Фундаментальная система решений дифференциального уравнения с операторнозначными коэффициентами и сингулярным краевым условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЬЕЕ

НАУКИ

УДК 517.91

А.М.Холькин

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СИНГУЛЯРНЫМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ

Ряд вопросов теории дифференциальных уравнений приводит к необходимости задавать самосопряженное краевое условие на сингулярном конце и рассматривать операторные решения для уравнения произвольного порядка, удовлетворяющие этому условию. Эти операторные решения являются аналогом полной системы линейно независимых решений в конечномерном случае. Для скалярного уравнения второго порядка построение такого решения содержится в [1]. Существование фундаментального решения для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка установлено в [2, 3}. Там же доказана самосогласованность этого решения.

В настоящей работе для дифференциальных уравнений произвольного порядка' с операторными коэффициентами другим способом строится фундаментальное решение краевой задачи и изучаются его свойства.

Пусть Я сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (• ) и нормой || ■ ||.

Обозначим Н(а, в) = Ь2 (И; (а, в ); И/(х)йх) гильбертово пространство

вектор-функций у(х) со значениями в Н, скалярным произведением ( ■ , • ) и соответствующей нормой, УУ(х) = \¥*(х)>> 0, ]¥(х) еС(В(Н),,(а, в)).

Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка Г>1 с операторными коэффициентами из В(Н)

1Ы= Е 'Ч [у] = №(х)у, * € {а, е), (I)

ыо

гдс^ р](х) = р}(х),

коэффициент при старшей производной (р„(х) при г = 2п, Яе дп(х) при г = 2п + 1) имеет ограниченный обратный во всем Н при хе (а, в), .¡(л:) (а, в))и а является сингулярной точкой, т.е. либо а

- - <х> , либо в точке а нарушены условия гладкости коэффициентов.

Предположим, что для минимального оператора Ь, порожденного выражением = И^'(х) в гильбертовом пространстве Н(а, (5 ) ,

существуют самосопряженные распадающиеся граничные условия на любом интервале ( а, (5 ) с( а, в ).

Пусть в точке а задано самосопряженное краевое условие

иа[у] = 0 (2)

Определение 1. Фундаментальным решением ф.р. задачи ( 1 ), ( 2 ) называем

решение уравнения ( 1 ) У(х, Х)^В( Н, И), где Н- какое-либо гильбертово пространство, если:

1) V И е Н, е (а, 6), у - У(х, Х)Н еН(а, \ ) и удовлетворяет краевому условию

(2);

2) любое радение у е Н(а, ) задачи ( 1 ), ( 2 ) лредставимо в виде ук(х,Х) = = У(х,Х)И;

3) при некотором, а потому и при любом х, самосопряженный оператор

г-1

*=О

Условия 2), 3) определения 1 означают полноту и линейную независимость определенной по ф.р. У (х,Х) системы решений задачи ( I ), ( 2 ).

Для задачи ( 1), ( 2 ) с краевым условием в регулярной точке а ф.р. У(х, X) аналитическое по X можно построить как решение уравнения ( 1 ) с операторными данными Коши.

Если а = - оо или является конечной сингулярной точкой, то построение ф.р. задачи ( 1 ), ( 2 ) не сводится к задаче Коши.

Определение 2. Решение У(х, Х)е.В,( Н, Н) уравнения ( 1 ) при X € Я называем самосогласованным, если при Ъ, е (а, в) существует самосопряженное краевое условие

которому при х - % удовлетворяет все функции вида у(х,Х)—-У(х, Х)И , где при г = 2п

/ч*) = со1{у(х), У(х),..У*4'«} = Я-, уЧх) = со1{у^(х), /»-Ч(Д...,(х)}еЯ-,

(х) - квазипроизводные, отвечающие операции 1[у], определенные в соответствии с [4], при г = 2п + 1 ул{х), у^{х), Н~ определяются значительно сложнее (см. [4]), Л^ х - самосопряженный оператор в Н .

Обозначим резольвенту самосопряженного расширения ,

симметрического относительно точки е (а, в) оператора Ь ^ , При X е. С \ ^ ) резольвента аналитически зависит от X. Зададим оператор Т х Н(а, £,) —> Н~ формулой

тх /'= (л I /) * е С \ с{ь I): = С„ .

