МИНИМАЛЬНОСТЬ а — СИММЕТРИЧЕСКОЙ ДИЛАТАЦИИ ОПЕРАТОРНОГО УЗЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 1 (2011), с. 71-75.

УДК 517. 432

Ю. Л. Кудряшов

МИНИМАЛЬНОСТЬ а — СИММЕТРИЧЕСКОЙ ДИЛАТАЦИИ ОПЕРАТОРНОГО УЗЛА

В статье доказывается минимальность а — симметрической дилата-ции операторного узла неограниченного оператора с непустым множеством регулярных точек.

Ключевые слова: неограниченный оператор, узел, дилатация.

Введение

Определение 1. Пусть Ао £ p(A), где A — линейный не обязательно ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H. Оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H, называется дилатацией оператора A [1], если

1) Ао £ p(A) П p(A),

2) H С H,

3) Rn (A) h = PRn (A) h, для любого n £ N и h £ H, P — ортопроектор из H на H, Raq(A) = (A - Ао I)-1, Rao (A) = (A - Ао I)-1.

Исходя из этого определения, естественно дать следующее определение минимальной дилатации оператора.

Определение 2. Дилатация A, действующая в H оператор A, действующего в H называется минимальной, если

Hmin = span {Rn0 (A) h| n £ N U {0}, h £ H} -— замкнутая линейная оболочка векторов.

Очевидно, что Hmin С H и Hmin инвариантно относительно Ra(A), но не обязательно инвариантно относительно самого оператора A. Поэтому не всякую ди-латацию можно сузить до минимальной, как в случае изометрической дилатации оператора сжатия [2].

Предварительные сведения

Пусть D(A) = H, Ао G p(A), Im Ао < 0. Рассмотрим оператор

Б\о = iRXo - i R*Xo + Im Ао R*Xo R\0, где RXo = R\0(A).

Множество линейных ограниченных операторов, действующих из гильбертова пространства Hi в гильбертово пространство H2, обозначим L(H\, H2).

Определение 3. Совокупность гильбертовых пространств H, E и операторов A, действующего в H, р G L(H, E), а G L(E, E), а = а* называется операторным узлом [3]

в = (A, H, р, E, а), если Б\0 = р* ар.

Оператор A называется основным, р — каналовым, а — метрическим операторами узла в. Пространство H называется внутренним, E — внешним пространствами узла в.

Определение 4. Оператор A называется дилатацией операторного узла в, если A является дилатацией основного оператора A узла в при любых р и а из узла в [3].

В [3] построена а — симметрическая дилатация S узла в следующим образом. Рассмотрим линейное многообразие вектор — функций V(t) со значениями в гильбертовом пространстве E при t G [0; те). Обозначим через L2(0, те; E) гильбертово пространство, полученное в результате замыкания данного линейного многообразия вектор — функций по норме

оо

IIV 1112(0, о; E) = j IIV(t)||E dt< те.

Введем пространство Н = Н ® Ь2(0, те; Е), % = ( V(t % 1 = ( ^^ ] со

V % V %1 )

скалярным произведением

(%, % 1)8 = (V(г), Vl(t))щ0t е) + (%, %1)н.

С помощью метрического оператора а узла в введем в пространстве Н а — метрику следующим образом:

а ( Т ) = ( Т ) ■

где ^ = аV(г) при каждом г е [0; те). Обозначим [/, д]й = (а/, д)й.

Минимальность а — симметрической дилатации операторного узла 73

Определение 5. Оператор действующий в гильбертовом пространстве Н называется а — симметрическим, если для любых {/, $} С

[/ д\н = [/, Ыи ®(^) = н

в обычной метрике пространства Н.

Построим в пространстве Н оператор 5 следующим образом: вектор

Г ( V(*) \

п = € Э(Б) тогда и только тогда, когда

V п )

1) {V(*), С ¿2(0, Е);

2) П € ®(А);

3) V(0) = - Ао /)П. Оператор 5 определяется так

- • ()=('?

