлены между собой в Н х Н, то их граничные значения совпадают.
Отметим, что если Со Е Q (т.е. пара {у, /} Е Ь'), то
У = у(а0), У' = у(Ь0) — Ж(Ь0, 0)у(ао). (15)
Положим 8{у, /} = {У, У'}. Из теоремы 1, леммы 2 и следствия 3 вытекает, что четверка Qb, 5\, 62) является ПГЗ для отношения Ь; при этом кег8 = Ьо. Как и выше, Ь$ - такое линейное отношение, что Ьо С Ь С Ь и 5Ь$ = 9 С Q- х Qъ.
Пусть пара {у, /} Е Ь. Тогда {у, f — Лу} Е Ь — ЛЕ. Положим $(Л){у, f — Лу} = 5{у, /} и (Л) = Ру6(Л), где Р\, Р2 - естественные проекции Q- х Qь на Q-, Qb соответственно. Ясно, что 5 = ^(0).
Оператор 8 непрерывно отображает Ь на Q- х Qb, а оператор, ставящий в соответствие каждой паре {у, /} Е Ь пару {у, / — Лу} Е Ь — ЛЕ, непрерывно и взаимно однозначно отображает Ь на Ь — ЛЕ. Поэтому оператор 5(Л) непрерывно отображает Ь — ЛЕ на Q-х Qb. Из (7), (8) следует, что сужение ^1(Л) на Кег(Ь—ЛЕ) взаимно однозначно отображает Кег(Ь — ЛЕ) на Q-. Таким образом, четверка <^(Л), #2(Л)) при любом Л Е С является ПГЗ для отношения Ь — ЛЕ. Оператор Ф<$(л) = ¿>2(Л)(^1(Л)|кег(ь-ле})-1 имеет вид
г Ьо
Фг(л) = —ЛЖ(Ь0,0)3 и*(в, 0)(dm)W(в, Л^в.
ао
Если Со Е Q, то
Фг (л) С 0 = ( Ж (Ьо, Л) — Ж (Ьо, 0))со. (16)
Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение.
Теорема 3. Отношение Ьв — ЛЕ тогда и только тогда находится в состоянии к, когда в том же состоянии находится отношение 9 — Ф^(л).
Следствие 4. Пусть отношение 9 замкнуто. Для принадлежности точки Л точечному спектру ар(Ьд) отношения Ьв необходимо и достаточно, чтобы кег(0 — Ф^(л)) = {0}. Точка Л принадлежит остаточному спектру аг(Тв) (непрерывному спектру ас(Ьв) ) тогда и только тогда, когда отношение (9 — Ф¿(л))-1 является неплотно определенным (плотно определенным и неограниченным) оператором. Точка Л принадлежит резольвентному множеству р(Ье) в том и только том случае, когда (9 — Ф^(л))-1 является ограниченным всюду определенным оператором.
В заключение этого раздела рассмотрим такие интегральные уравнения, которые в случае абсолютной непрерывности операторных мер переходят в квазидифференциальные уравнения.
Пусть Н - конечномерное гильбертово пространство. Рассмотрим на отрезке [ а, Ь] систему, состоящую из г ^ 2 уравнений,
3 + 1
и^-х^) = щ-х(+ ^ / (dpjík)ик-1(в), э = 1,...,г — 1,
г рь /-г г-г
и._1(*)=и-_1(*о)^ / (Срг,к)ик-1(з) + Лг-г / (¿тх)ио(з)
+ г-г (Сш^Д в ), (17)
к=1 •'¿О •'¿О
где pjík, ш1 - операторные меры на [а, Ь], значения которых - линейные операторы в Н, причем мера ш1 неотрицательна; / €Ь2(Н, йшх; а, Ь); Л € С; и = и0, и1г..,иг-1 - неизвестные функции. Предполагается, что меры р^ удовлетворяют условиям: (а) р^ = 0 при к>з +1; (Ь) существуют такие операторные функции с нормами |||| € Ь1(а, Ъ),
что р^-+1(Д) = /д Р],]+1 (¿)сЙ для любого борелевского множества Д (т.е. меры абсо-
лютно непрерывны) и операторы имеют обратные для всех Ь € [ а, Ь].