Оператор Тх ограничен. Значит, в ограничен функционал (ср. [1])

ф ^ (/) = /) X еС0, И е /Г, поэтому по теореме Рисса

((л;/Г(?),А)-(/(-).й(-д))4 (5)

где I X ) е Н(а, ^ определяется однозначно. Это позволяет при X е. С а

задать оператор (7Х = 0( X )-Н й- £ ) формулой

х, Х))г = %ь{х, А,).Всилу(5)

Так как резольвента аналитически зависит от А. при X еСо< то 0(х, X)

слабо аналитически зависят от X. В силу эквивалентности слабой, сильной и равномерной аналитичности, 0(х, \) аналитически зависит от % в равномерной операторной топологии при X €С0 .

Бели / е V {ь*), то при любом к е НX еСа имеем

((ц -х1у, М» - (К - =(,0° - «> ■к)- И < V4=11

Поэтому С^ЬеЕ^Ь0^ и -А,/) Сг(л:Д)л = 0 при . Таким

образом, при любом к €.Н~ вектор-функция Х)И еН(й, ) является

решением уравнения ( 1 ), удовлетворяет условию ( 2 ) в точке а , аналитически зависит от X е Са .

Операторы £л(хД), 0"{х,Х):Н~ ограничены при всех

. Операторное решение У^ (*Д) е в{н~, //) уравнения ( 1 ) на

интервале (а, в) с данными Коши , = X), , = X) удовлетворяет условию I) определения 1.

Проверим условие 2). Пусть у(-,Х)еН (а, решение уравнения (

I ), удовлетворяющее граничному условию ( 2 ), X еСа ,

А.) = /> / £Н{а,). Замечая, что у удовлетворяют

самосопряженному краевому условию ( 2 ) в точке а и что имеем

Ч V

}И*) Л*)>у{х, Х))<Ь «|(/Й-ХИ^, (И*,!), ^ЙЛ))-

а а

1 ит)<ь -Иед).- (7}

■ а

= ((*! /У (?), /)"(4), />(5.*))« -(М"Й).

Выбирая А = — X,), получим, в силу (6),

}(И*)/(4 у(хл))<1х=((л; /)"<&), *)=|(И*)/М. *)<**•

а а-

Поскольку f е Н(ау £) - произвольна, то у{х, X.) = У, (х, X) А.

Условие 3) определения следует из того, что У^Л(£Д) = — 1 и в силу

гомеоморфизма начальных данных в точке £ и произвольной точке х е (а, в). Таким образом, доказана

Теорема 1. Для задачи ( I ), ( 2 ) существует ф.р. У^(хД) еВ{н~,//) при dim Н~ - ^dimH <00 и Ф.р. является аналити-

ческим по X при X е С \ ). Подобно тому, как в [ 3 J, доказывается Теорема 2. При X ф.р. задачи ( I ), ( 2 ) является

самосогласованным, кроме того nulY^{x, À.) = nulY^*(x,X), а при X )) оператор 3^Л(хД) - фредгольмов, т.е. иетеров с

нулевым индексом (nul: = dim Ker).

Ф.р. Y* X) регулярно по X в верхней и нижней полуплоскостях, в отличии от ф.р. Y (х, X ), построенного в [3] и аналитического по X в некоторой окрестности Лр сС множества Л = R\c) . Однако ф.р.

Yt ( X, Л, ) имеет полюсы в точках X к дискретного спектра . Рассмотрим оператор в H

К _ -

Г{Х) = ¡Y;{x,x)w(x)Y^x,X)dx> X еС\ст(/^).

а

Оператор Г (X ) аналитически зависит от А, и имеет ограниченный обратный. Запишем разложение резольвенты Я°х и решения К (х, А,) в ряд

Лорана в окрестности собственного значения X к оператора

+ (8)

А- X к

Непосредственно проверяется Лемма 2.

а а

т- 0;1;2;...

