CC BY
30
раздел МАТЕМАТИКА
ББК 22.162.4 УДК 517.984.46
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ДЛЯ НЕГЛАДКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 214-ГО ПОРЯДКА
Ахмер ова Э.Ф.*
Показано, что для широкого класса возмущений V нахождение асимптотики спектра оператора Н = Н0 + V сводится к исследованию поведения части
резольвенты R0 (z) самосопряженного невозмущенного оператора Н0 . В качестве примера приведен дифференциальный оператор 2п-го порядка
Пусть Н 0 самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с дискретным
спектром {Xk } ^=1 (Х1 < Х2 < л ), и соответствующими собственными проекторами Рk, причем
R0(z) = (Н0 -z}\
inf(xt+1 - Xk )> 0. С1)
К >1
Если симметрический оператор V Н 0 компактен, то по известной теореме Като-Реллиха оператор Н = Н0 + V замкнут в области определения Н 0 и имеет дискретный спектр. Для широкого класса возмущений V нахождение асимптототик спектра Н = Н0 + V в окрестности X, сводится к исследованию поведения части R^(z^) = R0 (z^)-(Xn — z)-1 Рп резольвенты R0 (z)
Пусть *п = 1/2 min(Xn+1 — Xn, Xn — Xn—1 )и существует последовательность Гп, такая, что
0 < гп < *п, inf г > 0, lim sup ||Rn0 (zVl = 0. (2)
n>2 n^”| z—Xn lir,,11 11
Если U решение уравнения Ни = zu, где |z — и| < Гп , то это уравнение эквивалентно системе
[CXn + PnVPn l/1 + PnVQnU2 = zu1,
[ QflQn u2 + QnVPnu1 = zu 2,
где U1 = PnU, U2 = QnU, Qn = I — Pn. Резольвента Rn(z) оператора ,пН,п = Н0Qn + QnVQn
удовлетворяет (в подпространстве QпН ) уравнению
Rn (z)= Rn (z)VRn (z) = Rn (z) (4)
где учтено, что К(z) = К(z)Qn, QnRn(z) = Rn (z) Отсюда видно, что при |z — и| < Гп и п >> 1
уравнение (4) однозначно разрешимо, причем
Rn (z) = Ё (— 1У Cr,0 (zV Ї R0„ (z) (5)
m=0
* Ахмерова Эльвира Фангизовна - ассистент кафедры математического анализа БашГУ
Поэтому из второго уравнения системы (3) следует, что U2 = — Rn (z)ли1 и система (3) эквивалентна конечномерному уравнению
^n + PnVPn — PnVRn (zУр„ 1<1 = ZU1 . (6)
Таким образом, при выполнении условий (1)-(2) задача асимптотического разложения собственных значений возмущенного оператора Н = Н0 + V сводится к исследованию поведения части R® (z) резольвенты невозмущенного оператора в окрестности z = Х„ .
Отметим, что этот метод хорошо применяется и при получении формулы следов для гармонического осциллятора (см. [1] ). Другой подход к изучению спектральных задач второго порядка на конечном интервале развит в работах [2], [3].
Ниже продемонстрируем предложенную технику на примерах дифференциальных операторов на конечном отрезке.
l.B L2 (О,ft) рассмотрим оператор Ни = —u"+Vu, где V(х) — вещественная функция из L2(О,я). В дальнейшем оператор Н порождается одним из следующих условий (при V = О Н = Н 0):
а) и(о) = и(% ) = 0; б) и' (о) = и'(ж ) = 0; в) и(о) = и'(ж ) = 0. Ядро R° (х, t, z) оператора R° (z) имеет вид
R0n (х, t, z) = G(x, t, z) + g(x, t, z) + (z — Xn)—1 fn (x) fn (t), (7)
причем
Rl (x, t, Xn) = G( x, t, Xn) +
+ ~^= b eos л/^П"p1 sin-Jx~„p 2 +t eos-Jx~„p 2 P1 ^ f (t), (8)
Кл К 8k„
где: а) спектр Н0 состоит из чисел Хп = П2, П > 1, соответствующие ортонормированные собственные
функции суть / (х) = Л\2/ sin ПХ, g(X, t, z) = - / /— Ctgy[z% sin Vzxsin 4zt, a = -1, P1 = X, P 2 = t. \/% /д/z
G(x, t, z ) = —==■
1 ІСО^л/ZX sinVzt, t <
X
VZ IcosVzt sinVzX,
> x;
(9)
б) Xn = n2, n > 0, f0 = 1/л/Я, fn (x) = Jy eos nx, g(x, t, z) = - //— Ctgy[Z% cosVzx cosVzt,
V/я /Vz
a = 1, P1 = t, P 2 = x,
\ 1 [sinVZXsin 4zt, t < X
G(x,t,z) = _ (10)
л/z [smvztsmvzx, t > x; v J
в) Xn = (n +1/2)2, n > 0, fn(x) = ^f sin(n +1 / 2)r, ядро G(x, t, z) определено в (9),
g(x,t,z) = ^— tgVz^ sinVzxsinVzt,a = -1, Pj = x, P2 = t.
