О-симметрическая дилатация операторного узла неограниченного оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 23 (62) № 2 (2010), с. 92-96.

УДК 517. 432

Ю. Л. Кудряшов

О-СИММЕТРИЧЕСКАЯ ДИЛАТАЦИЯ ОПЕРАТОРНОГО УЗЛА НЕОГРАНИЧЕННОГО

ОПЕРАТОРА

В статье производится явное построение а-симметрической дилатации узла неограниченного оператора с непустым множеством регулярных точек.

Ключевые слова: неограниченный оператор, узел, дилатация.

Введение

Множество линейных ограниченных операторов, действующих из гильбертова пространства И в гильбертово пространство И обозначим Ь(И\, И2).

Определение 1. Совокупность гильбертовых пространств И, Е и операторов А £ Ь(И, И), р £ Ь(И, Е), а £ Ь(Е, Е), а = а* называется локальным узлом [1, 2]

А = (А,И,р,Е,а), если А - А* = гр*ар.

Оператор А называется основным оператором узла А, р —каналовым, а — метрическим оператором узла А. Пространство И — внутренним, Е — внешним пространствами узла А.

Определение 2. Оператор В, действующий в гильбертовом пространстве И называется дилатацией оператора А, действующего в гильбертовом пространстве И, если

И с И Рн(В - А/)-1|н = (А - А/)-1 при любых А, принадлежащей некоторой области 1т А < —а (а > 0) [1, 4].

Определение 3. Оператор В называется дилатацией узла А, если оператор В является дилатацией основного оператора узла при любых р и а.

ст-симметрическая дилатация операторного узла неограниченного оператора 93

В случае ограниченного диссипативного оператора А в [2] строится самосопряженная дилатация узла А при а = Е.

Частный случай, когда = = 2 был построен в [3].

В данной работе введенные выше понятия обобщаются на случай неограниченных операторов.

1. Предварительные сведения

Пусть оператор А действует в гильбертовом пространстве Н с плотной областью определения Э(А) = Н и непустым множеством регулярных точек Ао € р(А) и 1т А0 < 0.

Рассмотрим оператор

Бло = гЯХо - гЯ*Хо +21т АоЯ\0ЯХо, где ЯХо = (А - Ао/)-1.

Оператор Бло назовем дефектным оператором оператора А, Бло € Ь(Н, Н).

(Бло/, /) = г(Яло/, /) - г(Я^о/, /) + 21т АоУЯло/||2,

пусть д = Яло /, тогда

(Бло /, /) = 21т (Ад, д) (1)

Из (1) следует, что если оператор А диссипативный, то Бло > 0.

Определение 4. Совокупность гильбертовых пространств Н, Е и оператора А (не обязательно ограниченного, действующего в Н), ф € Ь(Н, Е), а € £(Е, Е), а = а* называется операторным узлом

в = (А,Н,ф,Е,а), если Бло = ф*аф.

Название операторов и пространств, как и в случае узла А.

Любой оператор А с р(А) = 0, Ао € р(А) может быть включен в узел, причем неоднозначно.

Можно положить

E = BXo H, ф = Pe , ст = BXo\E,

PE — ортопроектор из H на E. Или

E = BAo H, ф = |ВЛо |2, ст = J = sign ВЛо. (2)

Определение 5. Оператор В называется дилатацией операторного узла в, если В является дилатацией основного оператора A узла в при любых операторах ф и ст из узла в.

2. Построение а — симметрической диллтлции

Рассмотрим линейное многообразие вектор — функций V(£) со значениями в гильбертовом пространстве Е при £ £ [0; +ж). Обозначим через Ь2(0, ж; Е) гильбертово пространство, полученное в результате замыкания данного линейного многообразия вектор — функций по норме

(IV|Ц2(0, е) = / »V(*)||ЕЖ.

Введем пространство И = И ® £2(0, ж; Е), П = ( |, П 1 = ( | со

V п У V й1 У

скалярным произведением

(П, П 1)нн = (V(£), ^(г))^, Е) + (Ь ¡1)н.

С помощью метрического оператора а узла 0 введем в пространстве И а — метрику следующим равенством:

а (?)=(7 )■

аV = аV(£) при каждом £ £ [0; ж). Обозначим [/, д]н = (а/, д)н.

Определение 6. Оператор В, действующий в гильбертовом пространстве И называется а — симметрическим, если для любых {/, д} с Э(В)

[В/, д]н = [/, Вд]н и ®(В) = И в обычной метрике пространства И.

П(строим в пространстве И оператор 5 следующим образом: вектор

Г ( V(£) \

п = £ Э(Б) тогда и только тогда, когда

V п У

V (£), с Ь2(0, ж; Е); 2) П £ ®(А); 3) V (0) = #(А - Ао /)П.

