Свойство минимальности самосопряженной дилатации операторного узла диссипативного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.432 MSC2010: 47A48, 47A20

СВОЙСТВО МИНИМАЛЬНОСТИ САМОСОПРЯЖЕННОЙ ДИЛАТАЦИИ ОПЕРАТОРНОГО УЗЛА ДИССИПАТИВНОГО

ОПЕРАТОРА © А. В. Биданец, Ю. Л. Кудряшов

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация e-mail: [email protected]

Minimality of selfadjoint dilation of operator knot of dissipative operator.

Bidanets A. V., Kudryashov Yu. L.

Abstract. Let A is dissipative densely defined operator in the space H and —i e p (A). Let denote R = (A + il)-1 and consider the defect operators

B = iR — iR* — 2R*R,

B = iR — iR* — 2RR*, T = I — 2iR.

A set of linear bounded operators acting from an entire Hilbert space H1 into a Hilbert space H2 will be denoted by L (H1,H2).

Definition 1. The assembly of Hilbert spaces H, E- и E+ and operators A : H ^ H, Ф e L (E-,H), Ф e L(H,E+) ,K e L (E-,E+) is called the operator knot, which has been introduced in work of U. L. Kudryashov «Selfadjoint dilation of operator knot of dissipative operator» in «Dynamic systems», 3(31), №1-2, 2013, p. 45-48[1]. Q = (A, Ф, K, Ф,H, E-, E+), if the following relations hold:

B = Ф*Ф;

B = ФФ*; T * Ф + Ф*К = 0; T Ф* + ФК * = 0; 2Ф*Ф + К *K = I; 2ФФ* + К К * = I.

Selfadjoint dilation S of dissipative operator A is constructed using the knot в in [1] in the following manner.

The spaces H- = L2 ((-to, 0] ,E-), H+ = L2 ([0, +to)) and H = H- © H © H+ are considered.

The vector h = (h-, h0, h+) £ D (S) if and only if

1. {h±,

dh±(t) 1 dt J

с H± ;

2. h = ho + (0) G D (A);

3. h+ (0) = -Kh- (0) + ¿Ф (A + il) h.

Theorem 1. The dilation S is minimal, i.e.

H = span {R±i (S) h | h G H,n G {0} U N}

if the spaces E+ = ^H, E- = $*H are separable.

The following expressions was used for the proof:

where n G N, an = Rnh0,

Rn_t (S)

bn = e-tJ2

0

ho 0

0

an bn

t

n-k

ФRfc-1ho

k=1

(n - k)!in-k-1

where dn = R*nh0,

where h0 G H.

Rn (S )

E

0

ho 0

( Cn\

dn 0

n- k

Cn e k=1 (n - k)!(-i)n-k

-rT $*R*k-1ho,

n k 1 o

Keywords : dilation, self-adjoint operator, unbounded dissipative operator, minimality, operator knot

Введение. Предварительные сведения

В [1] было введено понятие операторного узла для диссипативного оператора, вообще говоря, неограниченного. Понятие узла даёт больше возможностей для построения дилатаций конкретных операторов за счёт выбора операторов узла.

Пусть A - диссипативный оператор с плотной областью определения D (A), действующий в гильбертовом пространстве H и —i Е р (A).

Обозначим (A + il Р = R и рассмотрим дефектные операторы

В = гЯ - гЯ* - 2Я*Я, В = гЯ - гЯ* - 2ЯЯ* и оператор Т = I - 21К. Множество линейных ограниченных операторов, действующих из всего гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, обозначим Ь (Н1, Н2).

Определение 1. Совокупность гильбертовых пространств Н, Е_ и Е+ и операторов А : Н ^ Н, Ф ^ Ь (Е_,Н) , Ф ^ Ь (Н, Е+) , К е Ь (Е_, Е+), называется операторным узлом [1] Q = (А, Ф, К, Ф, Н, Е_, Е+), если выполняются следующие соотношения:

В = Ф* Ф; (1)

В = ФФ*; (2)

Т *Ф + Ф*К = 0; (3)

Т Ф* + ФК * = 0; (4)

2Ф*Ф + К *К = I; (5)

2ФФ* + К К * = I. (6)

Оператор А называется основным оператором узла, Ф, Ф — каналовыми, К — деформирующим операторами узла в.