Имеет место следующее
Утверждение 1. При |z — Xn| < п/2 ядро R°(х,í,z) оператора R°(z) ограничена
R (х, í, z) < С / ", где С > 0 — постоянная.
Доказательство. Поскольку функция G(x, í, z) в окрестности z = Xn особенностей не имеет, задача
сводится к исследованию поведения функции g(X, í, z- + (z — Xn)—1 /п (x)/n (í) в окрестности Хп (см. (7)). Доказательство проведем для случая а), остальные случаи доказываются аналогично. Имеем
Í \ Í Л V1 /■ Í \г Í \ cosVzrc sinVzxsinVzí 2sinпхsinní
g(X, í, z)+ (z — Х" ) /n (x)/n (í) =-------------------------------------------------------------t=-t=-+-7-. Представим
Vz sin Vz% K\z — n )
g^ í, z )+ (z — Xn ^ /n (X)/n (í ) в окрестности z = n2 в виде
(cosVzrc — cosпж) sinVzxsinVzí 2sinnxsinní [ COSПЖ 2^[z 1
si^Vz^ 4z Vz I sinVzrc ж( — n2 )J
[IsinVzx — sin nx 1 Г- I in 4zí — sin ní 1 1
— I---------p-------sinV zí +----------j=------sin nx> cos пж.
[ sinv ZЖ sinv z^ J
Обозначим Vz = у и рассмотрим функции ¥ ^(у ) = Icos уж — COs ПЖ 1/ sin уж ,
¥ (2)(y ) = Isin yx — sin nx]/ sin уж , ¥ (з)(у ) = cos ПЖ / sin уж — 2y / л (у 2 — n2 ). Отсюда следует, что ¥ n(l) ограничена в некотором промежутке |у — n| < 1/2 — 5 , где0 < 5 < 1 /2, т. е. |>/z — n| < 1/2 — 5 . Иначе, для любого s , 0 < £ < 1 существует С0 = С(g ) — постоянная, такая, что ¥ (1)(z )< С0, лишь только |z — n2| < (1 — £ )n. В силу произвольности s, можем положить, что £ = 1/2. Аналогично оцениваются функции ¥ (2)(у ) и ¥ (3)(у ) Утверждение доказано. Из утверждения и равенств (6)- (10) следует
Теор ема 1. Спектр {ц n } оператора Н = Н0 + V, порожденный одним из условий а) -в), при условии
V е L2(0,ж)и n ^ да имеет асимптотику
Ж Ж
^ n = Xn + С0 + С1 (n)+ С2(n>— + o(n"2 )= Xn +1/ж J V(x)dx + a /ж J V(x)cos 2A/X""xdr +
о о
ж х г" ~i
+a /(%Jx~n) J V (х )*in 2VX7х J V (í Д+a cos 2^JXí *ídx —
о о
—a 2л/Х7JV(х£ + a cos 2^Хпх!х J íV (í) sin 2^¡x"ídí + o(n 2)
o o
где а)Xn = n2, a = —1; 6) Xn = n2, a = 1; в) Xn = (n +1/2)2, a = —1;
Доказательство. Так как dim RanPn = 1, то (6) совпадает с функциональным уравнением
Xn + (V/n , /п )— (VRn (zУ/п , /п ) = z, (11)
где (.,.)- скалярное произведение в Н, Н0 /п = Хп /п. Введем функцию фп(z) = z, и заметим, что
ф' п (z ) = —|R„ (z У/п\ • Из утверждения, т.к. V (х) е Z2 (О, ж) следует, что R° (z У/п |< С/п, где
С > 0 — постоянная. Отсюда и из (5) следует, что R(z)f п | < С /п. По теореме Лагранжа о конечных
приращениях фп (z) =фп (Хп )+ (z — Хп ) 'п (;) где Е, е (z, Хп ) Из этих рассуждений и формул (5), (11)
имеем уравнение z — Хп = (Vfn, /п )—(vR„0 (Хп V/п, L > о(п2) Теперь, используя формулы (7)-(10) и соответствующие ортонормированные собственные функции, нетрудно получить утверждение теоремы.
Замечание 1. Уравнение (6) разрешимо и при dim !апРп > 1, причем (6) распадается на к
функциональных уравнений, где к = dim !апРп > 1, к > 1 .