В дальнейшем положим Ао = —г, что упростит выкладки и не нарушит общности рассуждений.

Основной результат

Теорема 1. Если пространство Е = ^Н — сепарабельно, то дилатация Б узла в является минимальной.

Доказательство. В [3] получено выражение для (Б + г/)-1 = Я_г(Б).

Я-<Б) ( Т ) = ( (Р0 + "Ж ) ' (1)

X

где (Ро + ' (ж) = ^ J (*) Обозначим Я_*(А) =

о

Отсюда, получаем ( ) ( )

:)=( (2)

Применяя метод математической индукции, докажем формулу для п-ой степени резольвенты оператора Б:

й_<(3)( £) ■ где п € (3)

п -¡-п—к

V» = е-'Т (п - к)! гп—к—1 Vя—— Ч %п = Я— %. Как легко видеть, при п = 1 мы получаем формулу (2).

Пусть равенство (3) верно для п и докажем его справедливость для п + 1, т.е.

п+1 гп—к+1

что %п+1 = Я—+1 % ^п+1 = е-^ (п - к + 1); гп—к Vя-"-1 %. Применяя формулу (1), получаем:

+4«) (°) = ) •, >( °) = (

где

1 Л п хп—к

^+1 = 1 У ех—4 • е—х £ (п - ^ гп—к—1 V —1% ¿х + г е-4 V , %

о

%п+1 = 1 % = %п+1.

„п—к

^+1 = е-4 ^ (п -к) , гп—к ■-1 % + ге—4Vя—% =

к=1 о

п гп—к+1

= е—4 Е (п _ к + 1)! гп—к Vя—— 1 % + ге—Vя—, % =

Пусть %0 е Э(А), тогда при п = 0, 1, 2, ..., получаем:

//

где %п = 0,

/п+1 гп—к+1 п гп—к \

С = е—4 Е--г . к рЯк—2 %о _ Е-г п , . к -, рЯк—1 м =

п (п _ к + 1)! гп— — г 0 ^ (п _ к)! гп—к— 1 —г 0/

/ гп п+1 ¿п—к+1 \

= е—Ч -п—Г V (А + г /) %о + У^ 7-;-ттт^—гт V Як—2 %0 _

I п! гп—1 7 0 ^ (п _ к + 1)! гп—— г )

п ¿п—к

_е—4 У --, ,+, V Як — 1 %0.

^ (п _ к)! гп—к+^ — г 0

Производя замену в первой сумме д = к _ 1, получим:

е—4 гп п! г

V. = ггттп^т V(А +г/) %0.

Т.к. V(А + г/)®(А) = vH = Е, то в силу сепарабельности пространства Е, множество вектор — функций вида гп е—4 %, где % е Е, п = 0, 1, 2, ... плотно в ¿2(0, те; Е).

4

Минимальность а — симметрической дилатации операторного узла 75

Тогда span ) h| n G N, h G H} = ¿2(0, то; E). □

Выводы

Если при построении дилатации положить H = H ® ¿2(0, то; E), где E = ^H и ^H С E то полученная дилатация, как легко видеть, минимальной не будет. Выбирая ^ из узла 0, можно получить минимальность дилатации.

Список литературы

Золотарев В.А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряженных и неунитарных операторов. - Харьков: ХНУ, 2003. - 342 с. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Мир, - 1970. - 431 с.

Кудряшов Ю.Л. а - симметрическая дилатация операторного узла неограниченного оператора. // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. - 2010. - Т. 23 (62) №1. -С. 80-84.

М1шмальшсть а — симетричноТ дилатацп операторного вузла

У статтг доводиться мгнгмальнгсть а — симетричног дилатацп операторного вузла необмеженого оператора з непорожньою множиною регу-лярних точок.

Ключов1 слова: необмежений оператор, вузол, дилатащя.

Minimality а — symmetrical dilation of knot of unbounded operator

In the paper minimality а — symmetrical dilation of knot of unbounded operator with unempty set of regular points is prove.

Keywords: unbounded operator, knot, dilation.

[1] [2] [3]