В силу леммы 2 при X е Сс получаем, что

Г(х)=^-у .[>1+(х-х„)2в(х)],

где ^ = ,

Л

¡g:{x,xMx)gn{x>bK)dx .(х-хк)ш

Лемма 3. 1) Пусть ф,(х),..., фх(-*)- ортонормированцый базис собственного подпространства Нк = (—Обозначим Нк подпространство в И натянутое на векторы ф^(^),..., Ф^ОО; ' сужение оператора А на Нк. Тогда оператор Ак имеет ограниченный обратный.

2) Оператор В ("к) в Н имеет ограниченный обратный при всех X в некоторой окрестности точки X К.

В силу леммы 3 оператор А имеет % положительных собственных значении. Поэтому существует достаточно малая окрестность А л точки X,

такая, что при всех X € А к оператор = А + ^А,-А,К) В(А-) имеет %

собственных значений, расположенных правее некоторого ß >0. Пусть E(t, X)

разложение единицы оператора . Обозначим

Р1 (А,) = £(ß, А.), Р2{Х) = 1" ^(ß) X) операторы проектирования на инвариантные подпространства

Ях(Х) = Р^Н", Н2(Х) « P2(A,)H~(dim Н2(Х) = % при всех А. Операторы Р{ (А,)и Р2{Х) аналитически зависят от X при X Е А к. Поскольку операторы Z3, (А,) и Р2{Х) коммутируют с , то

Г(Х) = Р Д)Г(А.)Р,(Х) + Р2(Х)Щ)Р2(Х).

Обозначим П(А, А. к) эволюционный оператор, который следит за поворотом инвариантных подпространств II, (А), Н2(А) оператора Г(А,) при изменении А, в окрестности Ак. Оператор Q(A.А, г) является унитарным, дифференцируемым по X и обладает свойством поворачивания, т.е.

Поэтому r(?i) = X к)[г, (k)е Г2(^)]а*(х, X к), где Г/\Х), 7 = I, 2 самосопряженные операторы в Н^А :

Тогда Так как

г!>)=- X t)p,(x к)в(х к)р,(х к)+(х- \ к)г, (х),

rf(X) = A1/J+(x-Xk)P2(X),

где Г^А), Г2(Я) - дифференцируемые оператор-функции, то при X *ХК в некоторой окрестности А, , существует обратный оператор /""'^(А).

Положим Уг = (хД) = Оператор-функция З^(хД)

является аналитической при X е С0 и имеет полюсы в точках X поэтому оператор-функция Уг—{х,Х) в этих точках имеет либо полюс, либо устранимую особенность. Если бы точка X —X к являлась полюсом, то при X —>Х к по любому направлению предел был бы неограниченным. Однако при любых X и/1 е Н

2 ((*> Л ^

||уг(-д)л| = \Уг{х,Х)Цг{х)Уг(х>Х)(1х\кН =|А)2. \ЛЯ / )

Поэтому оператор равномерно ограничен по Л, и

тем более ограничен оператор Уг ~ (х, X): Н Н. Следовательно, особенность в точке X —Хк устранимая. Поэтому, доопределяя Уг = (лД = ЬшУг(хД), получим невыро жденное операторное решение Уг = (хД), которое аналитически зависит от X в некоторой окрестности Л 'р с= С множества аД/^)

Теорема 3. Для задачи ( 1 ), ( 2 ) существует ф.р. Уг = (я:Д) € в(н~ ,Н), которое является аналитическим по 1 в некоторой окрестности Л'р С С множества Я \ ое (¿^).

Библиографический список

1. Данфорд Н., Шварц Цж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория.- М.: Мир, 1966,- 1062 с. /

2. Рофе-Бекетов Ф.С., Холькин A.M. Связь спектральных и осцилняционных свойств дифференциальных систем произвольного порядка// ДАН СССР.- 1981.- 261, № 3.-С. 551 -555.

3. Рофе-Бекетов Ф.С., Холькин A.M. Фундаментальная система решений операторного дифференциального уравнения с краевым условием на бесконечности// Мат ем. заметки,- 1984.- 36, № 5.- С.697 - 709.

4. Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций// Теория функций, функц. анализ и их приложения.- Харьков, 1969.- Вып 8.- С. 3 - 24.