2. Рассмотрим оператор Н = НЩ + V, где п> 2, пе№, Н0 — оператор из примера 1,
Vu = (ри')+^И, р(х)е W2(О,ж), q(х)е Z2(о,ж ) Предыдущая схема позволяет выписать асимптотику возмущенного спектра в случае негладких р ид .В этом случае надо предварительно рассмотреть оператор
Н п + V, в смысле квадратичных форм. Нетрудно вычислить, что
R0 (z ) = b0 z n Rс
( 1 ^ zn +z n £ bkR 0 ( 1 ^ z"Ю к , где bk = П (ю *— Ю -)
V ¿=1 V т=0 ,т^к
Ю т — корень т —ой
степени из единицы Vi = Ю т , 0 < к < П — 1.
Пусть оператор Н также как и в примере 1 порождается одним из условий а) - в), тогда а) Н" имеет простой спектр Х"к = к2п, П> 1, соответствующие ортонормированные собственные функции суть fk(х) = V2/% sinкх; б) Хпк = к2п, к > 0, /0 = 1/V%~, fk(х) = V2/ж cosкх; в)
= (£ +1/2)2п, к > 0, /к(х) = V2/% sin(£ +1/2)х;
R/t fe t , Х" )= Х'
b0R° (х, í, Хк)+ £ b,R0 (х, t, Xkvt)
где R¿ (х, t, Хк) было определено выше.
Аналогично теореме 1 доказывается
Теор ема 2. Спектр {ц к ^= оператора Н = Н" + К, порожденный одним из условий а)-в), при Уи = (ри1 )+^И, р(х)є ^2 (о,Ж ) ^(х)є X2(о,Ж ) и к ^ к имеет асимптотику
Ж Ж
ця = Х£ - Хк /ж |р(х)*х + аХ* /ж |р(х)соз2у[х^х*х +
О О
Ж Ж Ж
+ а д/Х^ /(ж )| р' (х)эт 2д/Х^х*г +1 /ж | #(х*х - а /ж | #(х)соз 2д/Х^х*г + “2 )
О 0 0
где а) Хк = к2, а = 1; б) Х^ = к2, а = —1; в) Х^ = (£ +1 / 2)2, а = 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахмерова Э. Ф., Муртазин X. X. // Доклады Академии наук. 2003. Т.388, № 6. С.731-733.
2. Винокуров В. А., Садовничий В. А. // Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34, № 8. С. 1137-1139.
3. Винокуров В. А., Садовничий В. А.// Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34, № 10. С.1423-1426.
Поступила в редакцию 23.11.04 г.
УДК 22.193 ББК 518.12
ВОССТАНОВЛЕНИЕ КРАЕВЫХ УСЛОВИИ ПО КОНЕЧНОМУ НАБОРУ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ.
Абзалимов Р.Р.*
Настоящая работа посвящена численному методу восстановления краевых условий спектральной задачи по спектру. В работе [1] бъто показано, что коэффициенты в краевых условиях находятся по ее спектру с точностью до перестановок их местами. Также показано, что случай восстановления коэффициентов с точностью до перестановок реализуется не всегда.
Рассмотрим краевую спектральную задачу, порожденную дифференциальным уравнением вида:
* 2 V
I О, X ) = —т + р(х, X )у = 0 (1)
*х
и краевыми условиями:
U1 (у) = hy'(0) + _у(0) = 0,U2(y) = Ну'(1) + у(\) = 0 (2)
где X - спектральный параметр, X е [0,1] h, Н е С , р(х, X ) - кусочно-непрерывная функция.
Наряду с данной краевой спектральной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида у”j (X) + р.(X )у. (X) = 0 ,0 = X0 < ... < X. < л < XN+1 = 1, (3)
с граничными условиями
у0 (0) + hy'0 (0) = 0, уN (1) + НуN (1) = 0, (4)
где
1 ХУ+1
Р i (X ) =------- | Р(х, X )*х. (5)
J Y — Т ^
XJ+1 XJ Xj
Замечание. Если функция р(X, X ) имеет разрыв в некоторой точке X , то эта точка должна быть одной
из точек разбиения. Тогда, на каждом интервале Gc ., X ■+1 ], j = 0, N , функция р(X, X ) является непрерывной.
Функции у. (X,X) рассматриваются на \-Х., X ■+11 Как и в [2], под собственной функцией задачи (3)-(4) будем понимать функцию у(х), удовлетворяющую следующим условиям:
1) У(х) - непрерывная на [0,1] функция;
2) у'(х) е С1 (х., хj+1 ) j = 0, N ;
3) у(х) удовлетворяет краевым условиям (4);
4) У(х) удовлетворяет так называем^1м условиям сопряжения:
У.(Х.+1 + 0) = уi+1(х^.+1 — 0), у'.(х}.+1 + 0) = у^.+1(х}.+1 — 0) . (6)
Таким образом определяется приближенная задача для исходного уравнения. В [2] показано, что решения задачи (3)-(4) равномерно по X сходятся к решениям задачи (1)-(2).
* Абзалимов Р.Р. - к.ф.-м.н., доцент кафедры МиПОВМ Нефтекамского филиала БашГУ.