Определение 2. Пусть А — линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н. Оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется дилатацией [2], [3] оператора А, если выполняются следующие условия:

1) существует Л0 е р (А) П р(А);

2) Н С Н;

3) Я™о (А) Л = РЯП0(А)Л для любого Л е Н и п е М, Р — ортопроектор из Н на Н, ЯЛо (А) = (А - Ло1 )-1, Яло(А) = (А - Ло1)_1

Определение 3. Оператор А называется дилатацией узла в [1], если А является дилатацией основного оператора узла при любых Ф, Ф и К из узла в (дилатация строится при помощи операторов узла).

Самосопряжённая дилатация Б узла в диссипативного оператора А была построена в [1] следующим образом.

Рассмотрим линейное многообразие вектор-функций Л (Ь) со значениями в гильбертовом пространстве Е и Ь е [а,Ь]. Обозначим Ь2 ([а,Ъ] ,Е) - гильбертово пространство, полученное в результате замыкания данного многообразия по норме

ь г

\\Л\ \12([а,Ь],В) = \\Л (Ь) \\е^ < ^

а

Рассмотрим узел в и пространства

Н_ = Ь2 ((-го, 0]; Е_) , Н+ = Ь2 ([0, Е+) . Введём пространство Н = Н- ф Н Ф Н+ со скалярным произведением

(/, й)и = (й-, Х_)и_ + (йо, X. )н + (л+, Х+)я+,

где X = (К_, К0, К+), X = К0, . Определим в Н оператор 5.

Вектор X = (К_, йо, К+) € £($) тогда и только тогда, когда

1. {й±, ^К Н±;

2. X = К0 + ФК_ (0) € £ (А);

3. К+ (0) = —КК_ (0) + ¿Ф (А + И) X.

S =

fh—\ ( Г-h- \ ho = —iho + (A + il) h

Vh+/ V r+h+ )

где Г±К± = г^^^.

В [1] доказано, что 5 — самосопряжённая дилатация узла в диссипативного оператора А.

Заметим, что при Е_ = Е+ = Н, Ф = ^В, Ф = \/в, К = Т* самосопряженная дилатация диссипативного оператора А была построена в [2] и [3]. В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Если вектор К = (К_,К0, К+) € £ (5), то К = К0 + Ф*К+ (0) € £ (А*) и имеет место равенство (А + И) К — (А* — И) К = 2гК0, где К = К0 + ФК_ (0) € £ (А).

Доказательство. Запишем условие 3) на £ (5) К+ (0) = —КК_ (0) + ¿Ф (А + ¿I) X. Подействуем на это равенство оператором Ф* слева:

Ф*h+ (0) = — Ф*КК_ (0) + ¿Ф*Ф (А + И) К

Используем условие (1) узла

Ф*К+ (0) + Ф*КК_ (0) + К = Я* (А + И) К — 2гЯ*К.

Преобразуем левую часть этого равенства, используя условие (3) узла

Ф*К+ (0) — Т*ФК_ (0) + Ко + ФК_ (0) = Ф*К+ (0) + Ко — 2гЯ*ФК_ (0) = К — 2гЯ*ФК_ (0),

к = 2гЯ*Фк_ (0) + Я* (А + г1) к - 2гЯ*к.

Таким образом, к е ® (А*).

Подействуем на это равенство слева оператором (А* - г1):

(А* - г1) к = 2гФк_ (0) + (А + г1) к - 2гк, (А + г1)4 - (А* - г1 )к = 2гко.

□

Основной РЕЗУЛЬТАТ

Определение 4. Самосопряжённая дилатация Б, действующая в пространстве Н узла в называется минимальной, если существует Л0 е р (Б), что

H = span <| RnXo (S) h, Rn (S) h | h G H, n G {0} U N

Теорема 1. Если Е+ = ФН, Е_ = Ф*Н и эти пространства являются сепарабель-ными, то самосопряжённая дилатация Б узла в является минимальной.