Сведем систему (17) к уравнению первого порядка. Обозначим р = г3Р, где Р - матрица порядка г с элементами р^, 3 = гг+1Л, Л - матрица, на побочной диагонали которой последовательно (сверху вниз) стоят — Е,Е,..., (-1)ГЕ, остальные элементы равны нулю, ш - матрица порядка г, у которой на пересечении первой строки и первого столбца стоит ш1, остальные элементы равны нулю. Кроме того, положим и = со1(и0,..., иг-1), £ = со1(0,..., 0) (столбец длины г). В столбце £ вместо нулей могут находиться произвольные функции. С использованием введенных обозначений система (17) запишется в виде (3), где у = и, Н = Нг:
м(£) = м(¿0) — г3 (Ср)м(з) — (Сш)и(з) — и / (Сш)/(з). (18)
«/ ¿0 ^ ¿0 " to
Функции ии (к = 0, ...,г — 1), являющиеся решением системы (17), назовем квазипроизводными функции и = и0 и обозначим ик = и[й]. Из (17) получим для всех а0 ^ Ь ^ Ь0, 3 = 1,...,г — 1
пг з пг
/ Ш+1( « )из( = Щ-1^) — Щ-1(и) — ^ / (ср^)ик-1(8).
•'¿о к=1
Левая (и, следовательно, правая) часть последнего равенства является абсолютно непрерывной функцией. Поэтому при j = 1,..., г — 1
исо=р-]+1(г)Сь (1)—и——ср^к)ик-1(в^. (19)
Равенство (19) выполняется на отрезке [а, Ь]. Из (19) следует, что квазипроизводные Uj однозначно определяются функцией и = и0. Функцию и назовем решением (17), если система функций и является решением (18).
Пусть , Л) - операторное решение (17) при / = 0, ¿0 = а0, удовлетворяющее условию 1](«0, Л) = 5^Е (- символ Кронекера, з,т = 1,..., г); Ш(£, Л) - матрица с элементами Жп-1](£, Л). Тогда функция Ь^Ш(Ь, Л) является решением уравнения (18) при / = 0.
Пространства Н = Ь2(Н,дш;а, Ь) и Ь2(Н, Сш1;а, Ь) совпадают. Всякая функция вида со1(0, у2,..., уг-1) со значениями в Н = Нг отождествлена в Н с нулем. В конечномерном случае Q- = Q. Максимальное и минимальное отношения, порожденные системой (17), определяются следующим образом.
Максимальное отношение Ь - это множество пар {и, /} ЕН х Н, для каждой из которых существует пара {и, /}, отождествленная в Н х Н с {и, /} и удовлетворяющая системе (17) при Л = 0. Минимальное отношение Ь0 - это сужение Ь на множество функций и таких, что и(ао) = и(Ь0) = 0, где и - решение (17).
Граничные значения определяются по формулам (15)
У = 8\{и, /} = и(ао), У = $2{и, /} = и(Ьо) - Ш(Ьо, 0)м(ао).
Тогда Фй(Л) = Ш(Ьо,Л) -Ш(Ьо, 0).
Для системы интегральных уравнений (17) справедливо утверждение, аналогичное теореме 3. Отметим, что в конечномерном случае условия 1), 3), 5), 6) выполняются автоматически.
Замечание 3. Пусть все меры pj,k абсолютно непрерывны, т.е. pj,к (А) = /д (¿)сЙ, IIРз,к(¿)|| Е Ь1(а, Ь), и ш^А) = ^(А)Е, где ^ - обычная мера Лебега на [а, Ь], т.е. ^([а,[)) = [ - а, а,[ Е К, а < [ (как и выше, полагаем р(А) = 0 для всякого боре-левского множества А такого, что [а, Ь] П А = 0). Тогда и1^ являются квазипроизводными в смысле [8], [9]. При этом и^ = 1-г/, где
иМ = (и!"-1])' - ^Трг,к№к-1]. к=1
5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
В этом разделе Н - сепарабельное гильбертово пространство и ш(А) = ^(А)Е, где ^ - обычная мера Лебега на [а, Ь]. В этом случае отношение Ь (и, следовательно, Ь0) является оператором, Q- = Q+ = Н. Граничные значения определяются равенствами (15), а оператор Ф^( л) - равенством (16). Кроме того, при любом т Е [а0, Ь0] оператор {у, /} ^ у(т) непрерывно отображает Ь на Н. Поэтому граничные значения можно определить формулами У = у(а0),У' = у(Ь0). Тогда Ф^(л) = Ш(Ь0,Л). Таким образом, в теореме 3 и следствии 4 в качестве Ф^(л) может быть взят оператор, определенный равенством (16), или оператор Ш(Ь0, Л) (в зависимости от выбора ПГЗ).