Оператор 5 определяется так

V(£) \ I idV(£)

5 П = 5 У = I ^ И I АП

Теорема 1. Оператор Б является а-симметрической дилатацией узла 9. Доказательство. Из (1) следует, что

(а^(А - А0/)П, ^(А - А0/)П) =21т (АП, П) для любого П £ £(А). (3)

а-симметрическая дилатация операторного узла неограниченного оператора 95

Пусть Н € Э(£), тогда

Н, Н]н - [Н, 5Н]н =

, V

_ + 2г 1т (АН, Н)н н

J н

= -г(аУ(0), V(0))н + 2г 1т(АН, Н)н = 0. Последнее равенство получилось, используя (3) и условие 3 на Э(£). Используя, что Э(А) = Н, легко показать, что Э(£) = Н.

Теперь докажем, что 5 — дилатация оператора А. Обозначим Ро = г

м

м = {{V(г), У'(г)} С ¿2(0, то; Е)|у(0) = 0}. Так как 1тАо < -а, а > 0, то А0 € р(А) П р(Ро). Построим оператор Я и докажем, что Я = (5 - А/)-1 для А из некоторой окрестности точки Ао, 1т А < 0.

ЯН = Я ( V(г) ^ = ^ (Ро - А/)-1 V(г) + ге-Шф(/ + ^Ял)Н ^ , где ^ = А - Ао, Ял = (А - А/)-1,

X

(Ро - А/(ж) = ^ I е-и(х-^(г)^.

Вектор Н1 = ^ ^^ ^ = ЯН € £(£), т. к. € (0, то; Е) и ^(0)

[(Ро - А/)-1V(г) + ге-Шф(/ + ^Ял)Н]4=о = гф(/ + ^Ял)Н, т. к. Н1 = ЯлН, а Н1(0) гф(А - Ао/)Н1.

Таким образом, все три условия на ) для вектора ЯН выполняются. Пусть Н € ®(5), тогда Я(5 - А/)Н = ^ ^ ) , где

V(г) = (Ро - А/)-1 (^ - А^ + ге-шф(/ + ^Ял)(А - А/)Н =

= V(г) + ге-Шф(А - Ао/)Н = V(г). Аналогично, получаем

(5 - А/)ЯН = ( ™ ) ,

где

= (Р - А/)(Ро - А/)-1V(г) + ге-Шф(/ + ^Ял)Н =

dV

= (Р - А/)(Ро - А/)-^(г) = V(г), РV = г—,

т. к.

(Р - А/)(ге-Шф(/ + ^Ял)Н) =

d(p-iAi)

= —ф(/ + ^ROh-——^ - iAe-UV(/ + = 0. -t

Из выражения для R = (S — А/)-1 следует, что S — дилатация оператора A. □

Выводы

Заметим, что в случае неограниченного диссипативного оператора A с плотной областью определения и — i £ p(A) (Ао = —i) симметрическая дилатация была получена в [4, 5], когда ф = у/B-i, а = E, а J-симметрическая дилатация линейного оператора A с —i £ p(A) была построена в [6], когда ф и а определяются равенствами (2).

Построение дилатации конкретного оператора связано с вычислением у/B-i, что довольно сложно. Эта задача была решена в [7] для одного класса операторов, когда dim B-iH = 1. В общем случае проще подобрать ф и а из операторного узла.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Лившиц М. С., Янцевич А. А. Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах. — Харьков: Изд. Харьк. ун-та, 1971. — 160 с.

Золотарев В. А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов. — Харьков: ХНУ, 2003. - 342с. Павлов Б. С. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора Шредингера и разложение по его собственным функциям // Мат. сб. — 1977. — Т. 102 (144), №4. — С. 511 — 536.

Кужель А. В., Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов // ДАН СССР. — 1980. — Т. 253 №4. — С. 812 — 815. Кудряшов Ю. Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов// Сб.: Теория функций, функц. анализ и их прил. — 1982. — вып. 37. — С. 51 — 54.

Кудряшов Ю. Л. 7 — эрмитовы и 3 — самосопряженные дилатации линейных операторов // Динам. системы. — 1984. — вып. 3. — С. 94 — 98.

Кудряшов Ю. Л. Спектральное представление самосопряженной дилатации одного класса операторов // Динам. системы. — 2007. — вып. 23. — С. 95 — 98.

а—симетрична дилатащя операторного вузла необмеженого оператора

У статтг проводиться явна побудова а-симетричног дилатащг вузла необмеженого оператора з непорожньою множиною регулярних точок.

Ключов1 слова: необмежений оператор, вузол, дилатащя.

а—symmetrical dilation of operator knot of unbounded operator

In the paper а-symmetrical dilation of knot of unbounded operator with unempty set of regular points is constructed explicitly.

Keywords: unbounded operator, knot, dilation.