Доказательство. В нашем случае Л0 = -г, поэтому надо доказать, что

H = span (S) h | h G H, n G {0} U N}. Для этого достаточно доказать равенства

1. H+ = span {R-j (S) h | h G H,n G N},

2. H- = span {R (S) h | h G H, n G N}.

Непосредственными вычислениями можно доказать [1] следующее равенство

R-i (S)

где R = (A + г/)-1

h-ho

Vh+7

( (Г- + г/)-1h- ^ Rho - (0)

^(Го + г/)-1h+ + e-tv+ (0)/

fv-\

Vo

vv+/

v- (0)= [(Г- + г/)-1h- (t)]i=o, v+ = -Kv- (0) + гФЛ-о,

(Го + г/)-1g+ (x) = -J et-xg+ (t) dt,

o

1

x

(Г- + iI)-У (x) = - I et-xg- (t) dt (Vg± Е H±).

1

Из (7) следует, что

R-i (S)

ho

Vh+7

0

Rho \-1]

^(Го — il) 1h+ + ie-^ho/

и

R-i (S)

0

ho 0

0

Rho

Применяя метод математической индукции, докажем формулу:

R-i (S)

00

ho

V 0 / V6-/

-

где n Е N, а- = R-ho, 6- = e t ^ fa-^-fe-i

k=1

tn

ФRk-1ho.

Из (9) получаем, что формула верна при п =1.

Пусть (10) верно для п и докажем формулу для п +1, т.е. что

а-+1

R-+1ho

6-+1 = e

-+1 t--fc+1

ФRk- 1ho

fc=1

(n — k + 1)! i-—k

Применяя формулу (8), получаем:

/(Л /0\ / 0 \

R-+1 (S)

где

ho 0

R-i (S) R-i (S)

t

ho 0

-—k

x-+1

\6-+1 /

b =1 f ex-tex V _x

b-+1 = ij e e (n — k)!i o k=1

- k 1 o

а-+1 = R-+1ho = а-+1.

Преобразуем 6^+1:

:iq)

6-+1 =e

x

-k

(n — k)!i

=1

-k

dx • ФRk-1ho + ie-^R-h(

o=

x

а

-

t

п+1

£

к=1

п_к+1

(п - к + 1)!г

п—к

ФЯк_1ко = Ьп+1.

Пусть к0 е Ф (А), тогда для п = 0,1, 2,... получаем:

( 0 \ (0 \ (0 \

ЯП+1(Б)

(А + г1) ко 0

- ЯПг (Б)

к0 0

\ЬП/

где аТ1 = 0,

ЬП = е" ^

/п+1 ¿п_к+1

пк

е

п! г

! г п_ 1

\к=1 (п - к + 1)!г

п+1

Ф (А + г1) ко + ^

п_ к

ФЯк_2ко - V 7-М|. к , ФЯк_1ко

0 ¿-^ п — к\\оП_к_1 0

¿п п+1 ¿п_к+1 п ¿п_к

_М ь , V- ь ..ок_2, ь ФЯк_1ко

(п - к + 1)!гп_к

—^ (п - к)!г

п

^Як_2ко - £

к=2 4 ' к=1 Производя в первой сумме замену д = к - 1, получаем

Ь^ = —^Ф (А + г1) ко. п п!гп_^ у 0

(п - к)!гп_к+1

Так как Ф (А + г1) Ф (А) = ФН = Е+, то в силу сеперабельности пространств Е+ множество вектор-функций вида ¿пе_4к, где к е Е+, п = 0,1, 2,... плотно в Ь2 ([0, то) , Е+) и, следовательно, выполняется равенство 1). Теперь докажем 2).

Используя лемму, можно доказать [3], что

/к_\ /(Г_0 - г1 )_1к_ + е4и_ (0)\

Я (Б)

к0 к+

V

Я*к0 - (0) (Г+ - г1 )_1к+

«0 \и+/

11)

где «+ (0)= [(Г+ - г1 )_1к+ (¿)] 4=,

4=0'

Г_0 = Г_М ,

М_ = {к_ е Ф (Г_) | к_ (0) = 0} , и_ (0) = -К*«+ (0) - гФ*к0,

0

(Г_0 - г1 )_1^_ (х) = 1 / ех_4£_ (¿)

1

(Г+ - г1 )_1^+ (х) = г ех_4£+ (¿) ^

а

По индукции докажем, что

R- (S)

0

ho 0

( c-\

d

-0

:i2)

где d- = R*-ho,

C- e

E

t

-k

(п — к)!(—г)п_к_1 При п = 1 из (11), получаем

ф*R*k-1h0.