Отметим, что в статье [16] другим способом получены утверждения, аналогичные теореме 3 и следствию 4, для дифференциального оператора, порожденного сильно непрерывным семейством эволюционных операторов Ы(Ь, в) в банаховом пространстве. Эти утверждения из [16] могут быть установлены методом (незначительно измененным), используемым в данной работе, с учетом теоремы 2, верной для банаховых пространств (при этом в качестве оператора Ф^(л) = Ш(Ь0, Л) берется еЛ(ь-а")1А(Ь, а)).
Переходим к рассмотрению уравнения (1) с многозначным импульсным воздействием, предполагая, что в (1) ш(А) = ^(А)Е, ¿0 = а0.
Зафиксируем некоторую точку 1 Е [ а, ]. Возможное изменение решения в точке 1 определим следующим образом. Положим
у (г) = ш (г, 0) с1 - ш (г, 0)^ / и *(в, 0)/(^, а0 ^ г ^ и, (20)
и ао
у(г) = ш(г, 0)ш-1(г 1,0)- ш(г, 0)1,1! и*(в, 0)/(в)^, и <г ^ Ьо. (21)
Jt1
где $ Е Н, с1, с2 Е Н, и 1, 0) = Иш Ш(Ь, 0). Функция у, вообще говоря, имеет разрыв в
г^г 1+о
точке ¿1, обусловленный тем, что элемент с2 Е Н выбирается произвольно. Отметим, что
С1 = y(a1о), С2 = Ит уЦ).
^ Ь1 +о
Определим оператор С следующим образом. Считаем, что область определения Т>(С) оператора С состоит из функций у, имеющих вид (20), (21), и полагаем Су = /. Оператор С замкнут.
В определении ПГЗ возьмем В1 = В2 = Н х Н и определим граничные значения равенствами
Ъ{у, П = У = [у(«0), у+(11)}, ъ{у, /} = У' = {у(11), у(Ъ0)},
где у+И 1) = Иш у И). Из леммы 2 и следствия 3, непрерывной обратимости оператора ¿^¿1+0
Ш(£, 0): Н ^ Н следует, что четверка (НхН,НхН, гу1, гу2) является ПГЗ для оператора С. Положим гу{у,/} = [У, У'}.
Оператор Ф7 задается равенством
ф7({С1,С2}) = {Ш(I1, 0)С1,Ш(&0, 0)Ш-1(1 1, 0)С2}, {С1,С2} €Н х Н. (22)
Здесь учтено, что функция Ь^Ш(£, 0) непрерывна слева. В данном случае минимальный оператор С0 определяется как сужение оператора С на множество функций у € Т>(С), для которых у((ю) = у(60) = У^ 1) = у+(Ь 1) = 0.
Пусть 9 - линейное отношение, 9 С ( Н х Н) х (Н х Н), Се - такой оператор, что С0 С Се С С и ^Се = 9. Для оператора Се справедливы утверждения, аналогичные теореме 3 и следствию 4.
Рассмотрим важный частный случай, когда отношение определяется двумя отношениями 912 и 921, состоящими соответственно из пар граничных значений в точке разрыва ¿1 и пар граничных значений на концах а0, Ь0. Обозначим через Н1, Н2 первый и второй экземпляры пространства Н в декартовом произведении Н х Н и предположим, что отношение 9 С ( Н1 х Н2) х (Н1 х Н2) состоит из пар вида
{со1(ж1 ,Х2), Со1(ж12,Ж21)}, (23)
где {х2, х12} € 912 С Н2хН1, {х1,х21} € 921 С Н1хН2 (здесь и далее пару {г1, г2} € Н1 х Н2 удобно обозначать как столбец со1(г1, г2), чтобы проследить аналогию с операторами, задаваемыми матрицами). Таким образом, область определения оператора Се состоит из функций у вида (20), (21), удовлетворяющих граничным условиям
{у(«0), у(М} € 021, {у +(* 1), 1)} € 012.