Ri (S)

0

ho 0

(—iet Ф*^\

R*ho 0

и формула (12) справедлива.

Пусть (12) верно для п и докажем её праведливость для п + 1 то есть, что

^га+1 = Д^+Х

C-+1 = e

-+1 E

t

-- k+1

k=1 (n — k + 1)!(—i)

-k

ф*R*k-1ho

Применяя формулу (11), получим

R-+1(S)

0

ho 0

Ri (S) R- (S)

0

ho 0

(с-+Л

d-+1 0

где d-+1 = R*- 1ho = d-+1.

c-+1 = — ie^*R*-ho + - et-xc- (x) dx

- --k-1

У" , ,,,-гt--k+1Ф*R*k-1ho — ietФ*R*-ho = c-+b

^ (n — k)!i--k o o -+1

=e

Формула (12) доказана.

Пусть К0 € £ (А*), тогда для п = 0,1, 2,... получаем

t

где

/

К+1(S)

о

(A* - г/) ho

о

\

- Rn (S )

о

ho о

/c"\

n

о о

^ /п+1 (-1)n-k tn-fc+1

(n - k + 1)!in-k

Ф*Я*к-2^

ho - £

(—l)n-fc-l£n-fc

—^ (n - k)!i

'n—k—1

Ф*Я*к-%

Производя в первой сумме замену q = k - 1, имеем

" '^П-Гф* (A* - г/) ho.

n!(-г)

Так как Ф* (А* — г/) Ф (А*) = Ф*Н = Е_, то в силу сепарабельности пространства Е_ множество вектор-функций вида ¿гае*Н, где Н Е Е_, п = 0,1, 2,... плотно в ¿2 ((—го, 0] ,Е_) и, следовательно, выполнено 2). □

Заключение

Понятие минимальности дилатации позволяет производить построение функциональных моделей оператора и изучать структуру пространства минимальной дилатации, как это делалось в [5] для сжатий.

Описок литературы

1. Кудряшов, Ю. Л. Самосопряженная дилатация операторного узла диссипативного оператора / Ю. Л. Кудряшов // Динамические системы. - 2013. - Том. 3(31), №1-2. - C. 45-48.

KUDRYASHOV, YU. L. (2013) Selfadjoint dilation of operator knot of dissipative operator. Dynamic systems. Vol. 3(31) No. 1-2. p. 45-48.

2. Кужель, А. В. Симметрические и самосопряжённые дилатации диссипативных операторов / А. В. Кужель, Ю. Л. Кудряшов // ДАН СССР. - 1980. - Том 253, №4. - C. 812-815.

KUZHEL, A. V., KUDRYASHOV, U. L. (1980) Symmetrical and selfadjoint dilations of dissipative operators. Reports of the USSR Academy of Sciences. Vol. 253 (4). p. 812-815.

3. Кудряшов, Ю. Л. Симметрические и самосопряжённые дилатации диссипативных операторов / Ю. Л. Кудряшов // Сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1982. — Вып. 37. - C. 51-54.

KUDRYASHOV Yu. L. (1982) Symmetrical and selfadjoint dilations of dissipative operators. Function theory, functional analysis and it's application. 37. p. 51-54.

4. Кудряшов, Ю. Л. Минимальность самосопряжённой дилатации диссипативного оператора / Ю. Л. Кудряшов // Динамические системы. - 2014. - Том 4 (32) №3-4. - C. 279-285. KUDRYASHOV, Yu. L. (2014) Minimality of selfadjoint dilation of dissipative operator. Function theory, functional analysis and it's application. Vol 4(32) No. 3-4. p. 279-285.

5. Сёкефальви-Надь, Б. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве / Б. Сёкефальви-Надь, Ч. Фояш. — Москва: Мир, 1970. — 431 с.

SZOKEFALVI-NAGYB., FOYASH Ch. (1970) Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space. Moscow: Mir.