Отметим, что отношение замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуты отношения 12 и 21 . Далее предполагаем замкнутость отношения .
Для сокращения записи обозначим ш1 = Ш(Ь1, 0), ш2 = Ш(Ь0, 0)\¥-1(Ь 1, 0). Пусть ш : Н1 х Н2 ^ Н1 х Н2 - оператор, определяемый равенством ш{х1,х2} = {ш1х1,ш2х2}, где х1 € Н1 = Н, х2 € Н2 = Н. Из (22), (23) следует, что отношение 9 — Ф7 состоит из пар вида
{со1(х1,Х2), со1( —Ш1Х1 +Х12,Х21 — Ш2Х2)}, (24)
где пары {Х2,Х12}€ 012, {Х1,Х21}€ 021.
Оператор ш непрерывно и взаимно однозначно отображает Н1 хН2 на Н1 хН2. Поэтому отношения 9 — Ф7 и £ = ш-1(0 — Ф7) одновременно находятся или нет в состоянии к (1 ^ к ^ 8). Обозначим <12 = ш-1012, <21 = ш-1021. Из (24) вытекает, что отношение ( состоит из пар вида
{со%ъ g2), со1(—91 + 9l2,921 — g2)}, (25)
где пары {92, 912} € <12, {ди 921} € <21.
Лемма 4. Справедливы следующие утверждения: а) &шкег< < то тогда и только тогда, когда &шкег(<12<21 — Е) < то и &шкег(<21<12 — Е) < то; б) &шкег< = 0 в том и только том случае, когда &шкег(<12<21 — Е) = 0 и &шкег(<21<12 — Е) = 0.
Доказательство. Пусть со1(<71, д2) Е кег (. Из (25) следует существование таких элементов 912,921 Е Н, что пары {912} Е (12, {91,921} Е (21 и ^ = #12, 92 = #21. Отсюда получаем, что {91,912} Е (12(21 и д1 Е кег((12(21 - Е). Аналогично получим {#21} Е (21(12 и 92 Е кег((21(12 - Е).
С другой стороны, если д1 Е кег((12(21 - Е), то существуют такие элементы д21 и д12, что пары {д 1, ^21} Е (21, {д21,912} Е (12 и #12 = #1. Отсюда и из (25) следует со1(# 1, #21) Е кег (. Аналогично получаем, что если д2 Е кег((21(12 -Е), то существует элемент д12 со свойством со1(д 12, д2) Е кег (. Из приведенных соотношений следуют все утверждения леммы. Лемма доказана.
Обозначим Zl = (12(21 - Е), ^2 = (21(12 - Е).
Лемма 5. Отношение ( сюръективно тогда и только тогда, когда сюръективны отношения (12(21 - Е и (21(12 - Е.
Доказательство. Пусть отношение ( сюръективно. Из (25) следует, что для любых ¿1, ¿2 Е Н найдутся такие пары {#2,912} Е (12, {91,921} Е (21, что -#1+#12 = #21 -92 = ¿2. Положим ¿2 = 0. Тогда 92 = #21. Поэтому {д 1, #12} Е (12(21 и ¿1 Е = (12(21 - Е). Отсюда в силу произвольности получаем Z1 = Н. Аналогично доказывается, что Z2 = (21(12 - Е) = Н. Таким образом, отношения (12(21 - Е, (21(12 - Е сюръективны.
Докажем обратное утверждение. Элемент г2 Е Z2 тогда и только тогда, когда найдется элемент д2 такой, что пара {д2, х2} Е (21(12-Е. Это равносильно существованию элементов <712, <721 со свойствами
912} Е (12, {9l2,921} Е (21, 921 - 92 = ¿2. (26)
Аналогично, элемент Е Z1 в том и только том случае, когда существуют элементы д1, (/12, д'21 со свойствами
{д 1, ¿1} Е (12(21 -Е, {9ъ Е (21, {921,9^12} Е (12, д'12 - = Ъ. (27)
Из (26), (27) получаем, что {92 + д'21,912 + ^12} Е (12, {д 12 + 91,921 + ^1} Е (21. Отсюда и из (25) следует {со1(# 12 + 91, #2 + ^1), со1(^2 - 91, #21 - 92)} Е (. Равенства (26), (27) влекут {со1(# 12 + 91, #2 + ^1), со1(^2)} Е (. Поэтому со1(¿2) Е^(().
Таким образом, если отношения (12(21 - Е и (21(12 - Е сюръективны, то сюръективно отношение . Лемма доказана.
Замечание 2. При доказательстве второй части леммы 5 фактически установлено следующее утверждение: если г1 Е Z1, х2 Е Z2, то со1(г1, г2) Е "&(().
Теорема 4. Оператор С непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратимы отношения
Ш-1(£ 1, 0)012^+ (г 1, 0)Ш-1(Ьо, 0)021 - Е,
(г 1, 0)Ш-1(Ьо, 0)021Ш-1(£ 1, 0)012 -Е. (28)
Доказательство. Отношения (28) соответственно равны 12 21 - Е и 21 12 - Е. Выше установлено, что С, 0 - Ф7, ( одновременно находятся в состоянии к (1 ^ к ^ 8). Теперь требуемое утверждение следует из лемм 4, 5.
Лемма 6. Если область значений "&(() замкнута и имеет конечную коразмерность, то области значений Z1 = (12(21 - Е) и Z2 = (21(12 - Е) имеют конечную коразмерность. Если Z1, Z2 имеют конечную коразмерность, то тем же свойством обладает,
щ<).
Доказательство. Пусть ^(() замкнута и имеет конечномерную коразмерность. Тогда "&(() П ( Н х {0}) имеет конечную коразмерность. Пусть со1(г1, 0) Е "&(() П ( Н х {0}). Так
же как в доказательстве первой части леммы 5 получим z1 Е Z1. Отсюда следует, что Z1 имеет конечную коразмерность. Требуемое утверждение относительно Z2 доказывается аналогично.
Пусть теперь Z1 и Z2 имеют конечную коразмерность Z\ Е Z1, z2 Е Z2. Из замечания 2 получим col(z1, z2) Е R«). Поэтому R«) имеет конечномерную коразмерность. Лемма доказана.
Теорема 5. Оператор Се фредгольмов тогда и только тогда, когда отношения (28) фредгольмовы.
Доказательство. Оператор Се и отношения в — Ф7, ( одновременно являются или нет фредгольмовыми. Пусть отношение ( фредгольмово. Тогда область значений R«) замкнута. Докажем замкнутость Zi = R(<12<21 — Е). Пусть z1,n Е Z\ и последовательность {z1,nj сходится к z. Из замечания 2 следует, что col(z1,n, 0)} Е R«). Замкнутость R«) влечет col(z, 0) Е R(<). Из доказательства первой части леммы 5 получим, что z Е Z1. Замкнутость Z2 = R( i2 2i — Е) устанавливается аналогично. Теперь фредгольмовость отношений (28) следует из лемм 4, 6.
Обратно, пусть отношения (28) фредгольмовы. Эти отношения соответственно равны С12<21 — Е и <21<12 — Е. Следовательно, Z1, Z2 замкнуты. Поэтому замкнуто множество Z1 х Z2. Оно имеет конечную коразмерность в Н х Н, так как по условию конечную коразмерность имеют Z1, Z2. Следовательно, существует такое линейное многообразие М С Н х Н, что dimM < то, (Z1 х Z2) П М = {0, 0} и Н х Н = (Z1 х Z2) + М. Из замечания 2 получаем Z1 х Z2 С R«). Поэтому R«) = (Z1 х Z2) + (М П R«)). Из [17, гл. 1, утв. 3.3, (с. 35, рус.)] вытекает замкнутость R«). Теперь применение лемм 4, 6 завершает доказательство теоремы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С. А. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач // Успехи матем. наук. Т. 63, №1. 2008. С. 111-154. English transl.: Pokornyi Yu. V., Zvereva M.B., Shabrov S.A. Sturm-Liouville oscillation theory for impulsive problems // Russian Mathematics Surveys. V.63, №. 1. 2008. P. 109-153.
2. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки. T.66, №6. 1999, С. 897-912. English transl.: Savchuk A.M., Shkalikov A. A. Sturm-liouville operators with singular potentials // Math. Notes. V. 66, №. 6. 1999. P. 741-753.
3. Брук В. М. Об обратимых линейных отношениях, порожденных интегральным уравнением с неванлинновской мерой // Изв. ВУЗов. Математика. №2. 2013. С. 16-29. English transl.: Bruk V. M. Invertible linear relations generated by an integral equation with Nevanlinna measure // Russian Mathematics. V. 57, №. 2. P. 13-24.
4. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений // Изв. РАН. Сер. мат. Т. 73, №2. 2009. С. 3-68. English transl.: Baskakov A. G. Spectral analysis of differential operators with unbounded operator-valued coefficients, difference relations and semigroups of difference relations // Izvestiya: Mathematics. V. 73, №.2. 2009. P. 215-278.
5. Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // Успехи матем. наук. Т. 68, №1. 2013. С. 77-128. English transl.: Baskakov A. G. Analysis of linear differential equations by meAhods of the spectral theory of difference operators and linear relations // Russian Mathematical Surveys. V. 68, №.1. 2013. P. 69-116.
6. Брук В. М. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах // Функц. анализ. Ульяновск. №28. 1988. С. 17-22.
7. V. M. Bruk On linear relations generated by Nonnegative operator function and degenerate elliptic differential-operator expression // J. of Math. Physics, Analysis, Geometry. V. 5, №.2. 2009. P. 123-144.
8. Шин Д. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве // Матем. сборник. Т. 13, №1. 1943. С. 39-70.
9. A. Zettl Formally self-adjoint quasi-differential operators // Rocky Mountain J. Math. V. 5, №3. 1975. P. 453-474.
10. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Вища Школа. Киев. 1987. 288 с.
11. Диденко В. Б. О непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями // Изв. РАН. Сер. мат. Т. 77, №1. 2013. С. 5-22. English transl.: Didenko V. B. On the continuous invertibility and the Fredholm property of differential operators with multi-valued impulse effects // Izvestiya: Mathematics. V. 77, №1. 2013. P. 3-19.
12. Рофе-Бекетов Ф. С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций // Докл. Акад. Наук СССР. Т. 184, №5. 1969. С. 1034-1037. English transl.: Rofe-Beketov F.S. Selfadjoint extensions of differential operators in a space of vector functions // Soviet. Math. Dokl. V. 10, №. 1. 1969. P. 188-192.
13. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Наукова Думка, Киев, 1965. 798 с. English transl.: Berezanski Yu. M. Expansions in Eigenfunctions of Selfadjoint Operators. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968. 822 p.
14. V. M. Bruk On the characteristic operator of an integral equation with a nevanlinna measure in the infinite-dimensional case // J. of Math. Physics, Analysis, Geometry. V. 10, №. 2. 2014. P. 163-188.
15. Брук В. М. Об обратимых сужениях отношений, порожденных дифференциальным выражением и неотрицательной операторной функцией // Матем. заметки. Т. 82, №5. 2007. С. 652664. English transl.: Bruk V. M. On invertible restrictions of relations generated by a differential expression and by a Nonnegative operator function // Math. Notes. V. 82, №5. P. 583-595.
16. Диденко В. Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением // Матем. заметки. Т. 89, №2. 2011. С. 226-240. English transl.: Didenko V. B. On the spectral properties of differential operators with unbounded operator coefficients determined by a linear relation // Math. Notes. V. 89, №2. P. 224-237.
17. H. Schaefer Topological Vector Spaces. The Macmillan Company. New York; Collier-Macmillan Limited. London, 1966. 306p. (English); Рус. перевод: Х. Шефер, Топологические векторные пространства, Мир, М. 1971. 360 с.
Владислав Моисеевич Брук,
Саратовский государственный технический университет, ул. Политехническая, 77, 410054, г. Саратов, Россия E-mail: [email protected]
